FUNÇÕES VETORIAIS. f t = at + bt. g t ti sen t j tk. f t g t. , com a= i+ 1. Sejam ( ) e ( ) . Calcular: a) ( ) ( ) e) lim ( ) ( ) 2.

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIA APLIADA ITE Lisa 03 álculo Dierencial e Inegral II Proa.: LIDIANE SARTINI FUNÇÕES VETORIAIS = a + b b= i j;0 π. alcular: + g 1. Sejam ( a ( ( b ( g( g i sen j k e ( = + + cos c ( g( d a( + bg (, com a= i+ j e = i + j + 3 k. Sejam ( 3 a lim ( + ( g 1 b lim ( ( g 1 c lim 3 ( + g( 1 1 g = i + j 3 k, 0. alcular: e ( g d lim ( ( 1 e lim ( ( g 1 lim ( 1 ( 1 3. Deerminar o cenro e o raio das seguines circunerências e depois escrever uma equação veorial para cada uma. a b x y x y = 0 x y x y = 0 4. Deerminar uma represenação paramérica da rea que passa pelos ponos A e B, sendo: a A(,0,1 eb( 3, 4,0 1 3 b A,1, eb( 7,,9

2 5. Enconrar uma equação veorial das seguines curvas: a x y z + = 4, = 4 x+ 1 + y = 10, z = b ( c Segmeno de rea de A(,1, eb( 1,1,3 d x+ y+ z = 1, z = x y e x + y = 1, z = x y x + y + z = y, z = y 6. Deerminar a derivada das seguines unções veoriais: 3 a ( = cos i + ang j + sen k = e i+ e j+ k g = sen cosi + e j b ( h i j k 3 1 c ( = ( + d ( g = i + j + k e ( ln 7. Deerminar os veores velocidade e aceleração para qualquer insane. Deerminar, ainda, o módulo desses veores no insane dado. π r = i + sen j + k = 4 a ( cos 5 3 ; r = ei + e j; = ln b ( = j+ k e g = j k 8. Dados ( ( ( ' a ( g( ( ' b ( g(, deerminar: ( ' c ( ( ( ' d g( g(

3 1 9. Se ( = e ( = i + j, deerminar ( ( 1 ( '. 10. Ober uma paramerização da curva dada, orienada no senido conrário. r = + 3cos, 1+ 4 sen, [0, π ] a ( ( r =, +, + 1, [0,1] b ( ( r = 1, + 1, 4, [1, ] c ( ( r = sen, 1 cos, [0, π ] d ( ( 11. Deerminar o comprimeno de arco das seguines curvas: r = ecos esene,,, [0,1] 3 r =,, 6, [0,3] r = i + sen j + + k π a ( ( b ( ( c ( (1 cos, [0, ] r = sen,cos,, [0, π ] r = sen, cos, [0, π ] r = 3+ 1 i+ + j, [0, ] d ( ( e ( ( ( ( ( 1. Escrever a unção comprimeno de arco de: r = sen r = cos, sen,4 a (,cos, b ( ( c r( = (, r = cos, sen, cos d ( 13. Reparamerizar pelo comprimeno de arco as seguines curvas: a r ( = ( cos, sen, [0, π ] d r( = ( e cos esene,, b r( = ( 3 1, + π e r ( = ( cos, sen, 0, r = cos, sen, c ( (

