FNC375N: Lista 2. 7 de outubro de Para um oscilador clássico unidimensional em equilíbrio a uma temperatura T a Mecânica

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1 FNC375N: Lista 2 7 de outubro de 24 Radiação Térmica - II. Para um oscilador clássico unidimensional em equilíbrio a uma temperatura T a Mecânica Estatística prevê: P (E)dE = Ae E/k BT de, Resp.: a) em que P (E)dE é a probabilidade de o oscilador se encontrar em estados com energia num intervalo de em torno de E. A exponencial envolvendo a razão entre a energia e a temperatura é chamada de fator de Boltzmann. a) Encontre o valor da constante A (independente da energia) pela condição b) Calcule a média térmica da energia E = P (E)dE =. EP (E)dE. Fazendo a integral se escreve = x = P (E)dE = A E k B T, dx = k B T de, e E/k BT de. e E/k BT de = k B T e x dx = k B T ( e x) = k BT. Assim, A = k B T.

2 b) Do resultado anterior E = EP (E)dE = k B T Ee E/k BT de. Usando a mesma variável adimensional x definida no ítem anterior: E = k B T A integral em x pode ser efetuada por partes, udv = uv tomando u = x,du = dx e dv = e x dx,v = e x, Donde xe x dx = xe x E = k B T. xe x dx. vdu. + e x dx =. Este é o resultado clássico: a energia média de um oscilador em equilíbrio térmico é independente da sua freqüência. 2. Obtenha a fórmula de Planck para a energia média de um oscilador de freqüência ν em equilíbrio térmico a uma temperatura absoluta T. O oscilador tem uma série discreta de energias possíveis dada por E n = nhν, com n =,, 2,... O peso estatístico do estado n é p n = Ae En/k BT. Resp.: A diferença com o problema anterior é que agora a energia não é mais uma variável contínua, mas só pode assumir uma série de valores discretos. As integrais em de se transformam em somas sobre as energias discretas, ou sobre o número quântico n. A energia média fica U ν = E = p n E n, em que n= E n = nhν, e p n = Ae En/k BT = Ae nhν/k BT. A constante A pode ser determinada da condição: resultando para U ν a forma p n = A e nhν/kbt =, n= n= U ν = n= E ne En/k BT n= e En/k BT = n= nhνe nhν/k BT n= e nhν/k BT n= = hν ne nx n= e nx = hν S (x) S (x). onde definimos x = hν k B T. 2

3 A soma no denominador é uma progressão geométrica: ( S (x) = e nx = ) e x n = e. x n= A soma no numerador, S (x), pode ser obtida da derivada de S em relação a x: ds dx = d e nx = ne nx = S (x). dx Portanto, Assim n= S (x) = S (x) S (x) = n= n= e x ( e x ) 2. e x e = x e x. Levando estes resultados para a expressão de U ν, obtemos U ν = hν e hν/k BT, que é a fórmula de Planck para a energia média de um oscilador unidimensional de freqüência ν em equilíbrio térmico a uma temperatura T. O resultado é mostrado na Figura. Esta figura mostra gráficos da razão U ν /k B T, ou seja a razão entre a energia de um oscilador de Planck e a energia de um oscilador clássico. Esta razão depende apenas da razão entre o quantum de energia do oscilador, hν, e a energia térmica k B T. Em termos da variável adimensional x = hν/k B T temos: U ν k B T = x e x. No gráfico à esquerda U ν /k B T é dado em função de x ν. Este gráfico mostra, assim, o que acontece com as energias térmicas de osciladores em função da sua freqüência a uma temperatura fixa. Note que o resultado clássico só é obtido para osciladores baixas freqüências, tais que hν k B T. Ao contrário, osciladores com altas freqüências, hν k B T, têm energia térmica praticamente nula. Num conjunto de osciladores com toda gama possível de freqüências só estarão termicamente excitados, ou seja com energia térmica comparável a k B T, os osciladores para os quais hν seja no máximo da ordem de alguns k B T. Esta é a explicação para a catástrofre do ultra-violeta: embora a cavidade suporte modos normais em toda a faixa de freqüências, só estão termicamente excitados, e portanto contribuem para a densidade espectral de energia e consequentemente para a radiância, os modos com freqüências até um valor limite dado por hν k B T. Por isso a radiância vai a zero em altas freqüências, ao contrário da previsão clássica. No gráfico da direita U ν /k B T é dado em função de /x T. Podemos observar nele a evolução da energia térmica de um oscilador à medida que a temperatura aumenta. Para temperaturas baixas, k B T hν a energia térmica é desprezível. Quando k B T se torna da ordem de hν, ou maior, U ν passa a ser comparável k B T, ou seja entra no regime clássico. 3

