Mecânica Geral 1 - Notas de Aula 2 Equilíbrio de Corpos Rígidos Centro de Massa Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.

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1 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Estátca do ponto materal. Estátca do corpo rígdo. Les de ewton Introdução: dnâmca estuda a relação entre os movmentos e suas causas, as forças que o produzem. Estudamos a cnemátca para descrever o movmento. dnâmca estudará como e porquê os corpos se movem. Força, na lnguagem cotdana, sgnfca empuxar ou empurrar. Para entendermos a força, precsamos vsualzá-la como um vetor, que é exercdo por uma agente sobre outro, aplcado em um ponto denomnado ponto de aplcação. Les de ewton Prmera Le de ewton Le da Inérca. Quando a força resultante sobre um corpo é gual a zero ele se move com velocdade constante (que pode ser nula) e aceleração nula. Inérca de repouso: Propredade de um corpo de não alterar seu estado de repouso. Inérca de Movmento: Propredade de um corpo de manter seu estado de movmento. Segunda Le de ewton Quando a força resultante externa atua sobre um corpo, sele se acelera. aceleração possu a mesma dreção e sentdo da força resultante. O vetor força resultante é gual ao produto da massa do corpo pelo vetor aceleração resultante do corpo. n 1 F ma Undade de força: ewton: 1 = 1kg. 1m/s² 1 dn = 10-1 lb = Tercera Le de ewton Quando um corpo exerce uma força sobre um corpo B (uma ação ), então o corpo B exerce uma força sobre o corpo (uma reação ). Essas duas forças possuem o mesmo módulo e dreção, mas possuem sentdos contráros. Essas forças atuam em corpos dferentes. Refermos a essas forças como um par ação-reação. Exemplos: plcação de forças em objetos: R Força de contato: Força ormal. Força de tração ou tensão. Força resultante 1

2 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa ção e Reação u nˆ u u nˆ Decomposção das forças: orma ou módulo de um vetor v x z, norma ou módulo de um vetor (,, ) denotado por v ou x x z z 0 v é defnda por: v x z v v ( x,, z) ormalzação de um vetor: Dado um vetor u qualquer, o vetor de módulo 1 que aponta na mesma dreção e sentdo de u é dado por: Ou: x ˆ ˆj z kˆ u u u nˆ xu u zu nˆ cos ˆ cos ˆj cos kˆ Dessa relação, obtém-se: cos cos cos 1 Importante: v é um vetor, por tanto possu módulo dreção e sentdo. v é o módulo do vetor v, sendo portanto um número. Determnação de forças Para determnar uma força no espaço R devemos: 1. Localzar o ponto de aplcação.. Encontrar o vetor na dreção da força. B B. ormalzar o vetor. n ˆB 4. Encontrar a força: F F nˆ ÂB B B B B Vetor Untáro e Versores. Um vetor untáro é aquele que possu norma ou módulo 1: v 1 Dado um vetor v ( x,, z), para encontrarmos o vetor untáro de mesma dreção de v, denomna-se versor de v. Representaremos o versor de v por ˆv : v vˆ v

3 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa O versor é um vetor untáro, pos: v 1 vˆ v 1 v v Chamamos de base no espaço R um conjunto de três vetores lnearmente ndependente (LI), ou seja, nenhum deles pode ser obtdo por uma combnação lnear dos outros dos. v, v, v 1 Um caso partcular e de nteresse na Geometra são as bases em que os vetores são untáros e perpendculares entre s. Essas bases denomnam-se bases canôncas. Dzemos que tas vetores são ortonormas. o espaço R, a base canônca é representada por: ˆ, ˆ j, k ˆ Onde: ˆ 1,0,0 ˆj 0,1,0 k ˆ 0,0,1 Defndo os versores, podemos escrever um x z como sendo: v v ˆ v ˆj v kˆ vetor v (,, ) x Produto Escalar entre dos vetores: Defnção: O produto escalar dos vetores u x ˆ ˆ ˆ u u j zu k v x ˆ ˆ ˆ v v j zv k representado por uve é dado por: u v x x z z u v u v u v Propredades do produto escalar:. u v v u. u v w u v u w. u v uv u v v. u u 0 u 0 e u u 0 u 0 v. u u u Observações: z u 1. uu é chamado de quadrado escalar do vetor u v u u v v.. u v u v u v Defnção Geométrca do produto escalar: Dados dos vetores u e ve o ângulo entre eles defnmos o produto escalar como sendo: u v u v cos plcando a Le dos cossenos: cos v u v u v v u v u v u cos u Utlzando a propredade : u v u u v v u u v v v u v u cos vetor. u v v u cos u v v u cos Ângulos dretores e cossenos dretores de um Dado um vetor u x ˆ ˆj z kˆ não u u u nulo chama-se ângulo dretor aos ângulos que o vetoru forma com os versores ˆ, ˆj, k ˆ. Produto Vetoral entre dos vetores: Defnção: O produto vetoral dos vetores u e v tomados nessa ordem, onde u x ˆ ˆ ˆ u u j zu k v x ˆ ˆ ˆ v v j zv k v e dado por: é representado por u v u

