Professor: Carlos Eugênio da Costa Finanças Públicas Monitor: Alexandre Sollaci

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1 Professor: Carlos Eugênio da Costa Finanças Públicas - 03 Monitor: Alexandre Sollaci EBEF/FGV Lista - Revisão de Microeconomia Questão. Mostre que no caso de referências quase-lineares temos a igualdade EC = V C = V E, onde EC = excedente do consumidor, V C = variação comensatória e V E = variação equivalente. A função de utilidade indireta é definida da seguinte maneira: v (, y) { max x X u (x) s.a x y Avaliamos uma economia com dois bens, x e x (X = R +). As referências são quasi-lineares: u (x, x ) = ũ (x ) + x, onde ũ é estritamente crescente. Sendo assim, temos que (normalizando o reço do bem ara, = ): v (,, y) = { max(x,x ) R + ũ (x ) + x s.a x + x = y v (,, y) = max x R + ũ (x ) + y x () Estamos analizando os efeitos de um aumento nos reços do bem de ara. Seja x a demanda elo bem quando o vetor de reços é (, ) e x quando é (, ). Dessa forma: v (,, y) = ũ (x ) + y x e v (,, y) = ũ (x ) + y x Se o reço do bem aumentou de ara,a demanda do bem mudou de x ara x, e a variação do excedente é: EC = x M ( ) d Podemos calcular a variação no excedente do consumidor também usando a demanda inversa, onde, nesse caso, temos que: EC = x x (x ) dx + ( x x ) Ou seja, x arg max x R + ũ (x ) + y x e x arg max x R + ũ (x ) + y x. Isto é, ũ ( x ) = e ũ ( x ) =.

2 Excedente do Consumidor: x EC = ũ (x ) dx + ( x x ) x EC = ũ (x ) ũ (x ) + ( x x ) Variação Comensatória, usando (.): EC = [ũ (x ) x ] [ũ (x ) x ] v (,, y) = v (,, y + V C) ũ (x ) + y x = ũ (x ) + y + V C x V C = [ũ (x ) x ] [ũ (x ) x ] Variação Equivalente, usando (.): v (,, y V E) = v (,, y) ũ (x ) + y V E x = ũ (x ) + y x V E = [ũ (x ) x ] [ũ (x ) x ] Observe que EC = V C = V E. Questão. Considere uma economia de caixa de Edgeworth em que os dois consumidores aresentam referências localmente não saciáveis. Seja x li () a demanda do consumidor i aos reços = (, ). a) Mostre que ( i x i () ω ) + ( i x i () ω ) = 0 ara todos os reços. Definição de não saciedade local das referências: x 0 X e todo ε > 0, existe elo ( menos um x B ) ε x 0 tal que x x 0. Ou seja, ara qualquer cesta de bens x 0 no conjunto de consumo vale a seguinte roriedade: qualquer que seja ε > 0, a bola de raio ε com centro em x 0 contém uma cesta estritamente referível à x 0. Avaliamos uma economia com dois bens, x e x e indivíduos. x ji () é a quantidade demandada elo indivíduo i do bem j aos reços = (, ). Cada indivíduo i tem uma dotação ω ji do bem j de tal maneira que ω j = i ω ji.

