FÍSICA IV Problemas Complementares Efeito Doppler, dinâmica relativística, efeito Compton, efeito foto-elétrico, átomo de Bohr.

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1 FÍSICA IV Problemas Complementares Efeito Doppler, dinâmica relativística, efeito Compton, efeito foto-elétrico, átomo de Bohr. ACTort 29 de Maio de 2009 Problema 1 No efeito Doppler relativístico, quando a fonte afasta-se do observador com velocidade v fonte, a freqüência ν medida por este é dada por: ν 1 β = ν 1+β onde ν é freqüência da fonte em repouso e, como sempre, β = v/c. (a) Rescreva a fórmula acima para o caso em que a fonte aproxima-se do observador. (b) Mostre que em termos de comprimento de onda temos λ 1+β = λ 1 β quando a fonte afasta-se do observador, e λ 1 β = λ 1+β quando a fonte aproxima-se do observador. Problema 2 A expansão do universo. Os quasares 1 são objetos astronômicos que emitem uma quantidade de energia muito maior do que uma estrela normal o faria. Eles foram descobertos nos anos 60 e constituem-se em uma das principais evidências de que o nosso universo está em expansão. As velocidades de recessão desses objetos produzem deslocamentos para o vermelho consideráveis. Os astrofísicos gostam de medir o deslocamento para o vermelho por meio do parâmetro z que édefinido como: z := λ λ = λ λ λ onde λ é o comprimento de onda medido com a fonte e o observador em repouso. (a) Mostre que onde β = v fonte /c. β = (z +1)2 1 (z +1) tort@if.ufrj.br 1 A palavra quasar é o acrônimo de quasi estelar radio source, fonte de rádio quasi-estelar. 1

2 (b) O quasar 3C273 2 descoberto em 1963 tem z =0, 158. Calcule a sua velocidade de recessão. (c) De acordo com a lei de Hubble, a velocidade de recessão v e a distância radial ao observador r relacionam-se por meio da fórmula empírica: v = Hr onde H =70km s 1 Mpc 1,é a constante de Hubble. Um parasec (pc) equivale a 3, 26 anos-luz. Calcule a que distância da Terra encontra-se o quasar 3C273. Expresse a sua resposta em bilhões de anos-luz. Resposta: 2, 2 bilhões de anos-luz. Problema 3 A galáxia do Sombrero (M104) veja a Figura 4 foi a primeira galáxia observada a apresentar um deslocamento para o vermelho elevado. Ela, como muitas outras galáxias, contém átomos de sódio em abundância, os quais absorvem luz em um comprimento de onda específico. No laboratório, o comprimento de onda dessa linha de absorção vale λ LAB = 589 nm. Em 1912, Vesto Slipher mediu o espectro da galáxia do Sombrero e constatou que a linha de absorção do sódio ocorria para λ = 591 nm. (a) Calcule o parâmetro z que mede o deslocamento fracional para o vermelho do espectro de uma galáxia. (b) Calcule a velocidade de recessão da galáxia do Sombrero. (c) Calcule a distância entre o observador e a galáxia. Figura 1: A galáxia do Sombrero. Problema 4 Deslocamento para o vermelho. A idade aproximada do nosso universo éde 13,7 bilhões de anos. Isto significa que podemos supor que raio do universo seja igual a 13,7 bilhões de anos-luz. Muitos quasares encontram-se nos confins do universo. Um quasar em particular encontra-se a uma distância de 13 bilhões de anos-luz da Terra. Em princípio, essa distância pode ser inferida medindo-se a luminosidade do objeto e comparando-a com a luminosidade de um objeto conhecido. 2 Esta combinação indica a fonte de rádio número 273 da terceira edição do catálogo de fontes de rádio publicado pela Universidade Cambridge. 2

