Teorias do Crescimento Licenciatura de Economia FEUC

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1 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia 3 O modelo de crescimeno ópimo de Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) 3.1 Inrodução 3.2 Crescimeno ópimo Uilidade ineremporal Opimização dinâmica Análise da fórmula da axa de crescimeno ópimo do consumo per capia das famílias Função uilidade marginal insanânea com elasicidade consane 3.3 Modelo RCK segundo Barro&XavierSala-i-Marin Hipóeses Comporameno opimizane das famílias Comporameno opimizane das empresas Condição froneira Análise qualiaiva da solução de SSG = = c Diagrama de fase Pono de equilíbrio de SSG: pono de sela Análise quaniaiva de SSG Linearização do sisema Resolução do sisema Exemplificação numérica Dinâmica de ajusameno da axa de poupança Poupança de SSG Função poupança Efeio de subsiuição ineremporal e efeio rendimeno Exercícios de dinâmica comparada Variações de g Variações de ρ Adelaide Duare 51

2 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia Inrodução Os modelos de crescimeno esudados aé agora são modelos de crescimeno exógeno com axa de poupança exógena. Esa úlima hipóese significa que as decisões das famílias sobre o emprego do seu rendimeno para o seu horizone emporal de vida não foi considerado nos modelos de crescimeno aé agora esudados. A consideração daquelas decisões no modelo de RCK implica, em primeiro lugar, que a racionalidade económica subjacene ao comporameno das famílias seja considerada expliciamene pelo modelo; em segundo lugar, a axa de poupança passa a ser uma variável endógena do modelo. O modelo de RCK é um modelo canónico de crescimeno ópimo, com um horizone emporal de vida infinio, foi elaborado de forma independene por Ramsey (1928), Cass (1965) e Koopmans (1965). Ao conrário dos modelos esudados aneriormene, ese modelo em uma naureza normaiva já que as rajecórias de equilíbrio das variáveis endógenas e o pono de equilíbrio de SSG são o resulado de decisões ópimas das famílias e empresas. Foi por essa razão que no final da década de 6 e na década de 7 eses modelos fizeram pare da agenda de invesigação de Economia do Crescimeno. Com o ressurgimeno da Economia do Crescimeno na década de 8, o ineresse renovado por ese ipo de modelos é ambém normaivo mas o quadro de análise alarga-se, já que o papel do Esado é esudado no seio de modelos de crescimeno ópimo endógeno. No que se segue, iremos apresenar de forma resumida o modelo de RCK seguindo Barro&Sala-i-Marin(1965). 3.2 Crescimeno ópimo Iniciaremos a nossa análise pelo esudo do comporameno opimizane das famílias supondo que o seu horizone de vida é infinio. Traa-se pois de esudar o problema da maximização da uilidade em dinâmica, supondo nese caso que o horizone emporal é infinio. Em esáica, a família maximiza a sua uilidade no período correne, maximizando o consumo, endo em cona a sua resrição orçamenal. Sendo o horizone emporal infinio, a família maximiza a sua uilidade para o conjuno de períodos considerados, ou seja, maximiza o consumo ineremporal endo em cona a sua resrição orçamenal ineremporal. Cada família possui indivíduos que rabalham e que maximizam a sua uilidade endo em cona a geração acual mais nova e as gerações fuuras de descendenes. A família em assim uma vida infinia apesar dos seus membros erem uma vida finia. A consideração da família com um horizone emporal infinio supõe que o comporameno dos pais seja em pare alruísa em relação aos seus descendenes: A família imoral corresponde a indivíduos com uma vida finia que esão ligados enre si aravés de uma esruura operaiva de ransferências inergeracionais que se baseiam no alruismo Barro&Sala-i-Marin, 1995, pp.6. Adelaide Duare 52

3 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia Uilidade ineremporal Cada indivíduo adulo, membro da família, procura maximizar o seu consumo ao longo do empo, assim como o das gerações fuuras, e valoriza em pare o consumo presene, é um pouco egoísa, por isso descona à axa ρ (axa de preferência emporal pelo consumo presene), o consumo fuuro. Consideremos que cada família cresce à axa n e que a dimensão das famílias para = é L()=1. Função uilidade insanânea A função uilidade insanânea é a função uilidade definida para uma daa (período). A uilidade oal insanânea é uma função bem comporada, a uilidade oal insanânea cresce de forma decrescene. (3.1) U C() > com U () > e U ( ) < A função pode ser rescria considerando a uilidade oal per capia. C() U C( ) c() = e u c() (3.2) L = L () () () > () > () u c, u e u < A função uilidade oal resula da soma das uilidades oais insanâneas ao longo do horizone emporal infinio. Sendo a axa de preferência emporal pelo consumo presene posiiva, a uilidade em é acualizada à axa ρ. Consideremos que o empo é discreo e façamos a represenação da função de uilidade oal ineremporal. (3.3) U u c( ) () 1 ( 2) ( ) ( ) ( ) u c u c u c = ρ 1+ ρ 1+ ρ Se ρ apresenar um valor reduzido enão, (1 + ρ) e ρ Podemos agora apresenar a função de uilidade ineremporal de cada família no empo conínuo, para o efeio devemos definir o inegral próprio, de zero a mais infinio, que corresponde à soma da uilidade oal insanânea do período acualizada à axa ρ e considere-se por hipóese simplificada que a axa de crescimeno da família é zero. (3.4) U = u c() e ρ d Se a axa de crescimeno da família for superior a zero, n>, enão a fórmula anerior é rescria da seguine forma. ( n ρ ) (3.5) U = u c() e d Opimização dinâmica Na posse da função de uilidade ineremporal, vamos agora resolver o problema da opimização da uilidade ineremporal das famílias. Para o efeio, Adelaide Duare 53

