CÁLCULO INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS

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1 CÁLCULO INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS O essencial Paula Carvalho e Luís Descalço

2 EDIÇÃO, DISTRIBUIÇÃO E VENDAS SÍLABAS & DESAFIOS - UNIPESSOAL LDA. NIF: info@silabas-e-desafios.pt Sede: Rua Dorilia Carmona, nº 4, 4 Dt Faro Telefone: Fax: Encomendas: encomendar@silabas-e-desafios.pt TÍTULO CÁLCULO INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS O essencial AUTORES Paula Carvalho e Luís Descalço 1ª edição Paula Carvalho, Luís Descalço e Sílabas & Desafios, Unipessoal Lda., Setembro 2016 ISBN: Depósito legal: Pré-edição, edição, composição gráfica e revisão: Sílabas & Desafios Unipessoal, Lda. Pré-impressão, impressão e acabamentos: Gráfica Comercial, Loulé Capa: Inês Godinho 2016 Reservados todos os direitos. Reprodução proibida. A utilização de todo, ou partes, do texto, figuras, quadros, ilustrações e gráficos, deverá ter a autorização expressa do autor 2

3 ÍNDICE INTRODUÇÃO 7 CAPÍTULO 1. MUDANÇAS DE COORDENADAS E FUNÇÕES VETORIAIS Mudança de Coordenadas Coordenadas polares Coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas Campos vetoriais Divergente e rotacional Campos conservativos Algumas propriedades do divergente e do rotacional Curvas parametrizadas Reparametrização de uma curva Exercícios propostos 48 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA Integral de linha de um campo escalar Propriedades Integral de linha de um campo vetorial Teorema fundamental dos integrais de linha Exercícios propostos 68 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS MÚLTIPLOS Integrais duplos Cálculo do integral duplo Integrais duplos em coordenadas polares Teorema de Green Integrais triplos Definição e Propriedades Cálculo do integral triplo 95 3

4 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas Exercícios Propostos 105 CAPÍTULO 4. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE Superfícies Parametrizadas Integral de superfície de um campo escalar Integral de superfície de um campo vetorial Superfícies orientadas Integral superfície de um campo vetorial Teorema de Gauss e Teorema de Stokes Teorema de Gauss Teorema de Stokes Exercícios Propostos 141 SOLUÇÕES 145 Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo BIBLIOGRAFIA 151 4

5 Agradecimentos Os autores desejam expressar o seu agradecimento ao CIDMA - Centro de Investigação e Desenvolvimento em Matemática e Aplicações e FCT- Fundação para a Ciência e a Tecnologia (UID/MAT/04106/2013 e SFRH/BSAB/114249/2016). Desejam, também, agradecer aos vários colegas que consigo têm trabalhado ao longo dos anos nesta unidade curricular, uma vez que alguns dos exercícios propostos foram sendo colecionados durante esse tempo, tornando-se impossível determinar a sua autoria. Este livro é dedicado aos nossos estudantes. Aveiro, setembro de 2016 Paula Carvalho Luís Descalço 5

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7 INTRODUÇÃO Este livro é um texto introdutório dos conceitos básicos de cálculo para funções de várias variáveis escrito de uma forma acessível, clara e sucinta, tornando-o um texto de apoio à lecionação e ao trabalho do estudante. Destina-se a estudantes universitários do segundo ano de Engenharias, de Física, ou de outros cursos da área das Ciências Naturais onde o cálculo integral e o cálculo vetorial são componentes importantes da sua formação. Tem como pré-requisitos o cálculo diferencial de funções de várias variáveis, que constitui o tema do livro dos mesmos autores Cálculo diferencial a várias variáveis, O essencial [5] mas também conhecimentos de cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real, usualmente adquiridos em unidades curriculares precedentes. Além disso, são também profícuos alguns conhecimentos de álgebra linear e geometria analítica. Entendemos que, neste nível de aprendizagem, é importante que o estudante desenvolva a habilidade de calcular, com papel e lápis, mas também usando métodos computacionais. Defendemos que o uso de métodos computacionais exige que o estudante seja capaz de compreender os problemas interpretando-os num contexto geométrico e, também, que conheça os resultados teóricos e clássicos que lhe permitam fazer uma boa interpretação dos resultados obtidos por esse meio. Pretendemos que seja um texto simples, básico e essencial. Contém uma coleção extensa de exemplos e exercícios resolvidos e, no final de cada capítulo, apresenta também uma lista de exercícios propostos. Exercícios complementares podem ainda ser encontrados em [6]. 7