3 Da restrição orçamentária de cada indivíduo, temos que: x i () + x i () ω i + ω i, i =, (.) Suonha que x i () + x i () < ω i + ω i ara algum i, ou seja, que algum indivíduo esteja gastando menos do que tem disonível ara gastar. Então, ela não saciedade local das referências, temos que existe uma cesta dentro do conjunto orçamentário que é estritamente referível à (x i (), x i ()) e, ortanto, (x i (), x i ()) não ode ser a demanda deste indivíduo aos reços. Dessa forma, (.) vale com igualdade: x i () + x i () = ω i + ω i, i =, Somando em i: [ ] [ ] x i () ω + x i () ω = 0 (.) i i b) Prove que se o mercado ara o bem fecha aos reços 0, então isto também ocorre com o mercado do bem. Assim, é um vetor de reços associado a um equilíbrio Walrasiano. Se o mercado do bem fecha aos reços 0, i x i ( ) ω = 0, então, temos imediatamente de (.) que i x i ( ) ω = 0, ou seja, o mercado do bem também fecha aos reços. Questão 3. Considere uma economia de caixa de Edgeworth em que os dois consumidores aresentam funções utilidade Cobb-Douglas u (x, x ) = x α x α e u (x, x ) = x β x β. As dotações do consumidor i são dadas or (ω i, ω i ) 0 ara i =,. Encontre o equilíbrio e discuta como este equilíbrio é alterado a artir de uma variação em ω. Primeiramente note que as referências de ambos os consumidores são estritamente crescentes (e, ortanto, localmente não saciáveis), logo, a restrição orçamentária deve valer com igualdade no ótimo ara ambos. Problema do consumidor : Lagrangeano: max (x xα x α s.a (x ω ) + (x ω ) = 0,x ) L = x α x α λ [ (x ω ) + (x ω )] 3

4 Condições de rimeira ordem (suficientes ois a função objetivo é côncava): x = 0 = α ( x x ) α = λ (3.) (3.) e (3.): (3.4) em (3.3): x = 0 = ( α) ( x x ) α = λ (3.) λ = 0 = (x ω ) + (x ω ) = 0 (3.3) x = α ( α) x (3.4) x (, ) = α [ ω + ω ] (3.5) x (, ) = Analogamente ara o consumidor : ( α) [ ω + ω ] (3.6) x (, ) = β [ ω + ω ] (3.7) x (, ) = Market clearing do mercado do bem : ( β) [ ω + ω ] (3.8) x (, ) + x (, ) = ω + ω = αω + βω ( α) ω + ( β) ω (3.9) Pela Lei de Walras o mercado do bem deve fechar ao mesmo reço relativo. O Equilíbrio Walrasiano é dado or (, x, x ), onde x = (x (, ), x (, )) determinados em (3.5) e (3.6), x = (x (, ), x (, )) determinados em (3.7) e (3.8) e = (, ) é um vetor de reços que satisfaz (3.9). Estática comarativa: Quando aumenta a dotação de bem do indivíduo (ω ), tudo mais constante, o bem se torna relativamente menos escasso e, ortanto, é de se eserar que o reço relativo deste bem diminua: 4

5 ( ) = (αω + βω ) ( α) ω [( α) ω + ( β) ω ] < 0 Como o bem fica relativamente mais barato eseramos que as demandas dos dois consumidores or esse bem aumentem. Para o bem eseramos que o consumidor diminua sua demanda, ois ele fica relativamente mais caro. Para a demanda do consumidor elo bem recisamos fazer as contas, ois or um lado ele está mais rico e gostaria de consumir mais dos dois bens, or outro este bem ficou mais caro o que o leva a demandar menos dele. De (3.5), (3.6), (3.7), e (3.8): Logo : [ x (, ) = α x (, ) = β ω + [ ω + ( ) ] ω ) ] ω ( [ ] x ω = α + ( α) αω +βω ω > 0 x ω ( α) = β αω +βω ω > 0 [( ) ] x (, ) = ( α) ω + ω [( ) ] x (, ) = ( β) ω + ω x ω = ( α) x ω ( ) ω ω + ( = ( β) ) ω ω < 0 ( ) > 0 Questão 4. Considere uma economia com um consumidor e um rodutor. Encontre os reços, lucro e consumo de equilíbrio quando a função de rodução é f (z) = z (onde z é o trabalho emregado ela firma), a função utilidade é u (x, x ) = ln x + ln x (onde x reresenta o lazer) e a dotação total de trabalho é L. Normalizamos o reço do bem ( = ). Problema da firma: { max (x,z) x z s.a x = z = max x z z Condição de rimeira ordem (suficiente ois a função objetivo é côncava): z = 0 ( Para x recisamos substituir ) ara determinar o sinal: x [ ] (αω + βω ) ( β) ω = ( α) ω [( α) ω + ( β) ω ] > 0 5