4 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa ˆ ˆj kˆ u v x z u u u x z v v v plcando o Teorema de Laplace na prmera lnha: z x z x u v u u ˆ u u ˆj u u kˆ z x z x v v v v v v Ou: u v ˆ ˆ ˆ uzv zu v zvxu xvzu j xu v xv u k Característcas do vetor u v : 1. dreção de u v é ortogonal aos vetores u e v. u v u v u u u v x x z z x x z z x z z u v u v u v u v u v u v u v u z v z u v z v x u x v z u x u v x v u u z v z u v z v x u x v z u x u v x v u u v u v u v u v u v u v cos u v u v u v 1 cos x x z z u v x x z z x z z u v u v u u u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v x x z z x z z u v u v u v u v u v u v u v x x z z x z z sen u v u v sen 4. Observe pela fgura que o produto vetoral também é ortogonal ao plano p defndo pelos vetores u e v.. O sentdo do vetor u v é dado pela regra da mão dreta ou regra do parafuso ou regra do sacarolhas. 4. Comprmento ou norma: se é o ângulo entre os vetores u e v não nulos, então a norma de uv e é dada por: u v u v sen Demonstração: u v u zv zu v zvxu xv zu xu v xv u u v u zv zu v u zvzu v z vxu zvxu xvzu xvzu x u v xu vxv u xv u u v x x z z z z z x x z x x u v u v u v u v u v v u v u u v v u x x z z u v u v u v u u u v v v u v x z x z Propredades: 1. u v v u. uu 0 u v w u v w. (não é assocatvo) 4. u v w u v u w 4. u vw u w v w. u v uv u v 6. u v w u v w 7. u v w u wv u vw 8. u v w v wu wu v 0 9. u vwt u wv t u t v w 10. u vwt u vt w u v w t 11. u vwt wt u v wt vu Interpretação Geométrca

5 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa kˆkˆ 0 ˆj kˆ kˆ ˆj ˆ O produto vetoral dos vetores u e v tomados nessa ordem, onde é o ângulo entre os dos vetores é nterpretado geometrcamente como o módulo da área do paralelogramo defndo pelos dos vetores. S base altura S u v sen S u v plcações: Torque ou Momento de uma força aplcada num ponto em relação a um ponto O: x z O M O O F Força magnétca sobre uma partícula de carga q que penetra numa regão de Campo Magnétco Unforme. Força de Lorentz: F qe qv B q v E B Produto msto de três vetores: O produto msto entre os vetores u, v e w é o número dado por: u v w Defnndo os vetores: u x ˆ ˆ ˆ u u j zu k v x ˆ ˆ ˆ v v j zv k w x ˆ ˆj z kˆ w w w O produto msto entre eles é defndo: ˆ ˆj kˆ u v w u x z v v v x z w w w z x z x u v w x z e, portanto, v v v v v v u u u w zw xw zw xw w x z u u u u v w x z v v v x z w w w Propredades: 1. O produto msto muda de snal ao permutarmos a ordem de dos vetores do produto. u v w u v w.. u t v w u v w t v w 4. u v t w u v w t v w u v w t u v w t v w. 6. u vw u v w u v w 7. u v w 0 u, v e w mesmo plano Propredades: Versores ˆˆ 0 ˆ ˆj ˆj ˆ kˆ ˆj ˆj 0 kˆ ˆ ˆ kˆ ˆj Interpretação Geométrca:

6 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa é um número cujo valor é o volume do paralelepípedo formado pelo comprmento dos respectvos vetores. u v w u v w sencos u v w u v sen w u v w abc cos a b ch onde V é o volume do paralelogramo formado pelos três vetores u, v e w. Volume do tetraedro: Sendo três pontos (a,a,0), B(0,a,a) e C(a,0,a) não coplanares, chamando os vetores: u O u aˆ a ˆj 0kˆ v OB v 0ˆ a ˆj akˆ w OC w aˆ 0 ˆj a kˆ V a a 0 0 V u v w a a a a 0 a V a V Vp Vp a p Vpr V V a a pr Vpr 6 Ou 1 Vpr u v w 6 6 O volume do paralelepípedo V será o produto msto dos três vetores u, v e w. Este paralelepípedo é dvddo em dos prsmas trangulares de mesmo tamanho. Portando o volume de cada prsma, V p é a metade do volume do paralelepípedo. Da geometra elementar, sabemos que o prsma pode ser dvddo em três prâmdes de mesmo volume V pr, uma delas representada na fgura. Logo: Corpos Rígdos Sstemas equvalentes de forças Introdução

7 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Há dos tpos de tratamento de um corpo, quando queremos estudar suas condções de equlíbro ou de movmento: ponto materal ou corpo rígdo. O corpo rígdo é aquele que não se deforma, porém as estruturas e máqunas reas nunca são absolutamente rígdas. Quando há rscos de rupturas são tratadas em Resstênca dos materas. Estudaremos as forças aplcadas em corpos rígdos e como substtur um dado sstema de forças por um sstema de forças equvalente. hpótese fundamental sobre a qual se baseará a análse é que o efeto de uma força aplcada em um corpo rígdo não se altera se a força é deslocada ao longo de sua lnha de ação (prncípo da transmssbldade). Dos concetos mportantes assocados ao efeto de uma força sobre um corpo rígdo são o momento de uma força em relação a um ponto e o momento de uma força em relação a um exo. Outro conceto mportante é o de um bnáro, que é a combnação de duas forças que tem a mesma ntensdade, lnhas de ação paralelas e sentdos opostos. Forcas Internas e Externas s forças que atuam em corpos rígdos podem ser classfcadas em dos tpos: Forças externas: representam a ação de outros corpos sobre um corpo rígdo. Consdere as forças que atuam sobre um camnhão: Forças nternas: são as que mantém undos os pontos materas que formam o corpo rígdo. Prncípo da Transmssbldade. Forças equvalentes. O prncípo da transmssbldade estabelece que as condções de equlíbro ou de movmento de um corpo rígdo permanecem nalteradas de uma força F, que atuam em um determnado ponto de um corpo rígdo, é substtuída por uma força F de mesmo módulo, dreção e sentdo, mas que atua num ponto dferente, desde que as duas tenham a mesma lnha de ação. s forças F e F têm o mesmo efeto sobre o corpo rígdo e são dtas equvalentes. Fgura Forças equvalentes. Momento ou torque de uma força: Defnção: Defnmos o momento de uma força em relação a O como sendo o produto vetoral de F e r: 7 O, Fgura Momento de uma força M o em relação a Fgura 1 Forças externas sobre um camnhão. O peso P pode ser representado por uma únca força aplcada num ponto denomnado de barcentro do camnhão. O solo se opõe ao movmento descendente do camnhão com as forças R 1 e R. Essas forças são exercdas pelo solo sobre o camnhão. Se cada uma das forças externas que atuam num corpo rígdo não for neutralzada, serão capazes de comuncar ao corpo rígdo um movmento de translação ou de rotação. MO r F o r F r xˆ j ˆ zkˆ F F ˆ F ˆj F kˆ O x z M r F sen Fd

8 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa M M ˆ M ˆj M kˆ O x z M x Fz zf M zf xf x z M z xf Fx ˆ ˆj kˆ M x z O F F F x z Determne: (a) o momento da força em relação ao ponto O. (b) uma força horzontal aplcada em que possua o mesmo momento em relação ao ponto O. (c) a menor força aplcada em que possua o mesmo momento em O. (d) em que ponto deve atuar uma força vertcal de 40 lb de modo que possua o mesmo momento em O. (a) 8 Undade:.m Teorema de Vargnon: r F F F r F r F r F 1 n 1 n 4 cos 60 0 ˆ r sen ˆj O r 1ˆ 1 ˆj O F 100 ˆj MO ro F M 1 ˆ 1 ˆj 100 ˆj O k 0 M ˆ ˆ ˆ ˆ O j j j 100k lb n MO Exemplos: 1. Uma barra rígda de 4 n (1n =.4cm) está artculada no ponto O e sujeta a uma força aplcada em de ntensdade 100 lb. (b)

