Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 PROBLEAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departaento de Física Centro de Ciências Eatas Uniersidade Federal do Espírito Santo Últia atualização: /07/005 5:39 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 996. FÍSICA Capítulo 9 - Sisteas de Partículas Probleas

2 Probleas Resolidos. Onde está o centro de assa das três partículas ostradas na Fig. 6? A posição do centro de assa (r ) é definida por: r = i+ j A coponente ale: = i i i = + ( ) ( ) =, 0666 A coponente ale: = i i Logo: i = + ( ) ( ) =,3333 ( ) ( ) r i+ j (Pág. 87) 3. Qual é a distância do centro de assa do sistea Terra-Lua ao centro da Terra? (Veja no Apêndice C as assas da Terra e da Lua e a distância entre os seus centros. É interessante coparar o resultado co o raio da Terra. (Pág. 87) Considere o seguinte esquea da situação:

3 Terra T d L Lua 0 T = 0 L = d TL dtl A posição do centro de assa do sistea Terra-Lua é. Coo a orige do referencial está no centro da Terra, a distância procurada (d) ale: d = A posição do centro de assa é dada por: = i i i = + ( ) ( ) + T T L L T L = 4 ( 5,98 0 kg) + ( 7,36 0 kg) ( ) ( )( = 6 4, = d 6 4, ,98 0 kg.0 7,36 0 kg 3,8 0 + Coo o raio da Terra é 6,37 0 6, conclui-se que encontra-se no interior da Terra, a ua distância aproiadaente igual a 0,7 R T do centro do planeta. ) 7. U hoe de assa segura-se nua escada de corda, que pende de u balão de assa (eja a Fig. 7). O balão está estacionário e relação ao chão. (a) Se o hoe coeçar a subir a escada co elocidade constante (e relação à escada), e qual direção e a que elocidade (e relação à Terra) o balão se oerá? (b) Qual ser 3

4 (Pág. 87) (a) Considere o seguinte esquea de elocidades: b hb h Obsera-se a seguinte relação de elocidades na presente situação, e que b é a elocidade do balão, h é a elocidade do hoe e hb é a elocidade do hoe e relação ao balão ( que o problea chaou siplesente de ), sendo todas as elocidades erticais: b + hb = h + = b h Coo não há força eterna resultante atuando sobre o sistea, a elocidade do centro de assa (nula) não se altera co o oiento do hoe:,0 = 0 b = + () Substituindo-se () e (): 0= b + b + h b = + O sinal negatio indica que o balão se oe para baio, no sentido negatio do referencial. (b) Após o hoe parar de subir pela escada o balão olta ao estado estacionário, pois o centro de assa do sistea dee peranecer e repouso o tepo todo. () 9. U canhão e seu supriento de balas estão dentro de u agão fechado, de copriento L, coo ostra a Fig. 8. Atira-se co o canhão para a direita e o agão recua para a esquerda. As balas peranece no agão depois de atingire a parede oposta. Depois que todas as balas 4

5 fore disparadas, qual é a aior distância que o carro pode ter percorrido a partir de sua posição inicial? (b) Qual é a elocidade do carro depois que todas as balas fora disparadas? (Pág. 88) Considere o seguinte esquea: n Inicial d 0 L d Final Coo só estão enolidas forças internas ao sistea durante os disparos, a posição do centro de assa do sistea não uda. i = f O sistea é coposto por u agão (V) de assa e por n balas (B), cada ua de assa. Logo: + n + n ( Vi + nbi ) = ( Vf + nbf ) L L d + + nd = + nl d + nd = nl L d = + n A aior distância d é atingida quando o núero de balas tende ao infinito (n ). Neste caso: d L (b) Coo as balas não pode sair do agão e o centro de assa peranece e repouso, o agão tabé deerá peranecer e repouso. = 0 f. Ua boba é lançada de ua ara co elocidade inicial de 466 /s, nu ângulo de 57,4 o co a horizontal. No topo da trajetória, a boba eplode e dois fragentos de assas iguais. U dos fragentos, cuja elocidade iediataente depois da eplosão é nula, cai erticalente. A que distância da ara cairá o outro, supondo que o terreno seja plano? (Pág. 88) Considere o seguinte esquea da situação: 5

6 0 g θ R/ R Se a boba não tiesse eplodido, seu alcance R seria dado por: R = sen 0 g θ Após a eplosão, o centro de assa do sistea, que não sofreu interferência de forças eternas, continua sua trajetória original. Após os pedaços da boba tere caído no chão, a localização do centro de assa do sistea será na coordenada = R. Sabendo-se que a localização do pedaço da boba está localizado e = R/, aos usar essas inforações para calcular a posição do pedaço. Ou seja: = + R R = + = 3R 30 senθ = = 30.4, 0988 g 30, k 3. Ua corrente fleíel de copriento L, co densidade linear λ, passa por ua polia pequena e se atrito (eja a Fig. 30). Ela é abandonada, a partir do repouso, co u copriento pendendo de u lado e L, do outro. Deterine a aceleração a e função de. 6

