(7) Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V(x, y, z) = 5x 2 3xy + xyz.

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1 1. MAT CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PARA ECÔNOMIA 3 a LISTA DE EXERCÍCIOS ) Em cada caso, esboce a superfície de nível c da função F : R 3 R: a) Fx, y, z) = x + y + 3z e c = 1 b) Fx, y, z) = x + y + 3z e c = 1 c) Fx, y, z) = x + y z e c = 0 d) Fx, y, z) = x + y z e c = 1 e) Fx, y, z) = x + y z e c = 1 f) Fx, y, z) = x y e c = 1 Alguma dessas superfícies é o gráfico de uma função f : D R R? ) Ache os pontos do hiperbolóide x y + z = 1 nos quais a reta normal é paralela à reta que une os pontos 3, 1, 0) e, 3, 6). 3) Mostre que o elipsóide 3x + y + z = 9 e a esfera x + y + z 8x 6y 8z + 4 = 0 se tangenciam no ponto 1, 1, ) isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto). 4) Ache a reta tangente à interseção do cilindro x + y = com gráfico de f x, y) = x 3 + y 3 + no ponto 1, 1, 4). ) Sejam f : R R e γ : R R 3, diferenciáveis com f 1, 0) =, 1) e γ t) = 0, 0, 0), para todo t R. Suponha que a imagem de γ esteja contida na interseção do gráfico de f com a superfície z 3 + x 3 + yz + xy 3 = 0. Sabendo que 1, 0, 1) Imγ, determine uma equação para a reta tangente a γ neste ponto. 6) Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f x, y, z) = xe z + sen y),, 0, 0) b) f x, y, z) = 4 y + z lnx), 1,, 1) 7) Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por Vx, y, z) = x 3xy + xyz. a) Ache a taxa de variação do potencial em P3, 4, ) na direção do vetor v = i + j k. b) Em que direção V muda mais rapidamente em P? c) Qual é a maior taxa de variação em P? 8) Encontre uma parametrização para C, esboce C e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos: a) C = {x, y) R : x + y = 1} e f x, y) = x 3 y. b) C = {x, y, z) R 3 : x + y = z e z = y} e f x, y, z) = x z. c) C = {x, y, z) R 3 : x +y +z =1 e x 1) +y +z 1) = 1} e f x, y, z) = xz+y. d) C = {x, y, z) R 3 : x + y + z = 1 e x y + 3z = 3} e f x, y, z) = x +y +z. 9) Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D. Esboce D.) a) f x, y) = 3x + 4y; D é o triângulo com interior e bordas) cujos vértices são 0, 0), 4, 0) e 4, ) b) f x, y) = xy e x y ; D = {x, y) R : x + y, x 0, y 0} 10) Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f x, y) em D sendo: a) f x, y) = xy; D = { x, y) R : x y = 1, x [1, ] } b) f x, y) = x 3 + y 4 ; D = {x, y) R : x + y = 1, x [0, 1 4 ], y 0} Você pode usar multiplicadores de Lagrange apenas) para resolver esse exercício? 11) Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas: a) f x, y) = xy; x + y + 6xy 64 = 0 b) f x, y, z) = xyz; x + y + 3z = 6 1

