por eliminaçaoda linha i e da coluna j

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1 ídice Traço de uma Matriz DEFINIÇÃO, B, C,..., matrizes quadradas de ordem tr ( ) = a ii i= MTLB t = trace( ) PROPRIEDDES tr( ± B) = tr( ) ± tr( B) tr tr ( α ) = α tr( ) ( B) = tr( B ) ( B C) = ( B C ) = ( C B) tr tr tr ( ) ( ) 2 i= j= tr = tr = a ij Determiate e iversa de uma matriz quadrada DEFINIÇÃO 2 = [ aij ]: C ij = cofactor do elemeto a ij + = ( ) i j determiateda submatriz de, obtida por elimiaçaoda liha i e da colua j EXEMPLO 2 3 = = ( ) = ( ) ( 6) ( 2) ( 5) = C 3 4 utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B

2 ídice DEFINIÇÃO 3 : d = det( ) det( ) = = aij C i= ij ; Cálculo de um determiate = aij C j= ij ; Regra de Laplace PROPRIEDDES j= a ij C = 0 kj i= a ij C = 0 ik matriz diagoal : = ou = a ii i= matriz triagular α = α B = B [] 0 C B = B DEFINIÇÃO 4 : MTLB iv( ) = = I é a iversa da matriz quadrada utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B2

3 ídice PROPRIEDDES: = [ C ij ] ( α ) = α ( ) ( ) B = B 0 ão é sigular possui iversa (úica) solução úica da equação x = bé x = b Produto de Kroecker DEFINIÇÃO 5 = [ aij ]: m B= [ bij ]: p q a B a B B= :( m p) ( q) am B am B PROPRIEDDES ( B C ) = ( B) C ( B ) = B ( ) - B = B ( B) ( C D ) = ( C) ( B D) utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo ( B+ C ) = B+ C B3

4 ídice Operador vec DEFINIÇÃO 6 :m vec ( ) a a = a () ( 2) ( ) :( m ) MTLB: EXEMPLO 2 (:) = vec( ) = utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B4

5 ídice Matrizes Ortogoais DEFINIÇÃO 7 : = = I é ortogoal EXEMPLO 3 I é ortogoal cosθ siθ siθ cosθ é ortogoal PROPRIEDDES ortogoal = =± a = i ai ai a j = 0, i j a () i a() i = a () i a( j) = 0, i j Matriz de Cetragem, B ortogoais Bortogoal DEFINIÇÃO 8 Matriz de cetragem dos elemetos de um vector a média dos elemetos desse vector. H= I J ; J = PROPRIEDDES H é idempotete: H 2 = H H é simétrica: H = H x: ; H x = x x ; x = x i utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo 2 ( x x) x H x= i i= B5

6 ídice Exercício 2 (MTLB) Normalização das coluas de uma matriz X: p PROGRM H = eye () - oes () / 2 matriz de cetragem Xc=H*X S = cov (X) D = diag (diag (sqrt (S))) X = Xc * iv(d) cetragem das coluas de X matriz de variâcias-covariâcas desvios-padrão das coluas a diagoal da matriz D divisão de cada colua de Xc pelo respectivo desvio-padrão X: matriz com coluas ormalizadas, i.e, com médias ulas e desvios-padrão iguais à uidade. VERIFICÇÃO medias = mea ( X ) médias das coluas de X desviopd = std ( X ) desvios-padrão das coluas de X FUNÇÕES EYE ONES COV DIG SQRT INV MEN STD utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B6

7 ídice Decomposição de Matrizes Decomposição em Valores Sigulares (D.V.S) DEFINIÇÃO 9 X: p ; > p X = U S V (D.V.S) U: p ; S: p p ; V: p p U U= I p ; as coluas de U são ortogoais V V = V V= I p ; a matriz V é ortogoal S = diag ( s, s2,, s p ) s s 2 s p > 0 ; valores sigulares de X PROPRIEDDE D.V.S. de uma matriz X: pé úica EXEMPLO 5 X = U S V = MTLB [ U,S, V] = svd ( X) ; [ U,S, V] = svd( X, 0) utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B7

