Neste capítulo iniciaremos a discussão sobre fenômenos ondulatórios. Vamos estudar os seguintes tópicos:

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1 Capítulo 16 - Ondas I Neste capítulo iniciareos a discussão sobre fenôenos ondulatórios. Vaos estudar os seguintes tópicos: Tipos de ondas. Aplitude, fase, frequência, período e velocidade de propagação. Ua onda ecânicas que se propaga ao longo de ua corda esticada; Equação da Onda; Principio de superposição de ondas; Interferência de ondas; Ondas estacionárias, ressonância; (16-1)

2 A onda é definida coo u distúrbio que é auto-sustentado e que se propaga no espaço co ua velocidade constante Ondas pode ser classificados e três categorias: 1. Ondas ecânicas. Estes envolve ovientos que são regidos por leis de Newton e só pode existir dentro de u suporte aterial, tais coo ar, água, pedra, etc Exeplos couns são: ondas sonoras, ondas sísicas, etc. Ondas eletroagnéticas. Essas ondas envolve distúrbios que se propaga no capo elétrico e agnético e é regido pelas equações de Maxwell. Elas não necessita de u suporte aterial para se propagar e viaja através de vácuo. Exeplos couns são: ondas de rádio de todos os tipos, visíveis, infra-verelhos e ultra-violeta, raiosx, gaa. Todas as ondas electroagnéticas propaga no vácuo co a esa velocidade c = k / s 3. Onda aterial. Envolve partículas icroscópicas, coo elétrons, prótons, nêutrons, átoos etc e que tê ua onda associada a eles regidos pela equação de Schroedinger. (16 - )

3 (16-3) Ondas transversais e longitudinais Ondas pode ser divididas e duas categorias, dependendo da orientação da perturbação co respeito à velocidade de propagação da onda v. Se a perturbação associada a ua onda particular é perpendicular à velocidade de propagação da onda,. Esta onda é chaada de "transversal". U exeplo é dado na figura superior que ilustra ua onda ecânica que se propaga ao longo de ua corda. O oviento de cada partícula na corda é ao longo do eixo y; a própria onda se propaga ao longo do eixo x. Se a perturbação associada a onda é paralela à propagação, a onda é conhecido coo u "onda longitudinal". U exeplo de ua tal onda é dada na figura inferior. É produzida por u êbolo oscilante e u tubo cheio de ar. A onda resultante envolve o oviento das oléculas de ar ao longo do eixo do tubo, que é tabé o sentido da velocidade de propagação da onda v.

4 (16-4) Considere ua onda transversal que se propaga ao longo de u corda, coo ostrado na figura ao lado. A posição de u ponto qualquer sobre a corda pode ser descrito por ua função y=h(x,t). Mais adiante, vereos que a função h te ua fora específica para descrever ua onda. Ua vez que adequado, tal função é: y(x,t)=y sin (kx ωt) Tal onda é descrita por ua função seno (ou u co-seno) é conhecida coo "onda harônica". Os vários teros que aparece na expressão para a onda harónica são identificado na figura ao lado. A função y(x,t) depende x e t. Existe duas foras de visualizála. A prieira é a de "congelaento" do tepo (Isto é, conjunto t 0 ). Isto é coo toar u instantâneo da onda e t = t 0 ou y(x, t 0 ). O segundo é definir x=xo. Neste caso y(x 0, t).

5 (16-5) y( x, t) y sin kx t A aplitude y é o valor absoluto do deslocaento áxio a partir da posição equilíbrio. A fase é definida coo o arguento da funcao de seno. O copriento de onda é a distância ais curta entre duas repetições de ua onda nu tepo fixo. kx t Nos fixaos t e t 0. Nós teos a condição: y( x,0) y( x,0) 1 1 y sin kx1 y sin k x1 y sin kx1 k Desde que a função seno te u período k k O periodo T é o tepo (fixo e x ) da função seno copletar ua oscilação. Nor toaos x 0 y(0, t) y(0, t T ) y sin t y sin t T y sin t T T T

6 (16-6) v k A velocidade de ua onda Na figura, ostraos dois instantaneos de ua onda haronica toadas e oentos t e t+ t. Durante o intervalo de tepo t a onda viajou ua distancia x A velocidade de onda v= x/ t. U étodo para encontrar v é iaginar nos ovendo co a esa velocidade da onda ao longo do eixo x. Neste caso a onda iria nos parecer não uda r. Desde y( x, t) y sin kx t isso significa que o arguento da função seno é constante. kx t constante. Toaos o derivada co respeito à t. dx dx dx k 0 a velocidade de onda será v dt dt k dt k Ua onda harónica que se propaga para o lado negativo eixo x é descrita pela equação: y( x, t) y sin kx t. A função y( x, t) h kx t descreve ua onda geral que se propaga ao longo da positivo do eixo x. Ua negativo eixo e descrita pela equacao:: y( x, t) h kx t onda geral que se propaga ao longo do