9 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa F k ˆ F cos0 j ˆ 1 F sen0 ˆj ˆj M 6 F kˆ 18 F kˆ M 4 F kˆ O M F 100 F 0lb O O r 1ˆ 1 ˆj O F F ˆ MO ro F M 1ˆ 1 ˆj F ˆ O 0 kˆ M 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ O F F j 1 F kˆ MO 100 MO 1 F 100 F lb (c) F Encontre a aceleração do corpo no plano nclnado, supondo que não há atrto. Solução: n Fx 0 1 ma m g sen n m g cos 0 F m a 1 a g sen. che a aceleração do sstema e a força trocada entre os corpos: (a) 9 O r 1ˆ 1 ˆj O F F 0 0 F F cos0 F sen0 j ˆ M r F O O 1 ˆ 1 ˆ cos0 0 ˆ 0 0 ˆ M j F F sen j 0 kˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 MO 1 F cos 0 1 F sen0 j ˆ F FR m1 m a F a m1 m m F1 m a F F1 F m1 m F F R m 1 1 a F F F F m m m (b) Máquna de twood. 1 m m F m F m F F F m1 m m1 m

10 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa (b) 10 R F m m a P P 1 1 m m 1 a g m1 m m m 1 T m1 g m1 g m1 m m1 m T g m m 1 (c) (c) R F m m a P sen P 1 1 msen m 1 a g m1 m F m a T P T m a m g R msen m 1 T m1 g m1 g m1 m m1 m T 1 sen g m m 1 (d). Uma força de 800 é aplcada como lustrado. Determne o momento da força em relação a B. 4. (a)

11 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Solução: O momento M B da força F em relação a B é obtdo através do produto vetoral: M r F B B B r : vetor que lga de B a. r 0.ˆ 0.16 ˆj B 0 0 F 800cos sen 60 j ˆ F 400ˆ 69 ˆj ˆ 0 Q 10sen0 1. MO Q m 46. m MO 7. Uma placa retangular é sustentada por suportes em e em B e por um fo CD. Sabendo que a tração no cabo é de 00, determne o momento da força exercda pelo fo na placa, em relação ao ponto. 11 B M r F B B 0. ˆ 0.16 ˆ 400 ˆ 69 ˆ M j j M B 0.6kˆ m 6. Uma força de 10 atua na extremdade de uma alavanca de 0.9m, como lustrado. Determnar o momento da força em relação a O. Solução: força é substtuída por duas componentes: uma P na dreção O e uma componente Q perpendcular a O. Como O está na lnha de ação de P, o momento de P em relação a O é 0. O momento da força de 10 se reduz ao momento de Q, que tem sentdo horáro, portanto é representado por um escalar negatvo: Solução: M r F C r C : vetor que lga de a C. r C 0.ˆ 0.08kˆ C F F n ˆCD n ˆCD CD CD CD D C 0.ˆ 0.4 ˆj 0.kˆ CD CD 0.m CD 0. ˆ 0.4 ˆ 0. nˆ ˆ CD j k CD nˆ 0.6ˆ 0.48 ˆj 0.64kˆ CD F F nˆ F ˆ 0.48 ˆj 0.64kˆ CD ˆ F 10ˆ 96 ˆj 18k

12 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa M r F C 0.ˆ 0.08 ˆ 10ˆ 96 ˆ 18 ˆ M k j k ˆ M 7.68 ˆ 8.8 ˆj 8.8k m Força de atrto Materal e c ço em aço lumíno em aço Cobre em aço Borracha em concreto Madera em madera Vdro no vdro Gelo no gelo Madera na neve (úmda) Observe que >. e O coefcente de atrto é ndependente da área de contato das superfíces. c Força de atrto estátca: F F Força de atrto de destaque: F ad a e (Máxmo valor da força de atrto estátca). : coefcente de atrto estátco. e Força de atrto dnâmca ou cnétca: F c ac : coefcente de atrto cnétco. e c

13 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa (e) se alguma das forças obtdas nos tens anterores é equvalente a força orgnal. (d) 1 F d P 1. Uma força vertcal de 00 é aplcada na extremdade de uma manvela fxada a um exo em O. Determnar: (a) O momento da força de 00 em relação a O (b) a ntensdade da força horzontal aplcada em que produz o mesmo momento em relação a O. (c) a menor força aplcada em que produz o mesmo momento em relação a O. (d) a dstânca a que uma força vertcal de 100 deverá estar do exo para gerar o mesmo momento em relação a O. O 0 0 rop d cos 60 d sen60 j ˆ F F 40lb FP F ˆj M r F O OP P cos 60 0 ˆ 60 0 ˆ 40 ˆ M d d sen j j k ˆ M cos ˆ ˆ ˆ ˆ O d j d sen j j M 100 d 10 d 10n O. Calcule o torque (módulo, dreção e sentdo) em torno de um ponto O de uma força F em cada uma das stuações esquematzadas na Fgura 4. Em cada caso, a força F e a barra estão no plano da págna, o comprmento da barra é gual a 4.00 m e a força possu módulo de valor F = Fgura 4 ˆ