4 14. alcular as derivadas parciais de 1ª ordem das seguines unções: xyz x, y, z = yi+ x y z j+ e k hxyz,, = (9 z i+ (9 y j+ (9 x k 3, x y p x y = e, xye u x, y, z = e xy i + ln xz j + k a ( b ( c ( ( d ( 15. Dada ( x, y, z = ( e xy, e yz, e xz enconrar + +. x y z 16. Dada a unção ( x, y = ( xyz, xy, x + z deerminar, e. x y xy Enconrar,,, e das seguines unções: 3 x y xy x y z a ( x, y, z = ( xyz,ln y,ln z b (,, ( y x x y z = e senx, e seny, z 1 1 x, y, z =,, xyz x y c ( 18. Dado o campo veorial, calcular div. xy xy, = xi+ e j x, y = sen xi + cos x j a ( 4 b ( x, y, z = x y i + 3xyz j + y zk x, y, z = ln xyi + x j + zk c ( d ( 19. Enconrar a divergência e o roacional do campo veorial dado. a ( x, y, z = ( x + 4 z, y z,3x yz b ( xy, = ( x + y, x y c ( xyz,, = ( x, y, z d (, ( x x x y = e cos y, e seny

5 0. Deerminar ro sendo: a = senxyi + cos xy j + zk b = x yi + 3xz j yk c = ( x+ y i ln zk 1. Sejam = ( xz, zy, xy e g = ( x, y, z. Deerminar: a b g c d g e ( g ( g g ( ( g. Veriicar se as seguines unções são harmônicas em algum domínio. x, y, z = xz + ln xy a ( xy, = x y + y+ 10 b ( ( x, y = senx cosh y c ( xyz,, = x + y + z d ( 3. Usando o eorema a seguir, o que se pode airmar sobre o campo veorial dado? Teorema: Seja (,, = um campo veorial conínuo em um domínio U, com 1 3 derivadas parciais de 1ª ordem conínuas em U. Se admie uma unção poencial u, enão ro = 0, para qualquer ( xyz,, a ( ( x x U. x, y = e seny, e cos y em x, y, z = x seny + z, y cos y + 1, z xy em x, y = x + y, y x em b ( ( c ( ( 3

6 4. Veriicar se os seguines campos veoriais são conservaivos em algum domínio. Em caso airmaivo, enconrar uma unção poencial. a = xi + 5yz j + x y z k b = ( 1+ ysenx i + ( 1 cos x j c = ln xyi + ln yz j + ln zxk d = ( 10xz + ysenxy i + x senxy j + 5x k e = ei x + e y j+ ek z x y z ds, onde é o segmeno de rea que liga A(1,, 3 a B(, 0, ( + 6. ( 3y z ds, onde é o arco de parabola z = y, x= 1de A(1, 0, 0 a B(1,, xzds, onde é a inersecção da esera x + y + z = 4 com o plano x = y. 8. xyds, onde é o arco da circunerência x + y = 4 de A(, 0 ab ( 1, ( x, y, z = ( x, 1, xz y B ( 0,,. ; é o segmeno de rea que une o pono A(,1, 0 ao pono 30. ( x, y = ( x y, xy ; é o arco da parábola y = x, do pono ( 0,0 B. A ao pono ( 4, 31. ( x, y = ( x y, xy ; é o segmeno de rea que une o pono ( 0,0 A ao pono ( 4, B. 3. [ xdx + ydy], onde é o riângulo de vérices (0, 0, (0, 1 e (1, 1 no senido ani-horário.

7 33. x dx + y dy + z dz, onde é o arco de hélice circular dado por r ( = ( sen [ 0, π ]. 4cos, 4,8, x 34. alcular a inegral xe dx ( x + y dy, onde é: a O segmeno de rea de (0, 0 a (-1, -; b A rajeória parabólica y = de (0, 0 a (-1, -. x 35. alcular a inegral curvilínea usando o Teorema de Green, + ( 4 + do riângulo de verices (0, 0, (1, e (, 0, no senido ani-horário. x dx x y dy, ao longo 36. alcular a inegral curvilínea usando o Teorema de Sokes, y dx + x dz, onde é o conorno da pare do plano x + y + z = 4 que esá no 1 o ocane, no senido ani-horário. 37. Usar o eorema da divergência para calcular a inegral da superície S x dydz + y dzdx + z dxdy planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1., sendo S a superície exerior do eraedro delimiado pelos 38. Pausa para o lanche!!!!

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