LISTA DE EXERCÍCIOS 2º EM MATEMÁTICA PROF. THIAGO 4º BIM.

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS º EM MATEMÁTICA PROF. THIAGO 4º BIM. 01. Para um refrigerador fechado, a sua emperaura inerna segue a lei ( ) = k(0,8), em que é o empo em minuos, é a emperaura em graus celsius o ( C) e k é uma consane real. Se após 1 minuo, a emperaura inerna é de 0 o C, julgue os iens seguines. A consane k vale 5. Após um dia fechado, a emperaura inerna desse refrigerador esará abaixo de 0 o C. Após minuos fechado, a emperaura inerna desse refrigerador será de 16 o C. 0. Sendo log = 0,3010 e log 1,0 = 0,0086, deermine quanos meses são necessários para que um capial, empregado à axa de % ao mês, em regime de juros composos, dobre de valor. Desconsidere a pare fracionária, caso exisa. 03. Daqui a anos o valor de um auomóvel será V = (0,75) reais. A parir de hoje, daqui a quanos meses ele valerá a meade do que vale hoje? Adoe log = 0,3 e log 3 = 0,48 e desconsidere a pare fracionária, caso exisa. 04. (UnB) Considere um objeo, a uma emperaura inicial y 0, colocado em um meio com emperaura consane T. A axa de ransferência de calor do objeo para o ambiene, ou vice-versa, é proporcional à diferença enre as emperauras do objeo e do ambiene. Assim, é possível concluir que a emperaura y() do objeo, no insane 0, é dada por y y T e k 0 T em que k > 0 é a consane de proporcionalidade. Com base nessas informações, julgue os iens a seguir. Se a emperaura inicial do objeo é superior à do ambiene, enão a função y() é decrescene. Se a emperaura inicial do objeo é diferene da do ambiene, enão, para algum insane 1 > 0, a consane k é dada por y0 T n. 1 y( 1 ) T Se a emperaura inicial do objeo é diferene da do ambiene, enão, para odo > 0, em-se y T y( ) T. Se um objeo com uma emperaura inicial de 0 o C for colocado em um ambiene à emperaura de 30 o C, enão o gráfico abaixo represena a função y(). y 30 o C 0 0 o C 05. (PAS-UnB) As subsâncias radiaivas êm uma endência naural a se desinegrarem, emiindo parículas e ransformando-se em uma nova subsância. Conseqüenemene, com o passar do empo, a quanidade da subsância radiaiva diminui. A velocidade de decaimeno pode ser medida conando-se o número de parículas liberadas por unidade empo. Insrumenos para medir a radiaividade, como, por exemplo, o conador Geiger, fazem isso auomaicamene. O pluônio-40 ( 40 Pu), produzido em reaores nucleares, é um maerial radiaivo de longa vida, o que orna o lixo aômico desses reaores de difícil armazenameno. A parir de uma massa inicial M o dessa subsância, a sua massa M, após séculos, será, aproximadamene, deerminada pela equação M M 1, Com base nessas informações, deermine, em porcenagem, a quanidade de massa de 40 Pu resane, após 3 séculos de desinegração. Despreze a pare fracionária de seu resulado, caso exisa.