14 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa. Calcule o torque resultante em torno de um ponto O para as duas forças aplcadas mostradas na Fgura. Fgura 4. Uma placa metálca quadrda de lado gual a m possu o exo pvotado perpendcularmente ao plano da págna passando pelo seu centro O (Fgura 6). Calcule o torque resultante em torno desse exo produzdo pelas três forças mostradas na fgura, sabendo que F 1 = 18.0, F = 6.0 e F = O plano da placa e de todas as forças é o plano da págna. Fgura 6 6. Uma força atuando sobre uma parte de uma máquna é dada pela expressão:.00 ˆ 4.00 F ˆj O vetor da orgem ao ponto onde a força é aplcada e dado por: 0.4 ˆ 0.1 r m m ˆj (a) Faça um dagrama mostrando r F e a orgem. (b) Use a regra da mão dreta para determnar a dreção e o sentdo do torque. (c) Determne algebrcamente o vetor torque produzdo por essa torça. Verfque se a dreção e o sentdo do torque são guas aos obtdos no tem (b). Fgura 8 - Regra da mão dreta. 14 Em cada problema, esboce o dagrama de corpo lvre. 1. Encontre as reações de apoo na barra mostrada. Suponha peso da barra desprezível.. s forças F 1 = 7.0 e F =.0 são aplcadas tangencalmente a uma roda com rao gual a 0.0 m, conforme mostra a fgura 7. Qual é o torque resultante da roda produzdo por estas duas forças em relação a um exo perpendcular à roda passando através de seu centro? Resolva o caso (b). Fgura 7 (a). Determne a tensão na corda supondo que não haja atrto e a pola seja deal. (b)

15 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa. peça da fgura está conectada no pono e apoada em B. Determne as reações de apoo e forças de contato.. Um camnhão possu uma rampa de 400 lb de peso conforme mostrado. Determne a tensão no fo que a segura Determne as forças nos apoos e B. 4. Determne a força de apoo na barra da fgura: 7. Compare as forças exercdas sobre os pontos e B do solo quando uma mulher de 10 lb utlza um sapato normal e um sapato de salto alto. 8. Determnar a tensão T no cabo de sustentação da barra da fgura, de massa 9 kg.

16 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa 1. Uma barra prsmátca B b-apoada, encontra-se em equlíbro conforme lustrado. Pedem-se as reações de apoo em e B..0 m.0 m.0m B 9. O centro de gravdade G do carro mostrado está ndcado. massa do carro vale 1400 kg. Determne as forças normas em cada ponto de contato. Repta o problema 1 consderando o peso da Barra de a fgura o peso do bloco vale P = 00. densdade lnear da barra é = kg/m. Determne o comprmento da barra L para que fque em equlíbro na posção horzontal m 10. Determne as forças nos apoos e B que a barra de 1 lb de peso faz sobre o carregador. P C L B 14. a fgura: P 0kgf Q 00kgf B Q.0 m.0 m 10. barra de 40 kg suporta o barrl na posção ndcada. Determne as forças nos apoos ndcados. B Determne as reações no apoo e a tensão no fo. 1. Uma barra prsmátca B b-apoada, encontra-se em equlíbro conforme lustrado. Se o peso da barra for 00, encontre as reações de apoo em e B m.0 m.0m 0 60 B 16. Uma força de 0 lb atua na extremdade de uma alavanca de ft, como lustrado. Determnar o momento da força em relação a O.

17 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Fx F Fz x arccos arccos z arccos F F F Momento de uma força F aplcada no ponto B de um sóldo em relação ao ponto O: B OB F O OB B O B 17. a estrutura ndcada, a torre está amarrada em dos suportes fxos no solo. tensão no cabo B é 100 ; no cabo C é 1800 e no cabo D é 00. Determne a força resultante no ponto da estrutura. 19. Uma esfera homogênea e lsa repousa sobre a nclnação e apoa-se contra a parede B. vertcas lsas. Calcular as forças de contato em e B Determne o momento da força de 00 aplcada no ponto C da dobradça em relação ao ponto. F = 66, FB = 8 0. O peso da bccleta é 9 lb com o centro de gravdade em G. Determne as forças normas em e B, quando a bccleta está em equlíbro. = 1.91 lb, B = 1.09 lb Dados: Estátca do corpo rígdo: 1. O fexe unforme tem uma massa de 0 kg por metro de comprmento. Determnar as reacções nos apoos. B B e B n. ˆB B F F ˆ F ˆj F kˆ F F F F x z x z

