Geometria Espacial de Posição

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1 125 ÍTULO 7 eometi pcil de oição UM OUO ISTÓRI O deenvolvimento d eometi TINKSTOK/TTY IMS N civilizçõe mi ntig egípci e ilônic, eometi deenvolveu-e que empe vindo à eolução de polem de mediçõe, como o cálculo de ditânci, áe e volume, o qui etvm dietmente ligdo à tividde de uitênci. onhecimento de eometi pemitim contuçõe como ete teto, no eloponeo, n éci, em oi n éci, poximdmente no éculo V.., que eometi e devinculou d quetõe de menução p tom um umo mi tto. ou-e exigi que popiedde d figu geométic foem vlidd po meio de um demontção lógic, e não mi po método expeimenti. O pimeio pendo gego ocido o método demonttivo foi Tle de Mileto (cec de ). cedit-e que Tle povou eguinte popiedde undo ee método: Se doi ângulo ão opoto pelo vétice, então ão conguente. Todo ângulo incito em um emicicun- feênci é ângulo eto. Se um tiângulo é iócele, então o ân- gulo d e ão conguente. Se du et ão tnvei de um feixe de et plel, então zão ente medid de doi egmento quique de um tnvel é igul à zão ente medid do epectivo egmento coepondente d out tnvel (e popiedde é conhecid como teoem de Tle). Outo pendo gego de gnde impotânci p eometi foi itágo, que viveu po volt de itágo fundou um ecol, ou ej, um epécie de cdemi p etudo d filoofi e d ciênci, n qul euniu váio pendoe e dicípulo. omo o eninmento d ecol pitgóic em tnmitido olmente, não há documento de u decoet. Um gnde contiuição do pitgóico e deu com teoi do númeo (em itmétic), e eu mio legdo p eometi é demontção d popiedde que lev o nome de eu mete. Teoem de itágo Num tiângulo etângulo, o quddo d medid d hipotenu é igul à om do quddo d medid do cteto. O mio pendo gego ligdo à Mtemátic, e epecilmente à eometi, foi uclide (cec de 300..), que e fomou no Mueu de lexndi epécie de univeidde d époc. e mueu foi cido po lexnde Mgno ei d Mcedôni que conquitou éci. o-pim de uclide é O elemento, com teze volume. O tê último volume de o odm eometi pcil, eunindo lgum decoet nteioe, m peentndo- de fom lógico-dedutiv.

2 126 êtulo 7 Ne fomulção, uclide petendi que noçõe ou conceito geomético foem definido, ou ej, ccteizdo ojetivmente po plv e edo pen em conceito etelecido nteiomente. lém dio, tinh o ojetivo de que tod popiedde ou popoiçõe foem demontd, ou ej, de que u vlidde foe etelecid po meio de gumento lógico e utilizndo n demontçõe pen popiedde demontd nteiomente. Io ccteizou um uptu definitiv com Mtemátic de e expeimentl e empíic do éculo nteioe. É em vedde que, muito éculo depoi, o mtemático veificm que o método cido po uclide não foi udo de mnei pefeit n u o e que O elemento tem ind váio pelo à intuição. e todo modo, o vlo d o de uclide é inetimável e el pedu té noo di, com lgun pefeiçomento feito po mtemático do éculo XIX e XX. onte de pequi: MILIS,...; USS, J.. O. eometi n ntiguidde cláic. São ulo: T, 1999.; OYR, l. itói d Mtemátic. 3 ed. São ulo: dgd luche, ontipício d pimei tdução p o inglê, em 1570, d o O elemento, ecit po uclide. RLS TOMS-STNOR Vmo exmin um figu geométic que conhecemo d no vivênci cotidin: o cuo. á váio ojeto que emetem à fom de um cuo: cix, ddo de jog, inquedo, móvei etc. TINKSTOK/TTY IMS STVNOVIIOR/TINKSTOK/TTY IMS TINKSTOK/TTY IMS o nli um cuo, podemo not que: poui oito vétice. O oito vétice (,,,,,,, ) de um cuo ão exemplo de ponto. O ponto não tem dimenão.

3 eometi pcil de oição 127 poui 12 et. 12 et de um cuo (,,,,,,,,,,, ) ão exemplo de egmento de et. é fomdo po ei quddo denomindo fce. ei fce de um cuo ão exemplo de upefície pln. N figu ixo, fce pece detcd. N figu egui, o imginmo que cd et do cuo foi polongd no doi entido, etemo imginndo et. d um de et contém um et do cuo. Se imginmo que cd fce do cuo foi expndid, como n fce d figu ixo, etemo imginndo plno. d um dee plno contém um fce do cuo. Noçõe pimitiv (ou inicii) contução d eometi e ei em tê noçõe inicii, d qui temo um conhecimento intuitivo, decoente d oevção do mundo conceto. noçõe ão de ponto, et e plno. Vmo convencion como epeentá-l d eguinte fom: ponto (let miúcul) et (let minúcul) plno (let geg) noçõe pimitiv ou inicii não ão definid. Tod demi noçõe ou conceito geomético podem e definido, ito é, ccteizdo ojetivmente po meio de plv, oedecendo-e um eg áic: ó e podeá defini um novo conceito e foem utilizdo n definição conceito já etelecido. Nete cpítulo, tod definição eá indicd po []. Vejmo tê pimei definiçõe: [] pço: é o conjunto fomdo po todo o ponto.