3 (a) Calcule a velocidade com que este quasar está afastando-se da Terra. (b) Calcule o parâmetro z que mede o deslocamento para o vermelho. Alguns dos dados que você precisa encontram-se no problema anterior. Problema 5 Efeito Doppler Considere uma fonte de radiação eletromganética que se afasta do observador. (a) Mostre que se β = V fonte /c 1, então em primeira ordem em β o parâmetro z que mede o efeito Doppler relativístico pode ser escrito na forma z = λ λ 0 β. λ 0 (b) Acredita-se que uma nuvem de gás gire em torno de um candidato a buraco negro com uma massa equivalente a dois bilhões de massas solares localizado no centro da nossa galáxia. A distância da nuvem de gás ao centro galáctico é de 60 anos-luz. Calcule de forma aproximada o parâmetro z associado com o movimento da nuvem de gás. Buraco negro Nuvem de gás Figura 2: A nuvem de gás orbita em torno do candidato a buraco negro a 60 anos-luz de distância deste. Problema 6 A figura 3 mostra o espectro de emissão de um quasar; o espectro superior é o medido por um observador na Terra; no espectro inferior, o efeito da velocidade do quasar foi descontado, logo, ele equivale ao espectro emitido pelo quasar em repouso. (a) Examine os dois espectros atentamente e calcule o parâmetro z que mede o deslocamento para o vermelho das linhas espectrais. (b) Calcule a velocidade de recessão do quasar. (c) Usando a lei de Hubble, calcule a que distância da Terra encontra-se o quasar. A constante de Hubble vale, aproximadamente, H =70km s 1 (Mpc) 1,e1pcvale 3,26 anos-luz. (d) Compare o resultado obtido acima com o raio estimado do universo: 13,7 bilhões de anos-luz. 3

4 Figura 3: Espectros de emissão de um quasar. O espectro superior é o da radiação que chega ao observador na Terra. O espectro inferior é o medido em condições normais no laboratório. Problema 7 Considere o quadrivetor momento linear: P =(E/c,p x,p y,p z )=(E/c,p). Mostre explicitamente que a quantidade P 2 P P= E2 c 2 p2, é invariante frente às transformações de Lorentz para o quadrimomento linear, i.e.: E 2 c 2 p2 = E 2 c 2 p 2. Problema 8 A massa atômica do elemento 3 2 He é 3, u.m.a.. Para formar um 4 2 He, com massa atômica igual a 4, u.m.a., basta adicionar um nêutron. Calcule a energia de ligação do nêutron adicionado. Resposta: 20, 58 MeV. Problema 9 Calcule a energia de repouso em MeV de (a) um elétron; (b) um nêutron; (c) um próton. 4

5 Figura 4: O dilema de Einstein. Problema 10 Equivalência massa-energia Uma mola de massa desprezível e constante elástica κ quando relaxada tem um comprimento l 0. A mola é distendida até atingir um comprimento l>l 0, e a seguir pesada em uma balança digital. Calcule o valor indicado pelo mostrador. Problema 11 O ciclo p-p A maior parte da energia gerada pelo Sol se deve ao ciclo próton-próton que gera átomos de hélio, 4 2He, posítrons, e +,fótons gama γ, e neutrinos, ν e. As etapas principais do ciclo p-p são: etapa 1: 1 1H H 2 1 H + e + + ν e, etapa 2: 1 1H H 3 2 He + γ, etapa 3: 3 2He He 4 2 He H H. Note que são necessárias duas etapas 1 e 2 para produzir os dois istótopos de hélio-3, 3 2 He necessários para a última etapa. (a) As reaçẽs acima ocorrem no interior do Sol onde a temperatura atinge 10 8 K (graus kelvin). Explique o porquê da necessidade de uma temperatura tão elevada. (b) Calcule a energia produzida em cada etapa e mostre que o ciclo p-p gera 24,7 MeV de energia por ciclo. Suponha a massa do neutrino ν e nula. Procure os dados que você precisa no seu livro-texto. Respostas: 0,42 Mev; 5,49 MeV; 12,86 MeV. (c) Mostre que a reação nuclear: é equivalente ao ciclo p-p H 4 2 He +2e + +2ν e +2γ, (d) Aqui na Terra, a 150 milhões de km do Sol, recebemos 1,4 kw por metro quadrado. Calcule a energia total por segundo irradiada pelo Sol. Faça as hipótese necessárias para simplificarocálculo. Resposta: 3, W. 5