4 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia vamos considerar uma economia de mercado muio simples, em que há famílias e empresas, não há esado e a economia é fechada. Cada família decide o que consumir a parir do produo correne endo em cona a sua resrição orçamenal. Cada família recebe rendimenos no período correne sob a forma de salários em roca dos serviços do rabalho e juros que correspondem à remuneração dos acivos das famílias, numa economia fechada. A axa de variação dos acivos das famílias no período correne é igual aos rendimenos da família menos o consumo. O que não é consumido é invesido e a axa de variação dos acivos da família deve igualar a axa de variação do soc de capial per capia da economia. (3.6) max ( ) () U = u c e ρ sa. : = f δ c condição froneira 1 condições iniciais. d Para a resolução do problema de opimização dinâmica começa-se por consruir a função valor acual do hamiloniano. ρ (3.7) H( c,, λ) u( c) e + λ f ( ) δ c A função valor acualizado do hamiloniano obém-se adicionando à função valor acualizado da uilidade, o muliplicador de Lagrange (λ ) vezes o membro esquerdo da equação dinâmica. (λ ) represena o valor acualizado do rendimeno (do capial). Represena o valor acualizado (=) de uma unidade adicional de rendimeno de expresso em unidades de uils, ou de forma equivalene, já que a variação dos acivos das famílias é igual à variação do soc de capial per capia, represena o valor acualizado (para =) de uma unidade adicional de capial de expresso em unidades de uils. Condições de 1ª ordem: H (3.8) = c Deduz-se a expressão da derivada parcial da função valor acualizado do Hamiloniano em ordem à variável de conrolo c e iguala-se a zero. H (3.9) + λ = Deduz-se a expressão da derivada parcial da função valor acualizado do hamiloniano em ordem à variável de esado e iguala-se ao negaivo da derivada do muliplicador relaivamene ao empo. H ρ (3.1) Hc = u ( c) e λ = c 1 A condição froneira só será esudada mais arde. Do pono de visa económico garane um comporameno opimizane das famílias no final do horizone emporal; do pono de visa da resolução do modelo, a condição froneira a par das condições iniciais permiem que o sisema de duas equações diferenciais seja deerminado. Mais à frene, esudaremos a condição froneira. Adelaide Duare 54

5 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia = λ δ λ δ = λ (3.11) H f ( ) f ( ) (3.12) f ( ) λ = λ δ A equação (3.12) é denominada a regra de poupança ópima de Ramsey. Se logarimizarmos e derivarmos em ordem ao empo a equação (3.1), obemos: (3.13) ( ρ ) = d ln u ( c ) d ln u ( c ) c λ ρ = u ( c) λ λ A equação anerior é rescria para obermos no primeiro ermo do membro esquerdo da equação (3.14), a expressão da elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo. Para o efeio muliplica-se e divide-se o primeiro ermo pelo consumo per capia correne e ambos os membros da equação por (-1). u ( c) c c λ (3.14) ρ = u ( c) c λ λ Eliminando das equações (3.11) e (3.13), obemos a axa de λ crescimeno ópimo do consumo per capia. ( ) c f δ ρ (3.15) = c u ( c) c u ( c ) Podemos ambém considerar que n>, nese caso as equações (3.6), (3.7), (3.1), (3.11), (3.13), (3.14) e (3.15) são rescrias: (3.16) max () ( n ρ ) U = u c e d sa. : = f ( ) ( δ + n) c Consrói-se a função valor acualizado do hamiloniano. (3.17) ( ) ( ) ( n ρ ) H c,, λ u c e + λ f ( f) ( δ + n) c H ( n ρ ) (3.18) Hc = u ( c) e λ = c (3.19) H = λ f ( ) δ nλ f ( ) δ n = λ Se logarimizarmos e derivarmos em ordem ao empo a equação (3.18), obemos: Adelaide Duare 55

6 (3.2) ( ρ ) ln u ( c ) d n ln λ + = d u ( c ) c λ + n ρ = u ( c) λ Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia A equação anerior é rescria para obermos no primeiro ermo do membro esquerdo da equação (3.21), a expressão do negaivo da elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo. Para o efeio muliplica-se e divide-se o primeiro ermo pelo consumo per capia correne e muliplicam-se ambos os membros por (-1). (3.21) u ( c) c c λ n ρ u ( c) c λ + = λ Eliminando das equações (3.19) e (3.21), obemos a axa de crescimeno λ ópimo do consumo per capia. (3.22) u ( c) c c n+ ρ = f ( ) δ n u ( c) c ( ) ( ) c f δ n + n ρ f δ ρ = = c u ( c) c u ( c) c u ( c) u ( c) c f ( ) δ ρ = c θ ( c) Regra geral, a elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo é variável, dependendo do nível de consumo correne Análise da fórmula da axa de crescimeno ópimo do consumo per capia das famílias A axa de crescimeno ópimo do consumo per capia é igual ao rácio, axa de renabilidade líquida do invesimeno menos a axa de preferência pelo consumo presene/o simérico da elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo. O numerador da fracção exprime o incenivo ao consumo fuuro, quano mais elevada for a axa de renabilidade líquida do invesimeno relaivamene à axa de preferência emporal pelo consumo presene, maior será o incenivo a poupar no presene. O denominador represena o negaivo da elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo. Quano mais elevada for a elasicidade em valor absoluo, maior será o incenivo ao consumo presene Adelaide Duare 56