4 128 êtulo 7 [] Ret concoente: du et ão concoente e pouem um único ponto comum. X 5 {} [] Ret plel: du et ão plel e ão coincidente ou ão coplne (etão contid em um memo plno) e não têm ponto comum. e ão plel coincidente S, S e X 5 [ e ão plel ditint opoiçõe pimitiv (ou inicii) O etudo lógico d eometi e poi em lgum popiedde elciond ponto, et e plno. popiedde ão ceit como veddei, em neceidde de demontção lógic, e ão chmd popoiçõe inicii, popoiçõe pimitiv ou potuldo. otuldo d exitênci Num et e fo del exitem infinito ponto. o exemplo: O, O, O etc.,,, etc. Num plno e fo dele exitem infinito ponto. o exemplo: O, O, O, O etc.,, etc. otuldo d deteminção oi ponto ditinto deteminm um únic et. 8 5 Infinit. NS NISTO: do um ponto, qunt et pm po ele?

5 eometi pcil de oição 129 e out fom, podemo dize que: ddo doi ponto ditinto e, exite um ó et que tem e como eu elemento (ou um ó et que p po ele). Tê ponto não colinee deteminm um único plno. lê-e: é o plno detemindo pelo ponto, e, e não colinee 5 plno () e out fom, podemo dize que: ddo tê ponto, e não petencente um mem et, exite um ó plno que tem, e como eu elemento (ou um ó plno que p po ele). otuldo d incluão Se um et poui doi ponto ditinto num plno, el etá contid nee plno. O, O S e out fom, dizemo que, e um et tem doi ponto ditinto num plno, todo o eu ponto petencem ee plno. otuldo d plel (ou potuldo de uclide) o um ponto p um únic et plel um et dd. O e // e outo modo, podemo dize que, ddo um ponto não petencente um et, po podemo tç um únic et plel. No co de o ponto petence, tmém é únic plel, poi é pópi et. O quto potuldo enuncido ão ceito como veddeio em demontção. Tod demi popiedde, popoiçõe ou teoem de eometi podem e demontdo, ou ej, teão u vlidde etelecid po meio de um gumentção lógic, oedecendo-e um eg áic: ó e podeá demont (ou pov) um nov popiedde e foem utilizd, n demontção, popiedde já etelecid como veddei. Nete cpítulo, popoiçõe eão indicd po [RO]. não no etendemo demi, omitiemo lgum demontçõe; entetnto, lgum d popoiçõe mi impotnte etão demontd no item Teoem fundmenti, n págin 145 dete cpítulo.

6 130 êtulo 7 eteminção de plno á quto modo de detemin poição de um plno no epço. Vejmo: 1 o ) [OSTULO] po meio de tê ponto não colinee., e não colinee 5 plno () 2 o ) [RO] po meio de um et e um ponto fo del. 5 plno (, ) 5 plno () 3 o ) [RO] po meio de du et concoente. X 5 {} 5 plno (, ) 5 plno () 4 o ) [RO] po meio de du et plel e ditint. // 5 plno (, ) 5 plno () No 1 o modo, unicidde do plno é gntid pelo potuldo d deteminção. Já no 2 o, 3 o e 4 o modo, unicidde é gntid pelo fto de que exite um único plno que p pelo ponto, e não colinee. Infinito. NS NISTO: d um et, qunto ão o plno que contêm? XMLO 1 O ólido o ldo é um loco etngul tmém chmdo plelepípedo etoetângulo. le é fomdo po ei fce etngule, conguente du du.

7 eometi pcil de oição 131 Vmo ilut o doi último modo de deteminção de plno: et e ão concoente em e deteminm o plno que contém o etângulo. et e ão concoente em e deteminm o memo plno. et e ão plel ditint e deteminm o plno, que contém o etângulo. XRÍIOS 1 Oeve o cuo e epoduz-o em eu cdeno. 2 Qunto ão o plno detemindo po tê et ditint, du du, plel ente i? 3 Qunto ão o plno detemindo po quto ponto doi doi ditinto? 4 Qunto plno ditinto ão detemindo po quto et ditint, du du, concoente em ponto todo ditinto? cd item, pinte, em eu cdeno, o plno detemindo pel et: ) e ) e c) e d) e Sugetão: Vej como modelo o plno indicdo no plelepípedo d págin É comum encontmo me com 4 pen que, memo poid em um pio plno, lnçm e no oigm coloc um clço em um d pen p que fiquem fime. xplique po que io não contece em um me de 3 pen. oiçõe eltiv de doi plno lno ecnte [] oi plno ditinto que têm um ponto comum ão chmdo plno ecnte. otuldo d inteeção Se doi plno ditinto têm um ponto comum, então ele têm pelo meno um outo ponto comum. opiedde d inteeção de plno Se doi plno ditinto têm um ponto comum, então inteeção dee plno é um únic et que p po quele ponto. [RO] et é denomind inteeção ou tço de um dele no outo. Vej demontção do teoem 1 n págin 145. i e ecnte; X 5 i; i é inteeção

