Crescimento e Flutuações Introdução aos modelos de ciclos económicos

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1 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos 1. Trajecórias de variáveis económicas Movimenos monóonos: ou convergenes ou divergenes Toda a análise que é feia nese pono pare da hipóese de empo conínuo. Nos gráficos 1, são ilusrados movimenos monóonos. Consideremos que as semi-recas dos gráficos 1 e represenam as rajecórias de equilíbrio esacionário de, * =. O gráf. 1 ilusra dois movimenos monóonos: decrescene (crescene) para R e convergenes lim ( ) = *. No caso do movimeno decrescene, (0) > *, no caso do movimeno decrescene verifica-se o conrário. No gráfico são represenados dois movimenos monóonos divergenes. À medida que o empo passa, afasa-se do valor de equilíbrio esacionário, sendo o desvio cada vez maior em valor absoluo. O desvio é posiivo se (0) > *, o desvio é negaivo se (0) < *. Ou o que é equivalene: Se (0)>* lim ( ) =. Pelo conrário, Se (0)<* lim ( ) = Ilusrações análogas poderiam ser feias em empo discreo, a única diferença é que os movimenos não serão conínuos Gráf.1 Movimenos monóonos convergenes Gráf. Movimenos monóonos divergenes Movimenos oscilaórios: ou explosivos ou amorecidos ou harmónicos Vamos agora represenar movimenos oscilaórios. Nos gráficos e são ilusrados movimenos oscilaórios, eses movimenos caracerizam-se por serem recorrenes (podem ser periódicos ou não), e erem uma ampliude. No gráf. represena-se um movimeno oscilaório periódico (pi) explosivo em orno do equilíbrio esacionário. O movimeno repee-se e à medida que se repee, a sua ampliude aumena, desviando-se cada vez mais de *. Podemos medir a ampliude como a diferença enre o cume de uma oscilação complea e *. No gráf. esão represenados dois movimenos, o do gráf. e um movimeno oscilaório harmónico, i.é., com ampliude consane. Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 1

2 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Gráf. Movimeno oscilaório explosivo Gráf. Movimenos oscilaórios: explosivo e harmónico O gráf. 5 ilusra um movimeno oscilaório harmónico. Isso significa que a ampliude é consane. O gráf. ilusra um movimeno oscilaório amorecido. Isso significa que a ampliude diminui à medida que o empo passa. No limie, o movimeno oscilaório [ c ()] esiola-se: lim ( ) = 0. c Gráf. 5 Movimeno oscilaório harmónico 1.5 Gráf. Movimeno oscilaório amorecido O gráf. 7 ilusra um movimeno oscilaório amorecido e um movimeno oscilaório harmónico. Por úlimo, no gráf., os rês movimenos são ilusrados conjunamene: oscilaório explosivo, harmónico e esacionário Gráf. 7 Movimenos oscilaórios: amorecido e harmónico Gráf. Movimenos oscilaórios explosivo, amorecido e harmónico em orno do equilíbrio esacionário Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005-1

3 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos É úil represenar os mesmos ipos de movimenos oscilaórios, mas agora, em orno de uma endência posiiva que represenará a rajecória de equilíbrio de Y. É escusado comenar os gráficos que se seguem porque só diferem dos aneriores por oscilarem ao longo da endência Gráf. Movimeno oscilaório explosivo ao longo de uma endência Gráf. 9 Movimenos oscilaórios ao longo de uma endência: explosivo e harmónico Gráf. 10 Movimeno oscilaório harmónico ao longo de uma endência Gráf. 11 Movimeno oscilaório amorecido ao longo de uma endência Gráf. 1 Movimenos oscilaórios ao longo de uma endência: amorecido e harmónico Gráf. 1 Movimenos oscilaórios ao longo de uma endência: explosivo, amorecido e harmónico Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005

4 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos No gráf. 1, que é o gráf. conjuno dos rês movimenos oscilaórios, incluímos ambém a endência Gráf. 1 Movimenos oscilaórios ao longo de uma endência: explosivo, amorecido e harmónico Modelação dos movimenos económicos Quer seja movimeno monóono quer seja movimeno oscilaório, a sua modelação far-se-á no seio de modelos dinâmicos de equações: 1) diferenciais (empo conínuo) ou ) às diferenças (empo discreo). A resolução do modelo poderá resular numa equação diferencial ou às diferenças de ª ordem (pelo menos de ordem ). Caso conrário, poderá raar-se de um sisema de equações diferenciais (às diferenças). No caso mais simples, as equações são de 1ª ordem. Em ambos os casos mais simples referidos: equação diferencial de ordem ou sisema de equações diferenciais de ordem 1, as respecivas equações caracerísicas são uma equação polinomial de ordem, o que significa que os valores dos parâmeros diarão se as raízes são reais disinas, ou repeidas, ou complexas conjugadas, ou complexas imaginárias. Se as raízes forem reais, o movimeno é monóono, se as raízes foram complexas, o movimeno é oscilaório. Exemplifiquemos: (1/ ) (1/ ) (1.1) Y() = + 5e e As raízes são (-1/) e (-1/) e a rajecória é um movimeno monóono convergene para o equilíbrio esacionário (Y*=). (1.) Y ( ) = + e cos + sin ( ) Nese caso, as raízes são complexas conjugadas e o movimeno é oscilaório amorecido como mosra o gráfico Gráf. 15 Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005