7 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia porque à medida que o consumo aumena, a uilidade marginal decresce rapidamene. A axa de crescimeno ópimo do consumo per capia é posiiva, nula, negaiva se a axa de renabilidade líquida do invesimeno per capia for superior, igual ou inferior à axa de preferência emporal pelo consumo presene. Em equilíbrio de SSG aquela axa deverá ser nula, na ausência de progresso écnico Função uilidade marginal insanânea com elasicidade consane A especificação que uilizaremos para a função de uilidade oal insanânea é a função uilidade com elasicidade consane. Traa-se de uma função muio simples cuja elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo não depende do nível de consumo. (3.23) c uc = u c = c u c = θ c 1 θ θ ( ) ; ( ) e ( ) ( 1 θ ) E cuja elasicidade é consane e o seu simérico é igual a θ. θ 1 θ c (3.24) εu( c), c = c θ θ = c Tendo em cona esa função de uilidade, a fórmula da axa de crescimeno ópimo do consumo ransforma-se em: ( ) c f δ ρ (3.25) = c θ Se considerarmos agora que exise progresso écnico e que ese é exógeno e cresce à axa g, a fórmula da axa de crescimeno do consumo ópimo per capia é reescria em ermos do consumo em unidades de rabalho eficiene e obemos: (3.26) c c f ( ) δ ρ θg = g = c c θ Comporameno opimizane das empresas As empresas produzem um único bem e uilizam os serviços do capial que é propriedade das famílias. Em roca, as empresas pagam às famílias uma renda pela remuneração dos serviços do capial. A axa de renabilidade líquida de uma unidade de capial será igual a R-δ; como as famílias podem fazer emprésimos enre elas, considerando o capial e os emprésimos subsiuos perfeios, a xa de renabilidade líquida do capial será igual à axa de juro r. (3.27) R δ= r R = r+δ As empresas maximizam os lucros: θ 1 Adelaide Duare 57

8 (3.28) Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia [ ( ) ] {( ) g } maxπ= max F K,L, (r +δ)k wl max AL f () (r +δ) we Condições de maximização de 1ª ordem: K Y AL = AL.f () AL.f () (3.29) K K K 1 AL.f () = f () AL (3.3) Π Y = (r +δ ) = K K f() = r+δ A produividade marginal é igual à axa de renabilidade brua do capial. f() = r+δ (3.31) Analisemos agora a condição de 1ª ordem relaivamene ao facor rabalho e para o efeio, expliciemos a fórmula da produividade marginal do rabalho. Y = ALf() = f() f ()A L L (3.32) Y g = f() f ()e com A = 1 L ou ainda: g { ( AL) f () (r +δ) we Π Π } = = = L L L Π g (3.33) = A f() (r +δ ) we + L AL f () (r +δ ) = L L E assim virá: g (3.34) w = f () f ()e Tenhamos agora em cona a resrição orçamenal das famílias: (3.35) a = w + ra c na Adelaide Duare 58

9 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia A axa de variação insanânea dos acivos das famílias é igual aos salários mais a remuneração dos acivos menos o consumo menos o valor dos acivos afecado aos que nascem. Tenhamos em cona as equações (3.31),(3.34) e (3.35) e ainda a equação de definição do soc de capial em unidades de eficiência em função do soc de capial per capia e iguale-se a axa de variação dos acivos à axa de variação do soc de capial per capia. a= =e g (3.36) Derivando em ordem ao empo (3.36) obém-se: (3.37) g g a = e + ge Iguala-se o 2º membro de (3.37) ao 2º membro de (3.35) e subsiui-se r e w pelas suas respecivas expressões: (3.38) Eliminando g g g g g g e + ge = f() f ()e + re ne -ce g e e resolvendo em ordem a (3.39) = f () (g+δ+ n)-c obém-se: Traa-se da equação dinâmica do modelo de RCK relaiva à variável de esado Condição froneira Analisemos agora a condição froneira. (3.4) lima λ = O valor dos acivos das famílias deve ender para zero quando diverge para infinio. Tal significa que um indivíduo que opimiza a sua uilidade não gosaria de er acivos com valor posiivo no fim da sua vida porque isso significaria que se esses acivos ivessem sido uilizados no passado, a sua uilidade eria aumenado. A parir da equação de Euler do modelo, resolve-se a equação diferencial em relação ao empo. Traa-se de uma equação diferencial linear com coeficiene variável r( λ). O facor de inegração é nese caso dlnλ d = [ r( λ) n] dλ d dlnλ (3.41) d = [ r( λ) n] dλ d [ ] ln λ = r( λ) n dλ+ cons [ λ ] Adelaide Duare 59 e r( ) n d λ.

