Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita - II. Física Geral F-428

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1 Aula-6 Teoria da Relatiidade Restrita - II Físia Geral F-48

2 As transforações de Lorentz Se, no referenial S, dois eentos estão separados por ua diferença de oordenada ; e oorre e dois instantes de tepo separados por, no referenial S tereos: ( t t ( t Veos que as noções de espaço e tepo, oo entes independentes, não tê ais sentido; o que teos é u ente únio: o espaço-tepo. H. A. Lorentz ( Podeos tabé inerter as transforações aia: ( t t ( t

3 A relatiidade das eloidades Vios que: ( t Portanto: d ( d d t t dt ( t ( dt d Logo: u d dt u u Na transforação lássia de Galileu teríaos ( << : u d dt u 3

4 A relatiidade das eloidades Podeos ainda deduzir epressões para as relações entre as deais oponentes nos outros eios: u y dy dt ( u u y dz dt As transforações pode ser inertidas, troando os índies o linha se linha e por : u Se: u tereos: u u Portanto, a transforação está oerente o o fato da eloidade da luz ser a esa e todos os refereniais, e nenhua eloidade poder eedê-la. u z ( u u z 4

5 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do so é neessário distinguir as situações e que ele é ausado pelo oiento da fonte ou do detetor. Isto, porque o so se propaga no ar, e abos, fonte e detetor, pode ter eloidades relatias a esse. Já para a luz, que se propaga no áuo, iporta apenas a eloidade relatia entre a fonte e o detetor. So 5

6 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do so é neessário distinguir as situações e que ele é ausado pelo oiento da fonte ou do detetor. Isto oorre porque o so se propaga no ar, e abos, fonte e detetor, pode ter eloidades relatias a esse. Já para a luz, que se propaga no áuo, iporta apenas a eloidade relatia entre a fonte e o detetor. Fonte a Detetor 6

7 O efeito Doppler da luz No efeito Doppler do so é neessário distinguir as situações e que ele é ausado pelo oiento da fonte ou do detetor. Isto oorre porque o so se propaga no ar, e abos, fonte e detetor, pode ter eloidades relatias a esse. Já para a luz, que se propaga no áuo, iporta apenas a eloidade relatia entre a fonte e o detetor. Detetor Fonte a 7

8 O efeito Doppler da luz Se o obserador O, e S, desree o apo (, t s in ( k t de ua onda eletroagnétia, o obserador O, e S, deerá obserar (, t s in (. Pelo prinípio da relatiidade, k t deeos ter inariânia de fase: ntão, usando que: podeos ostrar que: k t ( t k e t t ( t k k e k 8

9 O efeito Doppler da luz k k e Mas: k k ; ; f f f, f Fonte sta epressão é álida no aso do obserador ( f = f obs e a fonte ( f = f estare se afastando ( >. 9

10 O efeito Doppler da luz k k e Mas: k k ; ; f f f Fonte, f sta epressão é álida no aso do obserador (f = f obs e a fonte ( f = f estare se aproiando ( <.

11 O efeito Doppler da luz Caso o oiento relatio não seja na direção de propagação: Fonte k ; k ; Obserador o s Se Doppler transerso. Note que aqui a fonte e oiento eite radiação o frequênia onheida. 9º

12 O efeito Doppler na Astronoia Vaos supor que ua estrela se afasta da Terra o ua eloidade relatiaente pequena,. Neste aso teos: teros dos oprientos de onda, teos: Se a estrela estier se afastando ( > teos Se a estrela estier se aproiando ( < tereos < Desloaento da luz para o erelho Desloaento da luz para o azul

13 Obserações eperientais e suas ipliações para a Cosologia: 99, dwin Hubble propôs que o desio para o erelho obserado para as linhas espetrais originadas de átoos de álio de galáias distantes era deido ao efeito Doppler: as galáias estaria se afastando de nós. É possíel edir a eloidade de reessão V de árias galáias e Hubble enontrou V = H r, o H é a onstante de Hubble = = 7 4 k/s/mp. sta é a prieira eidênia eperiental da epansão do Unierso! 3

14 Dinâia relatiístia Na Meânia Newtoniana teos F dp dt, onde o oento linear é definido por: p F p o nst. Prouraos u análogo relatiístio desta epressão que tenha as seguintes propriedades: a O oento relatiístio dee ser onserado e sisteas isolados, assi oo na Meânia Newtoniana. b A epressão obtida dee se reduzir à fora newtoniana no liite. 4

15 Dinâia relatiístia Colisão das partíulas a e b, de esa assa, no referenial S. Vaos definir o referenial S oo aquele e que o oento total seja nulo (Ref. Centro de Moento=RCM. Se F et p onst. (depois b y S ( antes + = ( antes a b (antes b ( depois a + ( depois b (antes a (depois a 5

16 Moento linear relatiístio Usando a fórula para a transforação de Lorentz das eloidades: u d dt u u u z dz dt ( u u z u y dy dt ( u u y... podeos esreer as oponentes das eloidades no referenial S, que se oe e relação a S o eloidade onstante, -, ao longo do eio... 6

