APLICAÇÕES DA DERIVADA PARCIAL Economia Prof. Dr. Jair S. Santos

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1 APLICAÇÕES DA DERIVADA PARCIAL Economia Prof. Dr. Jair S. Santos Função de Produção Superfície de Demanda Produtividade Marginal Bens competitivos e complementares Elasticidade Marginal de Demanda ercícios Interessantes Consideremos dois bens relacionados para os quais as quantidades demandadas são x e y se os respectivos preços forem p e q, então as funções de demanda poderão ser dadas por x = f(p,q) e y = g(p,q). (1) Veja que assumimos que as quantidades demandadas x e y, dependem somente dos preços p e q dos dois bens. As equações x = f(p,q) e y = g(p,q) definem duas superfícies contidas no conjunto E 1 = {(p,q,x) R 3, tais que p 0, q 0 e x = f(p,q) 0}. (2) E 2 = {(p,q,y) R 3, tais que p 0, q 0 e y = g(p,q) 0}. (3) denominada superfícies de demanda. Veja que o conjunto A é exatamente o Gráfico da função f. Algumas Propriedades Se as funções f e g representarem funções de demanda como acima, então elas f e g satisfazem as propriedades contidas na Observação 0.1 Observação Todas as variáveis endógenas x e y, e exógenas p e q devem ser positivas ou nulas (não negativas). 2. Para cada ponto P 0 = (p 0,q 0 ) o domínio de f e de g, existe uma bola aberta com centro em P 0 e raio ǫ > 0, B = B(P 0,ǫ), tal que para (p,q 0 ) B, f e g dependem monotonicamente decrescente de p (q é mantido constante e igual à q 0 ). Ainda, para (p 0,q) B, f e g dependem monotonicamente decrescente de q (p é mantido constante e igual à p 0 ). 3. istem funções F e G tais que p = F(x,y) e q = G(x,y). Definição 0.1. Se uma função de produção é dada por z = f(u,u), então u e v são os insumos de produção. Se f for derivável, a derivada parcial de z em relação à u é a produtividade marginal de u ou o produto marginal de u. Analogamente, a derivada parcial de z em relação à v é a produtividade marginal de v ou o produto marginal de v. Bens Competitivos e Complementares Definição 0.2. Considere as equações em (1), fixe o preço p, e suponha que seja permitido que o preço q varie, então pode-se esperar que haja variação nas quantidades x e y. Pelo item 2 da Observação 0.1 se o preço q aumentar, a quantidade y diminui.

2 1. Se um aumento no preço q provocar um aumento da quantidade x diremos que os dois bens são competitivos. Veja que um diminuição da demanda por um dos bens provoca um aumento da demanda pelo outro bem. 2. Se um aumento no preço q provocar uma diminuição da quantidade demandada x diremos que os dois bens complementares. Veja que um diminuição da demanda por um dos bens provoca uma diminuição da demanda pelo outro bem. Esta definição pode ser formulada com a negativa das afirmações contida nos ítens 1 e 2 da Definição 0.2. Mas, se as funções f e g tiverem derivadas de primeira ordem, podemos verificar a afirmações da Definição 0.2 pela derivadas derivadas parciais das funções f e g. Segue da Definições 0.1 que q q é a demanda marginal de x em relação à p. é a demanda marginal de x em relação à q. é a demanda marginal de y em relação à p. é a demanda marginal de y em relação à q. Uma aplicação direta da Definição 0.2 nos faz ver que 1. os dois bens serão complementares para (p,q) B se q e forem negativas em todo ponto (p,q) B (ver Observação 0.1 item 2). 2. os dois bens serão competitivos para (p,q) B se q e forem positivas em todo ponto (p,q) B (ver Observação 0.1 item 2). 3. se para (p,q) B, competitivos. q e tiverem sinais opostos Os bens não serão nem complementares nem emplo 0.1. Se as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = a + bp + cq e y = γ + αp + βq, teremos dois bens que podem ser competitivos ou complementares. Dê condições sobre a, b α e β para que os dois bens sejam competitivos.dê condições sobre a, b α e β para que os dois bens sejam complementares. Resolução Veja que = b, = α, q = c e = β. Portanto, q 1. os dois bens serão se competitivos c > 0 e α > os dois bens serão complementares se c < 0 e α < 0, ercício 0.1. Suponha que as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) são dadas por x = a p 2 q e y = α pq, onde a e α são números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê ercício 0.2. Suponha que as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) são dadas por x = ae q p e y = αe p q, onde a e α são números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê ercício 0.3. Suponha que as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) são dadas por x = ae qp e y = αe p q, onde a e α são números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê

3 Elasticidade Parcial de Demanda Considere as funções f e g como em (1), então as Elasticidades Parciais de Demanda são dadas por = p x = q x = p y = q y = q = = q = lnx lnp lnx lnq lny lnp lny lnq = a elasticidade parcial de demanda x em relação ao preço p para um preço q fixo. = a elasticidade parcial de demanda x em relação ao preço q para um preço p fixo. = a elasticidade parcial de demanda y em relação ao preço p para um preço q fixo. = a elasticidade parcial de demanda y em relação ao preço q para um preço p fixo. As Elasticidades e são denominadas Elasticidades cruzadas. Seus sinais que são os mesmos sinais das demandas marginais correspondentes e podem ser usados para determinar se os bens são competitivos ou suplementares. emplo 0.2. Se as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = λe q p e y = βe p q, onde a e α são números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam complementares. Resolução Veja que = p x = p λe q p ( λeq p ) = p e = q x q = p λe q p (λeq p ) = q. ainda, = p y = p βe p q (βep q ) = p e = q y q = q βe p q ( βep q ) = q. Assim, se λ e β forem diferentes de zero (simultâneamente), é positivo e é negativo. Segue da Definição 0.2 que os dois bens são competitivos. ercício 0.4. Se as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = a p 2 q e y = α, onde a e α são pq números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam complementares. ercício 0.5. Se as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = ae q p e y = αe p q, onde a e α são números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê ercício 0.6. Se as superfícies E 1 e E 2 (ver 2 e 3) forem dadas por x = ae qp e y = αe p q, onde a e α são números reias positivos. Dê condições sobre a e α para que os dois bens sejam competitivos.dê (4) (5) (6) (7)

4 1. Considere a função z = f(x) = x z EXERCÍCIOS- Cálculo II Economia Prof. Dr. Jair S. Santos (x,y) + y z (x,y) = 0 para todo (x,y) no domínio de f. 2. Dada z = f( 3x + y 2,x 2 y). Suponha que f( 2,2) u parciais contínuas. xy x 2. Mostre que f é Homogênea de grau zero. Mostre que + y2 = 2 e f( 2,2) v = 2 e que f tem derivadas (i) Calcule a taxa de variação da função z em P 0 = (1, 1), na direção do vetor u = ı 3 j. (ii) Qual é a direção tal que z tem crescimento máximo? Econtre o valor da taxa de variação máxima da função z em P 0 = (1, 1) 3. Dada z = f( 3x + y 2,x 2 y). Suponha que z( 2,2) parciais contínuas. Calcule f( 2,2) u = 2 e z( 2,2) = 2 e que f tem derivadas e f( 2,2). Calcule o Gradiente da função f em Q 0 = ( 2,2). v 4. Seja g(x,y,z) = ze x + e y 2ye z. Considere os valores (x,y,z) R 3 tais que g(x,y,z) = 0. Tome P 0 = (1,1,1). Mostre que a equação g(x,y,z) = 0 pode ser resolvida de tal modo que z seja função de (x,y) e calcule z z z (x,y) e (x,y). Calcule u (1,1) onde u = i j. 5. Soponha que h(x,y,z) = xz +y e ( xyz) h 0 é a quantidade de um certo comodity que é produzida com as quantidades de insumos x, y, z. Assuma que h 0 é tal que h(1,2,4) = 6 e 8 h 0 = 0. Encontre, se possível, as taxas de variação do insumo z em relação ao insumo x e em relação ao insumo y no ponto Q 0 = (1,2). 6. Indique a alternativa que apresenta o ponto P 0 = (x 0,y 0 ) que maximiza f(x,y) = lnx + lny sujeito à 2 x 2 y 2 = a: ( 2, 2 ) b: ( 2, ) c: (1,1) d: ( 2 2, ) e: (1 2, 2 ) Resp c 7. Se uma função de produção é dada por z = f(x,y), então x e y são os insumos de produção e a derivada parcial de z em relação à x é a produtividade marginal de x ou o produto marginal de x. Analogamente, a derivada parcial de z em relação à y é a produtividade marginal de y ou o produto marginal de y. Suponha que na produção de uma quantidade z os insumos x e y estejam relacionados com z através da equação 40ze x + 10e y 100ye z + 10e z0 = 0. Suponha que se o um nível de produção for z 0, tem-se z 0 = x 0 = y 0. Neste nível de produção encontre a produtividade marginal de x e produtividade marginal de y. 8. Dada g(x,y) = ( ) 1 2 f(x,y) + ln(x 2 + y 2 + 1), onde f tem as derivadas parciais de segunda ordem. Se P 0 = (0,0), f(p 0 ) = 4, f (P 0) = 1 e f (P 0) = 1 e 2 f 2 (P 0) = 2; Jacobiana de g em P 0. Calcule 2 g 2 (x,y) e 2 g 2 (P 0). 2 f (P 0) = 2; dê a Matriz 9. Seja f(x,y,z) = αx 2 α 1 y α + y 2αxz + 3z + (α 3 2 )z2. Encontre os pontos críticos de f.

