derivadas parciais até a ordem k existem e são contínuas em todo A. derivadas parciais de todas as ordens existem e são contínuas em todo A.

Transcrição

1 1 Funções de várias variáveis Classes de derivabilidade e derivadas mistas Definição. Seja f : D R e A D: dizemos que f é de classe C k em A (f C k (A)) se f e todas suas derivadas parciais até a ordem k existem e são contínuas em todo A. dizemos que f é de classe C em A (f C (A)) se f e todas suas derivadas parciais de todas as ordens existem e são contínuas em todo A. Já vimos que se A é aberto e f C 1 (A) então f é diferenciável em A. Teorema (Teorema de Schwarz). Seja A aberto e f C 2 (A), então f xi x j = f xj x i em A. Corolário. Seja A aberto e f C k (A), então, em A, a ordem de derivação não importa para as derivadas até a ordem k. 1

2 Cálculo II, 26 de Novembro de Teorema do valor médio e Polinômio de Taylor Lembrete Cálculo 1: Teorema do valor médio. Seja f contínua em [a, b] e derivável em (a, b): então existe c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a. Teorema (Teorema do valor médio para funções de várias variáveis). Seja A aberto, f C 1 (A), p + th A para todo t [0, 1]. Então existe t (0, 1) tal que f(p + h) f(p) = f(p + th) h. Analogamente: f(x) f(p) = f(q) (x p) para algum q no segmento entre p e x. Algumas consequências: Seja f C 1 (A) com f 0 em A, onde A é aberto e conexo por caminhos: então f é constante em A. Seja A aberto, f C 1 (A), p + th A para todo t [0, 1]. Então f(p + h) f(p) C h, onde C = max{ f(p + th), t [0, 1]}

3 Cálculo II, 26 de Novembro de Lembrete: Polinômio de Taylor em uma variável Se f : I R (I R) é k vezes derivável em t 0, T k f,t 0 (t) = k j=0 f (j) (t 0 ) (t t 0 ) j j! é chamado Polinômio de Taylor de ordem k, da função f, no ponto t 0. Teorema (P.d.T. com resto de Peano). Se f : I R (I R) é k vezes derivável em t 0, então f(t) Tf,t k lim 0 (t) = 0. t t 0 (t t 0 ) k Teorema (P.d.T. com resto de Lagrange). Se f : I R (I R) é k +1 vezes derivável em V δ (t 0 ), para algum δ > 0 então dado t V δ (t 0 ) \ {t 0 } existe c t (t 0, t) se t > t 0 (resp. c t (t, t 0 ) se t < t 0 ) tal que f(t) T k f,t 0 (t) = f (k+1) (c t ) (k + 1)! (t t 0) k+1.

4 Cálculo II, 26 de Novembro de Polinômio de Taylor para funções de várias variáveis: Seja A aberto, f C k+1 (A), γ(t) = p + th A para todo t [0, 1]. Defina g(t) = (f γ)(t) = f(p+th): (OBS: é k +1 vezes derivável em [0, 1]). Então f(p + h) = g(1) = Tg,0(1) k + g(k+1) (c) (k + 1)! 1k+1 sendo c (0, 1). = k j=0 g (j) (0) j! + g(k+1) (c) (k + 1)! = T k f,p(p + h) + E k f,p(p + h), Calculemos as derivadas: g(t) = f(p + th) g (t) = f(p + th) h = f xi (p + th)h i g (t) = i=1 ( f xi (p + th) h)h i = i= g (k) (t) = i 1 =1 i 2 =1 i k =1 f xi x j (p + th)h j h i i=1 j=1... f xi1 x i2..x ik (p + th)h i1 h i2...h ik Para escrever de forma mais fácil o termo de ordem 2, defino a Matriz Hessiana de f em p: f x1 x 1 (p)... f x1 x n (p) H f (p) =... f xi x j (p)... f xn x 1 (p)... f xn x n (p) (OBS: ela é simétrica se f C 2 (B δ (p)) ). Assim f xi x j ( )h j h i = H f ( )h h i=1 j=1