8 ídice Decomposição Espectral (D.E.) de uma matriz simétrica DEFINIÇÃO 0 : ; matriz simétrica = Γ Λ Γ ( DE..) Γ Γ = Γ Λ : ; ortogoal (D.E.) Λ= diag ( λ, λ,, λ ) 2 GUSS λ λ 2 λ MTLB (?) valores característicos de λ λ 2 λ valores propriosde raízes latetes de s coluas de Γ são os vectores característicos de EXEMPLO = Γ 0 0 Γ Λ VERIFICR! 0 Γ= EXERCÍCIO γ = γ γ MTLB [ ] ( k) k ( k) VERIFICR X v = d v VD, = eig( X) X V= V D ( k) k ( k) utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B8

9 ídice Raíz quadrada de uma matriz simétrica DEFINIÇÃO : ; matriz simétrica = Γ Λ Γ ; decomposição espectral Γ: ; ortogoal Λ= diag ( λ, λ,, λ ) 2 Λ 2 = diag ( λ,, λ ) ( Λ 2 ) = Λ 2 = diag (,, ) λ λ 2 = Γ 2 Γ Λ ; raiz quadrada de PROPRIEDDES ( 2 ) = 2 ; simétrica 2 2 = = ( ) = Γ Λ Γ = 2 2 = I VERIFICR! = 2 2 utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B9

10 ídice MTLB [ VD], = eig( ) ( 2 = B) B= V sqrt( D) V Calcular: Defiição: sqrtm () e comparar com B Y*Y= utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B0

11 ídice Propriedades dos Valores Característicos PROPRIEDDES ) tr ( ) = λ i ; 2) =Π λ i ; 3) rak ( ) = # de valores característicos ão ulos de ; 4) : ; simétrica ; ão sigular; = ( Γ Λ Γ ) = ( Γ ) Λ Γ = Γ Λ Γ a) e têm os mesmos vectores característicos b) Os valores característicos de são os recíprocos dos valores característicos de ; 5) Os valores característicos de uma matriz real são reais; 6) Os valores característicos de uma matriz diagoal são os elemetos diagoais; 7) Se λ i λ j os correspodetes vectores característicos, x i e x j são ortogoais; 8) Cada valor característico λ i e respectivo vector característico x i de uma matriz simétrica satisfaz a equação x = λ x. EXERCÍCIO Verificar computacioalmete as propriedades )-8). i i i utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B

12 ídice Relações etre a D.V.S. da matriz X e D.E. da matriz X X RELÇÕES ) X= U S V X X= ( U S V ) ( U S V ) = V S ( U U) S V = V S S V 2 = V S V 2) X X= Γ Λ Γ (decomposição espectral) Comparado ) e 2) coclui-se que: a) Λ= S 2 ; λ i 0 b) Γ=V MTLB X = EXMS [U, S, V] = sdv(x, 0) =X *X [V,D] = eig () VERIFICR D=S^2 utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B2

13 ídice TRBLHO PRÁTICO -C Cálculos Programação Calcular a matriz S de variâcias/covariâcias amostrais da matriz de dados CORK; Fazer a decomposição espectral da matriz S; Calcular os valores característicos e os vectores característicos da matriz S ; GUSS / MTLB { U, S, V} = svd2( X) [ U, S, V] = svd ( X,0 ) { } va, ve = eigrs2 ( X) va ; vector cotedo os valores característicos da matriz X, real e simétrica; ve ; matriz cujas coluas são vectores característicos de X. [ V,D] = eig ( X ) Cada colua de V é um vector característico de X; Cada elemeto diagoal de D é um valor característico de X. Comprovar os resultados obtidos em.-3. pelas defiições evolvidas e avalie a precisão dos algoritmos. utad 999 : aálise multidimesioal : f. wolfago de macedo B3