8 132 êtulo 7 lno plelo [] oi plno ão plelo e não têm ponto comum ou ão coincidente. e plelo coincidente β β e plelo ditinto XMLO 2 Oeve, no cuo eguinte, o plno, e g, que contêm, epectivmente, fce, e. Temo que: γ β e g ão plno plelo ditinto; e ão plno ecnte; X 5 ; e g ão plno ecnte; X g 5. XRÍIOS 6 lifique fimçõe egui como veddei (V) ou fl (). ) Se doi plno ditinto têm um ponto comum, então ele têm um et comum que p pelo ponto. ) oi plno ditinto que têm um et comum ão ecnte. c) Se doi plno têm um únic et comum, ele ão ecnte. d) oi plno ecnte têm infinito ponto comun. e) oi plno ditinto, plelo um teceio, ão plelo ente i. 7 Ojeto do noo di di pemitem imgin plno ecnte e plno plelo. N epeguiçdei motd n figu: ) qui plno ão ecnte? γ β JT/ZT ) qui plno ão plelo? δ (chão)

9 eometi pcil de oição 133 oiçõe eltiv de um et e um plno poição de um et em elção um plno depende excluivmente do númeo de ponto que ele têm em comum. odem ocoe tê ituçõe: et e o plno têm em comum doi ponto ditinto; nee co, confome o potuldo d incluão, et etá contid no plno. X 5 Todo o ponto d et petencem tmém o plno. [] et e o plno têm em comum um único ponto; nee co, et e o plno ão ecnte. X 5 {} [] et e o plno não têm nenhum ponto comum; nee co, et e o plno ão plelo. X 5 [ O ponto é quele em que et inteect o plno. izemo que é o tço d et no plno. opiedde [RO] Se um et não etá contid num plno e é plel um et do plno, então el é plel o plno. Vej demontção do teoem 2, n págin 146. [RO] Se um plno contém du et concoente, m plel um outo plno, então ee plno ão plelo. Vej demontção do teoem 3, n págin 146 e 147. XRÍIOS 8 lifique fimçõe egui em veddei (V) ou fl (). ) Um et e um plno que têm um ponto comum ão ecnte. ) Um et e um plno ecnte têm um único ponto comum. c) Um et e um plno plelo não têm ponto comum. d) Um plno e um et podem te extmente 2 ponto em comum. e) Se um et etá contid num plno, ele têm infinito ponto em comum. 9 Oeve o cuo o ldo. etemine poição eltiv ente: ) et e o plno (); ) et e o plno (); c) et e o plno (); d) o plno () e o plno (); e) o plno detemindo pel et e e o plno detemindo pel et e.

10 134 êtulo 7 10 Oeve figu o ldo, que é epeentção geométic de um cdei poid oe um upefície pln no olo. Undo elemento de figu, dê exemplo de: ) doi plno plelo ditinto. ) doi plno ecnte e u inteeção. c) du et plel ditint. d) du et concoente e o plno po el detemindo. e) um et ecnte um plno e o tço d et no plno. f) um et plel um plno. J I olo JT/ZT oiçõe eltiv de du et Vmo nli poiçõe eltiv de du et oevndo inicilmente e el têm ou não ponto em comum. odem ocoe quto ituçõe: du et têm em comum doi ponto ditinto; nee co, confome o potuldo d deteminção, et ão coincidente. 5 [] du et têm em comum um único ponto; nee co, el ão concoente e exite um único plno que contém. X 5 {} [] du et não têm nenhum ponto em comum, m exite um plno que contém; nee co, el ão plel. [] du et não têm nenhum ponto em comum e não exite plno que contenh; nee co, el ão eve. X 5 [, S e S ofeo, o ojetivo dete ene nito é lev o etudnte fze íntee: Se etiveem em um memo plno, ão plel. Se não houve um plno que contenh, ão eve, como que contêm et do cuo ixo. NS NISTO: X 5 [, S e Y Qul é poição eltiv de du et e que não têm ponto comum?

