INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA

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1 Introdução à Astrofísica INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 2 O CAMPO DE RADIAÇÃO Lição 19 - O campo de radiação

2 A luz observada de uma estrela provém de sua atmosfera. Um fluxo de fótons da atmosfera estelar libera a energia produzida pelas reações nucleares que ocorrem no centro da estrela. A temperatura, densidade e composição das camadas atmosféricas determinam as características do espectro observado. Para interpretar as linhas espectrais observadas, devemos descrever como a luz atravessa o gás que forma a estrela. Considere um raio de luz de comprimento de onda entre λ e λ + dλ passando através de uma superfície de área da em um ângulo θ dentro de um ângulo sólido dω. O ângulo θ é medido a partir da direção perpendicular à superfície, logo dacosθ é o elemento de área projetado em um plano perpendicular à direção na qual a radiação viaja.

3 Definimos então: E λ = E λ O termos E λ dλ é a quantidade de energia que os raios de luz carregam no cone de ângulo sólido em um intervalo de tempo dt. Assim, a intensidade específica é: I λ I λ E λ dλ dλdtdacosθdω Normalmente, a intensidade específica é tida como a intensidade em coordenadas esféricas: E λ dλ = I λ dλdtdacosθdω = I λ dλdtdacosθsenθdθdφ Esse termo representa a quantidade de energia eletromagnética tendo um comprimento de onda entre λ e λ + dλ que passa no intervalo de tempo dt através da área da dentro do ângulo sólido dω = senθdθdφ. Como I λ se propaga no vácuo, no limite em que dω, a energia do raio de luz não se espalha. Isso implica que a intensidade de luz é constante.

4 No caso geral, a intensidade específica I λ varia com a direção. Para obter a intensidade média, devemos integrar a intensidade específica em todas as direções e dividir o resultado por 4π. Assim: I λ 1 4π I λdω = 1 4π I λ 2π φ= dφ π/2 θ= senθdθ Se a intensidade de radiação é a mesma em todas as direções, então I λ = I λ. Esse é o caso do corpo negro, de modo que B λ = I λ.

5 Para determinar a quantidade de energia contida no campo de radiação, usamos uma abstração na qual temos um cilindro de comprimento dl. A radiação entra por uma extremidade do cilindro e é refletida nas paredes internas até sair pela outra extremidade. A radiação entra no cilindro com um ângulo θ e deixa o cilindro com o mesmo ângulo. O tempo o qual a radiação leva para atravessar o cilindro é: dt = dl ccosθ A quantidade de energia dentro do cilindro é: E λ dλ = I λ dλdtdacosθdω = I λ dλdadω dl c Note que o termo dadl nada mais é do que o volume do cilindro. Assim, podemos obter a densidade específica de energia dividindo E λ dλ por dadl e integrando sobre todo o ângulo sólido: u λ dλ = 1 c I λ dλdω 2π = 1 c φ= Se a radiação for de um corpo negro: π θ= I λ dλsenθdθdφ = 4π c I λ dλ u λ dλ = 4π c B λdλ = 8πhc/λ5 e hc/λkt 1 dλ

6 Para encontrar a densidade de energia total, u, integramos u λ dλ sobre todos os comprimentos de onda. u = u λ dλ = 4π c B λ T dλ = 4σT4 c = at 4 O termo a = 4σ/c é chamado de constante de radiação. Seu valor é a = 7, Jm 3 K 4. Definimos o fluxo radiativo específico, F λ dλ, como a energia que tem um comprimento de onda passando a cada segundo através de uma parea unitária. F λ dλ = I λ dλcosθdω = 2π φ= π θ= I λ dλcosθsenθdθdφ Se o termo I λ for o mesmo para qualquer direção, então existe uma quantidade igual de radiação vindo de todos os pontos. Logo, o fluxo é zero.

7 PRESSÃO DE RADIAÇÃO Um fóton possui energia. A relatividade nos diz que esse fóton carrega um momento dado por: p = E c Isso implica que o fóton exerce uma pressão de radiação. Vamos supor que fótons estejam colidindo em uma superfície refletora de área da. Os fótons colidem formando um ângulo θ e formam um ângulo sólido dω.