2 06. Considere um recipiene conendo, no insane = 0, um número N o de bacérias se reproduzindo normalmene. Suponhamos que, a cada insane, os nascimenos de novas bacérias sejam proporcionais ao número de bacérias exisenes no recipiene naquele insane. Noe que essa hipóese é basane razoável, pois ela pressupõe que quando ivermos, por exemplo, o dobro do número de bacérias eremos ambém o dobro do número de nascimenos; além disso, sob ceras condições, essa hipóese pode ser verificada experimenalmene. A parir dessa suposição, pode-se demonsrar que o número de bacérias em um cero insane > 0 é dado por N N0k, onde N() é o número de bacérias no insane, N 0 é o número de bacérias no insane = 0 e k é uma consane que depende do ipo de bacéria e que pode ser deerminada experimenalmene. Suponhamos, enão, que em um cero insane, observou-se que havia 00 bacérias no recipiene, reproduzindo-se normalmene. Passadas 1 horas, já havia 600. Passadas mais x horas havia bacérias. Calcule x. 07. (UnB) Esima-se que 1350 m de erra sejam necessários para fornecer alimeno para uma pessoa. Admie-se ambém, que há bilhões de m de erra arável no mundo e que, porano, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser susenada, se não forem exploradas ouras fones de alimeno. A população mundial, no início de 1987, foi esimada em 5 bilhões de habianes. Considerando que a população coninua a crescer, a uma axa de % ao ano, e usando as aproximações n 1,0 = 0,0, n = 0,70 e n 3 = 1,10, deermine em quanos anos, a parir de 1987, a Terra eria a máxima população que poderia ser susenada. Leia o exo a seguir para responder às quesões 8 e 9. A lei de Weber (Ernes Heinrich Weber, ; fisiologisa alemão), para resposa de seres humanos a esímulos físicos, declara que diferenças marcanes na resposa a um esímulo ocorrem para variações da inensidade do esímulo proporcionais ao próprio esímulo. Por exemplo, um homem, que sai de um ambiene iluminado para ouro, só percebe uma variação da luminosidade se esa for superior a %, só disingue enre soluções salinas se a variação da salinidade for superior a 5%, ec. Fechner (Gusav Theodor Fechner, ; físico e filósofo alemão) propôs um méodo de consrução de escalas baseado na lei de Weber. Seja i a axa de variação da inensidade do esímulo que permie discriminação da resposa. Associemos ao esímulo x 0 o nível de resposa zero. Enão, a cada variação de axa i no nível de esímulo, aumenamos uma unidade na medida no nível de resposa. Sendo y a resposa e x a inensidade do esímulo, podemos provar quex = x 0 (1 + i ) y 1 1 e que y = alog x + b, com a e x0. log1 i 1 i b 08. O brilho de uma esrela é uma sensação, ou seja, é uma resposa a um esímulo que é a energia luminosa recebida pelo olho. Os asrônomos medem o brilho por inermédio de uma escala de Fechner, m c, 5log I, onde m é a medida do brilho, chamada de magniude aparene, I é a energia luminosa recebida pelo olho e c é uma consane. Uma escala de Fechner muio conhecida é a escala Richer, que mede a inensidade de erremoos. Ela é definida por R a log I, onde R é a inensidade do erremoo (em graus Richer) e I é a energia liberada por ele. 10 Com base nos exos, julgue os iens a seguir. Se as esrelas Beelgeuse e Vega êm magniudes aparenes respecivamene iguais a 0,9 e 0,1, enão Vega é a mais brilhane. A esrela Sírius, cuja magniude aparene é 1,6, é cerca de 100 vezes mais brilhane que Beelgeuse (magniude aparene 0,9). A razão enre as energias liberadas por dois erremoos, um de 3 graus Richer e ouro de 1 grau Richer (nesa ordem) é igual a Uma oura escala de Fechner ambém muio conhecida é a que mede ruídos, definida por R 1 log I, onde R é a medida do ruído em bells (essa designação é em homenagem a Alexander Graham Bell, ; físico escocês e invenor do elefone) e I é a inensidade sonora, medida em was por mero quadrado. Na realidade, a unidade legal no Brasil é um submúliplo do bell, o decibel (db). Se a inensidade sonora dos moores de um avião a jao (cerca de 160 db) é igual a 10 n vezes a inensidade sonora do ráfego em uma esquina movimenada de uma grande cidade (cerca de 80 db), calcule n

