NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA

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1 NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 15 MODELOS NUCLEARES Primeira Edição junho de 2005

2 CAPÍTULO 15 MODELOS NUCLEARES ÍNDICE Introdução Composição dos Núcleos Estabilidade dos Núcleos e Modelo do Gás de Fermi Espalhamento de Elétrons e Raio Nuclear Massa Nuclear e Energia de Ligação Modelo Nuclear da Gota Líquida e Equação de Weizsäcker Facultativo Interação entre Nucleons Modelo de Camadas e Números Mágicos Isospin Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos. 2

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79 Lista de Exercícios 1- Calcule o comprimento de onda de de Broglie para um elétron com energia cinética de 183MeV. Qual a energia de um feixe eletrônico corresponde a 1 fm de comprimento de onda de de Broglie? Resp.: 6,76 fm, 1240MeV. 2- Sabe-se que, para um modelo nuclear esférico, a análise de espalhamentos de elétrons por núcleos mostra que a densidade de carga nuclear pode ser descrita por uma distribuição de Fermi: ρ ρ = 1 + e 1 ( r) ( r R) z1 ρ ( r) ρ1 onde, os parâmetros R e z 1 controlam a dependência com a distância radial r. A Figura ao lado mostra a curva característica desta função.]mostre que a espessura da superfície nuclear t satisfaz relação: t 4ln3 z = 1 1, 0 0,9 0,5 0,1 R Espessura da Superfície t r a O nuclídeo espelho e 15 O tem massas atômicas 15, e 15, uma.., 7N respectivamente. (a) Sabendo-se que M ( H) 1, uma.. e M n diferença de energia de ligação Eb( N) Eb( O) A 1 A 2 Eb( X) = ZM ( H) NMn M ( X) + c, em unidades de MeV (b) A diferença de energia de ligação Eb( N) Eb( O) energia Coulombiana V ( Ze) 2 0 = = 1, uma.., calcule a = obtida da equação = é identificada com a diferença de = 3 54πε R, tal que, tomando-se Z = 7 e Z = 8, tem-se 2 = 3 e c V 8 V = 7 ( ) 9 5 α 4πε0R = R uma expressão alternativa para a quantidade em função de uma quantidade R que é da ordem do raio nuclear. A partir dessa equação calcule o valor de R e o valor previsto do 13 parâmetro radial R 0 presente na equação R = RA 0. Resp.: (b) R = 3,666 fm e R0 = 1, 487 fm. 4- A figura abaixo mostra três distribuições elementares de cargas identificadas como configurações monopolo, dipolo e quadrupolo elétricos. 79

80 z + e + + e z + _ - e + e - 2e z + _ + + e Monopolo Dipolo Quadrupolo Para o monopolo elétrico, o potencial eletrostático a uma distância (a) Para o dipolo elétrico consistindo de uma carga e (0,0, d 2), o potencial eletrostático, é ou, φ dip ( r) φ dip + em ( 0,0, 2) e 1 1 = πε x y z d 2 x y z d 2 ( r) ( ) ( ) e 1 1 = ( r zd + d ) ( r + zd + d ) πε0 4 4 e r, é φmon ( r) = 4πε r. d e uma carga e em 0 pois, x y z r = e ( ) 2 2 e 1 zd d = 1 zd d 4πε0r + r 4r + + r 4r z± d 2 = z ± zd + d o fato que d << r, para mostra que ed z p z φdip ( r) = 3 3 4πε0 r 4πε0 r onde a quantidade p = ed denota o momento de dipolo elétrico.. Use expansões do tipo ( ) e n 1± ξ = 1 ± nξ +... (b) Para dois de tais dipolos com sinais opostos com + p localizado em ( 0,0, d 2) e p localizado em (0,0, d 2) formando um quadrupolo elétrico, o potencial eletrostático numa posição r, será p z d 2 z d 2 φqua ( r + ) = ou, como no caso anterior φ qua ( ) πε x + y + z d 2 x + y + z+ d 2 ( ) ( ) p d zd d d zd d r = z 1 z πε0r 2 r 4r 2 r 4r