6 (e) Quantos ciclos p-p devem ocorrer por segundo para manter energia total por segundo irradiada pelo Sol constante? Resposta: (f) A massa do Sol vale aproximadamente kg. Suponha que essa massa se deva exclusivamente aos prótons. Quantos prótons o Sol contém? Se são necessários quatro prótons por ciclo, mostre que a energia total que Sol pode fornecer é de aproximadamente 1, J. (g) Fazendo uso das suas respostas anteriores mostre que o tempo de vida do Sol éde aproximadamente segundos. Converta este valor para anos. Problema 12 Considere a interação entre um fóton de alta energia (γ) e um próton (p) inicialmente em repouso em relação ao referencial de laboratório. O produto desta interação éumpróton e um píon eletricamente neutro (π 0 ): γ + p p + π 0. (a) Mostre que a energia mínima para que esta reação ocorra é dada por: ( E mín. = m π 0c 2 1+ m ) π 0. 2m p (b) Calcule E mín. para m π 0 = 139, 57MeV/c 2,em p = 938, 27Mev/c 2. Problema 13 Um sistema composto, por exemplo, um átomo ou um núcleo, de massa inicial M i decai emitindo um fóton. A massa final desse sistema composto é M f.ofóton emitido é observado no referencial em que o sistema composto estava inicialmente em repouso. Seja ω a freqüência angular do fóton e ω 0 =(M i M f )c 2 / h. (a) Mostre que ω = (M i + M f ) ω 0. 2M i Sugestão: use a lei de conservação de energia e momentum linear. (b) Mostre que a expressão acima pode ser posta na forma ω = [ 1 ω ] 0 h 2M i c 2 ω 0. (c) Calcule (ω 0 ω)/ω para um fóton gamma de 113 KeV emitido por um isótopo do háfnio 72 Hf 177 Problema 14 O procedimento mais comum em física de altas energias é acelerar partículas até que estas atinjam velocidades relativísticas e depois jogá-las contra um alvo que pode ser uma outra partícula ou um núcleo e ver o que acontece. Um exemplo é a colisão prótonpróton na qual partículas conhecidas como píons são produzidas de acordo com as reações: p + p p + p + π 0, p + p p + n + π +, 6

7 onde π 0 éumpíon neutro, π + éumpíon positivo, e n éumnêutron. As massas de repouso dessas partículas são dadas no final desta lista. Para que essas reações possam ser observadas, é necessário saber a energia cinética mínima em relação ao laboratório que o próton incidente sobre o próton em repouso deve ter. Considere a reação p + p p + p + π 0.O modo mais simples proceder é o que segue: (a) calcule a velocidade do próton incidente em relação ao centro de passa do sistema próton-próton; (b) agora transforme o seu resultado para o referencial do laboratório e calcule a energia cinética mínima do próton incidente. (a) (b) Figura 5: (a) No referencial do lab, antes da colisãoopróton incidente tem velocidade v e o próton-alvo está em repouso; (b) no referencial do centro de massa, antes da colisão os dois prótons têm velocidades opostas. Problema 15 Efeito Compton I. Considere um elétron de massa inercial m em repouso eumfóton que incide que incide sobre o elétron com energia E γ. Seja θ oângulo entre a direção do fóton incidente e a direção do fóton espalhado. Mostre que a energia do fóton espalhado é dada por E γ = E γ 1+ Eγ mc (1 cos θ) 2 Faça um gráfico deste resultado para E γ =2mc 2. Problema 16 Efeito Compton II. Mostre que no espalhamento Compton, a variação do comprimento de onda do fóton é dado por: λ λ = h (1 cos θ), m e c onde m e é a massa do elétron e θ éoângulo de espalhamento. Problema 17 Efeito Compton III. Um fóton de raios X com comprimento de onda igual a 6 pm colide com um elétron em repouso. O ângulo de espalhamento vale 90 graus. (a) Determine a variação do comprimento de onda do fóton. (b) Determine a energia cinética do elétron espalhado. Problema 18 Efeito Compton IV. Um fóton de comprimento de onda igual a6pmcolide frontalmente com um elétron em repouso e é espalhado com um ângulo de 180 o em relação ao sentido inicial do movimento. Calcule a energia cinética do elétron após a colisão. Resp.: 93 kev. 7