7 A força que acelera a corrente é o peso da porção de copriento L. F = a P = g = a ( L) ( L) ( L) (Pág. 88) Na Eq. (), ( L) é a assa da porção da corrente de copriento L e (L) é a assa total da corrente (copriento L). Coo: ( L) ( L) λ = = L L, Teos: L ( L) = ( L) L Substituindo-se () e (): L ( L) g = ( L) a L a = ( L) L a = g L g () () 4. U cachorro que pesa 5,0 kg está e u barco chato a 6,0 da arge. Ele cainha,5 no barco e direção à arge e pára. O barco pesa 0 kg e podeos supor que não haja atrito entre ele e a água. A que distância ele estará da arge ao fi desse tepo? (Sugestão: O centro de assa do barco + cachorro não se oe. Por que?) A arge está tabé à esquerda da Fig. 3. 7

8 Considere o seguinte esquea da situação: d0 (Pág. 88) l0 d l l0 0 b0 c b c0 Coo não força eterna resultante atuando no sistea, a aceleração do centro de assa do sistea é nula. Coo o centro de assa está inicialente e repouso, ele peranece e repouso durante todo o tepo independenteente do oiento do cachorro e relação ao barco. = 0 + = + b b0 c c0 b b c c Considerando-se a assa do cachorro c = e a assa do barco b = e analisando-se o esquea acia: d l + d = d + l l + d ( 0 0) 0 ( 0) ( + ) d = ( + ) d0 l l d = d0 + d = 4,0 8

9 7. Três aras finas, cada ua de copriento L, estão arranjadas na fora de u U inertido, coo ostra a Fig. 3. Cada ua das duas aras que fora os braços do U te assa e a terceira ara te assa 3. Onde está localizado o centro de assa do conjunto? (Pág. 89) Coo as aras são hoogêneas, o centro de assa de cada ua delas está localizado na etade de seus respectios coprientos, coo ostra o esquea a seguir: 3 L L/ Logo: L/ L = i i = + + i ( ) ( ) L = L 5 L = De fora seelhante: L L =. + 3L+ 5 = 4L 5 8. A Fig. 33 ostra ua placa de diensões,0 c 3,0 c,80 c. etade da placa é feita de aluínio (densidade =,70 g/c 3 ) e a outra etade de ferro (densidade = 7,85 g/c 3 ), coo ostrado. Onde está o centro de assa da placa? 9

10 Considere o seguinte esquea da situação: D (Pág. 89) Fe L/ z Al H L/ Aplicando-se arguentos de sietria, deduz-se que: D = = 6,50 c H z = =, 40 c O cálculo de pode ser feito considerando-se que a assa de cada etade da placa esteja concentrada nos respectios centros de assa, projetados no eio. Logo: Al 0 L/ L Fe = = + ( ) ( ) + i i Al Al Fe Fe i Al Fe LDH L LDH 3L = LDH ρ + ρ 4 4 () ( ρal + ρfe ) Al Fe Na Eq. (), ρ Al LDH/ é a assa da placa de aluínio (densidade olue). Logo: L ρ Al + 3ρFe = = 3,6848 c 4 ρ + ρ Al Fe 0

11 3,7 c 9. Ua caia, na fora de u cubo cuja aresta ede 40 c, te o topo aberto e foi construída de ua placa etálica fina. Encontre as coordenadas do centro de assa da caia e relação ao sistea de coordenadas ostrado na Fig. 34. Considere o seguinte esquea da situação: z a a 4 a 5 3 (Pág. 89) Chaareos os lados da caia de,, 3, 4 e 5. Resolereos o problea deterinando o centro de assa de cada lado da caia e e seguida considerareos a caia coo ua coleção de assas pontuais, cada ua co assa igual à assa de u lado da caia. Depois encontrareos o centro de assa desse conjunto de assas pontuais. O centro de assa de cada lado da caia é: a a r = i+ k a a r = ai+ j+ k a a r3 = i+ aj+ k a a r4 = j+ k