2 c) f x, y, z) = x y z ; x + y + z = 1 d) f x, y, z) = x + y + z ; x 4 + y 4 + z 4 = 1 1) Determine o valor máximo e o valor mínimo de f em R sendo a) f x, y, z) = x x+y 4y+z 6z e R = {x, y, z) R 3 : x +y +z 6} b) f x, y, z) = x + y + z 4xy 4z + 3x e R = {x, y, z) R 3 : x 0, y 0, z 0, x + y + z 4} 13) Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C, sem parametrizar C: a) f x, y, z) = x + y + z e C = {x, y, z) R 3 : x + y = 1 e 4x + 4y = z }; b) f x, y, z) = x 3 +y 3 +z 3 e C = {x, y, z) R 3 : x +y +z = 1 e x+y+z = 1}; c) f e C como no exercício 8 a); d) f e C como no exercício 8 b). 14) Encontre o máximo e o mínimo de f x, y, z) = x + y z no compacto C. a) C = {x, y, z) R 3 : 4x + y z + 1 = 0, z > 0 e z = x + y + 4}. b) C = {x, y, z) R 3 : 4x + y z + 1 = 0, z > 0 e z x + y + 4}. 1) Seja f x, y, z) = x + y + z 4xy 4z. Achar o máximo e o mínimo de f em: a) {x, y, z) R 3 : x + y + z = 4}; b) {x, y, z) R 3 : x + y + z 4}; c) {x, y, z) R 3 : x + y + z = 4 e z 1 }; d) {x, y, z) R 3 : x + y + z 4 e z 1 }; e) {x, y, z) R 3 : x + y + z = 4 e z x + y}. Nos exercícios 16 a 18 prove que o problema tem solução, isto é, explique por que o ponto encontrado é, de fato, de máximo ou de mínimo. 16) a) Encontre os pontos da elipse x + xy + y = 3 mais próximos de 0, 0). b) Qual o ponto do plano x + y z + 4 = 0 que está mais próximo do ponto 1, 1, 1)? Para justificar, veja, por exemplo, o exercício 6). 17) Determine o maior produto de 3 números reais positivos cuja soma é 100. Exiba tais números. 18) Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x y, z > 0. 19) Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: a) z = x + xy + 3y + 10x 9y + 11 b) z = x y c) z = x 3 y 3 d) z = x x )y y ) e) z = xye x y f) z = ln3x + 4y x + 7) 0) Determine os valores de a para os quais a função f x, y) = ax 4 + y ax y. a) tenha exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local; b) tenha exatamente dois pontos de sela e um mínimo local. c) Existe a R para o qual a função tenha ao menos um máximo local? d) Existe a R para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos? 1) É impossível para uma função contínua de R em R ter máximos locais e nenhum mínimo local. Por quê? O mesmo não ocorre com uma função f : R R. Verifique que f x, y) = x 1) x y x 1) tem exatamente dois pontos críticos, ambos máximos locais. Faça um esboço de uma superfície com tais características e tente compreender como isso ocorre. MAT ) de 7

3 ) Mostre que a função f x, y) = x + y 1 + x) 3 possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que f não possui ponto de mínimo global. 3) Seja f : R R dada por f x, y) = ax + by + cxy + dx + ey + l, onde a, b, c, d, e, l são constantes não todas nulas. Prove que se x 0, y 0 ) for um extremante local de f, então será um extremante global de f. Dica: dados h, k) R, observe que a função gt) = f x 0 + th, y 0 + tk) é uma parábola). Resolva os exercícios 4 a 7, a seguir, assumindo que cada problema proposto tem solução. É possível provar que essas soluções existem. Tente fazê-lo. 4) Determine a equação do plano que passa por,, 1) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume. ) Dentre todos os planos que são tangentes à superfície xy z = 1 encontre aqueles mais distantes da origem. 6) Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 7cm de papelão. 7) Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento. 8) Associe às funções abaixo a um dos gráficos a seguir, indique na respectiva figura os eixos x e y, orientados. Ache os pontos críticos, classifique-os e esboce as curvas de nível de cada uma delas no plano xy. a) f x, y) = x 4 + x y 1 b) f x, y) = x + y c) f x, y) = x y d) f x, y) = x + xy + y e) f x, y) = x xy + y f) f x, y) = x xy + y g) f x, y) = x xy y h) f x, y) = x + xy + y i) f x, y) = x + 8xy + y j) f x, y) = x 4 + y 4 0x 10xy k) f x, y) = x l) f x, y) = x 3 + y MAT ) 3 de 7