8 Problema 19 Efeito fotoelétrico I Uma placa metálica encontra-se a uma distância de 5 metros de uma fonte de luz monocromática. A potência da fonte é de 1 mw. Suponha que cada fotoelétron ejetado absorva a energia que incide sobre uma porção circular da placa de raio igual a dez diâmetros atômicos (1 diâmetro atômico = metros. A funçãotrabalho do metal em questão vale 5 ev. Suponha que a onda comporte-se como uma onda eletromagnética clássica. Calcule o tempo necessário para que o elétron acumule a energia mínima para escapar do metal. Dê sua resposta em horas Problema 20 Efeito fotoelétrico II Um feixe de luz de comprimento igual a 300 nm incide sobre uma superfície de potássio. A energia cinética máxima dos elétrons emitidos vale 2,03 ev. (a) Determine a energia de um fóton incidente. (b) Determine a função trabalho do potássio. Problema 21 Efeito fotoelétrico III Uma superfície metálica iluminada por uma luz de freqüência igual a 8, Hz emite elétrons com energia cinética máxima igual a 0, 52 ev. A mesma superfície é iluminada por uma luz de freqüência igual a Hz. Nesse caso, energia cinética máxima dos fotoelétrons vale a 1, 97 ev. Com esses dados, calcule: (a) a constante de Planck h; (b) a função trabalho do material. Resp.: (a) 4, ev s; (b) 3, 6 ev. Problema 22 Determinação experimental da constante de Planck. A tabela a seguir mostra dados experimentais obtidos em uma experiência com o efeito fotoelétrico. Na primeira linha, mostra-se os comprimentos de onda da radiação incidente empregados, e na segunda linha, a energia cinética máxima do elétron emitido pelo metal. λ 544 nm 594 nm 604 nm 612 nm 633 nm K máx 0,360 ev 0,199 ev 0,156 ev 0,117 ev 0,062 ev (a) Converta os comprimentos de onda em freqüências e faça o gráfico da energia máxima do fotoelétron em função da freqüência. (b) A partir do gráfico que você traçou acima obtenha o valor da constante de Planck. Sinta-se à vontadade no uso dos recursos da sua calculadora. Problema 23 Mais dinâmica relativística Como vimos anteriormente, o efeito Compton é um processo que envolve um fóton e um elétron no estado inicial e no estado final, i.e.: γ + e γ + e. O efeito fotoelétrico envolve um fóton e um elétron no estado inicial e um elétron no estado final. No entanto, o elétron no estado inicial está preso no interior do metal, isto é: ele não é livre. Mostre que o efeito fotoelétrico não pode ocorrer com elétrons livres, ou seja, a reação: γ + e e, 8