11 eometi pcil de oição 135 XMLO 3 odem e plel No cuo o ldo, temo que: et e ão concoente; et e ão plel; et e ão eve; et e ão eve; et e ão eve. ou concoente odem e plel NS NISTO: Se doi plno e ão ecnte e um et etá contid em, qul é poição eltiv de em elção um et contid em? Se doi plno e ão plelo e um et etá contid em, qul é poição eltiv de em elção um et contid em? ou eve. ou eve. XRÍIOS 11 figu o ldo epeent upefície de um ólido chmdo pim hexgonl egul. l é contituíd po doi hexágono egule e conguente, contido em plno plelo, e ei etângulo 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 e 1 1 conguente ente i. nlie vecidde d fimçõe eguinte, efeente poiçõe eltiv de et e plno, contendo o vétice dee pim: ) et e et 1 1 ão plel. ) et e et 1 1 ão eve. c) O plno ( 1 ) e o plno ( 1 ) ão plelo. d) O plno ( 1 ) e o plno ( 1 ) ão plelo. e) et é plel o plno ( 1 ). 12 lifique fimçõe egui em veddei (V) ou fl (). ) u et ou ão coincidente ou ão ditint. ) u et ou ão coplne ou ão eve. c) u et ditint deteminm um plno. d) u et concoente têm um único ponto comum. e) u et que não têm ponto comum ão plel. f) u et concoente ão coplne g) u et coplne ou ão plel ou ão concoente. h) u et não coplne ão eve. 13 Oeve piâmide o ldo, cuj e é um etângulo. etemine poição eltiv ente: ) et e ; ) et e ; c) et e ; d) et e o plno (); e) et e o plno (); f) et e. I 14 Oeve o ólido geomético o ldo e o ponto inldo. lifique em veddei (V) ou fl () fimçõe eguinte. ) et e ão coplne. ) et e ão coplne. c) et e J ão coplne. d) O plno (J) e (I) ão plelo ditinto. e) O plno () e (J) ão plelo ditinto. f) et IJ e ão eve. g) et I e ão eve. J

12 136 êtulo 7 lgum popiedde popiedde podem jud o etudnte compeende o conceito que etão endo peentdo. Vmo enunci lgum popiedde efeente et e plno, qui ão conequênci d definiçõe que cmo de ve. 1 popiedde: Se um et é plel um plno, então el é plel infinit et do plno [RO]. 2 popiedde: Se um et é plel um plno, então el é eve com infinit et do plno [RO] t 1 t 2 t 3 O ojetivo é lev o etudnte fze íntee: l ão plel NS NISTO: Se um et é plel um plno, qul é poição eltiv de em elção um et contid em? 3 popiedde: Se um et é ecnte com um plno, então el é concoente com infinit et do plno [RO]. ou eve. 4 popiedde: Se um et é ecnte com um plno, então el é eve com infinit et do plno [RO]. 1 t 1 t NS NISTO: Se um et é ecnte com um plno, qul é poição de em elção um et contid em? t 2 ou eve. pe-e que o etudnte chegue à íntee: l ão concoente 5 popiedde: Se um et etá contid num plno, então el é plel ou concoente com infinit et do plno [RO] t t 4 t 2 t 3

13 eometi pcil de oição popiedde: Se doi plno e ão ecnte, endo i inteeção dele, então exitem infinit et de um que ão plel o outo (et plel i ) [RO]. 7 popiedde: Se doi plno e ão ecnte, endo i inteeção dele, então exitem infinit et de um que ão ecnte o outo (et concoente com i ) [RO] i Q R i 3 8 popiedde: Se doi plno ão plelo e ditinto, então tod et de um dele é plel o outo [RO]. 9 popiedde: Se um plno inteect doi plno plelo, então inteeçõe ão et plel [RO] g NS NISTO: Se doi plno ão plelo e ditinto ente i, tod et de um dele é plel qulque et do outo? Não, pode e tmém eve. Ângulo de du et Já vimo, em no nteioe, que du emiet ditint de mem oigem fomm um ângulo. O emiet: O e O ângulo: Ô

14 138 êtulo 7 Sejm e du et concoente em O. O ponto O divide em du '' emiet (O' e O") e divide em du emiet (O' e O"). Nee co, ão fomdo quto ângulo: 'Ô', 'Ô", "Ô' e "Ô". odemo pov que o ângulo 'Ô' e "Ô", dito opoto pelo vétice, '' ão conguente. Tmém ão conguente o ângulo 'Ô" e "Ô', opoto pelo vétice. hm-e ângulo d et concoente e qulque um dee quto ângulo []. Sejm du et e eve. Tomemo um ponto O qulque e conideemo et ' plel e ' plel, m pndo po O: O ' ' ' O ' omo ' e ' ão concoente em O, o ângulo 'Ô' é chmdo ângulo fomdo pel et e eve, em que '// e '// []. Ret que fomm ângulo eto Vimo que du et concoente fomm quto ângulo. Qundo ee quto ângulo ão conguente, cd um dele é chmdo ângulo eto e et ão chmd et pependicule []. Se du et ão concoente e não ão pependicule, diz-e que el ão olíqu []. Se du et ão eve e fomm ângulo eto, et ão chmd otogoni e pependicule e olíqu XMLO 4 onideemo o cuo. et e ão concoente em e fomm ângulo eto; logo, ão pependicule. et e ão eve e fomm ângulo eto; logo, (lê-e: é pependicul ) (lê-e: é otogonl ) NS NISTO: Indique um p de et concoente não pependicule (olíqu) e um p de et eve não otogoni no cuo o ldo. oível epot: e ão concoente não pependicule e ão eve não otogoni

