Imersão Matemática Log e Exponenciais

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1 Imersão Maemáica Log e Eponenciais. (Fuves) Considere as funções f() e Nessa função, o valor de y g() log, em que o domínio de é o conjuno a) b) dos números reais e o domínio de g é o conjuno dos números reais maiores do que. Seja d) h() f(g()) g(f()), em que. Enão, h() é igual a a) b) 8 d) 6 e). (Unicamp) Considere as funções g(), f f() definidas para odo número real. O número de soluções da equação f(g()) igual a a). b).. d). e g(f()) é. (Fuves) Uma quanidade fia de um gás ideal é manida a emperaura consane, e seu volume varia com o empo de acordo com a seguine fórmula: V() log ( sen( π)),, em que m. [, ] é medido em horas e V() é medido em A pressão máima do gás no inervalo de empo ocorre no insane a), b), d), e). (Unesp) A figura descreve o gráfico de uma função eponencial do ipo y a, de em. log log log e), para, é igual a. (Fuves) Use as propriedades do logarimo para simplificar a epressão S log 6 log 6 log 6 O valor de S a) b) d) e) 7 7 é 6. (Unicamp) A solução da equação na variável real log ( 6), é um número a) primo. b) par. negaivo. d) irracional., 7. (Unicamp) O gráfico abaio eibe a curva de poencial bióico q() para uma população de microorganismos, ao longo do empo. Sendo a e b consanes reais, a função que pode represenar esse poencial é a) q() a b. b) q() a b. q() a b. d) q() a logb. Página de

2 8. (Fuves) Sobre a equação 9 ( ) log, é correo afirmar que a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é duas de suas raízes reais são e d) suas únicas raízes reais são, e. e) ela possui cinco raízes reais disinas.. Imersão Maemáica Log e Eponenciais. 9. (Unesp) O que era impressão virou esaísica: a cidade de São Paulo esá cada dia mais lena. Quem mosra é a própria CET (Companhia de Engenharia de Tráfego), que concluiu um esudo anual sobre o rânsio paulisano. Os dados de aponam que a velocidade média nos principais corredores viários da cidade foi de, km/h no pico da manhã e de 8, km/h no pico da arde. Uma piora de % e % em relação a 8, respecivamene. b c. (Fuves) Seja f a, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirrea e o, gráfico de f inercepa os eios coordenados nos ponos (, ) e (, -/). Enão, o produo abc vale a) b) d) - e) -. (Unicamp) Em uma ícara que já coném cera quanidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir represena a função eponencial M(), que fornece a quanidade de açúcar não dissolvido (em gramas), minuos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que Caso a velocidade média do rânsio nos principais corredores viários paulisanos coninue decaindo nos mesmos percenuais pelos próimos anos e sabendo que ln,69, ln,, ln,6 e ln 9,9, os anos aproimados em que as velocidades médias nos picos da manhã e da arde chegarão à meade daquelas observadas em serão, respecivamene, a) 8 e 9 b) 68 e. e 7. d) e 8. e) 7 e 9.. (Mackenzie) Na igualdade y log, supondo o maior valor ineiro possível, enão, nesse y caso, vale a) 8 b) d) 8 e) a) M() 7. b) M(). M(). d) M().. (Unifesp) A figura represena um cabo de aço preso nas eremidades de duas hases de mesma alura h em relação a uma plaaforma horizonal. A represenação dessa siuação num sisema de eios orogonais supõe a plaaforma de fiação das hases sobre o eio das abscissas; as bases das hases como dois ponos, A e B; e considera o pono O, origem do sisema, como o pono médio enre essas duas bases (figura ). O comporameno do cabo é descrio maemaicamene pela função f, com domínio [A, B]. Página de