10 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia E obém-se: (3.42) [ ] r( λ) n dλ e λ =λ Subsiua-se em (3.4) o preço sombra de pela sua expressão: [ ] r( λ) n dλ lima e λ = Como o preço sombra em = é posiivo, podemos não considerá-lo na equação anerior e virá: (3.43) [ ] r( λ) n dλ lima e = Subsiuindo a() por () obemos uma nova expressão para a condição froneira. (3.44) [ ] r( λ) n g dλ lim e = (3.45) lim = r( λ ) > g + n Se subsiuirmos r(λ) pela sua expressão de equilíbrio, obém-se f() δ> g+ n (3.46) A condição froneira exige que a axa de renabilidade do invesimeno líquido seja superior à axa de crescimeno do soc de capial Análise qualiaiva da solução de SSG O esudo do equilíbrio de SSG aravés da análise qualiaiva supõe a consrução das curvas demarcadoras do plano de fase. Esas curvas são obidas aravés das equações dinâmicas do modelo, igualando a zero as respecivas axas de crescimeno das variáveis capial e consumo medidas em unidades de rabalho eficiene. Apresena-se ambém a relação de ordem enre a soma de parâmeros do modelo, deduzida a parir da condição froneira e que permiirá, poseriormene, siuar o pono de equilíbrio de SSG relaivamene ao pono de equilíbrio da regra de ouro da acumulação de capial. As equações dinâmicas do modelo de RCK são as seguines: (3.47) = f( ) ( n+ g+ δ ) c (3.48) c c 1 = θ f δ ρ θg = A função Adelaide Duare 6

11 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia (3.49) = c= f( ) ( n+ g+ δ ) A função acima dá-nos as combinações de c, para as quais a axa de crescimeno do soc de capial em unidades de rabalho eficiene é nula. Esa função resula da diferença enre a função de produção e a reca que a inerseca no pono (,) e no pono para o qual o consumo em unidades de eficiência é nulo e o invesimeno em unidades de eficiência é máximo. A função apresena um máximo. Façamos a represenação gráfica. f ( ) ( n + g +δ ) c = m a x A função c = Gráfico 1 Curva demarcadora = (3.5) c= f ( ) = δ + ρ+ θg A função acima dá-nos as combinações de c, para as quais a axa de crescimeno do consumo em unidades de rabalho eficiene é nula. A produividade marginal do capial é consane seja qual o valor do consumo em unidades de rabalho eficiene. Façamos a represenação gráfica. Adelaide Duare 61

12 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia c c = = max Diagrama de fase Analisemos agora a dinâmica de c. = Gráfico 2 Linha demarcadora c c c b e a Gráfico 3 Dinâmica de c A linha demarcadora divide o plano em duas regiões, na região da direia o consumo em unidades de rabalho eficiene diminui, na região da esquerda, o consumo em unidades de rabalho eficiene aumena. Tomemos o pono a para mosrarmos que na região da direia a axa de crescimeno do consumo em unidades de rabalho eficiene diminui e, para o efeio, enhamos em cona a expressão da axa de crescimeno do consumo em unidades de rabalho eficiene: a > e f a < f e f a < δ + ρ+ θg < + + < θ (3.51) f a ( δ ρ θg) f a ( δ ρ θg) c < c O esudane pode proceder de forma análoga relaivamene ao pono b. Analisemos agora a dinâmica de. Adelaide Duare 62

13 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia c b e = a Gráfico 4 Dinâmica de A linha demarcadora divide o plano em duas regiões, na região inerior à curva demarcadora, o soc de capial em unidades de rabalho eficiene aumena; pelo conrário, na região exerior à curva de marcadora, o soc de capial em unidades de rabalho eficiene diminui. Tomemos o pono a para mosrarmos que na região inerior à curva, a axa de crescimeno do soc de capial em unidades de rabalho eficiene diminui e para o efeio comparemos com o pono e e enhamos em cona a expressão da axa de crescimeno do soc de capial em unidades de rabalho eficiene. (3.52) ( δ ) ( δ ) ca < cb ca < f( ) n+ g+ ae, a ae, ae, ae, ae, f( ) c n+ g+ > O esudane pode fazer um exercício análogo para o pono b. Esamos agora em condições para consruir o diagrama de fase do modelo de RCK. Para o efeio, apresenamos num mesmo gráfico as curvas demarcadoras e as dinâmicas conjunas de c e nas quaro regiões em que o plano foi divididdo. Adelaide Duare 63

14 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia c c = II I = III IV Gráfico 5 Diagrama de fase do modelo de RCK Pono de equilíbrio de SSG: pono de sela A dinâmica de c e expressa no gráfico 5, mosra que o pono de equilíbrio de SSG é um pono de sela. É um pono de equilíbrio insável. Se a economia se enconrar em desequilíbrio na vizinhança do pono de sela, só a ele reornará se se enconrar sobre o ramo esável. O ramo esável é a reca que se enconra nas regiões I e III do plano e que passa pelo pono de equilíbrio de SSG, ver gráfico 6. c II c = I = III IV Gráfico 6 Pono de equilíbrio de sela Podemos agora analisar geomericamene o que aconecerá se a economia se enconrar numa das quaro sub-regiões. Adelaide Duare 64

