Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 6

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1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Caderno de Exercícios 6 Funções reais de duas variáveis. Curvas de nível. Derivadas parciais. Optimização livre. Optimização Condicionada com Restrições de Igualdade. António Antunes Louis Serranito Patrícia Xufre Rui Sousa Monteiro Manuela Ducla Soares

2 1 FunçõesReaisdeduasVariáveis 1. Considere a função f(x, y) = p x 2 + y 2. (a) Determine o domínio da função. Represente as suas curvas de nível. (b) Calcule as derivadas parciais de f. (c) Calcule a matriz Hessiana de f. 2. Seja a função f(x, y) =(x 4) 2 +(y 4) 2. (a) Que forma têm as curvas de nível? (b) Calcule as derivadas parciais de f. Qual o valor dessas derivadas no ponto (0, 0)? (c) Calcule a matriz Hessiana de f. 3. Seja a função f(x, y) =ln(x + e y ). (a) Qual o domínio D de f? FaçaumesboçodeD. Oponto(0, 0) pertence a D? (b) Represente graficamente a curva de nível que passa no ponto (0, 0). Qual a cota correspondente? 4. Seja a função f (x, y) = p x (2 (x 2 + y 2 )). (a) Qual o domínio D de f? FaçaumesboçodeD. (b) Calcule as derivadas parciais f x e f y. (c) Calcule a matriz Hessiana de f. 5. Sejam as funções f (x, y) =max{x, y} e g (x, y) =y +lnx. (a) Determine o domínio de f edeg. (b) Determine as curvas de nível das funções f e g. Represente graficamente as curvas de nível de cotas 0 e Seja f (x, y) =x ln (xy). (a) Determine o domínio D de f e descreva-o geometricamente. (b) Qual a curva de intersecção do gráfico de f com o plano XOY? (c) Quais as curvas de intersecção do gráfico de f com os planos paralelos ao plano XOY e cuja distância a este é 1? 2 Convexidade e Concavidade 1. Mostre que as seguintes funções são côncavas: (a) f(x, y) =2x y x 2 +2xy y 2 (b) f(x, y) =x y x 2 2. Mostre que f(x, y, z) =(x +2y +3z) 2 é convexa. 3. Seja a função f(x, y) = 2x 2 y 2 +4x +4y (a) Estude a concavidade/convexidade (b) Determine os pontos de estacionaridade (c) À luz da resposta à a), o que pode concluir sobre a natureza desses pontos (máximo, mínimo, nem máximo nem mínimo)? 4. Diga quais das seguintes funções são quasi-côncavas:

3 (a) f(x, y) =3x + y (b) f(x, y) =ye x,comy>0 (c) f(x, y) = x 2 y 3,comx>0 e y>0 3 Optimização Livre 1. Um pequeno agricultor usa capital e trabalho para produzir, sendo a tecnologia descrita pela função de produção Q = K 0.4 L 0.6. Sejam p, r e w os preços do bem, do capital e do trabalho respectivamente. Assuma que nem o preço do bem nem o preço dos inputs são afectados pelas acções do produtor. O produtor quer escolher a utilização de capital e de trabalho por forma a maximizar o seu lucro. (a) Formalize o problema do produtor identificando a função objectivo e as variáveis de decisão. (b) Deduza as condições de primeira ordem para a existência de um extremo. (c) Verifique se o ponto encontrado na alínea anterior é um ponto de máximo. 2. Obtenha os máximos e mínimos relativos de: (a) f(x, y) =x 2 + xy +2y 2 (b) f(x, y) =e x + e y (c) f(x, y) =x 3 + xy 2 x (d) f(x, y) =e 2x 2x +2y Estude recorrendo, se necessário, ao estudo local, o comportamento das seguintes funções nos pontos em que os gradientes se anulam: (a) f(x, y) =x 2 2xy 2 + y y5 (b) f(x, y) = x 2 2xy 2 + y y5 (c) f(x, y) =y 2 + x 2 y + x 4 (d) f(x, y) =yx 2 y 2 2x 4 +2x 2 y 4 Optimização Condicionada 1. Determine, se existirem, os extremos dos seguintes problemas: (a) f(x, y) =3x 2 +4y 2 xy s.a. x + y =1 (b) f(x, y) =x + y s.a. x 2 + y 2 =1 (c) f(x, y) =x 2 + y 2 s.a. xy =1 2. Considere o seguinte problema de optimização: max {x,y} xy s.a. x +2y =10 (a) Resolva o problema graficamente. (b) Resolva o problema analiticamente, transformando-o num problema de optimização livre. (c) Resolvaoproblemautilizandoométodo dos multiplicadores de Lagrange. (Exame de Cálculo I, ) 3. Considere o seguinte problema de maximização: max {A,C} s.a. U(A, C) =(A 1 2 A2 )+(C 1 2 C2 ) C =(A A)g em que A é uma quantidade fixa de A e g>0.