8 A variação na componente z do momento dos fótons é: dp λ dλ = = E λcosθ c p λ final p λ inicial dλ = 2E λcosθ c E λcosθ c dλ = 2 c I λdλdtdacos 2 θdω Integraremos sobre todo o hemisfério em todas as direções incidentes. Assim, obteremos P rad dλ, que é a radiação exercida pelos fótons com comprimento de onda entre λ e λ + dλ. 2π P rad dλ = 2 c φ= π/2 θ= dλ I λ dλcos 2 θsenθdθdφ

9 Vamos, agora, retirar nossa superfície refletora e colocar uma superfície com caráter mais matemático. O que vai ocorrer é que os fótons não irão mais se refletir. Eles irão transpassar pela nossa nova superfície. O que mudará em nossa equação é o fator 2 e agora iremos integrar sobre todos os ângulos sólidos. Assim: 2π P rad dλ = 1 c φ= π θ= I λ dλcos 2 θsenθdθdφ = 4π 3c I λdλ Integrando essa equação, encontramos a pressão de radiação total produzida pelos fótons de todos os comprimentos de onda: Para um corpo negro: P rad = P rad dλ P rad = 4π 3c B λ T dλ = 4σT4 3c = 1 3 at4 = 1 3 u

10 O gráfico mostra o quanto o espectro solar se afasta da distribuição de corpo negro. Note que há um decréscimo da intensidade produzido por uma densa série de linhas metálicas de absorção. Esse é o efeito de line blanketing. Quando falamos sobre a temperatura de uma estrela, devemos definir essa temperatura de acordo com o processo físico o qual estamos analisando. A temperatura efetiva da estrela é aquela a qual é obtida através da lei de Stefan-Boltzmann: F = σt 4 Já se analisarmos a equação de Boltzmann, teremos a chamada temperatura de excitação. Por outro lado, se utilizarmos a equação de Maxwell- Boltzmann, iremos obter a temperatura cinética da estrela.

11 A temperatura de ionização é dada pela equação de Saha. Por fim, a temperatura de cor é obtida quando ajustamos o espectro de uma estrela com a função de Planck: B λ T = 2hc2 /λ 5 e hc/λkt 1 Todas essas temperaturas se aplicam para qualquer ponto dentro da estrela (exceto a temperatura efetiva). Embora usamos definições diferentes para cada uma dessas temperaturas, elas serão iguais se analisarmos um caso simples de um gás confinado dentro de uma caixa. O gás confinado na caixa está em equilíbrio com a radiação de corpo negro. Qualquer processo (seja a absorção de um fóton, por exemplo) ocorre na mesma taxa que seu processo inverso (a emissão de um fóton). Essa condição é o que chamamos de equilíbrio termodinâmico. Mas isso não se aplica a uma estrela. A estrela possui regiões mais quentes e regiões mais frias. Porém, podemos analisar o caso ideal se a distância a qual a temperatura varia for muito maior do que a distância percorrida pelas partículas e fótons entre colisões (o chamado livre caminho médio). Para esse caso, denominamos o equilíbrio termodinâmico local.

12 A fotosfera é a camada da atmosfera do Sol onde os fótons escapam para o espaço. De acordo com um modelo de atmosfera do Sol a temperatura em uma região da fotosfera varia de 558 K a 579 K sobre uma distância de 25 km. A distância característica sobre a qual a temperatura varia é: T ( )/2 H T = = = 677 km dt/dr /25 A densidade da fotosfera é da ordem de ρ = 2,1 1 4 kgm 3, consistindo basicamente de átomos de hidrogênio no estado fundamental. O número de átomos por metro cúbico é: n = ρ = 1, m 3 m H Onde m H é a massa de um átomo de hidrogênio. Esses átomos irão colidir entre si? Dois átomos irão colidir se os seus centros passam a uma distância igual ou menor do que dois raios de Bohr um do outro.

13 Para um caso análogo, podemos supor um átomo com raio igual a duas vezes o raio de Bohr movendo-se com velocidade v em meio à uma coleção de pontos estacionários que representam os centros de outros átomos. Em um intervalo de tempo t, o átomo percorre uma distância vt cobrindo um cilindro de volume: π 2a 2 vt = σvt Onde σ = π(2a )² é a seção de choque de colisão do átomo. Dentro desse volume V, existem nv = nσvt átomos pontuais com os quais o átomo grande colide. A distância média percorrida entre as colisões será: l = vt nσvt = 1 nσ O valor l é o livre caminho médio.

14 Seja um feixe de luz atravessando um gás. Se fótons forem removidos do feixe pelo gás, então dizemos que ocorreu absorção. Essa absorção também leva em conta o espalhamento dos fótons. Uma variação na intensidade, di λ, de um raio luminoso de comprimento de onda λ, quando atravessa um gás é proporcional a sua intensidade I λ, à distância atravessada ds e à densidade do gás ρ. Assim: di λ = κ λ ρi λ ds O sinal de negativo implica na diminuição de intensidade devido à absorção do fóton. O termo κ λ é o coeficiente de absorção, ou opacidade. Considere um feixe de luz atravessando um gás com intensidade inicial I λ, em s =. A intensidade final, I λ,f, após a luz atravessar uma distância s é determinada pela integração da equação acima: I λ,f s diλ = κ λ ρds I λ, I λ I λ = I λ, e κ λρs