12 a a r5 = i+ j O centro de assa da caia está localizado e: r = i = ri r r r3 r4 + r Logo: i r = r + r + r3 + r4 + r 5 ( ) a a r = 5 i+ 5 j+ ak 5 a a r = i+ j+ ak 5 = = 0 c 0 c z = 6 c ( ) U tanque cilíndrico está inicialente cheio co gasolina para aião. Drena-se o tanque atraés de ua álula no fundo (eja a Fig. 35). (a) Descrea qualitatiaente o oiento do centro de assa do tanque e de seu conteúdo, à edida que a gasolina escoa. (b) Qual é a profundidade do níel de gasolina quando o centro de assa do tanque e de seu conteúdo estier e sua posição ais baia? Epresse sua resposta e teros de H, a altura do tanque;, sua assa; e, a assa da gasolina que ele pode conter. (Pág. 89) (a) Quando o tanque de gasolina está cheio o centro de assa do sistea tanque+gasolina está no centro do tanque. À edida que a gasolina é escoada do tanque o centro de assa do sistea coeça a baiar. Coo o centro de assa do tanque azio tabé se localiza no centro do tanque, deduz-se que e algu oento do escoaento da gasolina o centro de assa do sistea dee atingir u níel ertical ínio e, a partir daí, oltar a subir e direção ao centro do tanque. (b) Considere o seguinte esquea:

13 h H Para resoler este problea teos de construir ua função ateática para a posição do centro de assa ( ) e função do níel de gasolina no tanque (h). E seguida deeos encontrar o alor de h que iniiza (d /dh = 0). A posição do centro de assa é dada por: = i i = t t + c c + i t c ( ( h) ) ( ) ( ) h H = ( h) + + h+ H = + ( ( h) ( h) ) Coo a assa da gasolina depende do seu níel no tanque (h), precisaos deterinar a função (h). Para isso utilizareos a densidade da gasolina ρ: ρ = = V V ( h) ( h) Ou seja: = ( h) V( h) V = AH Ah h ( h) = () H Substituindo-se () e (): () h h + H = H h + H h = + H ( h + H ) Vaos agora encontrar o alor de h que iniiza (d /dh = 0): ( + ) ( + ) d h. h H h H. = = 0 dh 4 h H ( + ) Coo todas as grandezas enolidas são positias, (4) soente será erdadeira se: ( + ) = ( + ) 4h h H h H h + Hh H =0 (3) (4) (5) 3

14 A Eq. 4 é ua equação do segundo grau e sua solução é: H hin = ± + Coo h in dee ser positio, o tero entre parênteses tabé dee ser positio. Para que isso ocorra o sinal da raiz quadrada dee ser positio. H hin = +. Encontre a posição do centro de assa de ua placa seicircular hoogênea, de raio R. (Pág. 89) Considere o seguinte esquea da situação: d,da d R θ Por sietria, deduz-se iediataente que = 0. O alor de dee ser calculado. = d () A densidade superficial de assa β é definida por: d β = = A da d = da () A Onde: A = π R (3) da = R cosθ d (4) Substituindo-se (3) e (4) e (): 4 d = R cosθ d cosθ d πr = πr (5) as: / / cosθ = ( sen θ) = R (6) Substituindo-se (6) e (5): 4

15 4 d = π R R Substituindo-se (7) e (): / d (7) / 4 R = π R 0 R d (8) odificando-se (8) para: R R = d 0 π R R Podeos identificar o seguinte padrão no integrando: R R ' / = f 0 ( ). ( ) π f d Onde: f = R ( ) A solução da integral acia é: e f / df = = d R ' ( ) ( ) 3/ R 3/ R ( ) R 3/ R f 4 =. =. = π 3/ π 3 R 3π 4R = 3π 0 0 ( ) 3. U cainhão de.000 kg oe-se para o Norte a 40,0 k/h e ira para o Leste; ele acelera até adquirir a elocidade de 50 k/h. (a) Qual foi a ariação da energia cinética do cainhão? (b) Quais o ódulo, a direção e o sentido da ariação do oento linear do cainhão? (Pág. 89) (a) Δ K = K K = ( ) 0 0 /s /s Δ K = (.000 kg) 50,0 k/h 40,0 k/h 3,6 k/h 3,6 k/h Δ K = 4 6, J ΔK 4 6,94 0 J (b) Considere o seguinte esquea da situação: 5

16 0 Os alores de 0 e, de acordo co o referencial adotado, são 0 = 0 j e = i. Logo: Δ p= p p = 0 0 ( ) ( Δ 4 4 p,78 0 kg./s i, 0 kg./s)j 9. U hoe de 80 kg, e pé nua superfície se atrito, chuta para a frente ua pedra de 00 g de odo que ela adquire a elocidade de 4,0 /s. Qual é a elocidade que o hoe adquire? (Pág. 90) Considere o seguinte esquea da situação: Coo o soatório das forças eternas que age sobre hoe/pedra é zero, o oento linear é conserado durante todo o eento. E : P 0 = P p + p = p + p 0, 0,,, 0+ 0= + = = = 3 5, 0 0 /s ( )( ( 80 kg) 0,00 kg 4,0 /s ) 30. U hoe de 75, kg encontra-se e ua carroça de 38,6 kg que se oe à elocidade de,33 /s. Ele salta da carroça de tal aneira que atinge o solo co elocidade horizontal nula. Qual será a ariação na elocidade do eículo? (Pág. 90) 6