5 Cálculo II, 26 de Novembro de Podemos então escrever os Polinônios de Taylor assim: Tf,p 1 (p + h) = f(p) + f(p) h T 2 f,p (p + h) = f(p) + f(p) h H f(p)h h T 2 f,p (x) = f (p) + f (p) (x p) H f (p)(x p) (x p)... T k f,p (p + h) =polin de grau até k, nas variáveis h 1,.., h n, com coeficientes que dependem das derivadas de f de ordem até k, em p. Podemos escrever o Erro assim: E k f,p(p+h) = g(k+1) (c h ) (k + 1)! = 1 (k + 1)!... i 1 =1 i k+1 =1 f xi1 x i2..x ik+1 (p+c h h)h i1 h i2...h ik+1 : E k f,p(x) = 1 (k + 1)!... i 1 =1 i k+1 =1 f xi1 x i2..x ik+1 (p + c h (x p))(x p) i1...(x p) ik+1 : Esta expressão é o resto na forma de Lagrange: é calculado usando as derivadas (k+1)ésimas de f, em um ponto (incógnito) ao longo do segmento entre p e p + h Como f C k+1 (A), existe δ > 0 tal que todas as derivadas (k+1)ésimas são limitadas em B δ (p), logo se h < δ E k f,p(p + h) C h k+1 concluímos Ef,p k (p + h) 0 para h 0 h k E k f,p (x) x p k 0 para x p Esta expressão é o análogo do teorema do resto na forma de Peano.

6 Cálculo II, 26 de Novembro de Caso n = 2: ponha p = (x, y), h = (r, s), q t = p + th = (x + tr, y + ts) g(t) = f(q t ) g (t) = f(q t ) h = f x (q t )r + f y (q t )s g (t) = H f (q t )h h = f xx (q t )r 2 + 2f xy (q t )rs + f yy (q t )s 2 g (t) = f xxx (q t )r 3 + 3f xxy (q t )r 2 s + 3f xyy (q t )rs 2 + f yyy (q t )s k g (k) (t) = k k f i x i y k i(q t)r i s k i i=0 Alguns casos particulares uteis: Teorema (Caso k = 1). Seja A aberto, f C 2 (A), γ(t) = p + th A para todo t [0, 1]. f(p + h) = f(p) + f(p) h + 1 f xi x 2 j (p + c h h)h j h i sendo c h (0, 1). i=1 j=1 = f(p) + f(p) h H f(p + c h h)h h, Teorema (Caso n = 2). Seja A aberto, f C k+1 (A), γ(t) = p + th A para todo t [0, 1]. k 1 j f(x + r, y + s) = j j f j! j=0 i=0 i x i y j i(x, y)ri s j i k+1 k + 1 k+1 f (k + 1)! i x i y k+1 i(x + cr, y + cs)ri s k+1 i, i=0 sendo c (0, 1) (depende de r, s). Teorema (Caso n = 2, k = 1). Seja A aberto, f C 2 (A), γ(t) = p + th A para todo t [0, 1]. f(x + r, y + s) = f(x, y) + f x (x, y)r + f y (x, y)s f xx(x + cr, y + cs)r 2 + f xy (x + cr, y + cs)rs f yy(x + cr, y + cs)s 2, sendo c (0, 1) (depende de r, s).

7 Cálculo II, 26 de Novembro de Formas quadráticas Chamamos Forma quadrática em n variáveis uma função na forma Q : R n R : x Ax x, onde A é uma matriz simétrica (n n) fixada. Dizemos a forma Q (a matriz A) é definida positiva se Q(x) = Ax x > 0 para todo x 0 a forma Q (a matriz A) é definida negativa se Q(x) = Ax x < 0 para todo x 0 a forma Q (a matriz A) é semidefinida positiva se Q(x) = Ax x 0 para todo x 0 mas existe z 0 : Q(z) = Az z = 0 a forma Q (a matriz A) é semidefinida positiva se Q(x) = Ax x 0 para todo x 0 mas existe z 0 : Q(z) = Az z = 0 a forma Q (a matriz A) é indefinida se existem x, y R n : Q(x) = Ax x > 0 e Q(y) = Ay y < 0 Condição para n = 2: se A = a b b c det(a) = ac b 2 > 0 implica matriz definida: positiva se a, c > 0, negativa se a, c < 0 det(a) = ac b 2 = 0 implica matriz semidefinida: positiva se a ou c > 0, negativa se a ou c < 0 (ambas se a = b = c = 0) det(a) = ac b 2 < 0 implica matriz indefinida Se n > 2 difícil. Condição necessária e suficiente para ser definida: det(a k ) > 0 para todo k = 1,..n matriz definida positiva. ( 1) k det(a k ) > 0 para todo k = 1,..n matriz definida negativa. onde A k é a matriz k k com as primeiras k linhas e k colunas de A.