15 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia c II c = I o o = III IV Gráfico 7 Trajecórias de desequilíbrio Como mosra o gráfico 7, qualquer que seja a região em que se enconre a economia, esa afasa-se do pono de equilíbrio de SSG, excepuando se se enconrar sobre o ramo esável da economia. Podemos agora analisar com mais rigor o graf.1 e o graf. 2. O equilíbrio (descenralizado) de SSG esá aquém do equilíbrio da Regra de Ouro, o soc de capial e o consumo per capia são menores. A linha demarcadora do consumo per capia em unidades de rabalho eficiene diz-nos que em siuação de SSG, a axa de juro é igual à axa de descono efeciva, (ver (3.5)). Aquela equação junamene com a condição froneira permiem que se chegue à conclusão que a axa de descono efeciva é superior à axa de crescimeno do soc de capial físico o que implica que o soc de capial em unidades de rabalho eficiene de SSG é inferior ao da regra de ouro. f ( ) δ = ρ+ gθ f ( ) δ > g+ n ρ+ gθ > g+ n f ( ) δ = n+ g f ( ) < ρ+ gθ > g+ n < ouro Análise quaniaiva de SSG Apresena-se de seguida a log-linearização do sisema de equações diferenciais do modelo de RCK o que nos vai permiir deerminar a solução do sisema Log-linearização do sisema Faz-se uma aproximação de primeira ordem de Taylor na vizinhança do equilíbrio de SSG e definem-se as variáveis em logarimos no sisema de duas equações dinâmicas do modelo de RCK. A função de produção considerada é a Cobb-Douglas ouro Adelaide Duare 65

16 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia f() c = (n + g + δ) (3.53) c 1 f() = δ ρ θ g c θ Ou ainda, omando o logarimo das variáveis, obemos: (3.54) dln dln d d dln ( ln ln ) ln c ln c + d ln ln c ln = ln ln c= ln c ln c = ln c ln = ln (3.55) dlnc dlnc + d d ( ln ln ) ln c ln c d ln ln c dlnc ln = ln ln c = ln c ln c = ln c ln = ln Escreva-se agora as expressões das derivadas parciais das axas de crescimeno do soc de capial em unidades de rabalho eficiene e do consumo em unidades de rabalho eficiene em relação ao logarimo do soc de capial em unidades de rabalho eficiene e em relação ao logarimo do consumo em unidades de rabalho eficiene. dln dln dln dln d d d d (3.56) = = c ln ln c c dlnc dlnc dlnc dlnc d d d d (3.57) = = c ln ln c c E endo em cona a 1ª equação do sisema (3.53), obemos: Adelaide Duare 66

17 (3.58) dln d f() c = f() + ln Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia Deermina-se depois a derivada no pono de SSG. (3.59) dln d f() c = f() + ln ln = ln ln c = c ln = ln ln c = c (3.6) dln d ln f() (n g ) = + +δ ln = ln ln c = ln c ln = ln ln c = ln c (3.61) dln d ln = ( ρ+θ g +δ) (n+ g+δ) E finalmene obém-se: (3.62) dln d ln ln = ln ln c = ln c = ρ n (1 θ)g ln = ln ln c = ln c Procede-se de forma análoga relaivamene ao cálculo da derivada parcial da axa de crescimeno do soc de capial em unidades de rabalho eficiene relaivamene ao logarimo do consumo em unidades de rabalho eficiene. Adelaide Duare 67

18 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia (3.63) (3.64) dln d c = ln c dlnc d ln c f() = + (n + g + δ ) ln c = ln c ln = ln Tendo em cona a especificação da função de produção, obemos: (3.65) dln d f() ( ρ+θ g +δ) = + (n + g +δ ) = + (n + g +δ) ln c α α ln = ln ln c = c E a aproximação linear à axa de crescimeno do soc de capial em unidades de eficiência é dada por: (3.66) dln d [ n (1 )g ]( ln ln ) ( ρ+θ g +δ) (n g ) ( ln c ln c ) ρ θ δ α Procedamos de forma análoga relaivamene a dlnc d dlnc d 1 1 = δ ρ θ = ln θ θ (3.67) } f () g f () Tendo em cona a expressão da segunda derivada da função de produção obemos: : Adelaide Duare 68

19 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia (3.68) dlnc ρ +δ+θ = ( α 1)f ( ) = (1 α) ln θ θ d 1 g ln = ln ln c = ln c Deduza-se agora a expressão da derivada parcial da axa de crescimeno do consumo em unidades de rabalho eficiene relaivamene ao logarimo do consumo em unidades de rabalho eficiene. dlnc d 1 (3.69) = c f () ρ+δ+θg } ln c c θ dlnc ρ+θ g (3.7) (1 α) +δ ln ln +. ln c ln c d θ As equações (3.66)e (3.68) formam o sisema de equações diferenciais loglinearizadas do modelo de RCK que pode ser escrio na forma maricial abreviada. dln ( ρ+θ g +δ) ln n (1 )g n g d ρ θ + +δ α (3.71) = dlnc (1 α)( ρ+θ g +δ) c ln d θ c Escreva-se a expressão do deerminane da mariz caracerísica (A), a mariz dos coeficienes de (3.71): ( ρ+θ g +δ) ( ρ+θ g +δ)(1 α) (3.72) de A = (n + g +δ) α θ (3.73) ρ+θ g> n+ g α<1 dea< O faco do deerminane da mariz caracerísica ser negaivo, implica que a equação caracerísica enha duas raízes reais, uma posiiva e oura negaiva. Nese caso, o pono de equilíbrio é um pono de sela. Escreva-se a equação caracerísica: (3.74) ρ n (1 θ)g ϕ ( ρ+θ g +δ) n+ g+δ α (1 α)( ρ+θ g +δ) θ ϕ = Adelaide Duare 69