8 Neste contexto, embora tenha sido nossa preocupação manter o rigor matemático, foi feita uma simplificação da exposição, colocando mais enfase no cálculo do que na justificação dos resultados teóricos. Recomendamos pois, sobretudo aos estudantes mais curiosos e ambiciosos, a consulta da bibliografia indicada [1,2,4,7,8,9], constituída por textos clássicos, onde se podem encontrar as demonstrações omitidas, bem como algumas explicações mais profundas que são aqui preteridas. O CAPÍTULO 1 está dividido em 3 secções. Na secção 1 tratam-se as mudanças de coordenadas no plano e no espaço. Dá-se especial atenção às coordenadas polares no plano e às coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas no espaço. Na secção 2 lida-se com os campos vetoriais, que aparecem também nos integrais de linha e nos integrais de superfície, mais adiante. Em particular, estudam-se os campos conservativos, suas propriedades e algumas aplicações. Na secção 3 estudam-se as curvas como funções vetoriais preparando-se assim o estudo dos integrais de linha que se faz posteriormente. No CAPÍTULO 2 cobre-se o estudo dos integrais de linha. O integral de linha é visto como uma extensão do integral definido de uma função escalar sobre uma linha e define-se, depois, o integral de linha de um campo vetorial. Usa-se o teorema fundamental dos integrais de linha para calcular o trabalho ou a circulação de um campo vetorial conservativo. O CAPÍTULO 3 é dedicado ao cálculo de integrais múltiplos. Embora muitos dos resultados apresentados sejam válidos para qualquer dimensão, estudam-se, em particular, os integrais duplos e triplos. Estes integrais são vistos como extensões dos integrais definidos em dimensão inferior e mostram-se as aplicações mais frequentes. Usam-se mudanças de coordenadas sempre que adequado, para o cálculo dos integrais e estuda-se o teorema de Green. O CAPÍTULO 4 começa com a definição de superfície parametrizada como função vetorial de dois parâmetros. Estudam-se os integrais de 8

9 superfície como integrais que se transformam em integrais duplos, cuja região de integração é o domínio dos parâmetros da superfície parametrizada. Este capítulo termina com o estudo dos teoremas de Gauss e de Stokes, fazendo-se a ligação com os assuntos tratados nos capítulos anteriores: os integrais triplos e os integrais de linha de uma curva no espaço. 9

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11 CAPÍTULO 1. MUDANÇAS DE COORDENADAS E FUNÇÕES VETORIAIS Este capítulo é composto por três secções. A primeira é dedicada a um breve estudo das mudanças de coordenadas no plano e no espaço; dá-se especial atenção à mudança para coordenadas polares no plano e à mudança para coordenadas cilíndricas e esféricas no espaço. Nas secções seguintes estudam-se dois tipos especiais de funções vetoriais. Os campos vetoriais e as curvas dando enfase à visualização e traçado de curvas parametrizadas como funções que representam movimento. No final, o estudante deve ser capaz de: Escrever em coordenadas polares uma região plana dada em coordenadas retangulares e reciprocamente; Escrever em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas uma região dada em coordenadas retangulares; Escrever em coordenadas retangulares uma região dada em coordenadas cilíndricas ou em coordenadas esféricas; Identificar um campo conservativo; Calcular um potencial para um campo conservativo; Determinar uma equação cartesiana de uma curva dada pelas suas equações paramétricas; Parametrizar curvas no plano e no espaço; Identificar curvas regulares; Traçar curvas no plano e no espaço; Escrever uma equação do plano tangente e da reta normal a uma curva num ponto. 11