3 a) Nessas condições, qual a menor disância enre o cabo e a plaaforma de apoio? b) Considerando as hases com, m de alura, qual deve ser a disância enre elas, se o comporameno do cabo seguir precisamene a função dada?. (Mackenzie) Considere o conjuno 7 π A,,, π, e a igualdade y loglog. Em A, o número de elemenos que pode assumir, para que y seja real, é a) b) d) e). (Unesp) Aravés dos gráficos das funções f() e g(), os valores de f(g()) e g(f()) são, respecivamene: Imersão Maemáica Log e Eponenciais classificações possíveis das equipes nesse orneio é de a) bilhões. b) quarilhões. quinilhões. d) milhões. e) rilhões. 8. (Unesp) O cálculo aproimado da área da superfície eerna de uma pessoa pode ser necessário para a deerminação da dosagem de algumas medicações. A área A (em cm ) da superfície eerna de uma criança pode ser esimada por meio do seu peso P (em kg) e da sua alura H (em cm) com a seguine fórmula, que envolve logarimos na base : log A, logp,7 logh,8 (Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula o esimae he approimae surface area if heigh and weigh be known, 96. Adapado.) Rafael, uma criança com m de alura e 6 kg de peso, precisa omar uma medicação cuja dose adequada é de mg para cada cm de área eerna corporal. Deermine a dose adequada dessa medicação para Rafael. Adoe nos seus cálculos log, e a abela a seguir. a) e. b) e. e. d) e. e) e. 6. (Unesp) Admia que o número de visias diárias a n um sie seja epresso pela poência, com n sendo o índice de visias ao sie. Se o sie S possui o dobro do número de visias diárias do que um sie que em índice de visias igual a 6, o índice de visias ao sie é igual a a). b) 9. 8,. d) 8. e) 6,. S 7. (Unesp) Um orneio de fuebol será dispuado por 6 equipes que, ao final, serão classificadas do º ao 6º lugar. Para efeios da classificação final, as regras do orneio impedem qualquer ipo de empae. Considerando para os cálculos log! e log,, a ordem de grandeza do oal de,,,,6,7,8, (Unesp) No arigo Desmaameno na Amazônia Brasileira: com que inensidade vem ocorrendo?, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo maemáico para o cálculo da área de k desmaameno a função D() D() e, em que D() represena a área de desmaameno no insane, sendo medido em anos desde o insane inicial, D() a área de desmaameno no insane inicial, e k a aa média anual de desmaameno da região. Admiindo que al modelo seja represenaivo da realidade, que a aa média anual de desmaameno (k) da Amazônia seja,6% e usando a aproimação n,69, o número de anos necessários para que a área de desmaameno da Amazônia dobre seu Página de

4 valor, a parir de um insane inicial prefiado, é aproimadamene a). b).. d). e).. (Unicamp) A alura (em meros) de um arbuso em uma dada fase de seu desenvolvimeno pode ser epressa pela função h(), log ( ), onde o empo é dado em anos. a) Qual é o empo necessário para que a alura aumene de, m para, m? b) Suponha que ouro arbuso, nessa mesma fase de desenvolvimeno, em sua alura epressa pela função composa g() h( ). Verifique que a diferença g() h() é uma consane, iso é, não depende de. Imersão Maemáica Log e Eponenciais. (Unesp) A revisa Pesquisa Fapesp, na edição de novembro de, publicou o arigo iniulado Conhecimeno Livre, que raa dos reposiórios de arigos cieníficos disponibilizados grauiamene aos ineressados, por meio elerônico. Nesse arigo, há um gráfico que mosra o crescimeno do número dos reposiórios insiucionais no mundo, enre os anos de 99 e.. (Unifesp) A inensidade luminosa na água do mar razoavelmene limpa, que é denoada por I, decresce eponencialmene com o aumeno da profundidade, que por sua vez é denoada por e epressa em mero, como indica a figura. Observando o gráfico, pode-se afirmar que, no período analisado, o crescimeno do número de reposiórios insiucionais no mundo foi, aproimadamene, a) eponencial. b) linear. logarímico. d) senoidal. e) nulo.. (Fuves) Seja f uma função a valores reais, com domínio D, al que f() log (log ( )), para odo D. a) Uilizando as informações da figura e denoando por a consane que represena a inensidade luminosa na água razoavelmene limpa ao nível do mar, deermine I em função de, com sendo um ineiro posiivo. b) A relação empírica de Bouguer-Lamber nos diz que um feie verical de luz, quando penera na água com inensidade de luz erá sua inensidade I de luz reduzida com a profundidade de meros μ deerminada pela fórmula I Ie, com e sendo o número de Euler, e μ um parâmero denominado de coeficiene de absorção, que depende da pureza da água e do comprimeno de onda do feie. Uilizando a relação de Bouguer-Lamber no esudo da inensidade luminosa na água do mar razoavelmene limpa (dados da figura), deermine o valor do parâmero μ. Adoe nos cálculos finais ln =,69. I I, O conjuno que pode ser o domínio D é ; a) b) ; ou ; d) ; ou e) ; 9 Página de