20 Façamos: (3.75) ρ n (1 θ )g=ξ Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia E resolva-se a equação (3.74), equação de 2º grau em ϕ: 2 ( ρ+θ g +δ) ( ρ+θ g +δ)(1 α) (3.76) ϕ ξϕ (n + g +δ ) = α θ Ε cujas soluções são: (3.77) ϕ= i ( ρ+θ g +δ) ( ρ+θ g +δ)(1 α) 4 (n g ) α θ 2 ξ± ξ + + +δ Seja ϕ 1 a raiz posiiva e ϕ 2 a raiz negaiva. A solução log-linearizada para (3.78) (3.79) ln ϕ1 ϕ2 ln = ln + a e + a e 1 2 limln = ln a = 1 Adelaide Duare 7 2 oma a forma: A consane a 2 é deerminada pela condição inicial e a 1 pela condição froneira. (3.8) Para = a = a = ln ln 1 2 E subsiuindo em (3.78) obém-se: (3.81) Ou ainda: ϕ2 ln = ln + ln ln e β (3.82) ( ) β ln = ln 1 e + ln e Onde β represena a velocidade de convergência e é o simérico da raiz negaiva. Tendo em cona (3.77) e (3.81), obém-se: (3.83) β= ( ρ+θ g +δ) ( ρ+θ g +δ)(1 α) 2 ξ + 4 (n + g + δ) ξ α θ Podemos ambém ober a solução para da FP em logarimos: (3.84) β ( ) β ( ) 2 ln y β ln y =αln 1 e +αln e ln y = ln y 1 e + ln y e E para T=-, virá: (3.85) ln y ln y T β β β ( 1 e ) ( 1 e ) = ln y ln y T endo em cona a especificação T

21 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia Exemplificação numérica Vamos agora apresenar o exemplo numérico relaivo modelo de RCK de Barro &Sala-i-Marin e para o efeio a linearização não omará as variáveis em logarimos. O sisema de equações é enão o seguine:.3 = c --7 (3.86) c = c(.3.6) = 1.6 lim e = Tomemos as duas primeiras equações do sisema, igualemos a zero as axas de crescimeno insanâneas e deerminemos a solução de SSG..3 = c= = 1 (3.87).7 c= c(.3.6) = c = 2 Linearização do sisema: d d d d d (3.88) ( ) + ( c c ) d c = c= c = c= c (3.89) dc d dc dc d d ( ) + ( c c ) c = c= c = c= c (3.9).7 c c d = c= c d.3 ( 1) ( ) Adelaide Duare 71

22 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia (3.91) c c d = c= c = c= c dc.21 ( 1) + (.3.6) ( 2) E finalmene obemos o sisema de RCK linearizado: d =.6 c d (3.92) dc = d A solução geral é do ipo: ϕ1 ϕ 2 = + bv 1 11e + b2v12e (3.93) ϕ1 ϕ 2 c = c + bv 1 21e + b2v22e Para obermos a solução exaca, emos em primeiro lugar que deerminar os valores próprios da mariz dos coeficienes (A); em segundo lugar emos que deerminar os vecores próprios à direia da mariz dos coeficienes (v (i) ) e finalmene deerminamos os valores das consanes (b 1 e b 2 ). Deerminação dos valores próprios da mariz A: (3.94) (3.95) ϕ 1 A = A-ϕI=.8.8 ϕ 2 de(a-ϕi) = ϕ.6ϕ.8 = Deerminação das raízes: 2.6 ± (.6) +.32 (3.96) ϕ1,2 = 2 Seja ϕ 1 a raiz posiiva e ϕ 2 a raiz negaiva: (3.97) ϕ1 =.64 ϕ2 =.124 Deerminação do vecores próprios à direia da mariz A: Deermine-se em primeiro lugar o vecor próprio à direia da mariz A associado ao valor próprio negaivo: (3.98) A v (1) I = v =.8.64 v 21 Adelaide Duare 72

23 O sisema de equações é o seguine: v11 (3.99).8.64 v = + 21 Resolvendo o sisema obém-se: v11 1 (3.1) v = Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia Deerminemos agora o vecor próprio à direia da mariz A associado ao valor próprio posiivo: (2) v12 (3.11) A+.124 I = v = v 22 O sisema de equações é o seguine: v12 v12 (3.12) = v 22 v 22 Resolvendo o sisema obém-se: v12 1 (3.13) v = 22.6 Formemos a mariz dos vecores próprios à direia de A, V: v11 v (3.14) V = v21 v = Formemos a mariz diagonal cujo elemeno genérico da mariz diagonal é e ϕ i : ϕ1 e (3.15) E = ϕ2 e b1 E seja b o vecor coluna das consanes: b = b 2 Solução do sisema: ϕ (3.16) v v e b = + ϕ2 v21 v 22 e b 2 c c E subsiuindo as variáveis pelos seus respecivos valores obemos: (3.17) e b1 = e b 2 c Adelaide Duare 73