15 eometi pcil de oição 139 XRÍIOS 15 lifique fimçõe egui como veddei (V) ou fl (). ) u et pependicule ão empe concoente. ) Se du et fomm ângulo eto, então el ão pependicule. c) u et que fomm ângulo eto podem e eve. d) u et pependicule um tecei ão pependicule ente i. e) u et pependicule um tecei ão plel ente i. 16 figu ixo epeent um ólido chmdo pim eto de e tingul. lifique cd um d fimçõe eguinte como veddei (V) ou fl (). et: ) e ão eve. ) e ão concoente. c) e ão coplne. d) e ão plel. e) e ão otogoni. 17 Oeve o plelepípedo etângulo eguinte. Ue du et detemind pelo vétice dee plelepípedo p jutific, em cd co, que entenç dd é fl. le é fomdo po doi tiângulo conguente e tê etângulo. ) u et que etão contid num plno ão plel. ) u et coplne ão concoente. c) Se du et ão otogoni, tod plel um del é pependicul à out. d) Se du et ditint ão plel um plno, então el ão plel ente i. Ret e plno pependicule Se um et é ecnte com um plno num ponto O e é pependicul tod et do plno que pm po O, diz-e que et é pependicul o plno []. Se um et é pependicul du et concoente de um plno, então el é pependicul o plno [RO]. Vej demontção do teoem 4, n págin 147 e 148. Se um et e um plno ão ecnte e et não é pependicul o plno, diz-e que et é olíqu o plno []. O O ignific é olíqu O ângulo S e O S e O c, c S e O O c, etc. e otogoni NS NISTO: Se um et é pependicul um plno, qul é o ângulo que fom com um et contid em? e pependicule

16 140 êtulo 7 XRÍIOS 18 lifique cd um d fimçõe eguinte como veddei (V) ou fl (). ) que um et e um plno ejm pependicule é neceáio que ele ejm ecnte. ) Um et pependicul um plno fom ângulo eto com qulque et do plno. c) Se um et é pependicul du et ditint de um plno, então el é pependicul o plno. d) Se um et é pependicul du et plel e ditint de um plno, então el etá contid no plno. e) Um et e um plno ão plelo. Tod et pependicul à et dd é pependicul o plno. f) Um et e um plno ão pependicule. Tod et pependicul à et dd é plel o plno ou etá contid nele. ) et M é pependicul qui plno? ) Qui ão et pependicule o pl no ()? c) O plno (Q) é plelo qui plno? d) O plno () é ecnte com qui plno? 20 figu ixo mot um cntonei intld n pede. N figu, et é pependicul o plno. om e n et e no plno inldo, epond: β γ JT/ZT 19 figu o ldo epeent um ólido chmdo pim hexgonl egul. Su e ão hexágono egule e u fce ltei ão etângulo. onidendo pen et que contêm u et e o plno que contêm u fce, epond à quetõe eguinte. M S N R Q lemento em popoção ente i. ) Qul é inteeção de com g? ) Qul é inteeção de com? c) Qul é inteeção de com g? d) Qunto medem o ângulo e t? t lno pependicule Se doi plno ão ecnte e um dele contém um et pependicul o outo, diz-e que o plno ão pependicule []. ignific X 5 i

17 eometi pcil de oição 141 XMLO 5 Oeve o cuo : O plno () e () ão ecnte (u inteeção é ), é pependicul o plno () e etá contid no plno (). im, o plno () e () ão pependicule. NS NISTO: Que outo plno (detemindo pel fce do cuo) ão pependicule o plno ()? (), () e (). Se doi plno ão ecnte e não ão pependicule, diz-e que ele ão olíquo. i é olíquo XRÍIOS 21 Oeve ixo o plelepípedo etoetângulo. ) é pependicul o plno ()? Qul é o tço de et nee plno? Qui plno, detemindo pel fce do cuo, contêm e ão pependicule o plno ()? ) O plno () e () ão pependicule? Qul é o tço de um dele no outo? c) O plno () é pependicul o plno ()? xplique. Qul é o tço de um dele no outo? 22 lifique fimçõe egui como veddei (V) ou fl (). ) Se doi plno ão ecnte, então ele ão pependicule. ) Se doi plno ão pependicule, então ele ão ecnte. c) Se doi plno ão pependicule, então tod et de um dele é pependicul o outo. d) Se um et é pependicul um plno, po el p um único plno, pependicul o plno ddo. e) oi plno pependicule um teceio ão pependicule ente i. f) Se doi plno ão pependicule um teceio, então ele ão plelo. g) Se doi plno ão plelo, todo plno pependicul um dele é pependicul o outo.