12 1.1. Mudança de Coordenadas A escolha de um sistema de coordenadas, no plano ou no espaço, de acordo com o problema que pretendemos resolver, é um passo fundamental na obtenção da solução do problema; em certas situações, por exemplo em problemas que envolvem o cálculo de integrais, pode ser conveniente efetuar uma mudança de coordenadas. DEFINIÇÃO 1.1 Seja U R n um aberto. Uma mudança de coordenadas (ou mudança de variáveis) em U é uma função T: U R n R n, tal que T(u 1, u 2,, u n ) = (x 1, x 2,, x n ) de classe C 1, injetiva, cujo Jacobiano 1 não se anula, isto é, (x 1, x 2,, x n ) (u 1, u 2,, u n ) = x 1 x 1 u 1 u n x n x n u 1 u n 0 em U. 1 Exemplo 1.1 A função definida em R 2 por T(u, v) = (x, y) = (2u v, u + v) é uma mudança de coordenadas no plano. O Jacobiano de T, x (x, y) (u, v) = u y u x v = 2 1 y 1 1 = 3, v não se anula em R 2, o que permite concluir que T é injetiva pois T é uma 1 O Jacobiano é o determinante da matriz Jacobiana [5]. 12

13 aplicação linear. Aplicando esta transformação ao triângulo no plano uov cujos vértices são os pontos de coordenadas cartesianas O = (0, 0), A = (1, 0), B = (0,1) obtém-se o triângulo no plano xoy cujos vértices são O = (0, 0), A = (2,1), B = ( 1,1), como se vê na Figura 1.1. FIGURA 1.1. O TRANSFORMADO DO TRIÂNGULO [OAB] É O TRIÂNGULO [OA B ] Coordenadas polares Para cada ponto P = (x, y) (0,0) num referencial cartesiano em R 2, consideremos r = x 2 + y 2 > 0 a distância desse ponto à origem e θ [0,2π[ o ângulo que o vetor posição do ponto P faz com a parte positiva do eixo dos xx, medido no sentido antihorário, como ilustra a Figura 1.2. Os números r e θ são as coordenadas polares do ponto P. A relação entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas é dada por FIGURA 1.2. COORDENADAS POLARES (r, θ) DO PONTO P x = r cos θ {. (1.1) y = r sin θ A função vetorial que a cada (r, θ) faz corresponder o ponto (x, y) = (r cos θ, r sin θ) definida em D = {(r, θ): r > 0, 0 θ < 2π}, é uma bijeção e o seu Jacobiano 13

14 x (x, y) (r, θ) = r y r x θ cos θ = y sin θ θ r sin θ = r (1.2) r cos θ é não nulo em D. É possível alterar o domínio da função de modo a obter outras bijeções, em particular, é usual tomar π θ < π. Note-se que esta função, considerada como aplicação de R 2 em R 2 não é bijetiva, mas para cada ponto (r, θ), com r > 0, é sempre possível encontrar um conjunto aberto contendo esse ponto de tal modo que a sua restrição a esse aberto é uma mudança de coordenadas. Exemplo 1.2 O ponto (x, y) = (0,1) tem coordenadas polares (r, θ) = (1, π 2 ); o ponto cujas coordenadas polares são (r, θ) = ( 2, π 4 ) é o ponto (x, y) = (1,1) em coordenadas cartesianas. Como ilustrado na Figura 1.3, ao círculo centrado na origem e de raio R corresponde, em coordenadas polares, o retângulo [0, R] [0,2π[. A Figura ilustra também que, fixando r a equação x 2 + y 2 = r 2 define uma circunferência centrada na origem de raio r; além disso, fixando θ (e com 0 r R) obtém-se um segmento de reta. FIGURA 1.3. UM CÍRCULO E O CORRESPONDENTE RETÂNGULO EM COORDENADAS POLARES Exemplo 1.3 Uma semirreta tem equação polar do tipo θ = c, sendo c uma constante. Por exemplo, para a semirreta definida por y = x, x 0, fazendo x = r cos θ, y = r sin θ, de acordo com (1.1), vem r cos θ = r sin θ cos θ = sin θ tan θ = 1 θ = π 4. 14