81 Use novamente as expansões do caso anterior e o fato que d << r, para mostra que φ qua ( r) πε0r r 4πε0 r pd z pd 3z r Esse resultado contém a característica polinomial de quadrupolos ( 3z 2 r 2 ) (15.44) das notas de aula., como usado na eq. 5- No modelo do potencial quadrado para a energia de ligação do dêuteron, a função radial rr( r)satisfaz a equação diferencial radial similar aquela adotada para átomos monoeletrônicos: d dr M 2 ( rr) V 2 2 ( r) + Eb ( rr) = 0 onde M é a massa comum do próton e nêutron e partícula em qualquer estado ligante. Se a altura do poço de potencial é é r = r 0, tal equação torna-se E b é a energia de ligação do sistema de ( ) = V0 V r e a largura e d dr 2 M ( rr) + [ V E ]( rr) b 0 = para r < r0 d dr M 2 ( rr) E 2 2 b ( rr) = 0 para r > r0 ou, e (01) onde + = 0 para r < r 0 ( rr) K 2 ( rr) = 0 para r > r 0 ( rr) k 2 ( rr) ME k = b e K = ( E ) M V 0 b (02) As soluções das eqs. (01), são ( ) rr r asenkr r < r 0 = kr be r > r0 (03) 81

82 (a) Mostre que a condição de continuidade da função ( ) resulta na condição: Kctg ( Kr0 ) (b) Da equação obtida no item (a), verifica-se que: = k rr r e de sua derivada no ponto r = r0, K sen Kr0 = = ctg Kr0 K + k ou K senkr0 = 2 2 K + k A partir dessa equação e da condição de continuidade da função constantes a e b, presentes nas soluções (03), relacionam-se por: rr( r), mostre que as K b= a e 2 2 K + k kr0 6- O modelo do potencial quadrado para o dêuteron produz uma autofunção da forma ψ senkr r < r0 a = 0 4π r e r r > K + k ( r) K k( r r ) onde, os parâmetros r, k e K são identificados no exercício anterior. Use a condição de normalização, ψ ( ) τ = 4π ψ ( ) constante a = 2k 1+ kr 0 r d r r dr = 1, da função de onda ψ ( r) para obter a. 0 (a) Mostre que o valor esperado de r do dêuteron no modelo do potencial quadrado, discutido ( 1+ kr0 ) 2 13 no exercício anterior, é r =. (b) Sabendo-se que Eb ( H) = 2,225MeV = 3,56 10 J e 2k 27 M = M p = 1, kg, calcule o valor de r para r 0 = 1, 6 fm. Sugestão para item (a): No cálculo de r : 2 r0 2 * * 2 a K 1 3 2k( r r0 ) r = ψ rψdv= ψ rψr dω= r sen Krdr4π r e dr π + r K + k r 0 r0 82

83 ou r K 2k( r r0 ) r = a rsen Krdr + re dr 2 2 K + k 0 r0 usando as integrais consultadas em tabelas: cos2 8 α x 2 2 α x xsen α x = ( x xsen x x), xe dx = 2 ( α x 1) e α a condição de continuidade das funções de onda ( r) a a K senkr0 = 4πr 4πr K + k ψ em r = r0 : ou senkr0 = K K + k 2 2 e a condição de continuidade da derivada das funções de onda dψ em r = r : 0 dr mostre primeiramente que: a Kcos Kr senkr r r 2 4π r= r0 ou cos Kr0 = K k + k 2 2 r rk 0 rk 0 2kr rsen Krdr = e ( K + k ) No final dos cálculos não se esqueça de adotar a = Resp.: (b) r = 2,96 fm. 2k 1+ kr r0 0 re. 2kr ( r0 ) 1+ 2kr0 dr = 2 4k 7- Deduza as previsões do modelo de camadas para os spins nucleares e paridades dos nuclídeos de números de massa A ímpares 15,, N 23 Na 27 Al e 95 Mo. Resp.: 1 2, 5 2 +, 5 2 +,