4 (a) Resolva o problema analiticamente, transformando-o num problema de optimização livre. (b) Resolva o problema utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. (c) Resolvaoproblemagraficamente. 4. Seja a função f : D R 2 R, talquef(x, y) =(x 4) 2 +(y 4) 2 (Exame de Cálculo I, ) (a) Que forma têm as curvas de nível de f(x, y)? (b) Determine a solução do problema de minimização, em x e y, da função acima descrita. (c) Suponha que entre x e y existe a relação 2x +3y =6. Represente graficamente esta restrição. (d) Formalize o problema de minimização de f com a restrição indicada na alínea anterior. Resolva o problema analítica e graficamente. 5. O Zé agricultor tem uma vida simples. Dorme 8 horas, trabalha 8 horas e descansa 8 horas e já decidiu que é disso que gosta. O Zé produz montes de hortaliças, gado e outras coisas a que vamos chamar produtos agrícolas. A sua produção depende apenas do número de horas que trabalha por dia. É verdade que ele consome uma boa parte do que produz mas também vende parte. Com as receitas, ele compra vestuário, aparelhos eléctricos e outras coisas a que vamos chamar produtos industriais. As preferências do Zé no que diz respeito ao consumo são descritas pela função utilidade: U(A, I) =A α c I 1 α, onde A c e I são as quantidades consumidas de bens agrícolas e industriais respectivamente. Sejam p A e p I, respectivamente, os preços dos bens agrícolas e dos bens industriais e seja A p a quantidade produzida de bens agrícolas. (a) Formalize o problema do Zé, indicando claramente a função objectivo, as variáveis de decisão e a restrição. (b) Resolva o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Interprete o multiplicador de Lagrange deste problema. (c) Avalie como varia o consumo óptimo de cada bem e a utilidade do consumidor se o preço do bem agrícola variar. 6. Considere o seguinte problema de maximização: max {x,y} f(x, y) =x + y s.a. x 2 + y =1 (a) Resolva o problema utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. (b) Explique geometricamente a solução encontrada em (a), representando algumas curvas de nível da função f(x, y), bem como a restrição. (c) Suponha que a restrição foi alterada para x 2 + y =1.1. Calcule um valor aproximado do correspondente máximo de f sem resolver de novo o problema. 7. Considere a função f : R 2 R definida por f(x, y) =x 3 3xy + y 3. (Exame de Cálculo I, ) (a) Pretende-se determinar os seus extremos locais. i. Escreva as condições de primeira ordem e calcule os pontos de estacionaridade.