17 Considere o seguinte esquea: 0 = 0 Aditindo-se que o efeito do atrito no eio das rodas e entre as rodas e o solo seja desprezíel durante o eento, o oento linear será conserado na coordenada. P = P 0 p + p = p + p 0, 0,,, ( ) + = = = 6,8873 /s 0 6,89 /s Pode-se analisar a situação do ponto de ista do oiento do centro de assa, cuja elocidade não se altera. Coo a aior parte da assa do sistea (hoe) fica e repouso após saltar da carroça, para que a elocidade do centro de assa peraneça constante a carroça, cuja assa é enor, dee oer-se co elocidade aior. 3. U agão de estrada de ferro, de peso W, pode oer-se se atrito ao longo de u trilho horizontal reto. Inicialente, u hoe de peso w está e pé no agão, que se oe para a direita co elocidade 0. Qual será a ariação na elocidade do agão se o hoe correr para a esquerda (Fig. 37), de odo que sua elocidade relatia ao agão seja rel, iediataente antes de ele pular para fora do agão na etreidade esquerda? Considere o seguinte esquea da situação: (Pág. 90) 7

18 W Inicial h w 0 Final Considere o seguinte esquea de elocidades: h rel A partir do esquea acia, te-se: h = + rel Aditindo-se que haja conseração do oento linear e durante todo o eento: P 0 = P p + p = p + p 0, h 0,, h, + = + h 0 0 h h w W + w W 0 = h + g g g g ( w+ W) 0 = w h + W Substituindo-se () e (): ( w+ W) 0 = w+ w rel + W ( + ) = + ( + ) w W w w W 0 rel w = ( w+ W) 0 rel O sinal negatio indica que o agão sofreu ua ariação de elocidade positia (para a direita), tendo-se e ista que rel é negatia. () () 39. Ua bala de 3,54 g é atirada horizontalente sobre dois blocos e repouso sobre ua esa se atrito, coo ostra a Fig. 38a. A bala passa atraés do prieiro bloco, de, kg de assa, e fica engastada no segundo, de assa de,78 kg. Os blocos adquire as elocidades de 0,630 /s e,48 /s respectiaente, confore a Fig. 38b. Desprezando a assa reoida do prieiro bloco pela bala, deterine (a) A elocidade da bala iediataente após eergir do prieiro bloco e (b) sua elocidade original. 8

19 Considere o seguinte esquea da situação: A = 0 0 A = 0 (Pág. 90) B B (a) Considerando-se que não há interferência de forças eternas sobre o oiento do sistea, há conseração do oento linear. Seja b e 0b a assa e a elocidade inicial da bala, a assa do bloco de, kg e a assa do bloco de,78 kg. Colisão entre a bala e : P 0 = P p + p = p + p 0, b 0,, b, b b b ( ) = + + b b = = 745,6607 /s () b b 746 /s (b) Colisão entre a bala e : P 0 = P p + p = p + p 0, b 0,, b, b 0b = b b + Substituindo-se () e (): 0b = + + = 96, 7794 /s b b 0b 963 /s () 9

20 43. U bloco de assa está e repouso sobre ua cunha de assa que, por sua ez, está sobre ua esa horizontal, confore a Fig. 39. Todas as superfícies são se atrito. O sistea parte do repouso, estando o ponto P do bloco à distância h acia da esa; qual será a elocidade da cunha no instante e que o ponto P tocar a esa? (Pág. 9) Vaos denoinar o bloco de corpo e a cunha de corpo. As forças eternas que atua sobre o sistea são a força da graidade sobre e e a força noral sobre. As forças noral e da graidade atua na ertical e, coo a cunha se desloca na horizontal, não eecuta trabalho. Portanto, o sistea é conseratio. Logo, a energia ecânica inicial (E 0 ) é igual à energia ecânica final (E). E0 = E K0, + K0, + U0, + U0, = K + K + U + U gh + g = g gh = +,, ( gh = ) () O oento linear e tabé é conserado. P = P 0 p + p = p + p 0, 0,,, 0+ 0= () + = O esquea das elocidades que age no sistea é ostrado a seguir, onde e são as elocidades de e e relação ao solo e é a elocidade de e relação a : θ θ A partir do esquea acia podeos perceber que: cos θ =, (3) E, pela lei dos cossenos: 0

21 = + cosθ (4) Substituindo-se (3) e (): ( θ ) 0= cos ( + ) = (5) cosθ Substituindo-se (5) e (4): ( + ) ( + ) = + cosθ cosθ cosθ ` ( + ) ( + ) = + cos θ Substituindo-se (6) e (): (6) ` ( + ) ( + ) = gh + cos θ Desenolendo-se a equação (7), chega-se a: Logo: ghcos θ = ( + ) + ( cos θ ) = ghcos θ ( + ) + ( cos θ ) / (7)