5 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Tenhamos em cona que: ± iθ cosθ ± isinθ = e ( θ θ) ± iθ h± vi = R cos ± isin = Re com R= h + v ( ) ( cos θ sin θ) n n n ± inθ h± vi = R n ± i n = R e. Modelos de ciclos económicos Tipologia de modelos de ciclos baseada no ipo de funcionameno dos mercados A -Modelos de ciclos e desequilíbrio B- Modelos de ciclos e equilíbrio A Modelos de ciclos e desequilíbrio NO MERCADO DOS BENS: Modelos do muliplicador-acelerador Modelos da eia de aranha NO MERCADO DE TRABALHO: Modelos da curva de Phillips (economia fechada, economia aberadesemprego/compeiividade) Modelo de Goodwin desemprego, acumulação e reparição MERCADO FINANCEIRO/MERCADO DOS BENS Modelo IS/LM dinâmicos Duas perspecivas eóricas de abordagem dos ciclos económicos Os ciclos são originados por facores económicos e são endógenos. Os ciclos são o resulado de choques exernos que perurbam o equilíbrio da economia. Podemos uilizar um ouro criério para classificar os modelos de ciclos. O desequilíbrio ou é explicado pelo modelo, ou é exógeno ao modelo. No primeiro caso, os modelos de ciclos são independenes de choques, no segundo caso, os modelos são dependenes de choques exernos. Modelos do muliplicador-acelerador São modelos lineares que são dependenes de choques exernos. Porquê? Porque a perpeuação do ciclo só ocorre aravés de um choque exerno, já que o inervalo de variação dos parâmeros origina dinâmicas amorecidas. Uma das formas de ulrapassar ese problema é considerar uma dinâmica não-linear, aravés da inrodução de ecos e chãos ao invesimeno induzido, o modelo de Hicks vai nesse senido. Modelo do muliplicador - acelerador de Samuelson de ) Y = C + I + G (1.) ) C = γy com 1 < γ < 1 ) I = α(c-c -1) Resolvendo o modelo em ordem a Y, obemos a seguine equação: (1.) Y γ (1 + α) Y 1+ αγy = G0 Traa-se de uma equação às diferenças, de ª ordem e de coeficienes consanes. A solução geral é igual à solução complemenar, (Y c ), mais a solução paricular, (Y p ). 0 Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 5

6 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos A solução paricular é a solução esacionária, qualquer que seja, Y é uma consane. G0 (1.5) Yp = 1 γ (1 + α) + αγ (1.) Y=Y-Yp C A solução complemenar dá-nos os desvios relaivamene ao equilíbrio esacionário. A solução complemenar obém-se a parir da resolução da equação às diferenças de ª ordem, homogénea: (1.7) u γ (1 + α) u 1+ αγu = G0 Cuja solução geral será de um dos dois ipos seguines: 1) u = ( m1+ m) b + Yp com b 1=b =b (1.) ) u = mb + m b + Y com b b E cuja equação caracerísica é: (1.9) Com as seguines raízes: b 1 1 p 1 γ(1 + α) b+ αγ = 0 γ (1 + α) ± γ (1 + α) αγ (1.10) b1, = As raízes podem ser reais ou complexas consoane o discriminane é não negaivo ou negaivo. Vamos disinguir rês casos: Caso 1- raízes reais disinas; Caso - raízes reais repeidas, Caso - raízes complexas. Tenhamos em cona a relação enre os coeficienes e as raízes do binómio: b1+ b = γ (1 + α) (1.11) bb 1 = αγ Tendo em cona (1.11), obemos a seguine condição: (1.1) 0 < (1 b1)(1 b) < 1 Demonsração: (1 b)(1 b ) = (1.1) 1 Caso 1 Raízes reais disinas = 1 ( b + b ) + bb = 1 γ(1 + α) + αγ = 1 γ 1 1 como 0< γ < 1 0<1-γ < 1 0 < (1 b )(1 b ) < 1 1 Condição: (1.1) γ + α > αγ γ + α > α (1 ) ou ainda (1 ) ou ainda: α γ > (1 + α) Subcaso i) (1.15) 0< b < b < 1 0< γ < 1 αγ < 1 1 dem :0< b < 1 0 < (1 b ) < 1 0< b < 1 0 < (1 b ) < < (1 b)(1 b ) < 1 0< γ < 1 1 0< b < b1 < 1 bb 1 < 1 αγ < 1 A condição (1.1) é saisfeia. Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005