9 é proibida. Sugestão: trate o problema como um problema de colisão e use as leis de conservação para a energia e para o momentum linear. Problema 24 A estabilidade da matéria. Pela fórmula de Larmor, do eletromaganetismo clássico, uma partícula carregada de energia E(t) perde potência de acordo com de dt = 2 q 2 a 2 3 4πɛ 0 c 3 onde a é a aceleração da partícula e q é a sua carga elétrica. Considere um elétron em órbita inicialmente circular em torno de um próton com raio igual ao raio de Bohr. Suponha que a energia perdida em cada revolução seja muito pequena em relação à energia total do sistema. Determine a duração deste átomo clássico. Resposta: s Sugestão: suponha que a órbita do elétron possa ser tratada como circular com raio r(t). Problema 25 Descreva os modelos atômicos de Demócrito (c. 450 a.c,.), Thomson (1904) e Rutherford (1911). Explique a razão pela qual o modelo de Rutherford foi ao final o modelo vencedor. Problema 26 Considere o modelo de Bohr para um átomo de um único elétron de massa m e e carga elétrica negativa e, onde e =1, Cé a carga elementar. O núcleo tem massa M e carga elétrica positiva Ze, onde Z é um inteiro positivo. Como M m, você pode supor o núcleo fixo. Por simplicidade suponha que as órbitas do elétron sejam circulares. Denote por l a magnitude do momentum angular clássico do sistema. (a) Obtenha uma expressão para o raio clássico da órbita do elétron em torno do núcleo em função de l, e, m e, Z e κ := 1/4πɛ 0. (b) Obtenha uma expressão para a energia clássica do elétron em torno do núcleo em função de l, e, m e, Z e κ := 1/4πɛ 0. (c) Como Bohr, quantize o momentum angular l e obtenha os níveis de energia discretizados do átomo. (d) Consideremos o movimento do núcleo, veja a Figura 6 (e a legenda). Agora o núcleo e o elétron giram em torno do centro de massa do sistema com uma velocidade angular comum. Recalcule o momento angular clássico do sistema e mostre que a massa do elétron deve ser substituída pela massa reduzida do sistema definida por: µ := m e. M + m e (e) Refaça o item (c) com o novo momentum angular. Problema 27 Aprimorando o modelo de Bohr Considere o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. Defina a constante de Rydberg e determine o seu valor. Quais as modificações que devemos fazer na definição dessa constante se considerarmos a massa do próton finita? Discuta como se pode fazer a diferença entre o hidrogênio e o deutério. Problema 28 Determine o comprimento de onda da linha de maior comprimento de onda correspondente à serie de Lyman. Qual a energia do fóton emitido? Resposta: 121,6 nm. 9

10 M CM m e x r Figura 6: Movimento em torno do centro de massa do sistema. Note que x = m e /(M + m e ) e r x = M/(M + m e ), onde r é a distância relativa entre o núcleo e o elétron. Problema 29 Modelo de Bohr aplicado ao positronium Um elétron e a sua antipartícula, o posítron, podem formar um átomo análogo ao átomo de hidrogênio chamado positrônio. Suponha que cada uma das partículas descreva uma órbita circular em torno do centro de massa do sistema, veja a Figura 7. Use os postulados de Bohr e calcule os níveis de energia do positronium. r e e + Figura 7: O positrônio. Problema 30 Um píon positivo, π +, e a sua antipartícula, o píon negativo π podem formar um átomo análogo ao átomo de hidrogênio chamado pionium ou piônio. Esse átomo exótico é produzido em condições especiais e tem um tempo de vida aproximadamente igual a 2 ns. Suponha que cada uma das partículas descreva uma órbita circular em torno do centro de massa do sistema, veja a Figura 8. (a) Use os postulados de Bohr e determine o raio de Bohr do pionium. (b) Agora calcule a energia de estado fundamental do piônio em ev. 10

11 r π π + Figura 8: O piônio. ALGUMAS CONSTANTES ÚTEIS. µ 0 =4π 10 7 H/m ɛ 0 = π F/m ɛ 0 µ 0 = 1 c 2 e =1, C. h =6, J s =4, ev s. h =1, J s =6, ev s hc = 1240 ev nm Comprimento de onda Compton do elétron: Massa de repouso do elétron: h/(m e c)=λ Compton =2, 43 pm m e c 2 =0, 511 MeV. Massa de repouso do próton: Massa de repouso do nêutron: m p c 2 = 938 MeV. m n c 2 = 940 MeV. Massa de repouso do píon neutro: m π 0c 2 = 135 MeV. Massa de repouso do píon carregado: m π ±c 2 = 140 MeV. Fatores de conversão: 1 parasec = 3, 26 anos-luz. 1 ev =1, J. 1 u c 2 = 931, 5 MeV 11