18 142 êtulo 7 23 O pojeto de vl de chão, motdo n figu o ldo, pemite-no imgin et e plno. ) Qui plno, detemindo po 3 ponto não colinee ente o inldo, ão olíquo o plno ()? ) O plno (KL) e () ão ecnte? Qul é o tço de um dele no outo? e plno ão pependicule ou olíquo? K I olo IS c) O plno () e () ão plelo ou ecnte? L J ojeçõe otogoni ojeção otogonl de um ponto oe um plno é o ponto de inteeção ente et pependicul o plno conduzid pelo ponto e o plno []. ' ' 5 poj 5 plno de pojeção ' 5 et pojetnte de ojeção otogonl de um figu pln, ou não pln, oe um plno é o conjunto d pojeçõe otogoni do ponto d figu oe ee plno []. ' ' ' 5 poj ' 5 poj pojeção otogonl de um et oe um plno é im definid: Se é pependicul, pojeção de oe é o ponto em que inteect []. Se não é pependicul, pojeção de oe é et ', inteeção de com o plno, pependicul conduzido po []. 5 poj ' 5 poj ' pojeção otogonl de um egmento de et oe um plno é im definid: Se é pependicul, pojeção de oe é o ponto em que et inteect []. Se não é pependicul, pojeção de oe é o egmento '' tl que ' e ' ão, epectivmente, pojeçõe de e oe []. 5 poj ' ' '' 5 poj

19 eometi pcil de oição 143 XRÍIOS 24 lifique como veddei (V) ou fl () cd um d fimçõe eguinte. ) pojeção otogonl de um ponto oe um plno é um ponto. ) pojeção otogonl de um et oe um plno é um et. c) pojeção otogonl de um egmento oe um plno é um egmento. d) pojeção otogonl de um egmento olíquo um plno, oe o plno, tem medid meno que medid do egmento. e) Se doi egmento ão conguente, então u pojeçõe otogoni oe qulque plno ão conguente. f) ojetndo-e otogonlmente um tiângulo oe um plno podemo ote um egmento de et. g) pojeção otogonl de um cilindo oe um plno é um cículo. 25 lifique fimçõe egui como veddei (V) ou fl (). ) Se pojeçõe otogoni de du et oe um plno ão plel, então et ão plel. ) u et plel não pependicule o plno de pojeção têm pojeçõe plel. c) pojeção otogonl de um ângulo oe um plno pode e um emiet. d) pojeção otogonl de um ângulo oe um plno pode e um egmento de et. e) pojeção otogonl de um ângulo oe um plno pode e um et. it nci ditânci ente doi ponto e pode e im definid: Se e coincidem, ditânci ente ele é nul. 5 d 5 0 O meno compimento e pecoido ente doi ponto ditinto quique é o pecuo definido pelo egmento de et que o une. Nee co, o egmento de et é o cminho pocudo. Qul é o cminho de meno compimento p i do ponto o ponto? NS NISTO: Se e ão ditinto, ditânci ente ele é medid do egmento de et. d 5 : medid do egmento ditânci de um ponto um et é ditânci de ', em que ' é inteeção ente et pependicul, conduzid po, e et. []. meno ditânci é igul à medid do egmento, em que é o pé d pependicul tçd po. NS NISTO: Se um ponto não petence um et, qul é meno ditânci ente e um ponto qulque de? ' d, 5 '

20 144 êtulo 7 ditânci ente du et e plel é ditânci de um ponto qulque de um del té out []. figu ixo mot que ditânci ente e foi otid tomndo-e um ponto em e tçndo- -e ' pependicul, com ' em (' é o ponto de inteeção ente et pependicul conduzid po e et ). ' d, 5 d, 5 ' ditânci de um ponto um plno é ditânci de ', em que ' é o ponto de inteeção ente et pependicul, conduzid po e o plno []. d, 5 d ' 5 ' ' NS NISTO: Se um ponto não petence um plno, qul é meno ditânci ente e um ponto qulque de? meno ditânci é igul à medid do egmento, o qul etá contido n et pependicul conduzid po. ditânci ente um et e um plno, endo contid em ou plel, é ditânci de um ponto qulque de o plno []. figu ixo mot que ditânci ente e foi otid tomndo-e um ponto em e tçndo-e ' pependicul, com ' em (' é o ponto de inteeção ente et pependicul conduzid po e o plno ). d, 5 d, 5 d ' 5 ' '

21 eometi pcil de oição 145 ditânci ente doi plno e plelo é ditânci de um ponto qulque de um dele o outo plno []. figu ixo mot que ditânci ente e foi otid tomndo-e um ponto qulque em e tçndo-e ' pependicul, com ' em. d, 5 d, 5 d ' 5 ' ' ditânci ente du et eve e é ditânci de um ponto qulque d et o plno que contém e é plelo à et []. ' // ' ' d, 5 d, 5 d, 5 ' XRÍIO 26 Oeve o loco etngul epeentdo ixo com medid indicd. etemine ditânci: ) ente o ponto e ; ) do ponto à et ; c) do ponto o plno (); 2 cm d) do plno () o plno (); e) do ponto o plno (); 3 cm f) ente et e ; g) ente et e. 7 cm Teoem fundmenti Teoem 1 Se doi plno ditinto têm um ponto comum, então inteeção dee plno é um únic et que p po quele ponto. ipótee: 1 8 (o plno é ditinto do plno ). 2 O (o ponto petence ). i 3 O (o ponto petence ). Tee: :i i 5 X e O i (exite um únic et i que é inteeção de com, e petence i).