8 Cálculo II, 26 de Novembro de Máximos e Mínimos Seja f : D R com D R n e p D: p é ponto de máximo global (absoluto) de f se x D vale f(x) f(p) f(p) é máximo global (absoluto) de f. p é ponto de máximo local de f se f(p) é máximo local de f. δ : x D B δ (p) vale f(x) f(p) p é ponto de mínimo global (absoluto) de f se x D vale f(x) f(p) f(p) é mínimo global (absoluto) de f. p é ponto de mínimo local de f se f(p) é mínimo local de f. δ : x D B δ (p) vale f(x) f(p) p é ponto extremal (local ou global) de f se for ponto de máximo ou de mínimo (local ou global) de f. p é ponto crítico de f se vale f(p) = 0. p é ponto de sela de f se for um ponto crítico mas nem máximo nem mínimo: f(p) = 0 e δ > 0 : x, y D B δ (p) tais que f(x) > f(p) > f(y)

9 Cálculo II, 26 de Novembro de Máximos e Mínimos interiores (livres) Teorema (Análogo do T. de Fermat). Seja f : D R, p ponto interior de D e ponto extremal Se f é derivável em p na direção v então D v f(p) = 0. Se f é derivável em p então f(p) = 0. Consequências: todo ponto extremal que seja ponto interior do domínio do gradiente é ponto crítico; se p é ponto interior do domínio do gradiente e f(p) 0 então p não é ponto extremal. RESUMO: Possíveis pontos extremais: pontos interiores do domínio do gradiente que sejam críticos, pontos onde f não é derivável, ponto na borda do domínio do gradiente, pontos onde f não é contínua. Teorema. Se f C 2 (B δ (p)) e f(p) = 0 vale: Se H f (p) é indefinida então p é ponto de sela Se H f (p) é definida positiva então p é ponto de mínimo local Se H f (p) é definida negativa então p é ponto de máximo local Se H f (p) é semidefinida então nada podemos dizer Mais em geral, de H f (p) podemos saber se, perto de p, f está para cima do seu plano tangente em p, para baixo dele, ou o cruza.

10 Cálculo II, 26 de Novembro de Máximos e Mínimos na fronteira (vinculados-condicionados) Queremos procurar os pontos extremais de uma função regular f em um conjunto C com fronteira regular: Extremais que sejam interiores a C: devem ser criticos; discussão usando Hessiana. Extremais que sejam na fronteira de C: devem ser extremais para f restrita à fronteira de C; discussão usando a direção do gradiente: mínimo para a restrição à fronteira e gradiente entrando em C: é mínimo mínimo para a restrição à fronteira e gradiente saindo de C: não é nada máximo para a restrição à fronteira e gradiente entrando em C: não é nada máximo para a restrição à fronteira e gradiente saindo de C: é máximo

11 Cálculo II, 26 de Novembro de Método dos multiplicadores de Lagrange: Procuro pontos extremais de f no conjunto N = {x A : g(x) = 0}, onde f, g C 1 (A) e A R n aberto. Teorema. Sejam f, g C 1 (A), A R n aberto e N = {x A : g(x) = 0}. Se p N é ponto extremal de f no conjunto N e g(p) 0, então existe λ R tal que f(p) = λ g(p). Multiplicadores de Lagrange com mais vínculos: Procuro pontos extremais de f no conjunto N = {x A : g i (x) = 0 : i = 1,.., k}, onde f, g i C 1 (A) : i = 1,.., k e A R n aberto. Teorema. Sejam f, g i C 1 (A), A R n aberto e N = {x A : g i (x) = 0 : i = 1,.., k}. Se p N é ponto extremal de f no conjunto N e os vetores g i (p) : i = 1,.., k são linearmente independentes, então existem λ 1,.., λ k R tais que f(p) = k i=1 λ i g i (p).