3 n. de indivíduos (PAS-UnB) Leia o exo seguine para responder às quesões 10 e 11. O crescimeno populacional, na ausência de faores inibidores, é um exemplo ípico de função exponencial do empo. Assim, o número M() de bacérias em um organismo, no insane, é dado pela função M() = M 0 e k, em que k é uma consane que depende do ipo de bacéria, o número e é a base dos logarimos naurais e M o corresponde ao número de bacérias no insane = 0. O crescimeno do número de bacérias pode ser inibido com o uso de anibióicos. Os laboraórios esudam os diferenes ipos de bacérias para deerminar a dosagem correa de anibióico a ser minisrada em um paciene e, em geral, recomendam uma quanidade de anibióico por unidade de empo. Admiindo-se que a presença do anibióico desrói as bacérias a uma axa proporcional ao número de bacérias e à quanidade de anibióico presene no insane, o número N() de bacérias, nese caso, é dado por kp( ) M e, N 0 k em que p() é uma função quadráica. As figuras abaixo ilusram os gráficos das funções M() e N(). M N M 0 M 0 Crescimeno não-inibido Crescimeno inibido 10. (PAS-UnB) Com base no exo, julgue os iens que se seguem. A experiência dos laboraórios indica que a quanidade de anibióico minisrada deve ser uma função exponencial do empo. A função M() saisfaz M( + s) = M()e ks, para quaisquer valores posiivos de e s. O gráfico da função p() inercepa o eixo das abscissas nos ponos = 0 e = k/. A função composa M(p()) é uma função crescene. 11. (PAS-UnB) Com o auxílio do exo, julgue os iens abaixo. Na presença de anibióico, o número de bacérias volará a ser igual ao número inicial M o, quando = k/. Na presença de anibióico, o número de bacérias aingirá o seu valor máximo em = k/. Para um deerminado ipo de bacéria, suponha que k = 1, M 0 =.000 e que o número máximo de bacérias suporado pelo organismo seja de Enão, para que o número de bacérias não ulrapasse esse valor máximo, o anibióico deve ser minisrado na dosagem, al que 1. n (PAS-UnB) Quando duas populações de espécies diferenes êm o mesmo nicho ecológico, ou seja, possuem as mesmas necessidades básicas para sobreviverem, e ocupam o mesmo habia, uma delas é eliminada por compeição. Os gráficos abaixo represenam siuações de crescimeno em laboraório de culuras de duas espécies de proozoários, A e B, que possuem o mesmo nicho ecológico, mas não necessariamene ocupam o mesmo habia, iso é, o mesmo ambiene Siuação I A B e mpo ( em dias )

4 n. de indivíduos 100 B Com base nesses gráficos, julgue os iens a seguir. Na siuação I, as duas espécies foram culivadas junas, ou seja, em um mesmo ambiene. Na siuação I, se a função que descreve o crescimeno da população da espécie A, no inervalo [0, 6], for uma função exponencial do ipo f() a, enão 1 < a <. Na siuação II, o número de indivíduos da espécie A ainge o seu valor máximo enre o 4 o e o 8 o dias. Na siuação II, represenando as funções que descrevem os crescimenos das populações das espécies A e B por N A () e N B (), respecivamene, é correo afirmar que, se N A NB, enão Curva de Aprendizagem é um conceio criado por psicólogos que consaaram a relação exisene enre a eficiência de um indivíduo e a quanidade de reinameno ou experiência possuída por esse indivíduo. Um exemplo 0, 5 de Curva de Aprendizagem é dado pela função Q e, na qual Q é a quanidade de peças produzidas mensalmene por um funcionário, corresponde aos meses de experiência desse funcionário e e, A respeio dessa Curva de Aprendizagem e considerando ln = 0,6931, julgue os iens seguines. De acordo com essa função, um funcionário com dois meses de experiência deverá produzir aproximadamene 553 peças mensalmene. Um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir mais de 350 peças por mês. Para produzir 600 peças mensalmene, o funcionário em quesão deve er mais de 3 meses de experiência. 