7 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Subcaso ii) 0< b < b = 1 αγ < 1 γ = 1 (1.1) 1 dem :0< b < b = 1 1. b < 1 αγ < < b < b1 = 1 1. b = αγ b1 + b = γ (1 + α) 1+ b = γ + αγ γ = 1 A condição (1.1) não é saisfeia. Subcaso iii) (1.17) 0< b < 1< b γ > 1 1 dem :0< b < 1 0 < (1 b ) < 1 b > 1 (1 b ) < (1 b1)(1 b) < 0 (1 b1)(1 b) = 1 γ < 0 γ > 1 A condição (1.1) não é saisfeia. Subcaso iv) 1= b < b γ = 1 (1.1) 1 dem :1= b < b 1. b > 1 αγ > = b < b1 1. b1 = αγ b1+ b = γ (1 + α) 1+ b1 = γ + αγ γ = 1 A condição (1.1) não é saisfeia. Subcaso v) (1.19) 1< b < b 0< γ < 1; αγ > 1 1 dem :1< b < b b b > 1 αγ > b + b > b + b = γ + αγ αγ > < b < b (1 b)(1 b ) > < 0 < 0 1 ( b + b ) + bb > 0 ( b + b ) < 1+ bb γ + αγ < 1+ αγ γ < 1 A condição (1.1) é saisfeia. O caso 1 apresena apenas as varianes i e v. Ambas definem um movimeno monóono. Segundo a variane i a rajecória é convergene, segundo a variane v, a rajecória é divergene. Caso Raízes reais e repeidas Condição: γ (1 + α) = αγ ou ainda γ(1 + α) = α ou ainda: (1.0) α γ = (1 + α) Subcaso vi) 0< b < 1 0< γ < 1; αγ < 1 (1.1) dem :0< b < 1 0 < (1 b1)(1 b) < 1 0< 1 γ < 1 0< γ < 1 0< b< 1 b1b= αγ αγ < 1 A condição (1.1) é saisfeia. Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 7

8 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Subcaso vii) b = 1 γ = 1 (1.) dem : b = 1 (1 b1)(1 b) = 0 (1 b1)(1 b) = 1 γ γ = 1 A condição (1.1) não é saisfeia. Subcaso viii) b > 1 γ < 1 (1.) dem: b> 1 (1 b)(1 b) > 0 (1 b)(1 b) = 1 γ 1 γ > 0 γ < 1 b> = αγ αγ > A condição (1.1) é saisfeia. 1 b 1 O caso apresena apenas as varianes vi e viii. Ambas definem um movimeno monóono. Segundo a variane vi a rajecória é convergene, segundo a variane viii, a rajecória é divergene. Caso Raízes complexas Condição: γ (1 + α) < αγ ou ainda γ(1 + α) < α ou ainda: (1.) α γ < (1 + α) Subcaso ix) (1.5) R < 1 αγ < 1 dem : R < 1 R = αγ αγ < 1 Subcaso x) (1.) R = 1 αγ < 1 dem : R = 1 R = αγ αγ = 1 Subcaso xi) (1.7) R > 1 αγ > 1 dem : R = 1 R = αγ αγ > 1 Os rês subcasos são admissíveis, mas apenas o primeiro define uma rajecória convergene. Nos rês subcasos os movimenos são oscilaórios. O gráfico abaixo é muio úil porque delimia regiões em função dos valores dos parâmeros às quais esão associados diferenes rajecórias de Y. α A curva γ = divide o plano em duas regiões: a região no inerior da (1 + α) curva e a região no exerior da curva. À região inerior perencem as combinações dos Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005