4 MAT ) 4 de 7

5 9) Ache os máximos e mínimos locais globais) de f x, y) na região D. a) f x, y) = x + y + 3 e D = {x, y) R : 0 y x + 4x}; b) f x, y) = x + y + 3 e D = {x, y) R : x/ y x e 1 x 4}; c) f x, y) = x + y 3 e D = {x, y) R : x + 1 y x + 3}; d) f x, y) = x 3 + y 3 1x 3y e D = {x, y) R : 0 x 3 e 0 y x}. 30) As equações de demanda para duas mercadorias que são produzidas por um monopolista são x = 6 p + q e y = 7 + p q, onde 100x é a quantidade demandada da primeira mercadoria se o preço por unidade for R$ p e 100y é a quantidade demandada da segunda mercadoria se o preço por unidade for R$ q. a) Mostre que as mercadorias são concorrentes; b) Se custa R$ para produzir cada unidade da primeira mercadoria e R$ 3 para produzir cada unidade da segunda, ache as quantidades demandadas e os preços das mercadorias a fim de se obter lucro máximo. Tome p e q como variáveis independentes. 31) Um monopolista produz grampeadores e grampos tendo por equações de demanda x = 10 e y = 0, onde 1000x grampeadores são demandados se o preço por unidade for R$ p pq pq e 1000y caixas de grampos são demandadas se o preço for R$ q. Custa R$ para produzir cada grampeador e R$1 para produzir cada caixa de grampos. Ache o preço de cada mercadoria para se obter lucro total máximo. 3) Se as equações de demanda no excercício anterior forem x = 11 p q e y = 19 p 3q, mostre que para obter lucro total máximo, os grampeadores devem ser grátis e os grampos muito caros. 33) Seja f x, y) = x + y z + 3. a) Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera S = {x, y, z) R 3 : x + y + z = 1}; b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de f em D = {x, y, z) R 3 : x + y + z = 1 e x + y + z = 1}. MAT ) de 7

6 34) Seja f x, y, z) = x y +z. Ache, caso existam, os pontos de máximos e mínimos em D = {x, y, z) R 3 : x + y + z = 9 ex y + z = 0}. 3) Sejam k um número real não-nulo e f x, y) = k x 3 + x + y x y, definida em R. a) Ache k de modo que f tenha exatamente pontos críticos; b) Classifique os dois pontos críticos de f obtidos em a). 36) Ache os extremos relativos de f com as restrições dadas, nos seguintes casos: a) f x, y, z) = xz + yz, com as restrições x + z = e yz =. b) f x, y, z) = xyz, com a restrição x + y + 4z = 4. c) f x, y, z) = y 3 + xz, com a restrição x + y + z = 1. d) f x, y, z) = xyz com a restrição xy + 3xz + yz = 7. 37) Suponha que x unidades de uma mercadoria e y unidades de uma segunda mercadoria sejam demandadas quando os preços por unidade são R$ p e R$ q, respectivamente. As equações de demanda são: x = p + 3q + 1 e y = 4q + p + 8. Determine se as mercadorias são concorrentes ou complementares e faça um esboço das suas superfícies de demanda. 38) Seja Ux, y, z) uma função utilidade, onde x, y e z representam o número de unidades das mercadorias A, B e C, respectivamente. Suponha que R$, R$ 3 e R$ 4 sejam os preços unitários de A, B e C, respectivamente e que a despesa semanal para tais mercadorias está orçada em R$ 90. Nos casos abaixo, quantas unidades de cada mercadoria devem ser compradas por semana para maximizar o índice de utilidade do consumidor? a) Ux, y, z) = xyz; b)ux, y, z) = e x yz ; c)ux, y, z) = x y 3 z. 39) Seja Ux, y, z) = xy z 3 uma função utilidade, onde x, y e z representam o número de unidades das mercadorias A, B e C, respectivamente. Suponha que R$ 3, R$ 4 e R$ 6 sejam os preços unitários de A, B e C, respectivamente e que a despesa semanal para tais mercadorias está orçada em R$ 00. Quantas unidades de cada mercadoria devem ser compradas por semana para maximizar o índice de utilidade do consumidor? 40) Seja Ux, y, z) uma função utilidade, onde x, y e z representam o número de unidades das mercadorias A, B e C, respectivamente. Suponha que R$ 3, R$ 4 e R$ 6 sejam os preços unitários de A, B e C, respectivamente e que a despesa semanal para tais mercadorias está orçada em R$ 00. Quantas unidades de cada mercadoria devem ser compradas por semana para maximizar o índice de utilidade do consumidor? 41) Uma empresa tem 3 fábricas, F 1, F e F 3, produzindo a mesma mercadoria. Estas fábricas produzem x 1, x e x 3 unidades de mercadoria a um custo de 3x1 + 00, x e x Reais, respectivamente. Para atender um pedido de 1100 unidades, como deve ser distribuída a produção entre as fábricas para minimizar o custo total de produção? 1. Apenas a superfície do item a). ). + 3, 3, X = 1, 1, 4) + λ 1, 1, 0), λ R.. X = 1, 0, 1) + λ, 9, ), λ R. 6. a) 6 ; 1, 1, ) b) ; 1, 1, 0). 7. a) 3 b) 38, 6, 1) c) a) ptos de máx: 3, 1 ) e 3 b) pto máx: 1, 1, 4 c) pto máx: 1, 1, 1 ); pto mín: 1, 1, 1 ); ALGUMAS RESPOSTAS d) pto mín: 1 3, 1 6, 6 ); não tem pto de máximo. ); ptos de mín: 3 1,, 1 ) e 3 ); pto mín: 1, 1 +, + 4 );, 1 ); MAT ) 6 de 7