18 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa =1864, B = 840. O fexe unforme de 00 kg é submetdo às três cargas externas mostrados. Calcule as reacções no ponto de apoo O. O plano x é vertcal. Ox = 0, O = 176, MO = 7460.m CW. Três cabos estão lgados ao anel de junção C. Determnar as tensões nos cabos de C e BC causada pelo peso do clndro de 0 kg. 18 Ox = 100, O = 6100 MO = 760.m CCW. Determnar a magntude de T a tensão no cabo de suporte e a magntude da força exercda sobre o pno em para a lança da grua mostrado. vga B possu m com uma massa de 9 kg por metro de comprmento. TC = 1, TBC = localzação do centro de gravdade da camnhonete de 600-lb está ndcado para o veículo sem carga. Se uma carga cujo centro de gravdade se encontra atrás do exo trasero é adconado ao camnhão, determnar o peso da carga para que as forças normas e sob as rodas danteras e traseras sejam guas. x = k; = 6.7 k; = k T = k 4. Calcular as forças de reações no ponto O de base aparafusada do conjunto de snas de trânsto em cma. Cada snal de trânsto tem uma massa de 6 kg, enquanto as massas de membros OC e C são de 0 kg e kg, respectvamente. O centro de massa do membro C está em G.

19 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa W L = 0 lb. 7. Um bloco colocado sob a cabeça do martelo como mostrado faclta muto a extração do prego. Se uma força de 0 lb é necessára para puxar o prego, calcular a força de tensão T no prego e a magntude da força exercda pela cabeça de martelo sobre o bloco. s superfíces de contato em são sufcentemente áspera para evtar escorregamento. 19 T = 00 lb, = lb Centro de massa Defnmos como centro de massa de um sstema de n partículas de massa m localzadas em relação a um sstema de coordenadas em (x,, z ): x cm n 1 n m x 1 m

20 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa z cm cm n 1 n 1 n m 1 n 1 m m z Para corpos extensos: x z cm cm cm corpo corpo corpo corpo corpo corpo m xdm dm dm dm zdm dm Quarto de círculo 4r semcírculo 0 Quarto de elpse Mea elpse Sem parábola 4a parábola 0 rco de parábola Curva geral 0 4r 4r r 4 r 4b ab 4 4b ab 4a h ah 8 h 4ah a h 10 n 1 a n n 1 h 4n ah ah n 1 0 Setor crcular rsen 0 r Quarto de rco Sem arco r r r 0 r r rco rsen 0 r Forma da Superfíce Fgura x Forma Fgura x V Trângulo h b h

21 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Hemsféro 8 a a V Semelpsóde de revolução 8 h ah 1 Parabolóde de revolução h 1 ah Cone h 1 4 ah Prâmde h 1 4 abh Teoremas de Pappus-Guldn ou Pappus- Guldnus Teorema 1 área de uma superfíce de revolução é gual ao comprmento da curva geratrz multplcada pela dstânca percorrda pelo centróde da curva durante a geração da superfíce: L Teorema O volume de um corpo de revolução é gual à área geratrz multplcada pela dstânca percorrda pelo centróde da superfíce, durante a geração do corpo.

22 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa massa m está na borda da tábua. Qual deve ser m para que a placa se mantenha em equlíbro? Procedmento de encontrar o centróde: Fgura x x semcírculo Retângulo Furo crcular x cg Solução: Determnação do centro de gravdade: M xm m xm xcg M m M 0 ml m L xcg M m M m Para que a placa não caa, a posção mínma do centro de massa deve estar em: m L D xcg M m m L D M m m L D M D m D ml D DM m M L D m m kg. Uma revsta de autos reporta que um modelo de automóvel possu sustentação de % de seu peso nas rodas danteras e 47% de seu peso nas rodas traseras. dstânca entre os exos das rodas é de.46 m. Encontre a localzação do centro de gravdade do carro. Soma 1. Uma placa de comprmento L = 6m e massa M = 90 kg está apoada por suportes separados de D =1.m, conforme mostra a fgura. Uma crança de Solução:

23 (mm ) (mm) Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa 0 L.46 L 0 e cg d cg 0.47 P L 0. P.46 L 0 cg 0.47 L L 0 cg L cg 1 L cg Lcg 1.m. che o centro de massa da fgura plana. cg cg Fgura Componente x x (mm) Retângulo Trângulo 10.60/ semcírculo crculo Somas Q x 1 x Q x 1 Qx Q mm mm Solução: Superfíce obtda por: x x x x 4mm mm 1 1. O trângulo da fgura é feto por um arame fno homogêneo. Determnar o seu barcentro. Solução: Trângulo obtdo por:

24 L (cm) (cm) Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Desenhando o dagrama de corpo lvre:s forças que atuam na barra consstem de seu peso P aplcado ao barcentro G, cuja posção é obtda da fgura. reação em representada pelas componentes x e e da reação horzontal em B. Fgura Componente: x xl (cm) L B BC C Somas x L x L 1 L.710 x 10 x cm ,cm x L L L L Uma barra semcrcular e unforme de peso P e rao r é vnculada por um pno em e está apoada contra uma superfíce lsa em B. Determnar as reações em e B. r M 0 Br P 0 1 P B P Fx 0 x B 0 x B 1 P x 1 F 0 P 0 P P P P P x 1 1 P tg arctg P : P B 0.18P Solução:

25 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa. Determne, por ntegração dreta, o centróde da superfíce da parábola: ab eld Qx 10 b ab Determne, por ntegração dreta, o centróde do arco de crcunferênca ndcado. Solução: a xa b b x ab a a 0 x0 d dx x dx Solução: a a b b a a 0 0 Q xd xdx x x dx x dx Q 4 xa b x a b a 4 4 x0 a a 4 4 a a b b Qx eld dx x dx x dx xa b x ab Qx 4 a 10 x0 ab xeld Q 4 x x a ab 4 L dl rd r d r cos Q xdl r rd r cosd Q r sen r sen Q r sen rsen x x L r 7. Determne a área da superfíce de revolução ndcada, obtda pela rotação de um arco de quarto de crcunferênca em torno de um exo vertcal.

26 (mm ) Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Solução: O volume do aro pode ser encontrado pelo teorema II de Pappus-Guldn: V Fgura Componente mm d percor. por C, mm V mm r 1 x r r 1 De acordo com o Teorema 1, de Pappus- Guldn: 1 L r 1 r 1 8. O dâmetro de uma pola mede 0.800m e a seção reta de seu aro está lustrada na fgura. Determnar a massa e o peso do aro, sabendo-se que a pola é feta de aço e sua massa específca é = 7,8.10 kg/m. I Somas Como: 9 1mm 10 m 1mm 10 m V m m V m 60kg P m g P 89 6 Guldn: e 9. Determnar, usando o Teorema de Pappus- (a) O centróde de uma superfíce semcrcular (b) o centróde de uma semcrcunferênca. Solução: Solução: (a) 4 1 V r r

27 V (cm ) Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa 4r L 4 r r (b) r 10. Determnar o barcentro do corpo homogêneo, de revolução, lustrado: xv X X 1.0mm 100 V Localze o barcentro da peça da fgura. Os dos furos têm mm de dâmetro. 7 Solução: Solução: Fgura Componente x cm xv cm 4 Hemsféro 14 r Clndro rh Cone rh Somas V

28 V (mm ) Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Fgura Componente x z mm xv V zv Cm 4 Solução: I Paralelepípedo Retangular abc II Um quarto de clndro III Clndro IV Clndro Somas 1 rh r h r h V xv X X 14.4mm V V Y Y.9mm V 1 zv Z Z 40.mm V 1 r a a r x x h h h h 1 1 a V dv r dx x dx a h h h h 1 x a a h xeldv x r dx x dx h xeldv x x V x h 4 ah 8 6 ah h h 4 1 eldv r dx x dx h ah r a a h eldv 6 V ah a Determne a posção do centróde da fgura:

29 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Exercícos 1. Calcule o Centro de massa da molécula de H O. Dados: m H = 1 u. M O = 16 u. d = m. 1 u = kg. F CM M acm e FCM F1 F F. Encontre o centro e massa das fguras de densdade unforme. (a) (b) 9. Três partículas de massas m 1 = 1. kg, m =. kg e m =.4 kg formam um trângulo equlátero de lado d = 140 cm. Determne o Centro de massa do conjunto de partículas C(x cm, cm ) e localze-o pelo vetor r. cm (c) (d) (e). fgura lustra uma placa quadrada de densdade unforme. Removendo-se os cantos do quadrado ndcados, em cada caso, determne o centro de massa da fgura que sobra. densdade superfcal da placa é unforme. (f) (g) (a) 1. (b) 1 e (c) 1 e (d) 1, e. 4. a fgura, encontre a posção do centro de massa. Determne a força resultante, se: F 1 = 6, F = 1 e F = 14. pelas relações: Encontre a aceleração do centro de massa acm

