Gabarito da Lista 4 de exercícios - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Pedro Bretan

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1 Gabarito da Lista 4 de exercícios - Microeconomia Professora: Joisa Dutra Monitor: Pedro Bretan 1. (a) Verdadeiro, por definição. (b) Falso. Para que o segundo teorema valha, o conjunto de produção também precisa ser convexo. (c) Falso. Não há nada na hipótese que vá contra a existência de equilíbrio. (d) Verdadeiro. Nesse caso a firma sempre tem um desvio lucrativo, que é contratar mais insumos e aumentar a produção, com lucro maior (pois retornos crescentes implicam que um aumento de produção se faz a custos menores) (e) Falso. O problemo de pareto tem solução nesse caso, ainda que o equilíbrio não exista.. (a) Dado que trabalha no máximo 8 horas diárias, dedicando-se totalmente à pesca Robinson obterá 8 peixes; dedicando-se à coleta de cocos, obterá 16 cocos. Portanto a curva que retrata as possibilidades de produção nessa economia é dada por p + c = 16. O conjunto de possibilidades de produção é: (b) O problema de Robinson é CP P = {p, c : p + c 16} p,c p c s.a. p + c = 16 Obtemos da cpo: c = 8; p = 4. Logo, existe uma taxa de troca de cocos por peixe. Implicitamente o preço do coco é menor. 1

2 3. Sejam l c e l p as quantidades demandadas de trabalho pela firma para a produção respectivamente de coco e peixes. O problema da firma é: l c,l p l p + p c l c wl p wlc A equação do lucro acima advém do fato de uma hora de trabalho resultar em dois cocos ou um peixe. Derivando para l c e l p : w = 1, w p c = (a) Da equação do lucro vemos que se w > 1, a firma tem prejuízo e produz zero peixes; para w < 1, ela produz uma quantidade infinita. Logo, o único preço de equilíbrio é w = 1 com lucro zero. (b) Novamente, da equação do lucro vemos que se p c > w = 1, a firma produziria um número infinito de cocos; se fosse menor, produziria zero. Assim, em equilíbrio temos p c = 1. Na verdade, retornos constantes não ocorrem em todo o espaço de insumos nesta economia pois Robinson trabalha no máximo 8 horas, logo sua nona hora de trabalho tem um custo infinito (retornos constantes implicam que a firma pode sempre aumentar a quantidade produzida ao mesmo custo). 4. (a) Veja que o nativo em uma hora consegue um coco e 1 peixes. 4 Logo, sua taxa de troca é 4 cocos por peixe. Para Robinson, como visto na questão (), a taxa era cocos por peixe. Portanto na ilha do nativo o preço relativo deve ser pp p c = 4. Robinson tem menor custo de oportunidade na produção de peixes (pois deixa de produzir cocos contra 4 do nativo), logo deve se especializar nisso. Sua restrição orçamentária, em caso de troca com o nativo, é: p c c + p p p = 8p p p p onde utilizei o fato de o nativo exigir peixes como contrapartida pelos custos de transporte. Como a taxa de troca será a do nativo, a restrição fica, dividindo-se por p p : 1c + 4p = 4

3 (b) O problema de Robinson é: c,p p c s.a. c + 4p = 4 Da cpo obtém-se que: p = 1 6 = 3; c = 1 Assim, a utilidade de Robinson após a troca com o nativo é U(c, p) = 3 1 = 36, enquanto no exercício era de 3. O comércio trouxe ganhos, portanto, devido à especialização de cada na produção do bem em que possui vantagem comparativa. 5. Seja uma economia qualquer, em que cada firma j produz y j utilizando a seguinte função de produção: y j = f j (z 1, z,..., z n ), em que z i é o insumo i. O problema da firma é: {z i } n i=1 p j f(z 1,..., z n ) n p i z i i=1 Da CPO obtemos, normalizando o preço do bem j para 1: Logo, se vale para todo i, f(z 1,..., z n ) z i = p i f(z 1,...,z n) z i f(z 1,...,z n) z k = p i p k, i, k T MT i,k = p i i, k p k Nessa economia o problema do consumidor é: x i U(x 1,..., x n ) 3

4 s.a. n p i x i = i=1 n i=1 Da cpo obtemos: U(x 1,..., x n ) = λp i x i onde λ é o multiplicador de lagrange. Assim, w i T MS i,k = U(x 1,...,x n) x i U(x 1,...,x n) x k = p i p k, i, k Portanto, i, k, T MT i,k = T MS i,k, para quaisquer consumidores e firmas. 6. (a) Sabemos que x v = l v. Logo, x v = l v. Temos que l v + l q = 1, portanto x v = 1 l q. Analogamente, x q = l q, portanto ao substituir temos: x v + x q = 1 que é a fórmula da fronteira de transformação. A taxa marginal de transformação é a sua derivada: T MT = q. Realizando o v cálculo, temos: x q = 1 x v = q v = 1 x v = x v 1 x v (b) Problema da firma produtora de Q: CPO: p q lq wl q l q p q l q w = 0 = l q = ( p q w ), x q = p q w Substituindo na função objetivo, obtemos o lucro da firma em função dos preços: Π q = p q 4w x q 4

5 Problema da firma produtora de V : CPO: p v lv wl v l v p v l v w = 0 = l v = ( p v w ), x v = p v w Substituindo na função objetivo, obtemos o lucro da firma em função dos preços: Π v = p v 4w As rendas individuais são compostas da renda do trabalho e das participações acionárias nos lucros das firmas. Assim, agente A tem renda: p q Y A = w w w = 4w + p q + 3p v 16w Analogamente, p q Y B = w w w = 1w + p q + p v 16w p v p v Agora vamos calcular o resultado dos problemas de imização individuais. Aplicando a fórmula das demandas Cobb-Douglas, temos Calculando e fazendo p v = 1, v A = 1 Y A, q A = 1 Y A p v p q v B = 1 Y B, q B = 1 Y B p v p q v A = 4w + p q + 3, q A = 4w + p q + 3 3w 3wp q v B = 1w + p q + 1, q B = 1w + p q + 1 3w 3wp q 5

6 Existem três equações de market clearing (mercados de trabalho, Q, V), sabemos pela Lei de Walras que basta resolver para dois mercados. Assim, começando por trabalho, temos: Oferta de trabalho: l A + l B = 1 Deamnda por trabalho: l q + l v = ( pq w ) + ( 1 w ) Assim, ( p q w ) + ( 1 w ) = 1 = p q = 4w 1 Do mercado de V, temos: 4w + p q + 3 3w + 1w + p q + 1 3w Resolvendo o sistema, obtemos que: = 1 w = 4w + p q = 3 p q = 1, w = 1 Substituindo nas expressões encontradas para as demandas, temos: l v = 1, l q = 1, x q =, x v =, q A = 7 3, q B = 9 3, v A = 7 3, v B = 9 3 6