14. Se m 0 e m 1, sabe-se que a seqüência (m, n, p, q, r) é uma progressão geomérica de razão m. A soma dos ermos dessa progressão é igual a 13m + 1. Sendo x um número real posiivo diferene de 1 al que log x log x log x log x log x m n p A Siuação II q r 18 e mpo ( em dias ), calcule o valor de x e desconsidere a pare fracionária, caso exisa. 15. (UnB) Um méodo para se deerminar o volume de sangue no corpo de um animal é descrio a seguir. I Uma quanidade conhecida de iossulfao é injeada na correne sanguínea do animal. II O iossulfao passa a ser coninuamene excreado pelos rins a uma axa proporcional à quanidade ainda exisene, de modo que a sua concenração no sangue decresce exponencialmene. III São feias marcações dos níveis de concenração de iossulfao, em mg/l, a cada 10 min após a injeção, e os dados são ploados em um sisema de coordenadas semilogarímicas no eixo das ordenadas, são marcados os logarimos, na base 10, das concenrações enconradas em cada insane. IV Para se ober a concenração do plasma no momeno da injeção indicado no gráfico como o insane inicial 0, prolonga-se o segmeno de rea obido aé que ele inercepe o eixo das ordenadas. A figura abaixo ilusra um exemplo de uso desse méodo, quando iguais quanidades de iossulfao 0,5 g foram aplicadas em dois animais A e B. y log 600 log 400 log 00 animal A animal B ( min)

5 massa do iodo ( em g ) Com base nas informações acima e assumindo que a aplicação do iossulfao não alere o volume de sangue dos animais, julgue os iens seguines. A capacidade de eliminação do iossulfao do animal A é superior à do animal B. A quanidade oal de sangue no corpo do animal A é de 65 ml. Transcorridos 60 min desde a aplicação do iossulfao, a concenração dese na correne sangüínea do animal A era superior a 80 mg/l. 16. Considere que, por ocasião da promulgação da Lei Áurea, a população de escravos no Brasil era de e que, a parir de enão, por more, alforria ou Lei do Sexagenário, essa população diminuísse em 10% ao ano. Nessas condições, quanos anos após a promulgação da Lei Áurea a população escrava do Brasil já eria se ornado igual a ? Use n 0, 69315, n3 1, 09861, n5 1, e desconsidere a pare fracionária de seu resulado, caso exisa. 17. (Medicina-GDF) De acordo com uma pesquisa, o número de casos de pneumonia em uma população em diminuído ano a ano, segundo os valores da função definida por f m 5, na qual é dado em anos. Se, na daa inicial 0, foram anoados casos, quanos anos serão necessários, no mínimo, para que o número de casos 1 se orne do número inicial? 16 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) (UnB) A meia-vida de um núcleo aômico radioaivo é, por definição, o empo necessário para que a meade dos núcleos inicialmene presenes em uma amosra se desinegre. Esse empo não depende da massa da amosra. Por exemplo, uma amosra de 1,00 g de iodo 131, isóopo do iodo, usado no raameno de câncer da ireóide, diminui para 0,50 g em 8 dias. A meia-vida do iodo 131 é, enão, igual a 8 dias. O gráfico a seguir ilusra o decaimeno radioaivo para essa amosra, em um período de aé 40 dias. Em relação à amosra analisada, julgue os iens que se seguem. 1,00 0, empo ( em dias) O período ranscorrido aé que a massa dessa amosra fique reduzida a 0,5 g é superior a 17 dias. Após 5 dias, a massa de iodo 131 dessa amosra é inferior a 0,13 g. Se M 1 e M são as massas dessa amosra medidas, nessa ordem, em um inervalo de 8 dias, enão o quociene M 1 é igual a. M Se M 0 é a massa inicial dessa amosra e M é a massa após dias, enão o quociene M 0 é consane. M 19. Na a fase do vesibular FUVEST - 91, uma das quesões de Maemáica inha o seguine enunciado.