9 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos parâmeros (γ,α) que implicam raízes complexas; pelo conrário, na região exerior perencem as combinações dos parâmeros (γ,α) que implicam raízes reais. Mas cada rajecória apresena ainda oura caracerísica para além do ipo de raiz, a esabilidade. Por isso o plano deve ser dividido pela curva [γ,α=1]. A região à direia da curva represena as combinações dos parâmeros (γ,α) para as quais as rajecórias são insáveis. Pelo conrário, na região à esquerda, aos valores dos parâmeros, aí perencenes, esão associadas rajecórias convergenes. α Às combinações de parâmeros sobre a curva γ =, correspondem raízes (1 + α) reais repeidas e sobre a curva azul, rajecórias que não são nem convergenes nem divergenes. Da combinação das duas caracerísicas: ipo de raiz e ipo de esabilidade, obemos graficamene cinco regiões que esão associadas aos ipos de movimenos seguines: MMC movimeno monóono convergene MMD movimeno monóono divergene MOE movimeno oscilaório explosivo MOA movimeno oscilaório amorecido γ αγ=1 M.M.C M.M.D M.O.E M.O.A 1 γ=α/(1+α) 1 α Gráf. 1 Regiões dos parâmeros do modelo de acelerador-muliplicador de Samuelson (199) Algumas considerações sobre o modelo do mulplicador acelerador de Samuelson O modelo do muliplicador acelerador gera fluuações se se considerar que o mecanismo de ajusameno apresena desfasamenos, pelo menos de ordem. O modelo do acelerador com desfasamenos de ordem mosra que a solução cíclica de ampliude consane é um caso paricular que depende dos valores dos parâmeros do modelo. Ora o faco da análise empírica nos er mosrado que a ampliude dos ciclos não se em alerado sensivelmene, não significa que devamos aceiar a hipóeses pouco plausível de invariância dos valores dos parâmeros, - propensão marginal a consumir e acelerador, ais que a ampliude dos ciclos é consane apesar das alerações esruurais que as economias foram sofrendo ao longo de séculos. Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 9

10 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Pelas razões exposas, a fundamenação de fluuações recorrenes de ampliude consane aravés de desfasamenos não é aceiável. A incapacidade dos desfasamenos explicarem ciclos de ampliude consane de forma endógena levou muios economisas, na sequência do arigo pioneiro de Ragnar Frisch (19) 1, a procurarem uma oura via para a explicação do fenómeno. A ese é a seguine, há uma endência inerene ao sisema económico em gerar fluuações amorecidas, que na ausência de choques aleaórios enderão a desaparecer. A exisência de choques aleaórios de naureza diferene, mas que se repeem aleaoriamene, fará com que a dinâmica do sisema seja cíclica. Há um ouro conjuno de auores que defendem a ese oposa, os ciclos são gerados endogenamene, porque o sisema económico engendra nauralmene fluuações explosivas que são ransformadas em fluuações harmónicas aravés de buffers: ecos e chãos. É por exemplo a via seguida por Hicks no seu modelo de ciclos de Do pono de visa écnico, é a combinação de desfasamenos e de ecos e chãos no seio do modelo que produzirá aquele resulado. Desa problemáica inicial no seio da eoria dos ciclos podemos reirar já alguns ensinamenos de carácer mais geral: 1) O conceio de fluuações baseado num processo cumulaivo que é resringido por ecos e chãos é válido seja qual for o processo cumulaivo e o ipo de ecos e chãos considerado. ) O conceio de fluuações que resula da exisência de desfasamenos no processo de ajusameno é válido em geral. ) O problema da dinâmica amorecida pode ocorrer em qualquer modelo. ) O papel dos choques exernos aleaórios deve ser considerado em qualquer modelo de ciclos (Mahews, p. ) Passamos agora ao esudo de um modelo de ciclos endógeno O modelo presa-predador O modelo presa predador analisa a quesão das condições de coexisência, num ambiene fechado de duas populações anagónicas de seres vivos. Os dois maemáicos que raaram esa quesão de forma independene um do ouro foram Loka (195) e Volerra (191). Consideremos a população de ovelhas (x) e a população de lobos () habiando num ambiene fechado. O sisema de equações que raduz a evolução das duas populações é o seguine: x= ax bx (1.), com a,b,c e d>0 = c+ dx As duas populações êm uma dinâmica de crescimeno diferene: a) as ovelhas crescem exponencialmene à axa a, na ausência de lobos (=0); o crescimeno da população de lobos implica uma diminuição das ovelhas: (1.9) dx = bx d 1 Ragnar Frisch, Propagaion Problems and Impulse in Dnamic Economics, in Economic Essas in Honour of Gusav Cassel (19), pp Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra,