24 Deerminação das consanes: Façamos = e obemos: (3.18) c Ou ainda: b o 1 = b 2 o Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia = 1 + b 1+ b2 = 1 b 1+ b2 = 9 (3.19) c 2.12b = + 1.6b2 Tendo em cona a condição froneira, podemos deerminar b 2 :.6 ϕ1 ϕ2 (3.11) lim e 1 + be 1 + b2e = como ϕ2 > b2 = E endo em cona a 3ª equação de (3.86) deerminamos b 1 : (3.111) b 1 = 9 A solução exaca é assim a seguine: (3.112) (3.113) c = 1 9e = 2 1.8e Represenação gráfica de e c : 1 1 Gráfico 8 Função O soc de capial em unidades de rabalho eficiene ende assimpoicamene para o seu valor de SSG (=1, no exemplo numérico), crescendo de forma desacelerada. Represenação gráfica de c : Adelaide Duare 74

25 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia 2 c.92 Gráfico 8 Função c O consumo em unidades de rabalho eficiene ende assimpoicamene para o seu valor de SSG (=2, no nosso exemplo numérico), crescendo de forma desacelerada. fl c fl Gráf. 8 Trajecória de ^ para ^ Gráf. 9 Trajecória de c^ para c^ Dinâmica de ajusameno da axa de poupança de SSG Vamos agora deduzir a função poupança a parir da função consumo e a expressão da poupança de SSG a parir das expressões de SSG do consumo e do soc de capial em unidades de rabalho eficiene a fim de podermos analisar a rajecória de ajusameno da axa de poupança a uma siuação de SSG. As deduções acima referidas omam a Cobb-Douglas como especificação da função de produção. Queremos saber qual vai ser a dinâmica da axa de poupança quando a economia se caraceriza por um soc de capial em unidade de eficiência inicial que é inferior ao soc de capial em unidades de eficiência de SSG. Esa quesão deve ser colocada já que no modelos de RCK, a axa de poupança é deerminada endogenamene, e em geral, deveremos er variações da axa de poupança na fase de ajusameno à siuação de SSG. Por ouro lado, mesmo que a axa de poupança seja consane é necessário deerminar o correco valor que esá dependene dos parâmeros do modelo Poupança de SSG Tendo em cona a especificação da FP, podemos definir a função axa de poupança: Adelaide Duare 75

26 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia (3.114) α f( ) = A s = Em siuação de SSG virá: f ( ) c f( ) c (3.115) s = 1 f ( ) Tenhamos em cona o sisema (3.53) e façamos a subsiuição de c e f( ) pelas expressões respecivas de SSG: c f( ) ( n+ g+ δ ) (3.116) s = 1 = 1 = ( n+ g+ δ ) f( ) f ( ) f( ) Com a Cobb-Douglas, virá: α (3.117) = f ( ) f ( ) E subsiuindo na equação acima obemos: α s = ( n+ g+ δ) ; como f ( ) = ρ+ δ + θg (3.118) f ( ) α( n+ g+ δ) s = ρ+ δ + θg Tendo em cona a condição froneira, a axa de poupança de SSG é inferior à paricipação do capial físico no produo. (3.119) ρ + δ + θg > n+ δ + g s < α Analisemos agora a evolução da axa de poupança. (3.12). c z c f ( ) 1 γ = = s z z. ( ) z c ( ) α γ. f ( ) z c f( ) f f = = = f( ) z c f( ) z c γ = = α z c Subsiuindo a axa de crescimeno do consumo em unidades de rabalho eficiene e a axa de crescimeno do soc de capial em unidades de rabalho eficiene pelas respecivas expressões, obemos: Adelaide Duare 76

27 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia z 1 c f g n g (3.121) γ = = δ ρ θ α α α( δ) z θ f( ) ou ainda: (3.122) e virá: z 1 f ( ) c f ( ) γ = = f δ ρ θg α α α( n g δ) z θ α f( ) α z 1 γ = = f δ ρ θg f ( ) z f ( ) α( n g δ) z θ γ z 1 1 = = f z 1 δ ρ θ g α ( n g δ) z θ θ E a expressão da axa de poupança de SSG é a seguine: (3.123) [ ] α( n+ g+ δ) z θ 1 (3.124) s γ f z ( δ ρ θg )( s 1 = = = ) δ ρ θg z θ + + θ O comporameno de z vai depender da relação de ordem enre a axa de poupança de SSG e o inverso do negaivo da elasicidade da uilidade marginal relaivamene ao consumo. Tendo em cona a equação anerior rês casos se podem dar: 1 1 θ 1) s = z = γ = s =, θ θ (3.125) 1 1 θ 2) s > z < γ < s θ θ >, 1 1 θ 3) s < z > γ > s θ θ <, A equação de definição de z explica a relação de ordem enre z e [θ-1)/θ] endo em cona a relação de ordem enre s e (1/θ). A relação de ordem enre s e (1/θ) e a exisência de uma solução de SSG explica o valor nulo ou negaivo ou posiivo de g associado a um valor nulo ou posiivo ou negaivo da axa de poupança. Basa derivar a (3.123) em ordem ao empo para que a proposição anerior possa ser facilmene provada. Adelaide Duare 77