5 . (Fuves) Quando se divide o Produo Inerno Bruo (PIB) de um país pela sua população, obém-se a renda per capia desse país. Suponha que a população de um país cresça à aa consane de % ao ano. Para que sua renda per capia dobre em anos, o PIB deve crescer anualmene à aa consane de, aproimadamene, Dado:,. a),% b),% 6,% d) 7,% e) 8,9%. (Unicamp) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma emperaura de 7 C. Em seguida, é eposa a uma correne de ar a C. Sabe-se que a emperaura no cenro do cilindro varia de acordo com a função AR AR T T T T sendo o empo em minuos, T Imersão Maemáica Log e Eponenciais a emperaura inicial e a emperaura do ar. Com essa função, concluímos que o empo requerido para que a emperaura no cenro ainja C é dado pela seguine epressão, com o log na base : a) log 7 minuos. T AR b) log7 d) minuos. log 7 minuos. log 7 minuos. b) o número N de áomos radioaivos de 99m Tc ; a meia-vida (T/) do 99m Tc. Noe e adoe: A meia-vida (T/) de um isóopo radioaivo é o inervalo de empo em que o número de áomos desse isóopo eisene em uma amosra cai para a meade; log,; log,7. 7. (Fuves) Uma subsância radioaiva sofre desinegração ao longo do empo, de acordo com a relação m() ca k, em que a é um número real posiivo, é dado em anos, m() a massa da subsância em gramas e c, k são consanes posiivas. Sabe-se que gramas dessa subsância foram reduzidos a % em anos. A que porcenagem de ficará reduzida a massa da subsância, em anos? a) % b) % % d) % e) % m m 8. (Unesp) Em, o Insiuo Brasileiro de Geografia e Esaísica (IBGE) realizou o úlimo censo populacional brasileiro, que mosrou que o país possuía cerca de 9 milhões de habianes. Supondo que a aa de crescimeno populacional do nosso país não se alere para o próimo século, e que a população se esabilizará em orno de 8 milhões de habianes, um modelo maemáico capaz de aproimar o número de habianes (P), em milhões, a cada ano (), a parir de 97, é dado por: 6. (Fuves) O número N de áomos de um isóopo radioaivo eisene em uma amosra diminui com o empo, de acordo com a epressão λ N N e, sendo N o número de áomos dese isóopo em e λ a consane de decaimeno. Abaio, esá apresenado o gráfico do logn em função de, obido em um esudo eperimenal do radiofármaco Tecnécio 99 meaesável ( 99m T, muio uilizado em diagnósicos do coração. P() 8 9 e,9 ( 97) Baseado nesse modelo, e omando a aproimação para o logarimo naural In,9 9 a população brasileira será 9% da suposa população de esabilização aproimadamene no ano de: a) 6. b) d) 8. e) (Unifesp) Pesquisa feia por biólogos de uma reserva floresal mosrou que a população de uma cera espécie de animal esá diminuindo a cada ano. A parir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de eemplares desses animais é dado (,) aproimadamene pela função f() 7, com em anos,. A parir do gráfico, deermine a) o valor de logn; Página de

6 a) Deermine, com base na função, em quanos anos a população de animais esará reduzida à meade da população inicial. b) Considerando e, e supondo que nada seja feio para coner o decrescimeno da população, deermine em quanos anos, de acordo com a função, haverá apenas eemplares dessa espécie de animal na reserva floresal. log,6 Imersão Maemáica Log e Eponenciais log, a) b). (Fuves) Seja > al que a sequência a = log, a = log(), a = log8(8) forme, nessa ordem, uma progressão ariméica. Enão, a + a + a é igual a a) b) 7 d) 9 e). (Fuves) A magniude de um erremoo na escala Richer é proporcional ao logarimo, na base, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamene, o ph de uma solução aquosa é dado pelo logarimo, na base, do inverso da concenração de íons H +. Considere as seguines afirmações: I. O uso do logarimo nas escalas mencionadas jusifica-se pelas variações eponenciais das grandezas envolvidas. II. A concenração de íons H + de uma solução ácida com ph é mil vezes maior que a de uma solução alcalina com ph 8. III. Um abalo sísmico de magniude 6 na escala Richer libera duas vezes mais energia que ouro, de magniude. d) e). (Fuves) Os números reais e y são soluções do sisema log logy log logy Enão a) 7 b) d) e) 7 7 y vale. (Unifesp) Uma das raízes da equação = é =. A oura raiz é a) + log (/). b) + (log / log ). log. d) (log 6)/. e) log (/). Esá correo o que se afirma somene em a) I. b) II. III. d) I e II. e) I e III.. (Fuves) O número real a é o menor denre os valores de que saisfazem a equação log ( + ) - log ( ) =. a Enão, log é igual a Página 6 de