6 A inensidade I de um erremoo, medida na escala Richer, é um número que varia de I = 0 aé I = 8,9, para o maior E erremoo conhecido. I é dado pela fórmula I log, onde E é a energia liberada no erremoo em quilowa-hora e 3 3 E o 7 10 kwh. E o a) Qual a energia liberada num erremoo de inensidade 8 na escala Richer? b) Aumenando de uma unidade a inensidade do erremoo, por quano fica muliplicada a energia liberada? Sendo W a resposa do iem a e a resposa do iem b, calcule, em kwh, o valor da expressão W 6. i 0. A desinegração radiaiva de uma subsância é dada pela fórmula M M0 e, na qual M o é a massa dessa subsância, em gramas, no insane = 0; i é a axa anual de desinegração e é o empo dado em anos. Com base nisso, em quanos anos, 400 g de uma subsância radiaiva, que se desinegra a uma axa de 3% ao ano, esará reduzida a 80 g? Use n5 1, 61 e despreze a pare fracionária, caso exisa. 1. Considere uma cidade que enha uma axa de crescimeno populacional de 3%. Considerando log = 0,301 e log 103 =,01, calcule, em quanos anos, a população dessa cidade duplicará. Desconsidere a pare fracionária, caso exisa.. (UnB) y Q Q 4 Q 1 Q 3 x Q 0 Considere que o caminho que liga dois ponos Q 0 e Q 4 seja represenando pelo gráfico acima no sisema xoy, em que a unidade de medida, em ambos os eixos coordenados, é o km. Nesse gráfico, o recho Q 0 Q é um segmeno de rea medindo 10 km; de Q a Q 3 em-se pare do gráfico da função f x senax, para a 0 dado em 3x 15 rad/km, e de Q 3 a Q 4 em-se pare do gráfico da função gx logb, para b 0. Considere que Q 0, y 0, b Q1 x1, 0, Q x, 1, Q3 x3, 0, Q4 18,, faça o que se pede, desconsiderando, para a marcação na folha de resposas, a pare fracionária do resulado final obido, após efeuar odos os cálculos soliciados. a) Calcule, em km, a abscissa x 3 do pono Q 3. b) Calcule o valor da expressão a y 0x. 56x. c) Calcule o valor da expressão d) Calcule o valor da expressão 1 3. (UnB) Em um experimeno com uma colônia de bacérias, observou-se que havia bacérias vine minuos após o início do experimeno e, dez minuos mais arde, havia bacérias. Suponha que a população da k colônia cresce exponencialmene, de acordo com a função P P0 e, em que P o é a população inicial, k é uma consane posiiva e P() é a população minuos após o início do experimeno. Calcule o valor de P o /100, desprezando a pare fracionária de seu resulado, caso exisa. k 4. (UnB) O crescimeno populacional em condições ideais é regido aproximadamene pela função P P0 e, em que é a variável empo, k é a axa de crescimeno por unidade de empo, P o é a população inicial e P() é a

7 população no insane. Essa mesma função modela ambém a decomposição radioaiva sendo que, nesse caso, P o é a massa inicial do maerial radioaivo e k depende do maerial. Considere n 0, 7 e n3 1, 1, aproximadamene, e julgue os iens que se seguem. Se P o = 7 e k = 0,1, enão n (P(10)) < 5. Uma culura com 100 bacérias, inicialmene, reproduz-se em condições ideais e, 1 horas após, exisem 400 bacérias. Enão, dois dias depois do início da experiência, exisirão mais de bacérias. Uma amosra de maerial radioaivo reduz-se a 3/4 de sua quanidade inicial depois de anos. Enão, é correo afirmar que, após anos, a sua massa esará reduzida a menos da meade da massa inicial. 5. (UnB) Uma fone sonora emie um ruído de inensidade igual a 100 db. Denoa-se por u n a inensidade do ruído medida após o mesmo er aravessado n placas de isolameno acúsico. Sabendo que cada placa absorve 10% da inensidade do ruído nela incidene e que u0 100dB, julgue os iens a seguir, admiindo que log10 3 0, 477 e log10 0, 300. A sequência u n é uma progressão geomérica de razão igual a 0, 1. As primeiras 5 placas absorvem, pelo menos, 50% da inensidade inicial do ruído. A inensidade do ruído, após aravessar 44 placas, será inferior a 1 db. GABARITO 01. V, F (A função exponencial nunca assume valores negaivos), V V, V, V, V V, F, F F, V, V, F 11. V, V, F 1. F, F, V, V 13. V, F, F F, V, V