17 y antes by y antes ay antes b antes a Moento linear relatiístio y depois by y depois ay depois b depois a y S (antes b (depois b (depois a (antes a b a / ( / ( / ( / ( depois b depois a antes b antes a / ( / ( / ( / ( y depois by y depois ay y antes by y antes ay transforação de Lorentz das eloidades dt d ( dt dy y y y S 7

18 Moento linear relatiístio p não fornee ua epressão tal que o oento linear total onserado na olisão. 8

19 Moento linear relatiístio Mas, pode-se ostrar que o oento total será ua quantidade onserada se definiros: (o sendo a assa do orpo p no referenial e que o orpo se / enontra e repouso. Pode-se ainda definir ua assa relatiístia, dada por: ( A força é, então, dada por: F dp dt d dt ( 9

20 nergia relatiístia A taa de ariação teporal da energia inétia de ua partíula ontinua sendo dada por: dk dt dr (Supondo potenial = F dp dt dt r r r d ( d ( K F dr / dt dt d / / K d ( ( / / ( / p γ / K ( ( o n d e : então: K nergia Total

21 Veja ua outra fora de deduzir essas epressões da energia total e da energia inétia (atraés de deriada, não de integral no arquio Dinâia Relatiístia.

22 Usando que p teos p p Coo 4 4 obteos: 4 p Se = p Portanto, a radiação eletroagnétia transporta u oento linear, e podeos iaginá-la oo oposta por orpúsulos de assa zero ( fótons, oo ereos ais adiante. U p / Relação energia-oento linear nergia relatiístia 4 4 p / (

23 Liite lássio da energia pandindo = para / << : nergia de repouso: K nergia inétia para / << : nergia relatiístia pontos eperientais ( 3

24 nergia relatiístia periento de Willia Bertozzi para edir e K de elétrons relatiístios no aelerador linear no MIT (Aer.Jour.Phys. 3(96455 pontos eperientais ( nergia de repouso: nergia inétia para / << : K 4

25 Proediento ais usual: usar apenas a assa de repouso da partíula nas nossas equações, que é a únia assa definida para a partíula. As equações da dinâia fiarão: p p 4 p in in 5

26 nergia relatiístia A energia de u sistea isolado se anté onstante. Portanto, se u sistea libera ua quantidade de energia = f - i = - Q, dee apresentar ua redução de assa: ( Q Isto ale tanto para reações quíias quanto para reações nuleares, ebora a ariação de assa no prieiro aso seja ipereptíel. Se a energia de u sistea auenta, (e.: auentando a sua eloidade, sua assa tabé auenta: f i Q 6

27 Relatiidade Geral Moiento retilíneo unifore e u referenial inerial paree aelerado, se isto de u referenial não-inerial. instein enarou a força graitaional oo ua força de inéria: É ipossíel distinguir a físia nu apo graitaional onstante daquela nu referenial uniforeente aelerado! O eleador de instein 7

28 Relatiidade Geral Prinípio da equialênia de instein Nu reinto sufiienteente pequeno para que o apo graitaional dentro dele possa ser onsiderado unifore e e queda lire dentro deste apo, todas as leis da físia são as esas que nu referenial inerial, na ausênia do apo graitaional. g a a (a a g a g 8

29 Relatiidade Geral Só preisaos de geoetria para desreer trajetórias dos orpos. instein enarou a força graitaional oo ua força de inéria uratura do espaço-tepo! A assa diz ao espaço-tepo oo se urar; e o espaço-tepo diz à assa oo se oer! 9

30 pressão geral para o efeito Doppler: f f - os S S P Note: os asos enionados são asos partiulares do aso geral, o = ou 8. Se a fonte se oe, então f = f e a frequênia obserada a 9 é f = f / (- / f. 3

31 Prob. 3: Ua espaçonae ujo opriento próprio é 35 está se oendo o ua eloidade de,8 e u erto referenial. U iroeteorito, tabé o eloidade de,8 neste referenial, ruza o a espaçonae iajando na direção oposta. Quanto tepo o iroeteorito lea para passar pela espaçonae, do ponto de ista de u obserador a bordo da espaçonae? y L = 35 =,8 Veloidade do eteorito e relação à nae: u u u L 35 t, 9 8,94 /s S s L,64, 98 ( (,8 8,94 /s 3

32 Prob. 39: Ua espaçonae está se afastando da Terra a ua eloidade de,. Ua fonte luinosa na popa da nae paree azul ( = 45 n para os passageiros. Deterine: (a o opriento de onda e (b a or (azul, erde, aarela... da luz eitida pela nae, do ponto de ista de u obserador terrestre. feito Doppler da luz (se afastando: =, a f f / / 45n,,8 / 55n b Luz "erde-aarelada": 3

33 33

34 Prob. 47: Qual dee ser o oento linear de ua partíula, de assa, para que a energia total da partíula seja 3 ezes aior que a sua energia de repouso? 4 p ( p as: 8 p p 34

35 Prob. 5: Ua erta partíula de assa de repouso te u oento linear ujo ódulo ale. Deterine o alor: (a de ; (b de ; ( da razão sua energia inétia e energia de repouso. p ( / a,77 b / /,44 K (,44,44 35