7 Gabario: Resposa da quesão : f(g()) f log f( ) f() g(f()) g g(8) log 8 h() f(g()) g(f()) ( ) h() 8 Resposa da quesão : [C] Calculando: f(g()) f( ) g(f()) g( ) Imersão Maemáica Log e Eponenciais ' '' ''' c Lembrando que logb a, logba c logba e loga b logc a b logc a logc b, com a, b e c reais posiivos diferenes de, emos S log 6 log 6 log 7 6 ( log 6 log 6 log 6 7) log 6 7 log 6 6. Resposa da quesão 6: [A] c Sabendo que loga b c a b, para quaisquer a e reais posiivos, e a, emos b Resposa da quesão : [D] Pela equação de Clapeyron (da Química): PV nrt P pressão V volume n quanidade de maéria (nº mols) R cons an e universal dos gases T emperaura Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamene proporcionais: a pressão do gás é máima quando o volume é mínimo. Como a função logarímica dada é sempre crescene, o volume será mínimo quando o logarimando for mínimo. Ou seja: logarimando ( sen( π)) f () sen( π) sen( π) deve ser mínimo mín π π kπ k, Resposa da quesão : [C] Com os valores do gráfico e do enunciado, pode-se escrever: y a, a a, y,,,,, y, Resposa da quesão : [E] log ( 6) 6, que é um número primo. Resposa da quesão 7: A lei da função q não pode ser q() a b, pois o gráfico de q não é uma rea. Além disso, como o pono (, ) perence ao gráfico de q, segue-se que a lei de q não pode ser q() a b nem q() a logb, para quaisquer valores reais de a e b. Porano, a única possibilidade é q() a b. Resposa da quesão 8: [E] 9 Como para odo real, vem 9 ( ) log ( )log ou ou ou ou ( ou ) ou ( ou ) Porano, a equação dada possui raízes reais disinas. Página 7 de.

8 Resposa da quesão 9: Imersão Maemáica Log e Eponenciais Fazendo = 8 (maior ineiro possível), emos: V m = velocidade média de pico pela manhã / Vm,,9 /,/,,9 (,9) ln ln(,9) 9 ln ln ln ln ln9 ln ln,69 (,9,69,6),69 (,), +, = 67, aproimadamene 68. V T = velocidade média de pico pela arde / VT 8,,9 / 8, / 8,,9 ln (,9) ln(,9) 9 ln ln ln ln ln 9 ln ln,69 (.,,69,6),69 (,) 7,6 + 7,6 = 9,6 aproimadamene. Resposa da quesão : [E] condição de eisência. log log log 8 6 Logo, < 8. 8 y log log. Enão.y = 8. = 8 =. Resposa da quesão : [A] Como a imagem inicia-se em -, concluímos que a = - ; Logo, f() = c Como f() =, emos = - + b.+c b+c = o b + c = Como f() = - e b =, emos Logo, a.b.c = -..(-) = Resposa da quesão : [A] = - + c c = ¼ c = Denre as funções apresenadas nas alernaivas, a única cujo gráfico passa pelos ponos (,6) e (, ) é M() 7. Com efeio, 7 M() 6 e M() 7. Resposa da quesão : a) A menor disância enre o cabo e a plaaforma de apoio é dada por: f() m. b) A disância enre as hases é B, pois O é o pono médio de AB. Logo, B f(b),, B, B B B B B B B (,),6 (,),6,,7 B ou ou., B Como B, segue que B m. Resposa da quesão : Página 8 de