7 v Velocidade da onda e ua corda esticada A seguir, vai deterinar a velocidade de ua onda que propaga ao longo de ua cadeia linear, cuja densidade de assa. A tensão sobre a corda é igual para. Considere ua pequena parte da corda de copriento. A fora do eleento pode ser aproxiada a ser u arco de u círculo de raio R cujo centro é O. A força líquida na direcção de O é F sin. Aqui assuios que 1 sin F (eqs.1) R R v v A força é tabé dada pela segunda lei de Newton: F = (eqs.) R R Se copararos as equações 1 e teos: Note : A velocidade v depende da tensão da densidade de assa as não sobre a frequência de onda f. v v R R (16-7)

8 Taxa de transissão de energia Considere ua onda transversal propagando ao longo de ua corda que é descrito pela equação: y( x, t) y sin kx - t. A velocidade transversal y u -y coskx - t No ponto a tanto t y e u são iguais zero. No ponto b tanto y e u te u áxio. 1 E geral, a energia cinética de u eleento de assa d é dada por: dk dv 11 dk dx - cos - A taxa à qual a energia konetic propaga y kx t dk 1 ao longo da corda é igual a v y cos kx - t A taxa édia dt dk 1 1 v ycos kx - t v y Coo nu caso de oscilação e dt avg 4 avg sistea ola du dk du dk 1 Pavg v y dt dt dt dt avg avg avg avg (16-8)

9 y 1 y t v t θ (16-9) A equação de onda Considere ua corda de densidade de assa e tensão Ua onda transversal propaga ao longo da corda. O oviento transversal é descrito por y( x, t) Considere u eleento de copriento dx e assa d dx A força 1 a força de líquida ao longo do eixo y é dada pela equação: F F sin F sin sin sin Aqui nós yres y assuir que 1 1 e 1 sin1 tan1 x e sin F F tan y y y Fyres x x x 1 1 y y y Da segunda lei de Newton, teos: Fyres day dx t x x 1 y y y y y x x 1 y y 1 y dx x x 1 t dx t t v t

10 y( x, t) y ( x, t) y ( x, t) 1 O princípio da superposição de ondas 1 A equação de onda y y y foi derivada t t v t de ua onda transversal propaga ao longo ua seqüência sob tensão, é verdade para todos os tipos de ondas. Esta equação é "linear", que significa que se y y c y são as soluções da equação de onda, a função c y é tabé ua solução. Aquí c e c são constantes. O princípio da superposição é ua conseqüência direta da linearidade da equação de onda. Este princípio pode ser expressa coo se segue: 1 e Considere duas ondas do eso tipo que se sobrepõe e algu ponto P no espaço. Assuir que as funções s y ( x, t) e y ( x, t) descreve os deslocaentos. 1 Se a onda chegou ao ponto P sozinha. O deslocaento e P quando abas as ondas estão presentes é dada por: y( x, t) y ( x, t) y ( x, t) 1 Nota: Sobreposição de ondas não altera e nada a propagação da outra (16-10)

11 (16-11) Interferência de ondas Considere duas ondas harônicas de esa aplitude e freqüência que se propaga ao longo do eixo-x. A diferença de fase das duas ondas é dado por. Nós irá cobinar estas ondas usando o princípio do superposição. O fenôeno das ondas de pentear é sobra conhecido coo interferência e as duas ondas são disse interferir. O deslocaento das duas ondas kx t y ( x, t) y sin kx t e y ( x, t) y sin. 1 y y y 1, sin sin y x t y kx t y kx t y x, t y cos sin kx t A onda resultante te a esa frequência as ondas originais, e sua aplitude é dada por y ycos A sua fase é igual a

12 (16-1) Interferência construtiva A aplitude de duas ondas interefering é dada por:: y ycos Te o seu valor áxio se 0 Neste caso y y O deslocaento da onda resultante é: y x, t y sin kx t Este fenôeno é conhecido coo totalente interferência construtiva

13 (16-13) Interferência destrutiva A aplitude de duas ondas interefering é dada por: y ycos Ela te o seu valor ínio, se Neste caso y 0 O deslocaento da onda resultante é: y x, t 0 Este fenôeno é conhecido coo interferência totalente destrutiva