22 146 ÍTULO 7 emontção: I. Se e ão ditinto e têm um ponto comum, exite outo ponto Q que tmém petence e (vej o potuldo d inteeção n págin 131). II. hmndo de i et Q, temo que i etá contid em (poi O e Q O ) e i tmém etá contid em (poi O e Q O ). povmo que i é inteeção de e, devemo pov que todo o ponto que etão em e em etão em i. III. Vmo upo, po udo, que exit um ponto X tl que X O, X O e X i. ntão o plno e teim em comum o ponto X e et i e, dee modo, deveim coincidi, o que é udo, poi conti hipótee 1. contdição vem do fto de dmitimo que X i. im, X deve petence à et i e, potnto, i é inteeção de e. i Q Teoem 2 Se um et não etá contid num plno e é plel um et do plno, então el é plel o plno. ipótee: 1 Y ( et não etá contid em ). 2 // ( et é plel à et ). 3 S ( et etá contid no plno ). Tee: // ( et é plel o plno ). emontção: I. omo et e ão plel ditint, el deteminm um plno. II. omo S e S, com e ditinto, então 5 X. III. Vmo upo, po udo, que e tiveem um ponto em comum: O e S (item I) V O omo petence e, então petence à inteeção de com, que é et. í, et e teim em comum o ponto, o que é udo, poi conti hipótee 2. contdição vem do fto de upomo que e têm o ponto em comum. Logo, e não podem te ponto comum, ou ej, é plel. Teoem 3 Se um plno contém du et concoente, m plel outo plno, então ee plno ão plelo. 1 S ( et etá contid no plno ). 2 S ( et etá contid no plno ). ipótee: 3 X 5 {} ( e ão concoente no ponto ). 4 // ( é plel o plno ). 5 // ( é plel o plno ). Tee: // (o plno é plelo o plno ).

23 eometi pcil de oição 147 emontção: I. O plno e ão ditinto, poi contém et plel. II. Vmo upo, po udo, que e ejm ecnte, ito é, que exit um et i tl que X 5 i. //, S, i 5 X V // i //, S, i 5 X V // i im, et e pim po e m eim plel i, o que é udo, poi conti o potuldo d plel de uclide. contdição veio do fto de dmitimo que e ão ecnte. Logo, e não podem e ecnte, e devemo te //. i Teoem 4 Se um et é pependicul du et concoente de um plno, então el é pependicul o plno. ( et é pependicul à et ). ipótee: ( et é pependicul à et ). 3 S ( et etá contid no plno ). 4 S ( et etá contid no plno ). 5 X 5 {} ( et e ão concoente em ). ( et é pependicul o plno ). emontção: x I. evemo mot que é pependicul tod et de que pm po. io, tomemo no plno um et x pndo po e ditint de e. Vmo mot que é pependicul x. R II. Tomemo n et doi ponto R e R' imético em elção o ponto. Teemo, potnto, R $ R'. x R R' X x III. Tomemo go um ponto n et e um ponto n et, com 8 e 8, de tl fom que inteecte et x num ponto X. R'

24 148 êtulo 7 IV. Temo: é meditiz de RR'; então, R $ R'. é meditiz de RR'; então, R $ R'. V. ompndo o tiângulo R e R', encontmo: R $ R' R $ R' é comum V 0R $ 0R' (citéio LLL) e, dí, RÂX $ R'ÂX. R VI. ompndo o tiângulo RX e R'X, encontmo: R $ R' RÂX $ R'ÂX X é comum V 0RX $ 0R'X (citéio LL) X x e, dí, RX $ R'X. Temo: X equidit de R e R' X O x x p po (ponto médio de RR') V et x é meditiz de RR' e, im, 5 RR' é pependicul x. im, motmo que et é pependicul à et x, qulque que ej x contid em e pndo po. oncluão: et é pependicul o plno. R' SIO (nem-m) ngo é um inquedo que conite de um táu long e eteit equilid e fixd no eu ponto centl (pivô). Nee inquedo, du peo entm-e n extemidde e, ltendmente, impulionm-e p cim, fzendo dece extemidde opot, elizndo, im, o movimento d gngo. onidee gngo epeentd n figu, em que o ponto e ão equiditnte do pivô: piv pojeção otogonl d tjetói do ponto e, oe o plno do chão d gngo, qundo et e encont em movimento, é: ) c) e) ) d)