5 10. Calcule G u (P G(P 0 + t u) G(P 0 ) 0) = lim t 0 t quando G(x,y) = xy 2, P 0 = (1,1); u = ı + 3 j. 11. Encontre a equação geral do plano tangente ao gráfico da função f(x,y) = x2 y y x 2 no ponto P 0 = ( 1,2,f(x 0,y 0 )). 12. Calcule a Matriz Hessiana de f(x,y,z) = xe (z2 +y 2). Verifique se a Matriz Hessiana calculada em Q 0 = (1,0,0) é positiva definida. M ÉTODO DE LAGRANGE 13. Considere o problema: tremize{ f(x,y) = xy 2 sujueito à x + y = 9, x 0 y 0}. Resp: Ponto de Máximo Local x 0,y 0 ) = (6,3). Valor Máximo Local Considere o problema: tremize{ f(x,y) = x 3 + y 3 + xy sujueito à x + y 9 = 0, x 0 y 0}. Resp: Ponto de Mínimo Local x 0,y 0 ) = (2,2). Valor Mínimo Local Considere o problema: tremize{ f(x,y) = x 2 + y 2 4xy sujueito à x + y 10 = 0, }. 16. Considere o problema: tremize{ f(x,y,z) = x + y 2 + z 2 sujueito à x + y + z = 1}. Resp: Ponto de Mínimo Local x 0,y 0 ) = ( 1 2, 1 2 ). Valor Mínimo Local Mazimize a função Utilidade U(x,y) = x 2 y 2 sujeita à restrição 2x + 4y = 40. Resp: Ponto de Máximo Local x 0,y 0 ) = (10,5). Valor Máximo Local Considere a função de produção de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f(x,y) = x 4 5 y 1 5 onde x é o número de unidades de mão de obra e y é o número de unidades de capital. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 160 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 200 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é Assim, a função que rstringe a produção desta indústria é dada por 160x + 200y = u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produçãodesta indústria. Resp: Ponto de Mínimo Local x 0,y 0 ) = (500,100). Valor Mínimo Local 100(500) 4 5 (100)) Considere a função de produção de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f(x,y) = x 3 5 y 2 5 onde x é o número de unidades de mão de obra e y é o número de unidades de capital. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 150 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 190 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produçãodesta indústria. 20. Considere a função de produção de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f(x,y,z) = x 2 5 y 1 5 y 2 5 onde x é o número de unidades de mão de obra, y é o número de unidades de capital e z é o número de unidades de materia prima. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 160 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 200 u.m., o custo por uma unidade capital é 300 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é Assim, a função que rstringe a produção desta indústria é dada por 160x + 200y + 300z = u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produçãodesta indústria. 21. Considere a função de produção de Cobb-Douglas para uma certa indústria que dá o número de unidades produzidas com dois insumos f(x,y,z) = x 3 5 y 1 5 y 1 5 onde x é o número de unidades de mão de obra, y é o número de unidades de capital e z é o número de unidades de materia prima. Suponha que o custo de uma unidade de mão de obra é 160 unidades de moeda (u.m.), o custo por uma unidade capital é 200 u.m., o custo por uma unidade capital é 300 u.m. e o custo total por mão de obra e capital é u.m.. Encontre o número de unidades de mão de obra e de unidades de mão de capital ideal para máximizar a produçãodesta indústria.