14 (16-14) Interferência Interediate A aplitude de duas ondas interefering é dada por: y ycos Quando a interferência é ne totalente construtiva ne totalente destrutiva é chaado interferência interediária U exeplo é dado na figura para Neste caso y y 3 O deslocaento da onda resultante é: y x, t y sin kx t 3 Nota: Às vezes a diferença de fase é expressa coo ua diferença de copriento de onda Neste caso note que: radians 1

15 (16-15) Fasores U fasor é u étodo para a representação de ua onda cuja dislocaento é: y x, t y sin kx t 1 1 O fasor é definido coo u vetor co o seguinte propriedades: 1. A sua agnitude é igual a aplitude da onda y. O fasor te a sua cauda na orige O e gira e a direcção dos ponteiros do relógio sobre u eixo que passa O co ua velocidade angular. Assi definida, a projeção do fasor sobre o eixo-y ( i.e. suas coponentes y) é igual a 1 y sin kx t U diagraa de fasorial pode ser usado para representar ais de u ondas. (veja fig.b). O deslocaento da segunda onda é: y x, t y sin kx t O fasor da segunda onda fora u angulo e o fasor da prieira onda indicando que esta atrasada e relacao onda 1 por u angulo de fase. 1

16 (16-16) Usando fasores Considere duas ondas que tê a esa frequência as as aplitudes diferentes. Eles tabé tê ua diferença fase. Os deslocaentos das duas ondas y1 x t y 1 kx t kx t são:, sin e y x, t y sin. A sobreposição dos dois ondas produz ua onda que te a esa frequência angular e é descrita: y y sin kx t Aquí y ie o aplitude da onda e o angulo de fase. Para deterinar y e soaros os dois fasores representando as ondas coo vetores (veja fig.c). Nota: O étodo de fasor pode ser usado para adicionar vectores que tê aplitudes diferentes.

17 y x, t y sin kx cost Ondas estacionárias. Considere a superposição de duas ondas que tê o eso frequência e aplitude, as que se desloca e direções opostas. Os deslocaentosde duas ondas são: y1 x, t y sin kx t, y x, t y sin kx t y x t y1 x t yx t, sin sin sin cos O deslocaento da onda resultante,,, y x t y kx t y kx t y kx t(16-17) Esta não é ua onda as ua oscilação que te ua posição dependente da aplitude. É conhecido coo ua onda estacionária.

18 u u n n n n u (16-18) O deslocaento de ua onda estacionária é dada pela equação: y x, t y sin kx cost A aplitude é dependente posição e é igual y sin kx Nos : Estes são definidos coo posições onde a aplitude da onda estacionária desaparece. Elas ocorre quando kx n n 0,1,, x n xn n n 0,1,,... Anti - nos : Estes são definidos coo posições onde a aplitude da onda estacionária é áxia.. 1 Eles ocorre quando kx n n 0,1,, x n x n n n 0,1,,... Nota 1: A distância entre nós e anti-nos ajacentes é / Nota : A distância entre u nó e u anti-nó é /4

19 A A A (16-19) B B B Ondas estacionárias e ressonância Considere-se ua corda sob tensão que é presa nos pontos A e B separadas por ua distância L. Enviaos ua onda harônica que viaja para a direita. A onda é refletida no ponto B e, assi, a onda refletida viajará para a esquerda. A onda da esquerda reflete de volta no ponto A e cria ua terceira onda que viajar para a direita. Assi teos u grande núero de ondas sobrepostas a eia ondas que viaja para a direita e o resto para a esquerda. Para deterinadas frequências a interferência produz ua onda estacionária. Tal onda é dito estar e ressonância. As frequências e que as ondas estacionárias ocorre são conhecidos coo o freqüências ressonantes do sistea.

20 A A A (16-0) B B B Ressonâncias ocorrer quando ua onda estacionária resultante satisfazer a condição de contono CC do problea. Esta CC é que a aplitude deve ser igual a zero no ponto A e no ponto B e surge do fato de que a corda é fixa nestes dois pontos e, por conseguinte, não pode se over. A ressonância prieiro é ostrado na fig.a. Assi L 1 L. A segunda onda estacionaria é ostrada na fig.b. Ele te tres nós (dois deles e A e B) Neste caso L L 1 A terceira onda estacionaria é ostrado na fig.c. Ela te quatro nós (dois deles e A e B) 3 Neste caso L 3 3 L. A expressão geral para a coprientos L v v de onda ressonante é: n n 1,,3,... as freqüências ressonantes fn n n L n