6 Onde z D é a demanda or horas de trabalho. Logo: Onde x S é a oferta do bem de consumo. Lucro máximo: z D (, ) = ( ) (4.) x S (, ) = (4.) π (, ) = 4 Problema do consumidor (como só há um indivíduo na economia, a firma deve ser dele): { max(x,x ) ln x + ln x s.a x ( L x ) + 4 Note que as referências são crescentes no consumo, logo, a restrição valerá com igualdade. Lagrangeano: [ ] ) L = ln x + ln x λ x ( L x 4 Condições de rimeira ordem (suficientes ois a função objetivo é côncava): (4.3) e (4.4): x = 0 = x = λ (4.3) x = 0 = x = λ (4.4) λ = 0 = x ) = ( L x + (4.5) 4 x = x (4.6) (4.6) em (4.5): 6

7 L x D (, ) = + 8 x D (, ) = L + 8 ( ) Onde x D é a demanda elo bem de consumo e x D é a demanda or horas lazer. Os reços relativos vão se ajustar ara igualar a oferta à demanda de cada bem. Para o bem : x D (, ) = x S (, ) L + 8 = = ( 3 4 L Pela Lei de Walras a esses reços o mercado do bem horas também deve fechar. Checando: ) Demanda or horas = Oferta de horas x D (, ) + z D (, ) = L L + 8 ( ) + ( ) = L = ( ) 3 4 L Questão 5. Considere dois consumidores com referências descritas ela função utilidade U h = ln x h + ln x h, h = A, B com dotações dadas or ω A = 3, ω A =, ω B = e ω B = 3. a) Calcule as funções demanda dos consumidores. Problema do consumidor h: Lagrangeano: max ln x h + ln x h s.a (x h ω h ) + (x h ω h ) = 0 (x h,x h ) L = ln x h + ln x h λ [ (x h ω h ) + (x h ω h )] Condições de rimeira ordem (suficientes ois a função objetivo é côncava): 7

8 (5.) e (5.): = 0 = = λ (5.) x h x h = 0 = = λ (5.) x h x h λ = 0 = (x ω h ) + (x ω h ) = 0 (5.3) x h = x h (5.4) (5.4) em (5.3): x h (, ) = ω h + ω h x h (, ) = ω h + ω h Dessa forma: x A (, ) = 3+ x B (, ) = +3 x A (, ) = 3+ x B (, ) = +3 b) Tomando o bem como numerário, encontre o reço de equilíbrio do bem. Adicionalmente, encontre os níveis de consumo de equilíbrio. Bem é numerário: =. Market clearing do mercado do bem : x A (, ) + x B (, ) = ω A + ω B = 5 = Pela Lei de Walras o mercado do bem deve fechar ao mesmo reço relativo. Portanto: x A (, ) = x A (, ) = x B (, ) = x B (, ) = 5 (5.5) 8

9 c) Mostre que as curvas de indiferença se tangenciam no equilíbrio. Taxa Marginal de Substituição no equilíbrio ara o consumidor A: T MS A = U A x A (, ) U A x A (, ) = x A (, ) (5.5) x A (, ) = Taxa Marginal de Substituição no equilíbrio ara o consumidor B: T MS B = U B x B (, ) U B x B (, ) = x B (, ) (5.5) x B (, ) = Note que as Taxas Marginais de Substituição são iguais ao reço relativo. Questão 6. Considere uma economia com dois consumidores (A e B) e dois bens ( e ). função utilidade do indivíduo h é U h = γ ln x h + ( γ) ln x h com dotações dadas or ω A = (, ) e ω B = (3, ). a) Use a restrição orçamentária de A ara substituir or x A em U A e, maximizando em x A, calcule a demanda de A. Reita isto ara B. Primeiramente note que as referências de ambos os consumidores são estritamente crescentes (e, ortanto, localmente não saciáveis), logo, a restrição orçamentária deve valer com igualdade no ótimo ara ambos. Problema do consumidor h: A Lagrangeano: max γ ln x h + ( γ) ln x h s.a (x h ω h ) + (x h ω h ) = 0 (x h,x h ) L = γ ln x h + ( γ) ln x h λ [ (x h ω h ) + (x h ω h )] Condições de rimeira ordem (suficientes ois a função objetivo é côncava): (6.) e (6.): x h = 0 = x h = 0 = γ x h = λ (6.) ( γ) x h = λ (6.) λ = 0 = (x ω h ) + (x ω h ) = 0 (6.3) 9