15 Uma circunferência centrada na origem de raio a > 0, x 2 + y 2 = a 2, tem equação polar r = a. Por exemplo, com a = 2 tem-se (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 = 4 r 2 = 4 r = 2. Equações do tipo r = a e θ = c (a, c constantes) definem as chamadas curvas coordenadas no plano polar. Na Figura 1.4 pode ver-se um retângulo polar, R = {(r, θ): a r b, α θ β}, conjunto que se define de modo mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas cartesianas. FIGURA 1.4. COORDENADAS CARTESIANAS VERSUS COORDENADAS POLARES: RETÂNGULO POLAR Coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas Dado um ponto P = (x, y, z), com (x, y) (0,0), em coordenadas cartesianas em R 3, considerando as coordenadas polares (r, θ) da sua projeção no plano xoy e a sua terceira coordenada z R, obtém-se as coordenadas cilíndricas (r, θ, z) desse ponto, satisfazendo as relações 15

16 x = r cos θ { y = r sin θ, z = z onde r = x 2 + y 2, como ilustra a primeira imagem da Figura 1.5. FIGURA 1.5. COORDENADAS CILÍNDRICAS E COORDENADAS ESFÉRICAS, RESPETIVAMENTE A função vetorial que a cada (r, θ, z) faz corresponder o ponto (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z), definida de D = ]0, + [ R para R 3 \{(0,0,0)} é uma bijeção e o seu Jacobiano é x r (x, y, z) (r, θ, z) = y r z r x θ y θ z θ x z cos θ r sin θ 0 y = sin θ r cos θ 0 = r. z z z À semelhança do que foi referido no caso das coordenadas polares, é possível alterar o domínio da função de modo a obter outras bijeções, que também são mudanças de coordenadas. 16

17 Por outro lado, um dado ponto P = (x, y, z), com (x, y) (0,0) em coordenadas cartesianas, pode ser descrito pelas suas coordenadas esféricas (ρ, θ, φ), definidas por x = ρ cos θ sin φ { y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos φ onde ρ = x 2 + y 2 + z 2 é a distância do ponto P à origem do sistema de referência, θ é a amplitude do ângulo orientado desde o semieixo positivo dos xx à semirreta que parte da origem e passa pela projeção do ponto P no plano xoy, e φ a amplitude do ângulo entre o semieixo positivo dos zz e a semirreta que parte da origem e passa por P, como ilustrado na segunda imagem da Figura 1.5. A função de ]0, + [ [0,2π[ [0, π] para R 3 \{(0,0,0)} definida por f(ρ, θ, φ) = (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ sin φ, ρ cos φ) é uma bijeção cujo Jacobiano é x ρ (x, y, z) (ρ, θ, φ) = y ρ z ρ x θ y θ z θ x φ cos θ sin φ ρ sin θ sin φ ρ cos θ cos φ y = φ sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ z cos φ 0 ρ sin φ φ = ρ 2 cos φ (sin 2 θ cos φ sin φ + cos 2 θ cos φ sin φ) ρ 2 sin φ (cos 2 θ sin 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ) = ρ 2 cos 2 φ sin φ ρ 2 sin 3 φ = ρ 2 sin φ. Também aqui é possível alterar convenientemente o domínio da função de modo a obter outras bijeções, que também são mudanças de coordenadas. 17