30 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa (h) () (j) 9. a molécula de amôna, H, os três átomos de hdrogêno formam um trângulo equlátero, onde o centro do trângulo está a uma dstânca d = m. relação entre as massas do ntrogêno e o hdrogêno é de 1.9 e o átomo de ntrogêno está no topo da prâmde cuja base é o trângulo equlátero. dstânca entre os átomos de e H vale L = m. Determne as coordenadas x e do centro de massa da molécula Um aro semcrcular de peso W está conectado aos apoos e B da fgura, cujas reações estão ndcadas. Determne-as. 7. O aro da fgura possu rao 10 n e peso 8 lb. Determne as reações em B e C e a tensão no fo B. 10. Determne o centro de massa da fgura, formada por uma mea esfera e um clndro sóldo. 8. Duas amostras, uma de ferro ( Fe =7.8 g/cm ) e outra de alumíno ( l =.7 g/cm ) estão dspostas como mostra a fgura. s dmensões dadas são: d 1 = 11 cm, d =.8 cm, d = 1 cm. Encontre as coordenadas do centro de massa C(x G, G, z G ). abaxo. 1. Determne o centro de massa da fgura

31 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa 1 h = b; 1. Encontre o centro de massa para a fgura abaxo, onde: 14. Encontre o centro de massa para a fgura. CRGS SOBRE VIGS.

32 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa Cargas dstrbuídas sobre vgas Consdere uma vga que suporta uma carga. Podemos analsar esse problema com o conceto de centróde dscutdo nos capítulos anterores. Essa carga pode ser consttuída pelo peso de materas apoados dreta ou ndretamente sobre a vga ou ser causada pela pressão hdrostátca. Ou anda, causada pelo vento. carga é expressa em /m. ssm, a carga total suportada por uma vga de comprmento L é: W L 0 w x dx Podemos analsar a carga sobre uma barragem, pelo cálculo da pressão manométrca de um ponto num líqudo, que é o valor da pressão absoluta menos a atmosférca: p g p man o qu, é o peso específco do fludo: g : densdade do fludo. O ponto de aplcação P da carga concentrada equvalente será então obtdo gualando-se o momento W em relação ao ponto O à soma dos momentos das cargas elementares dw em relação a O: OPW xdw dw wdx d W L OP xd Uma carga dstrbuída sobre uma vga pode ser então substtuída por uma carga concentrada W; o módulo dessa únca carga é gual à área sob a curva de carga e sua lnha de ação passa pelo centróde dessa superfíce. Força sobre superfíces submersas 0 Observando que a área sob a curva de pressão é gual à p E.L, onde p E é a pressão no centro E da placa e L pode ser o comprmento ou a área da placa, o módulo de R da resultante pode ser obtdo pelo produto da área pela força. Exemplo 1 Uma vga suporta uma carga dstrbuída conforme o lustrado.

33 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa (a) Determnar a carga concentrada equvalente. (b) Determnar as reações nos apoos. (b) Reações: 1 1 F x B x 0 M B 6 0 Solução: (a) O módulo da resultante do carregamento é gual à área sob a curva de carga, e a lnha de ação da resultante passa pelo centróde da referda área. Dvdndo a área em dos trângulos: 1 B 10.k M B 7.k Exemplo fgura mostra a seção transversal de um dque de concreto. Consderar a seção do dque com 1.00 m de espessura e determnar: (a) a resultante das forças reatvas exercdas pelo solo sobre a base B do dque e (b) a resultante das forças de pressão exercdas pela água sobre a face BC do dque. Peso específco do concreto:..10 /m ; água: /m. Componente (k) xm x k m Trângulo I Trângulo II x 6 X x X.m carga concentrada equvalente é: W 18k Solução: Dagrama de corpo lvre:

34 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa (a) W 1 W W W P Em cada caso, encontrar as reações nos apoos R e R B para a dstrbução de carga dada. (a) (b) 4 Equações de equlíbro: F 1 H x 0 : H F V V M M 0 6 M.110 m (c) (d) (b) Resultante das forças da água: (e) R : 6.

35 Mecânca Geral 1 - otas de ula Equlíbro de Corpos Rígdos Centro de Massa (f) (l) (g) (h) () (j)