5 ii. Determine, justificando, a natureza dos pontos de estacionaridade, isto é, se são pontos em que há máximo, mínimo, ou, nem máximo nem mínimo. (b) Pretende-se determinar os extremos locais de f no conjunto {(x, y) :y = x}. Resolvao problema, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. (c) Compare as soluções dos problemas livre e condicionado. Comente. (Exame de Cálculo I, ). 8. Suponha que vai ao supermercado comprar fruta para toda a semana e que, depois de observar as variedades expostas, decide comprar apenas peras e maçãs. As maçãs e as peras custam, respectivamente, 2 euros e 1.5 euros por kilo, e você tem para gastar na compra da fruta apenas 9 euros. Considere que a sua função de utilidade é U(x, y) =xy +2x, emquex éaquantidade de maçãs e y adeperas. (a) Formalize o problema de optimização condicionada que lhe permite calcular a quantidade de maçãs e de peras que maximizam a sua utilidade. (b) Resolva o problema, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. (c) Interprete, no contexto deste problema, o valor do multiplicador de Lagrange. (d) Suponha que, em vez de 9 euros, você pode dispor afinal de 9.5 euros. Como varia aproximadamente o seu nível de utilidade? (Não resolva de novo o problema.) (Exame de Cálculo I, ). 9. Pretende-se calcular a área A = xy do rectângulo de maior superfície cujos lados, de comprimentos x e y, verificam x + y = k, emquek é um número real fixo. (a) Formalize o problema de optimização condicionada correspondente. Explicite a função objectivo, as variáveis de decisão e a restrição. (b) Qual a forma das curvas de nível da função objectivo? Represente graficamente a curva de nível de cota 1. (c) Resolva o problema de optimização pelo método dos multiplicadores de Lagrange. (d) Verifique que o multiplicador de Lagrange λ étalqueλ = da max dk.(a max representa a área máxima, dependente de k.) (e) Se o perímetro do rectângulo variar de 10 para 11, de quanto é que aumenta aproximadamente a área do rectângulo? (Exame de Cálculo I, ). 10. Uma empresa produz gasómetros de forma cilíndrica. Sabe-se que a empresa não tem custos fixos e os custos variáveis dependem da área total do cilindro. Pretende-se produzir gasómetros com 2m 3 de volume a um custo mínimo. (a) Formalize o problema de optimização condicionada correspondente.(represente por p o custo de uma unidade de área do cilindro.) Explicite a função objectivo, as variáveis de decisão e a restrição. (b) Resolva o problema transformando-o num problema de optimização livre. (c) Resolvaoproblemautilizandoométodo dos multiplicadores de Lagrange. (d) Suponha agora que o volume do cilindro é 2, 01m 3. Calcule um valor aproximado da área paraoqualocustoserámínimo,semresolverdenovooproblema. (Problema apresentado por uma aluna de Cálculo I, Dez., 2002).

6 11. Uma aldeia gaulesa consegue resistir às constantes invasões romanas graças a uma poção mágica inventada pelo seu druida que confere a quem a bebe uma força sobrenatural. Perante rumores de uma nova invasão por parte das legiões romanas, o druida da aldeia decidiu precaver-se fabricando uma grande quantidade de poção mágica. Para tal o druida necessita de dois ingredientes: bagas de azevinho e presas de javali. A quantidade, em litros, de poção fabricada édadapelafunçãoq (x, y) =xy + x em que x representa a quantidade de bagas de azevinho e y a quantidade de presas de javali, ambas em kilos. No entanto, a Sociedade dos Druidas da Floresta, preocupada com a procura excessiva de bagas de azevinho e presas de javali, decidiu limitar o seu consumo a fim de proteger as espécies. Para tal, foi fixado que a recolha dos dois bens devia respeitar a condição x +2y =30. (a) Formalize o problema de optimização condicionada que permite calcular as quantidades x e y que maximizam a quantidade de poção produzida. (b) Resolva o problema utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. (Problema apresentado por um aluno de Cálculo I, Dez., 2002). 12. Um rectângulo com lados paralelos aos eixos coordenados está inscrito no triângulo delimitado pelos eixos coordenados e pela recta x+2y =2. Note que o vértice superior direito do rectângulo éumponto(x; y) situado sobre a recta. (a) Determine o rectângulo de área máxima. Comece por formalizar o problema de maximização referindo a função objectivo e a restrição, e resolva o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange. (b) Se a recta x+2y =2se afastar da origem paralelamente a si mesma até que o vértice (2; 0) do triângulo se desloca para (2,01; 0), de quanto varia aproximadamente a área máxima calculada na alínea anterior? (Exame de Cálculo I, ). 13. Pretende-se determinar o rectângulo de perímetro máximo com lados paralelos aos eixos e inscrito na circunferência de equação x 2 + y 2 = a 2. (Note que dizer que o rectângulo está inscrito na circunferência é equivalente a dizer que os seus vértices estão sobre a circunferência.) (a) Desenhe a circunferência e um rectângulo nela inscrito com lados paralelos aos eixos. (b) Sendo (x, y) o vértice do rectângulo no 1 o quadrante, mostre que o perímetro do rectângulo éiguala4(x + y). (c) Formalize o problema de optimização, especificando a função objectivo e a restrição. (d) Resolva o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange. (e) Escreva a função valor, que dá o perímetro máximo em função do raio da circunferência. (f) Se o raio variar de 1 para 0.9, de quanto varia aproximadamente o perímetro? (Exame de Cálculo I, ). 14. Pretende-se decompor o número 100 em duas partes x e y de modo que a soma dos quadrados destas duas partes seja mínima. (a) Formalize o problema de optimização, especificando a função objectivo e a restrição. (b) Resolva o problema geometricamente. (c) Resolva o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange. (d) Se o número variar de 100 para 99.9, de quanto varia aproximadamente o mínimo da soma dos quadrados das duas partes? (Exame de Cálculo I, ).