18 Exemplo 1.4 O ponto cujas coordenadas cartesianas são (1,1,1) tem coordenadas cilíndricas ( 2, π 4, 1) e coordenadas esféricas ( 3, π 4, π 4 ). Exemplo 1.5 A superfície cilíndrica dada por x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) escrevese em coordenadas cilíndricas r = a. As equações do tipo θ = c (c constante) representam semiplanos verticais e as do tipo z = c representam planos horizontais. Estas são as superfícies coordenadas do espaço cilíndrico. A superfície cónica de equação cartesiana x 2 + y 2 = z 2, tem equação, em coordenadas cilíndricas, z 2 = r 2. A folha positiva desta superfície cónica é definida por z = r e a folha negativa por z = r. O cilindro de raio a e altura h definido por x 2 + y 2 a 2 com 0 z h (onde a e h são constantes positivas) corresponde, em coordenadas cilíndricas, a um paralelepípedo, como ilustra a Figura 1.6. FIGURA 1.6. COORDENADAS CILÍNDRICAS E COORDENADAS CARTESIANAS Exemplo 1.6 A superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > 0), centrada na origem de raio a, escreve-se em coordenadas esféricas ρ = a (veja a Figura 1.7); as equações do tipo θ = c representam planos verticais (tal como no caso das coordenadas cilíndricas) e as do tipo φ = c definem superfícies cónicas. Estas são as superfícies coordenadas do espaço esférico. Por exemplo, a folha positiva da superfície cónica de equação x 2 + y 2 = z 2 tem equação, em coordenadas esféricas, φ = π 4 e a folha negativa φ = 3π 4. 18

19 FIGURA 1.7. COORDENADAS ESFÉRICAS E COORDENADAS CARTESIANAS Exercício resolvido 1.1. Seja U o sólido limitado superiormente pela superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 2z e inferiormente pela folha positiva de uma superfície cónica, com equação z = x 2 + y 2. Escrever U em coordenadas esféricas e em coordenadas cilíndricas. Resolução. A mudança para coordenadas esféricas é dada por x = ρ cos θ sin φ { y = ρ sin θ sin φ, z = ρ cos φ FIGURA 1.8. SÓLIDO DO EXERCÍCIO RESOLVIDO 1.1 logo a superfície esférica é, em coordenadas esféricas, ρ 2 = 2ρ cos φ, ou seja, ρ = 2 cos φ. A superfície cónica é dada por ρ cos φ = ρ 2 cos 2 θ sin 2 φ + ρ 2 sin 2 θ sin 2 φ = ρ sin φ, 0 φ < π 2. De ρ cos φ = ρ sin φ, vem φ = π. Então o sólido U é, em coordenadas 4 esféricas, o conjunto de pontos representado na Figura 1.8: 19

20 U = {(ρ, θ, φ) R 3 : 0 θ < 2π, 0 φ π, 0 < ρ 2 cos φ}. 4 Fazendo agora uma mudança para coordenadas cilíndricas: x = r cos θ { y = r sin θ, z = z a superfície esférica é dada por r 2 + (z 1) 2 = 1, donde o hemisfério superior tem equação z = r 2 e a superfície cónica é dada por z = r. A projeção do sólido no plano xoy é um disco de centro na origem e raio 1, logo 0 θ < 2π, 0 r 1. O sólido U é, em coordenadas cilíndricas, o conjunto de pontos U = {(r, θ, z) R 3 : 0 r 1, 0 θ < 2π, r z r 2 } Campos vetoriais Os campos vetoriais surgem frequentemente em áreas como o eletromagnetismo e a hidrodinâmica. Alguns exemplos muito conhecidos de campos vetoriais são o campo gravitacional gerado por uma massa, o campo elétrico gerado por uma carga elétrica, o campo magnético, campos de velocidades (de partículas atmosféricas ou de um fluido em movimento). Os campos de temperaturas ou o potencial elétrico gerado por uma distribuição de cargas não são campos vetoriais mas sim campos escalares. 20