25 282 Repot 35. ) S 5 {(7, 3)} ) S 5 {(5 2, 2, ); O } c) S 5 [ d) S 5 [ e) S 5 {(1, 5)} f) S 5 {(21, 2, 3, 1)} 36. ) y 10 x 1 y x 2 y 5 4 2x 2 5y 5 21 x e ) 2 2 k k ) k 5 2 e k k 8 1 e k ) S 5 {(0, 0)}; S... ) S 5 {(2, ); O }; S..I. c) S 5 {(0, 0, 0)}; S... d) S 5 {(2,, ); O }; S..I. 54. ) m 5 2 ) S 5 {(211, 9, 5); O } 55. m ) m 5 28 ) Repot peol; todo p odendo d fom (22, ), O, tifz. efio 23 c) y 3x 1 7y 5 11 x 1 y R Q x 2 y x 7 Í T U L O xecício 1. ) eometi pcil de oição 37. n: R$ 160,00; i: R$ 75,00; ol: R$ 105, ) R$ 4,00 ) Não é poível detemin. c) R$ 32,60 d) Não é poível detemin. 39. quincd: R$ 80,00 Numed decoet: R$ 120,00 Numed coet: R$ 200, ) 22 d) 6 ) 213 e) 1 g) 21 h) 1 c) 4 f) ) 211 c) 215 e) 213 g) 212 ) 3 d) 21 f) ) 22 ) 2 c) 21 d) ) 8 ) det 5 1; det 5 24; det ( 1 ) 5 0; det (? ) ) S 5 {1, 22} ) S 5 {0, 2 3, 3 } c) S 5 {1} 48. ) S 5 {x O x > 24} ) S 5 {x O x. 21} 49. ) m 8 2 ) ' m O c) m 5 2 ) c)

26 Repot 283 d) 2. Um único plno ou tê plno. 3. Nenhum, um único plno ou quto plno. 4. Um único plno. 5. Tê ponto (pé d me) não colinee deteminm um único plno (o plno do chão), m quto ponto podem detemin mi de um plno. 6. ) V c) V ) V d) V 7. ) e ; e g; e d. 8. ) ) e g (plelo coincidente). ) V e d; g e d (plelo ditinto). 9. ) lelo. ) Secnte. c) Secnte. d) Secnte. c) V d) e) lelo coincidente. 10. oívei epot: e) e) V ) lno do ento () e o plno do olo. ) lno () e plno () (ou plno de encoto e ento); inteeção:. c) e ; e J. d) e ; plno do encoto. e ; plno do ento. e) e plno (); tço: ponto. f) e plno (); e plno (I). 11. ) V d) c) V 12. ) V ) V e) ) V d) V e) c) f) V 13. ) oncoente. d) Secnte. ) Reve. e) lel. c) lel ditint. f) Reve. 14. ) V e) ) V f) V c) g) V d) V 15. ) V ) c) V d) g) V h) V e) 16. ) ) V c) V d) e) V 17. Repot peol; ) e ão coplne e concoente, po exemplo. ) e ão coplne e plel, po exemplo. c), // e, po exemplo. d) et e ão plel o plno (), poém e ão concoente. 18. ) V ) V c) d) V e) f) V 19. ) M é pependicul o plno () e 20. ) (MN). ) M, N,, Q, R e S. c) lno (MS). d) lno: (MN), (), (M), (Q), ) (Q) e (MS). c) t d) 90 o 21. ) Sim; ponto ; plno () e (). 22. ) ) Sim; et. c) Sim; o plno () contém et, ) V que é pependicul o plno (). el definição, o plno () e () ão pependicule. O tço é et. c) d) e) f) g) V 23. ) lno poívei: (), (), (I) e (K). 24. ) V ) Sim; et ; olíquo. c) Secnte. ) c) 25. ) ) V c) V 26. ) 3 cm ) 7 cm c) 2 cm efio ltentiv. d) V e) f) V d) 7 cm e) 3 cm f) 3 cm d) e) V g) g) 7 cm 8 Í T U L O xecício oliedo 1. ) d cm; 2 t 5 37,5 cm 2 ; V 5 15,625 cm ) d 5 2 cm; 5 28 t cm2 ; V 5 10 cm 3. c) d cm; 5 27 t cm2 ; V 5 9 cm dm 3 3. d cm; t 5 96 cm 2 ; V 5 64 cm t 5 4,32 m 2 ; V 5 0,432 2 m ) x 5 7 cm ) 128 cm 3 c) 14 cm cm 2 7. ) x 5 30 cm ) 30 3 cm c) ) Quduplic; octuplic. 1 ) Reduz-e d áe totl do cuo 9 1 oiginl; eduz-e do volume do 27 cuo oiginl c) Reduz-e 1 d áe totl do cuo 4 1 oiginl; eduz-e do volume do 8 cuo oiginl. d) Multiplic-e po k 2 ; multiplic-e po k m e 8 m. 11. ) 550 m 2 ) 1 462,5% 12. ) 15 2 cm ) cm R$ 596, ltentiv. 15. ) 2,585 L; ) 583 cm ) & 5 42 cm 2 ; t 5 54 cm 2 ; V 5 21 cm 3. ) & 5 15 cm 2 ; t 5 3 (5 1 3 ) cm 2 ; V cm 4 3. c) & cm 2 ; t 5 6 ( ) cm 2 ; V cm t dm 2 ; V 5 48 dm ) 384 cm 3 ) t cm 2 ; V cm t 5 144( ) dm 2 ; V dm R$ 12, & 5 4 m e 5 8 m.