4 U ν / k B T hν/k B T U ν / k B T k B T/hν Figura : Energia térmica de um oscilador de freqüência ν segundo Planck. 3. A densidade espectral de energia da radiação de corpo negro por unidade de freqüência é dada pela expressão de Planck: u(ν)dν = 8πν2 c 3 hν e hν/k BT dν. Mostre que a expressão para a densidade espectral por unidade de comprimento de onda é u(λ)dλ = 8π hc/λ λ 4 e hc/λk BT dλ. Resp.: As duas densidades espectrais devem obedecer à relação u(λ)dλ = u(ν)dν, onde dλ é o intervalo de comprimento de onda correspondente ao intervalo de freqüência dν. As densidades espectrais são distribuições que indicam como a densidade de energia está distribuída em freqüência, no caso de u(ν), e em comprimento de onda, no caso de u(λ). No caso da luz λ e ν estão relacionados pela relação de dispersão λν = c, o que resulta que o intervalo dλ correspondente ao intervalo dν é dado por: dλ = dλ dν dν = c λ2 dν = ν2 c dν. 4

5 λ (m) x 6 λν=c dν=(c/λ 2 )dλ 5 5 ν (Hz) x 4 Figura 2: Relação entre intervalos de freqüência e comprimento de onda para a luz. Tomando δλ =, µm resulta em diferentes intervalos de freqüência δν. A Figura 2 mostra um gráfico de λ em função de ν, e alguns intervalos de freqüência correspondentes a um intervalo fixo de comprimento de onda. Observe como o mesmo intervalo de comprimento de onda corresponde a intervalos de freqüência cada vez maiores quanto menor o comprimento de onda central. Porque as distribuições devem reproduzir a mesma densidade de energia nos intervalos correspondentes dλ e dν é claro que u(λ) u(ν = c/λ). Além disso, as duas densidades espectrais têm dimensões diferentes: uma é densidade de energia por freqüência, e outra densidade de energia por comprimento! A relação vem de ( c ) u(λ)dλ = u(ν)dν = u(ν = c/λ) λ dλ, 2 ou seja u(λ) = c 8π hc/λ u(ν = c/λ) = λ2 λ 4 e hc/λk BT. 5

6 4. Obtenha a lei de Stefan-Boltzmann para radiância total de um corpo negro, a partir da densidade espectral de energia u(λ) dada no problema anterior: R T = c 4 Dado o valor da integral definida u(λ)dλ = σt 4. y 3 dy e y = π4 5, expresse a constante de Stefan-Boltzmann, σ, em termos das constantes h, k B e c. 5. Obtenha a lei de deslocamento de Wien, para ν max e λ max, a partir das expressões para u(ν) e u(λ). Resp.: As duas densidades espectrais podem ser expressas em função da variável substituindo Fazendo isto resulta x = hν k B T = hc λk B T, ν = k BT h x, e λ = k BT hc x. u(ν) = 8πh ( ) 3 kb T x 3 c 3 h e x = C νf 3 (x), ( ) 5 kb T x 5 u(λ) = 8πhc hc e x = C λf 5 (x). Acima definimos as funções f n x = xn e x, e as constantes correspondentes C ν e C λ. A condição de máximo para as densidades espectrais são du(ν) = e dν que se reduzem, respectivamente, a du(λ) dλ =, df 3 dx = e df 5 dx =. Sendo x 3 e x 5 os valores de x nos quais f 3 (x) e f 5 (x) são máximos, teremos e λ max = x 5 ν max = x 3k B h T hc k B T, ou λ maxt = hc. x 5 k B 6

7 f 3 (x) x x 3 = f 5 (x) x x 5 = Figura 3: Funções f n (x) e a representação gráfica das equações para seus máximos: e x = x/n. As equações para x n são df n dx = xn [( nxn n (e xn ) 2 x n n ) ] e xn = ou e xn = x n n. As duas funções bem como esta condição são apresentadas na Figura 3. Os resultados, obtidos numericamente, são: x 3 = , x 5 = Note que λ max e ν max são máximos de densidades espectrais diferentes. A relação entre eles é λ max ν max = (x 3 /x 5 )c.5683c, de forma que a freqüência correspondente a λ max, c/λ max.7598ν max. 6. A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de 4 W é 3.3 K. Suponha que o filamento se comporte como um corpo negro. a) Determine a freqüência ν max do máximo de R T (ν), e o comprimento de onda correspondente. b) Compute a energia de um fóton com freqüência ν max. Expresse o resultado em joules e em ev. c) Tome ν max como uma aproximação para a freqüência média dos fótons produzidos pela lâmpada, e estime o número de fótons emitidos por segundo. 7

8 d) Um observador olha para a lâmpada a 5 m de distância. Tomando o diâmetro da pupila como,5 mm, estime o número de fótons que penetram num olho do observador por segundo. 8