7 15. O Tomás é um aluno da FEUNL. Ele está a gozar as suas férias do mês de Agosto e, como gosta muito de sair à noite, mede a sua utilidade pelo número de vezes que vai à discoteca K e ao bar T. Mais especificamente,asuautilidadeédadapeloprodutoentreocubodonúmerode vezes que vai à discoteca K e o número de vezes que vai ao bar T. Sabe-se ainda que o Tomás destina a totalidade da sua mesada para sair à noite e que gasta 1 euro por entrada no bar T e 6 euros por entrada na discoteca K. Além disso, há uma lei que proíbe os estudantes de entrarem mais do que uma vez no mesmo sítio quando saem à noite. (a) Se o Tomás tiver a mesada que quiser e não sentir qualquer constrangimento em pedir dinheiro aos pais, quantas vezes é que vai à discoteca K e ao bar T durante o mês de Agosto? Responda de forma intuitiva e sem fazer contas. (b) Suponha agora que a lei que proíbe os estudantes de entrarem mais do que uma vez no mesmo sítio quando saem à noite é abolida mas que, a pensar no futuro do Tomás, os pais dele decidem atribuir-lhe uma mesada de apenas 24 euros. Quantas vezes é que o Tomás vai decidir ir à discoteca K e ao bar T? i. Formalize o problema de maximização do Tomás. ii. Resolva-o utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Qual é o valor da utilidade do Tomás no ponto óptimo? iii. Represente graficamente a restrição, as curvas de nível da função objectivo e a solução do problema. (c) Suponha que os pais do Tomás acabam por decidir que 24 euros de mesada é muito pouco. Se eles aumentarem a mesada em 2 euros, em quanto aumentará (aproximadamente) a utilidade do Tomás? (Exame de Cálculo I, ). 16. A Maria é a irmã mais nova do Tomás. Ela gosta de falar ao telefone com as amigas e, tal como o Tomás, gosta de ir à discoteca K. Mais especificamente, a utilidade da Maria é dada pelo quadrado do número de vezes que vai à discoteca K mais o quadrado do número de carregamentos (C) de 5 euros que faz no seu telemóvel. Não é possível fazer carregamentos fraccionários, ou seja, a Maria só pode gastar múltiplos de 5 euros em carregamentos. Como a Maria é ainda muito nova. os pais dela só a deixam ir à discoteca se ela for acompanhada pelo seu irmão mais velho. O Tomás, por sua vez, não se importa de levar a Maria pois é mais fácil entrar na discoteca acompanhado do que sozinho. Além de ir à discoteca K o Tomás também gosta de ir ao bar T: a sua utilidade é dada pelo dobro do produto entre o número de vezes que vai ao bar T e à discotecak.amesadadotomásé24euros,enquantoqueadamariaé29eurosporqueela teve excelentes notas no exame de Cálculo I. Além disso, sabe-se que cada ida ao bar T custa 6 euros ao Tomás e que cada entrada na discoteca K lhe custa 4 euros. As meninas não pagam entrada na discoteca K. (a) Será que a Maria acompanha o Tomás sempre que ele vai à discoteca K? Justifique sem fazer contas. (b) FormalizeeresolvaoproblemademaximizaçãodoTomásutilizandoométododosmultiplicadores de Lagrange. Esboce num gráfico a restrição, as curvas de nível e a solução do problema do Tomás. Quantas vezes vai a Maria à discoteca? Qual a sua utilidade? (c) Suponha agora que a Maria decide subsidiar o Tomás em 1 euro por cada ida à discoteca K de forma a incentivá-lo a ir mais vezes. Será que a Maria fica melhor ao subsidiar o seu irmão em 1 euro por cada ida à discoteca? Responda sem fazer contas. (Sugestão: utilize ográfico da alínea anterior.) (Exame de Cálculo I, ).