10 (6.4) em (6.3): γ x h = ( γ) x h (6.4) x h (, ) = γ [ ω h + ω h ] x h (, ) = ( γ) [ ω h + ω h ] Dessa forma: x A (, ) = γ [ + ] x B (, ) = γ [3 + ] x A (, ) = ( γ) [ + ] x B (, ) = ( γ) [3 + ] b) Escolhendo o bem como numerário, escreva o excesso de demanda elo bem como uma função de. Bem é numerário: =. Excesso de demanda elo bem : Z = x A (, ) + x B (, ) ω A ω B Z = γ [ ω A + ω A ] + γ [ ω B + ω B ] 3 [ Z = γ ω A + ω A + ω B + ω ] B 5 Z = 5 (γ ) + 3γ c) Calcule a alocação de equilíbrio cometitivo igualando a demanda elo bem à sua oferta. Verifique que neste onto o excesso de demanda é zero. Se a demanda elo bem é igual a oferta, or definição o excesso de demanda elo bem é zero: Z (, ) = 0 γ [ ω A + ω A ] + γ [ ω B + ω B ] = ω A + ω B 0

11 Vetor de reços de equilíbrio: Alocação de equilíbrio: = (ω A + ω B ) γ (ω A + ω B ) ( γ) = 3 γ 5 ( γ) ( ) 3 (, γ ) = 5 ( γ), (6.5) (6.6) x A (, ) = 6γ+5( γ) 3 x A (, ) = 6γ+5( γ) 5 x B (, ) = 9γ+0( γ) 3 x B (, ) = 9γ+0( γ) 5 d) Mostre que o reço de equilíbrio do bem é afetado or mudanças em γ e em ω A. Exlique os resultados. De (6.6) temos que γ = ( γ = 5 > 0). Como [5( γ)] =, =, ou seja, o bem fica relativamente mais barato. Isso é uma reflexão do fato do bem ficar relativamente menos desejável (observe a função utilidade). De (6.5) temos que ω A = =, ou seja, o bem fica relativamente mais caro. A intuição or traz deste efeito é que quando aumenta a dotação do bem na economia, tudo mais constante, o bem fica relativamente mais escasso. Questão 7. Considere uma economia com dois bens, H consumidores e m firmas. Cada consumidor, h, tem uma dotação de unidades do bem e zero do bem, referências descritas or U h = x h x h e articiação θ jh = H na firma j =,..., m. Cada firma tem tecnologia caracterizada ela função de rodução y j = ( y j ). a) Calcule as escolhas maximizadoras de lucro das firmas, as demandas dos consumidores e o equilíbrio cometitivo da economia. Problema da firma j: { max(yj,y j) y j + y j s.a y j = ( y j ) = max y j y j + ( y j ) Condição de rimeira ordem (suficiente ois a função objetivo é côncava): + ( y j) ( ) = 0

12 Logo: Lucro máximo: ( ) y j = (7.) y j = (7.) π j = y j + y j Problema do consumidor h: { s.a π j = ( ) 4 (7.3) max (xh,x h ) x h x h i ix ih = i iω ih + j θ jhπ j Note que: j θ jhπ j = j Lagrangeano: H ( ) 4 = m H ( ) 4 π h. [ ] L = x h x h λ i (x ih ω ih ) π h Condições de rimeira ordem (suficientes ois a função objetivo é côncava): i (7.4) e (7.5): x h = 0 = x h = λ (7.4) x h = 0 = x h = λ (7.5) λ = 0 = (x ω h ) + (x ω h ) = π h (7.6) x h = x h (7.7) (7.7) em (7.6): x h (, ) = ω h + ω h + π h x h (, ) = ω h + ω h + π h = + π h = + π h (7.8)