15 Para fótons espalhados, a distância l é o livre caminho médio. A partir da equação do livre caminho médio, temos que: l = 1 κ λ ρ = 1 nσ λ Note que isso implica que o livre caminho médio é diferente para fótons de diferentes comprimentos de onda. Definimos a profundidade ótica, τ λ, como: dτ λ = κ λ ρds Nessa equação, s é a distância medida ao longo da trajetória do fóton na direção de seu movimento. A diferença de profundidade ótica entre a posição inicial de um raio de luz (s = ) e sua posição final é dada por: Δτ λ = τ λ,f τ λ, = κ λ ρds

16 Podemos tomar as camadas mais externas da estrela como τ λ =. Com isso, nossa equação fornece a profundidade ótica inicial de um raio de luz que atravessou uma distância s até alcançar a atmosfera: τ λ, = τ λ, = s s κ λ ρds κ λ ρds A profundidade ótica pode ser pensada como o número de livres percursos médios a partir da posição original até a superfície. Se τ λ 1 para um raio de luz passando através de um gás, então o gás é dito oticamente espesso. Se τ λ 1 o gás é oticamente fino. Como a profundidade ótica depende do comprimento de onda, um gás pode ser espesso em um comprimento de onda e fino em outro. A atmosfera terrestre é oticamente fina à luz visível, mas oticamente espessa a comprimentos de onda dos raios-x. As medidas de fluxo radiativo e magnitude de uma estrela são corrigidas pela absorção da luz na atmosfera da Terra.

17 A figura ao lado mostra que um raio de luz de intensidade I λ, entra na atmosfera terrestre em um ângulo θ e chega até um ponto (um telescópio). A intensidade da luz detectada no telescópio é I λ. Devemos determinar o valor de I λ,. Tomando τ λ = no telescópio e h a altura da atmosfera, então a profundidade ótica será dada por: τ λ = Usando ds = dz/cosθ = secθdz: s s κ λ ρds τ λ = κ λ ρds = κ λ ρ dz cosθ = secθ κ λ ρdz = τ λ, secθ h De modo que τ λ, é a intensidade de um fóton viajando verticalmente. Temos então: I λ = I λ, e τ λ I λ = I λ, e τ λ,secθ Note que essa equação apresenta duas incógnitas. Logo, não podemos resolver nosso problema fazendo uma única observação. Mas na medida que a Terra gira, o ângulo θ muda e assim podemos obter um gráfico de várias medidas. Analisando a curva de nosso gráfico, podemos obter o valor para τ λ,. h

18 No geral, existem quatro fontes principais de opacidade disponíveis para remover fótons estelares de um feixe de luz. Cada uma envolve uma variação no estado quântico de um elétron e os termos ligado e livre referem-se se os elétrons estão ligados aos átomos e íons ou não. Na transição ligado-ligado, o elétron em um átomo faz uma transição de um estado orbital para outro. Na absorção ligado-livre, um fóton possui energia suficiente para ionizar um átomo. Quando temos um processo de espalhamento, temos uma absorção livrelivre. Isso ocorre quando um elétron livre na vizinhança de um íon absorve um fóton, o que ocasiona o aumento de sua velocidade. Pode ocorrer também de um elétron perder velocidade ao passar perto de um íon. Esse processo, o qual o elétron diminui sua velocidade, é chamado de breamsstrahlung.

19 Por fim, temos o espalhamento por elétrons, no qual um fóton não é absorvido, mas sim espalhado por um elétron livre através de um processo chamado de espalhamento Thompson. Quando dizemos que uma estrela está em equilíbrio, estamos nos referindo ao fato dela não estar variando a energia total contida dentro de qualquer camada da atmosfera ou interna. Todos os processos de absorção ou emissão de energia devem estar em balanço. Qualquer processo que adiciona fótons ao feixe de luz é um processo de emissão.

20 Consideremos os processos de emissão que aumentam a intensidade do raio de luz de comprimento de onda λ na medida que este viaja pelo gás. O aumento da intensidade é proporcional à distância a qual o raio de luz viaja e à densidade do gás. Para uma emissão pura: di λ = j λ ρds O termo j λ é o coeficiente de emissão do gás. Este coeficiente varia com o comprimento de onda. Combinando os processos de absorção e emissão: di λ = κ λ ρi λ + j λ ρds Ao longo do percurso do raio de luz, processos de emissão e absorção ocorrem (determinados pelas condições locais). A razão das taxas de emissão e absorção determina quão rapidamente a intensidade do feixe de luz varia e descreve a tendência da população de fótons no feixe.

21 Assim, dividimos a expressão anterior por κ λ ρds: 1 di λ κ λ ρ ds = I λ j λ κ λ A razão dos coeficientes de emissão e absorção é chamada função fonte (S λ ). Essa função descreve como fótons originalmente viajando no feixe são removidos e recolocados por fótons da vizinhança do gás. Assim, nossa equação fica: 1 di λ κ λ ρ ds = I λ S λ Essa é uma das formas da equação de transferência radiativa.