6 22. Assuma que um monopolista produz dois produtos e que toda a produção é vendida. Suponha que x R e y R sejam as quantidades demandas destes produtos se os preços forem p e q respectivamente. Se as equações de demandas forem dadas p = 36 3x e q = 40 5y e a função custo-conjunto for dada por C(x,y) = x 2 + 2xy + 3y 2, indique a alternativa que apresenta corretamente as quantidades x 0 e y 0, e os preços p 0 e q 0, que maximizam o lucro obtido com a venda destes dois produtos. a: (x 0,y 0,p 0,q 0 ) = (2,4,24,20) b: (x 0,y 0,p 0,q 0 ) = (4,2,24,24) c: (x 0,y 0,p 0,q 0 ) = (2,2,30,30) d: (x 0,y 0,p 0,q 0 ) = (4,4,24,20) e: (x 0,y 0,p 0,q 0 ) = (4,2,24,30). Resp e 23. A relação entre as vendas S (quantidade de produto vendida) e as quantias x e y (em unidades moeda) gastas com dois meios de propaganda previamente escolhidos é dada por S(x,y) = 100x 5 + x + 200y 10 + y. O lucro líquido é igual a 1 da vendas menos o custo da propaganda. A verba destinada à propaganda 5 é de 30 unidades de moeda. Dê sua sugestão para se alocar os recursos entre estes dois meios de propaganda para que o lucro líquido seja máximo. Justifique sua sugestão. 2 - Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas para serviço pesado em quantidades x e y. A função de custo-conjunto é dada por f(x,y) = x 2 + 2y 2 xy. A fábrica deve produzir, em um determinado período de tempo, exatamente 40 máquinas. Dê sua sugestão para que a fábrica escolha produzir quantidades x 0 e y 0 destas máquinas de modo que o custo seja mínimo. 24. Suponha que d,s,p : [0, ) R sejam funções diferenciáveis e em cada t avalia as quantidades Demandadas d(t) e Ofertadas s(t) de um certo comodity se o seu Preço for p(t). O modelo proposto por Evans apresenta as seguintes relações entre Demanda, Oferta e Preço { d(t) = α0 + α 1 p(t) s(t) = β 0 + β 1 p(t) dp dt (t) = γ(d(t) s(t)). onde α 1 < 0, β 1 > 0 e γ > 0. O preço de equilíbrio é uma função constante p e : [0, ) R que satisfaz a equação diferencial. a: Determine a relação entre p e e as constantes α 0,α 1,β 0 e β 1. b: Se p(0) = 2, p e = 1 e γ(α 1 β 1 ) = 2, calcule p(t) e lim t p(t). (8) 25. Sejam S,R : [0, ) R funções deriváveis, e suponha que S e R dão, respectivamente, o valor de revenda de um automóvel e o custo operacional deste mesmo automóvel. Suponha ainda que, as funções S e R satisfazem o problema valor inicial dr(t) = α dt S(t) + β ds(t) = λs(t), R(0) = R 0 > 0, S(0) = S 0 > 0, dt onde α > 0, β > 0 e λ > 0 são constantes reais. Podemos afirmar que

7 a. Como o custo operacional deste automóvel cresce indefinidamente, haverá um tempo t 0 após o qual o valor revenda deste automóvel será negativo. b. S(t) = S 0 e λt, e R(t) = R 0 + βt + α λs 0 (e λt 1) c. Apesar de o custo operacional deste automóvel crescer indefinidamente, valor revenda deste automóvel será maior que um valor ǫ > 0. d. S(t) = S 0 e λt + cos(t), e R(t) = R 0 + βt + α λs 0 (e λt 1) e. Apesar de o custo operacional deste automóvel ser limitado, haverá um tempo t 0 após o qual o valor revenda deste automóvel será negativo. 26. Calcule o candidato à ponto extremo (Máximo ou Mínimo local) de f(x,y,z) = 2xz x 2 sujeita às condições g 1 (x,y,z) = 0 e g 2 (x,y,z) = 0, quando g 1 (x,y,z) = 2x + z + 1 e g 2 (x,y,z) = x y 1. Boa Sorte