e 18. F, V, V, F 19. a) b) fica muliplicado por a)00 b)075 c)630 d) F, V, F 5. F, F, V Quesões ENEM 016 Segunda aplicação 01. O governo de uma cidade esá preocupado com a possível epidemia de uma doença infecoconagiosa causada por bacéria. Para decidir que medidas omar, deve calcular a velocidade de reprodução da bacéria. Em experiências laboraoriais de uma culura baceriana, inicialmene com 40 mil unidades, obeve-se a fórmula para a população: p() = 40 3 em que é o empo, em hora, e p() é a população, em milhares de bacérias. Em relação à quanidade inicial de bacérias, após 0 min, a população será a) reduzida a um erço. b) reduzida à meade. c) reduzida a dois erços. d) duplicada. e) riplicada. 016 Segunda aplicação 0. Admia que um ipo de eucalipo enha expecaiva de crescimeno exponencial, nos primeiros anos após seu planio, modelado pela função y = a 1, na qual y represena a alura da plana em mero, é considerado em ano, e a é uma consane maior que 1. O gráfico represena a função y.

8 Admia ainda que y(0) fornece a alura da muda quando planada, e deseja-se corar os eucalipos quando as mudas crescerem 7,5 m após o planio. O empo enre a planação e o core é igual a a) 3 anos. b) 4 anos. c) 6 anos. d) log 7 anos. e) log 15 anos. 009 Primeira aplicação 03. A população mundial esá ficando mais velha, os índices de naalidade diminuíram e a expecaiva de vida aumenou. No gráfico seguine, são apresenados dados obidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeio da quanidade de pessoas com 60 anos ou mais em odo o mundo. Os números da coluna da direia represenam as faixas percenuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número enre 10% e 15% da população oal nos países desenvolvidos. Suponha que o modelo exponencial y = 363e 0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 000, x = 1 corresponde ao ano 001, e assim sucessivamene, e que y é a população em milhões de habianes no ano x, seja usado para esimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimeno enre 010 e 050. Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, esima-se que a população com 60 anos ou mais esará, em 030, enre a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 60 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões.

9 016 Primeira aplicação 04. Em 011, um erremoo de magniude 9,0 na escala Richer causou um devasador sunami no Japão, provocando um alera na usina nuclear de Fukushima. Em 013, ouro erremoo, de magniude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoese da China), deixando cenenas de moros e milhares de feridos. A magniude de um erremoo na escala Richer pode ser calculada por M = log E 3 E 0 sendo E a energia, em kwh, liberada pelo erremoo e E 0 uma consane real posiiva. Considere que E 1 e E represenam as energias liberadas nos erremoos ocorridos no Japão e na China, respecivamene. Disponível em: Acesso em: 15 ago. 013 (adapado). Qual a relação enre E 1 e E? a) E 1 = E + b) E 1 = 10 E c) E 1 = 10 3 E d) E 1 = E e) E 1 = 9 7 E 016 Primeira aplicação 05. Uma liga meálica sai do forno a uma emperaura de 3000 C e diminui 1% de sua emperaura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log 3e 1,041 como aproximação para log 11. O empo decorrido, em hora, aé que a liga ainja 30 C é mais próximo de a). b) 50. c) 100. d) 00 e) Primeira aplicação 06. Um engenheiro projeou um auomóvel cujos vidros das poras dianeiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem represenadas pela curva de equação y = log x, conforme a figura. A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a alura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro deerminou uma expressão que fornece a alura h do vidro em função da medida n de sua base, em meros.

10 A expressão algébrica que deermina a alura do vidro é a) log n+ n +4 log n n +4 b) log 1 + n log 1 n c) log 1 + n + log 1 n d) log n+ n +4 e) log n+ n +4 GABARITO 01. d 0. b 03. e 04. c 05. e 06. e