13 si): Market clearing do mercado do bem (note que os consumidores e as firmas são idênticos entre H m x h = h= j= y j H + H m ( ) = m H 4 = ( ) 8 H 3 m Pela Lei de Walras a esses reços o mercado do bem também deve fechar. Checando: (7.9) H x h = h= H + H m ( ) H 4 = m = m H y j + j= h= ( ( 8 3 H m ) ω h ) + H b) O que acontece com se: (i) m cresce; (ii) H cresce? Por que? (i) De (7.9): m =. Isto é resultado da tecnologia com retornos decrescentes de escala da firma. Quando há mais firmas ofertando no mercado, cada firma ode oerar num onto mais favorável da fronteira de rodução o que roorciona um reço relativo menor ara bem. (ii) De (7.9): H =. Isto reflete o aumento na demanda elo bem, lembre que cada consumidor recebe uma dotação de duas unidades do bem mas nenhuma do bem. Dessa forma, as firmas são forçadas ara ontos menos favoráveis da fronteira de rodução com retornos menores. Como resultado, o bem fica relativamente mais caro. c) Suonha que a dotação do bem de cada consumidor cresce ara +δ. Exlique seu imacto nos reços relativos. De (7.8) temos que se ω h = ( + δ): 3

14 x h (, ) = ω h + ω h + π h = ( + δ) + π h Market clearing do mercado do bem : H h= H x h = h= m j= y j ( + δ) + π h = m = ( 8 ( + δ) 3 ) H m Logo, um aumento na dotação do bem faz com que o bem se torne relativamente mais caro (isto orque o bem fica relativamente mais escasso). d) Qual o efeito de uma mudança: (i) na distribuição das dotações entre os consumidores; (ii) nas referências dos consumidores ara U h = α ln x h + β ln x h? (i) Seja ω h a dotação do bem do agente h, de tal forma que h ω h = H. Ou seja, estamos ermitindo uma distribuição diferente das dotações dos consumidores sem que a dotação agregada seja afetada (assumimos que a distribuição dos dividendos dos lucros das firmas continue o mesmo). De (7.8) temos que: x h (, ) = ω h + ω h + π h Market clearing do mercado do bem : = ω h + π h H h= H h= H x h = h= m j= y j ω h + π h = m ω h + H m ( ) = m H 4 = ( ) 4 H 3 m 4

15 Dessa forma, ercebemos que a distribuição das dotações não afeta os reços de equilíbrio. Isto é uma reflexão da estrutura das referências, a função utilidade imlica que cada consumidor divide sua renda em roorções fixas entre os dois bens. Portanto, a demanda agregada não é afetada or mudanças na distribuição das dotações. (ii) Se α = β, as referências são uma transformação monotônica das referências originais, logo, nada muda. Se α > β (α < β), o consumidor vai referir relativamente mais (menos) o bem, logo, diminuir (aumentar). Questão 8. Considere uma economia com uma dotação total de duas unidades dos dois bens disoníveis. Se os dois consumidores têm referências U h = α ln (x h ) + ( α) ln (x h ), encontre a razão de reços de equilíbrio na alocação em que U = U. Em seguida, encontre o valor da transferência lum-sum necessária ara descentralizar (no sentido do Segundo Teorema do Bem Estar) a alocação se as dotações iniciais forem (, 3 4) e ( 3, 5 4). Como as referências são idênticas, ara que os níveis de utilidade sejam os mesmos devemos ter a mesma quantidade de consumo ara ambos os bens. Como a dotação agregada dos dois bens é de, devemos ter: x h = x h =, ara h =,. Nesta alocação temos as seguintes Taxas Marginais de Substituição: T MS h, = U h x h U A x h = α x h = ( α) x h α ( α) A razão de reços que descentraliza a alocação inicial dada deve satisfazer: = T MS h α, = ( α) Normalizando o reço do bem ( = ), temos = ( α) α. Para comrar uma unidade de cada bem será necessário, ortanto, ter: deve O consumidor tem: O consumidor tem: + = + ( α) α = α = + 3 ( α) = 3 α 4 α 4α = ( α) = 5 + α 4 α 4α O consumidor deve receber uma transferência lum-sum no valor de : 5

16 α 3 α 4α = + α 4α O consumidor deve receber uma transferência lum-sum no valor de : α 5 + α 4α = + α 4α 6