11 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos b) os lobos decrescem exponencialmene à axa c, na ausência de ovelhas (x=0); se exisirem ovelhas enão a população de lobos é uma função crescene do número de ovelhas (d) e uma função decrescene do número de lobos (-c). Resolução do sisema dinâmico Traa-se de um sisema de duas equações diferenciais não lineares de primeira ordem. Resolve-se o sisema de equações depois daquele er sido linearizado. Solução paricular (esacionária) ax bx = 0 (1.0) x= 0 e = 0, com a,b,c e d>0 c + dx = 0 E cuja solução não rivial é : * c x = d (1.1) * a = b Para caracerizarmos o ipo de solução, basa deerminarmos as raízes da equação caracerísica que se obém igualando a zero o deerminane da mariz (ri-j); sendo J o jacobiano do sisema (1.). (1.) J δ x δ x δx δ a b bx = = d c dx δ δ + δx δ x= x* = * x= x* = * ou ainda: bc 0 d (1.) J = da 0 b x= x* = * (1.) de 0 d a J = + b bc d = ac > 0 rj = a11 + a = 0+ 0= 0 Formemos a mariz: b b r d r d c c (1.5) ri J = ri J = da da r r b b b r c d (1.) ri J = 0 = 0 r + ac =0 da r b Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra,

12 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos (1.7) r 1, rj ± ( rj) dej ± ac = = =± i ac As raízes da equação caracerísica são raízes imaginárias. O pono de equilíbrio do sisema é um cenro. Quaisquer rajecórias são órbias fechadas, excepo o equilíbrio esacionário. Fora do pono de equilíbrio, as duas populações apresenam valores que oscilam enre os valores máximos e mínimos. Os valores iniciais deerminam compleamene a rajecória seguida que é uma elipse endo como cenro o pono de equilíbrio esacionário, E(x*,*). Cenro E Elipse: x + = a b 1 x Gráf. Diagrama de fase : cenro O cenro é um pono de equilíbrio esável localmene mas é insável assinoicamene. O modelo de Richard Goodwin de presa-predador de 197 Nese modelo há ciclos endógenos devido ao conflio na reparição de rendimenos enre rabalhadores e capialisas. Exisem ciclos endógenos nese modelos porque o crescimeno abranda com a diminuição da axa de desemprego que por sua vez leva a uma subida do salário real superior ao aumeno de produividade, o que leva a uma diminuição da axa de lucro, a um abrandameno dos invesimenos, da produção e do emprego; a reoma dar-se-á quando o valor da axa de lucro é reposo devido à descida do salário real resulado de um aumeno do desemprego, a face ascendene do ciclo iniciar-se-á. No que se segue apresenaremos apenas o sisema de equações: Sisema dinâmico z = [ ax ( b+ µ )] z (1.) 1 z x = ( µ + n) x ν Consular Alpha Chiang, Mahemaical Mehods of Mahemaical Economics, pp Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 1

13 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Noações : z -pare dos salários no rendimeno; x - axa de emprego; a e b são consanes posiivas da curva de Phillips; n - axa de crescimeno da ofera de rabalho; v coeficiene capial/produo; µ progresso écnico. (1.9) b + µ z = 0 x= x* = a x= 0 z = z* = 1 ( µ + n) ν b + µ z = x az = ( x x*) az a (1.0) x x x= [ 1 z ( µ + n) ν] = ( z* z) ν ν A parir de (1.0) obemos as seguines condições: z > 0 x > x* z = 0 se x x= x* x < x* z < 0 (1.1) z > 0 x < x* z = 0 se x x= x* x > x* z < 0 Podemos consruir o diagrama de fase para análise qualiaiva da solução do sisema. As condições aneriores dão-nos as recas de demarcação e a dinâmica em cada região. z z = 0 z < 0 z > 0 x < 0 z* x = 0 x > 0 x* Gráf.1 Diagrama de fase do modelo de Goodwin Já sabemos que a solução é um cenro, as linhas de fase são orbias fechadas, são elipses. Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 1

14 Crescimeno e Fluuações Inrodução aos modelos de ciclos económicos Diagrama de fase do modelo de Richard Goodwin zmax A z* B H D C x* xmax Gráf.19 Diagrama de fase: a órbia e o cenro do modelo de Goodwin No pono A, a axa de emprego ainge o seu valor de equilíbrio (x*), e a pare dos salários no rendimeno o seu valor máximo (z max), o desemprego aumena e a pare dos salários decresce aé aingir o seu valor de equilíbrio, ainge-se o pono B. De B para C, a pare dos salários no rendimeno coninua a decrescer e simulaneamene aumena a axa de emprego aé se aingir o pono C em que a pare dos salários ainge o seu valor mínimo e a axa de emprego ainge o seu valor máximo.. A análise pode ser exendida aos resanes ponos assinalados gráfico. Adelaide Duare, Tópicos de Crescimeno e Fluuações, Coimbra, 005 1