28 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia = ( ) ( 1)/ + ( ) (3.126) [ ] γ f z θ θ f γ z Consideremos o caso 1) de (3.125), se a axa de poupança de SSG é igual a θ, a proporção do consumo no produo é consane, qualquer que seja e a axa de crescimeno da proporção do consumo no rendimeno é consane, logo a axa de poupança maner-se-á consane. Consideremos agora o caso 2) de (3.125), se a axa de poupança de SSG é superior a θ, a proporção do consumo no produo é inferior a θ qualquer que seja, e a axa de crescimeno da proporção do consumo no rendimeno é negaiva, qualquer que seja, logo a axa de poupança crescerá. Consideremos agora o caso 3) de (3.125), se a axa de poupança de SSG é inferior a θ, a proporção do consumo no produo é superior a θ qualquer que seja, a axa de crescimeno da proporção do consumo no rendimeno é posiiva, qualquer que seja, logo a axa de poupança diminuirá. Podemos assim resumir os rês casos descrios: (3.127) 1 θ 1 1 θ θ 1 1 θ θ 1) s = s = s s = 2) s > s >, s > 3) s < s <, s < Podemos represenar graficamene a função poupança para cada um dos rês casos e virá: s s s 1 θ Gráfico 9 Possíveis dinâmicas de ajusameno de s para s quando < Efeio de subsiuição ineremporal e efeio rendimeno Que significado aribuir ao caso em que a axa de poupança decresce (cresce) quando a economia se enconra numa fase de ransição como a descria na secção anerior? A evolução da axa de poupança vai depender da imporância Adelaide Duare 78

29 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia conjugada de dois efeios: o efeio de subsiuição ineremporal e o efeio rendimeno. Defina-se o efeio de subsiuição ineremporal de uma descida da axa de renabilidade do capial para riqueza dada. A descida do cuso do consumo correne relaivamene ao consumo fuuro leva as famílias a aumenarem o seu consumo correne. É o ipo de efeio de subsiuição ineremporal que se adequa ao caso que em vindo a ser raado. Com efeio, à medida que o soc de capial em unidades de eficiência aumena, a produividade marginal diminui, o que leva a uma diminuição da axa de renabilidade do capial é o que consiui um desincenivo à poupança. Se mais nenhum efeio se fizesse senir, poderíamos afirmar que a evolução da poupança seria negaiva. Mas devemos er em cona um ouro ipo de efeio, o efeio rendimeno. Definase o efeio rendimeno. O efeio rendimeno de uma descida da axa de renabilidade do capial é uma diminuição do consumo das famílias em odos os períodos. A evolução da axa de poupança vai depender do peso respecivo dos dois efeios. Assim, se θ <1 o efeio de subsiuição ineremporal é fore, se θ >1 o efeio de subsiuição ineremporal é fraco, domina o efeio rendimeno e finalmene se θ =1, os dois efeios cancelam-se. Podemos agora ilusrar a análise anerior considerando os seguines valores para os parâmeros: ρ=.2; δ=.5; n=.1; g=.2 Barro&Sala-i-Marin mosram que o modelo não conduz a bons resulados quando se considera que α=.3, mas se considerarmos um conceio de capial mais alargado, enão os resulados são aceiáveis, represenará o capial físico e humano, logo α=.75. Deerminemos θ al que o inverso seja igual à axa de poupança de SSG e virá θ=1,75. Se a axa de poupança for superior/igual/inferior a 1,75, enão a axa de poupança correne aumenará, maner-se-á consane, diminuirá, respecivamene. A análise empírica mosra que em geral a axa de poupança aumena de forma moderada com o rendimeno per capia, durane a ransição para a siuação de SSG. Os valores dos parâmeros acima referidos são compaíveis com ese comporameno da axa de poupança na fase da ransição, sendo que α deverá ser igual a,75 e θ deve ser superior a 2 mas não muio superior a 2 e porquê? Porque um valor muio superior a 2 implica uma axa de poupança de SSG muio baixa, o que é incompaível com o conceio lao de capial que foi adopado Exercícios de Dinâmica Comparada No que se segue, chamamos a aenção do esudane para o esudo dos efeios permanenes e ransiórios de uma aleração da axa de progresso écnico ou da axa de preferência emporal pelo consumo presene. Tal análise pode ser Adelaide Duare 79

30 Teorias do Crescimeno Licenciaura de Economia levada a cabo endo em cona as equações dinâmicas do modelo RCK e ou endo em cona o diagrama de fase Variações de g O esudane pode supor uma variação posiiva de g e analisar o ipo de deslocameno que cada uma das funções dinâmicas do modelo experimenará em consequência. Em seguida, pode deerminar a nova siuação de equilíbrio de SSG e compará-la com a siuação anerior. E finalmene pode comparar as rajecórias das variáveis per capia, para saber se ocorreram efeios permanenes de nível e/ou de crescimeno. A análise pode ser feia a parir do modelo de RCK linearizado ou a parir do diagrama de fase Variações de ρ O esudane pode supor uma variação negaiva de ρ e analisar o ipo de deslocameno que cada uma das funções dinâmicas do modelo experimenará em consequência. Em seguida, pode deerminar a nova siuação de equilíbrio de SSG e compará-la com a siuação anerior. E finalmene pode comparar as rajecórias das variáveis per capia, para saber se ocorreram efeios permanenes de nível e/ou de crescimeno. A análise pode ser feia a parir do modelo de RCK linearizado ou a parir do diagrama de fase. Bibliografia Barro, R e Sala-i-Marin, X., Economic Growh, McGraw-Hill, 1995, Cap. 2, Chiang, Alpha., Elemens of Dynamic Opimizaion, New-Yor, Inernaional Sudene Ediion, McGraw-Hill, 1992, Caps. 7 a 9 e 9:9.3. Adelaide Duare 8