9 Imersão Maemáica Log e Eponenciais Sabemos que Rafael deve omar mg para cada De acordo com as condições de eisência de um logarimo emos: de seu corpo. Porano, a dose diária de S R Rafael será dada por: log ( ) log ( ) log S, 6. 6,mg. SS, e perencem à solução do sisema. Resposa da quesão : g (f()) = g() = - ; g (f()) = g() =. Resposa da quesão 6: [E] Seja k o índice de visias ao sie S. Desse modo, emos k 6 k, 6 k 6,. A resposa é k 6,. Resposa da quesão 7: [E] O número de classificações possíveis corresponde a P 6!. Porano, sendo 6!, emos 6 log log6! log log6! log log log! log log log! log,,. Em consequência, como, esá mais próimo de do que de segue-se que a ordem de grandeza pedida é de rilhões. Resposa da quesão 8: Considerando P 6 kg e H cm, emos a seguine equação: loga, log6,7 log,8 loga, log,7,8 loga, log,,8 loga,7,,9 loga,8,8 A A 6. cm cm Resposa da quesão 9: Queremos calcular o valor de para o qual se em D() D(). Porano, emos,6,6 D() D() e n n e,6,69. Resposa da quesão : a) O valor de para o qual se em h(), é,, log ( ). Para h(),, obemos,, log ( ). Porano, serão necessários anos para que a alura aumene de, m para, m. b) A lei da função g g() h( ), log ( ), log ( ), log log ( ) h(). Por conseguine, g() h() h() h(), para odo. pode ser escria sob a forma Resposa da quesão : a) Decrescimeno eponencial: I() I k, onde é a profundidade e I a inensidade luminosa na água do mar razoavelmene limpa. I I k k Logo, I I Página 9 de

10 μ I() I e b) I l() Igualando as equações acima, emos: Imersão Maemáica Log e Eponenciais [C] De acordo com os dados do problema, emos: AR AR T T T T μ μ I μ μ I e e lne ln μ ln μ,69, Logo,,8. Resposa da quesão : [A] O gráfico apresenado é semelhane ao gráfico da função f :, definida por f() a, Logo, o crescimeno do número de reposiórios insiucionais no mundo foi, aproimadamene, eponencial. Resposa da quesão : [A] com a. Como para odo real, segue que os valores de para os quais f esá definida são ais que log ( ) log ( ) log ( ). Resposa da quesão : Sejam r, PIB e P, respecivamene, a renda per capia, o PIB e a população do país hoje. Assim, o PIB e a população, daqui a anos, são dados, respecivamene, por (i) PIB e (,) P, em que i é a aa pedida. Porano, (i) PIB PIB r r (,) P P ( i) (,) i (,) i, i,, i,6% log log7 log7 log7 minuos Resposa da quesão 6: a) No gráfico, logno = 6. b) logno = 6 N() N o No logn() log logn() logn log o logn() 6, logn(),7 Observando o gráfico, logn() =,7 No= 6 =. = 6 horas. Resposa da quesão 7: [C] Deerminando m = c.a -k. mo = c Como em anos m foi reduzido para, m, emos: k,.m m.a k a Em anos: M() =.k k m.a m. a m.,.m Correspondendo a % de m. Resposa da quesão 8: Para que a população brasileira seja 9% da suposa população de esabilização, deveremos er Resposa da quesão : Página de

11 ,9( 97),9( 97), e e 9,9( 97) n e n 9,9( 97),9 Imersão Maemáica Log e Eponenciais,9 97,9 Somando a + a + a = + Resposa da quesão : [D] + = 7. Resposa da quesão 9: a) Queremos calcular o valor de para o qual f() f(). Assim, (,) (,) (,) 7 7, anos. b) Queremos calcular o valor de Logo, f(). (,) 7 (,) (,) log log, log log,,,6, 8 anos. Resposa da quesão : Como a, a,a é uma P.A, emos: a + a =. a log log8 8.log para o qual I. Correa, uma vez que função logarímica e função eponencial são funções inversas. logab = k a k = b (b > ). II. Correa. ph = log H ph ph H H. Assim: H - 8 H e H = = =.. 8 H III. Errada. O enunciado afirma que a magniude (M) é proporcional ao logarimo, na base, da energia liberada (E) no abalo. Transformando essa afirmação numa senença maemáica emos: M = k loge, sendo k a consane de proporcionalidade. Assim, com M = 6 e M =, vem: 6 = k loge e = k loge 6 k log E log E log E log E log E log E E E k log E log E Na afirmação consa que E = E. Resposa da quesão : Resposa da quesão : [D] Resposa da quesão :. Escrevendo udo na base, emos: log (8) log (8) log log 8 log Aplicando as propriedades dos logarimos: log8 log. log log) log Calculando os logarimos e desenvolvendo a equação, emos: log = = 8 Fazendo = 8, emos: a = log8 = a = log = a = lgo86 = Página de