7 9. a) valor máx: f 4, ) = 13, valor mín: f 4, 0) = 7; b) valor máx: f 0, 0) = 0, valor mín: f 1, 1 ) = 1 e. 10. a) valor mín: 3 e valor máx: 1 3; b) valor mín: ) e valor máx: a) valor máx: f, ) = f, ) = 4; valor mín: f 4, 4) = f 4, 4) = 16; b) valor máx: 3, mín: 1 3 ; c) valor máx: 7, valor mín: 0; d) valor máx: 3, mín: a) valor mín: f 1,, 3) = 14, valor máx: f, 4, 6) = 11; b) valor mín: f 3,, 1 ) = 11 4, valor máx: f 4, 0, 0) = a) ptos de mín.: 0, 1, ) e 1, 0, ), pto de máx: 1, 1, 4 ); b) ptos de mín: 3, 3, 1 3 ), 3, 1 3, 3 ), e 1 3, 3, 3 ), ptos de máx: 0, 0, 1), 0, 1, 0) e 1, 0, 0); ) c) ptos de mín: ± 3, 1 ), ptos de máx: ± 3, 1 ; d) pto de mín: 1, 1 +, + 4 ), pto de máx: 1, 1, 4 ). 14. a) valor mín: f 1 + 7, + 7, 4 + 7) = , valor máx: f 1 7, 7, 4 7) = ; b) valor mín: f 1 + 7, + 7, 4 + 7) = , valor máx: f 1 4, 1, 3 ) = a) pto de máx: 0, 0, ), ptos de mín: 4 3, 4 3, 3 ) e 4 3, 4 3, 3 ); b) os mesmos que em a); c) pto de máx: 1, 1, 1 ) e 1, 1, 1 ), ptos de mín: 4 3, 4 3, 3 ) e 4 3, 4 3, 3 ); d) os mesmos que em c); e) ptos de máx: 1 3 ± 1 3, , 3 ), pto de mín: 4 3, 4 3, 3 ). 16. a) 1, 1) e 1, 1); b) 0, 1, ). 17. n 1 = n = n 3 = O paralelepípedo tem vértices em ±1, ±1, 0) e ±1, ±1, ). 19. a) pto de mín: 3, ); b) ptos de mín: 0, λ) e λ, 0) com λ R; c) ptos de sela: 0, λ) e λ, 0) com λ R; d) pto de máx:1, 1), ptos de sela: 0, 0),, 0), 0, ),, ); e) pto de sela: 0, 0), ptos de máx: ± 1, 1 ), ptos de mín: ± f) pto de mín: 1 3, 0). 0. a) a > 0 b) a < 0 c) não d) a = x + y + z 6 = 0. / x + 9/10 y + 9/10 z = ; / x 9/10 y + 9/10 z = ; / x + 9/10 y 9/10 z = ; / x 9/10 y 9/10 z =. 6. base 3 3cm, altura 1,cm. 7. largura, profundidade e altura iguais a 10 pés. 1, 1 ); Avaliação - A média final MF1) será a média de 3 provas: P1, P e P3. Haverá uma prova substitutiva SUB) apenas para quem deixar de fazer uma das provas P1, P, ou P3. MF1 e frequência 70% indica aprovação, 3 MF1 < e frequência 70% dará direito a uma prova de recuperação REC), MF1 < 3 ou frequência < 70% indica reprovação. Àqueles que fizerem a REC terão uma segunda média final MF) que será a média de MF1 e REC. MF indica aprovação e MF < indica reprovação. Prova Data P1 13/09/17 P 3/10/17 P3 9/11/17 SUB 04/1/17 Fechada REC a ser marcada MAT ) 7 de 7