Macroeconomia II Gabarito Lista II - Parte 2

Transcrição

1 Macroeconomia II Gabarito Lista II - Parte 2 Professor: Samuel Abreu Pessoa Monitor: Artur Bezerra de Carvalho EPGE/Getulio Vargas Foundation 27 de Julho de 2009 Resoluções Exercício 2. Considere o modelo de Ramsey (também chamado de modelo Cass-Koopmans) em tempo discreto na sua versão sem crescimento populacional e sem progresso técnico exógeno mas com um imposto sobre a renda do capital. Escreva a equação de Euler no estado estacionário. Explique a afirmação: no longo prazo a oferta de capital é perfeitamente elástica. O problema das famílias é: Famílias s.t. max β t L t u(c t ) K t+1 = (1 τ k )R t K t + w t L t c t L t + (1 δ)k t + κ t L t, t (1) c t L t, K t+1 0 t (2) Dividindo (7) por L t, chegamos a: k t+1 = (1 τ k )R t k t + w t c t + (1 δ)k t + κ t, t (3) Como não há crescimento populacional, L t = L 0 t. Tomando L 0 = 1, o problema se torna: max β t u(c t ) Mestrando em Economia, EPGE/FGV 1

2 s.t. k t+1 = (1 τ k )R t k t + w t c t + (1 δ)k t + κ t, t (4) c t, k t+1 0 t (5) A variável de controle é o consumo, enquanto a variável de estado é o capital. Logo, formando o Lagrangeano: L = β t {u(c t ) + λ t [(1 τ k )R t k t + w t c t + (1 δ)k t + κ t k t+1 ]} (6) [c t ] u (c t ) = λ t ; [k t ] β t λ t [(1 τ k )R t + (1 δ)] β t 1 λ t 1 = 0 Ou, considerando o funcional côncavo: β t u((1 τ k )R t k t + w t + (1 δ)k t + κ t k t+1 ) Teríamos, pela derivada de Gateaux: Transversality Condition: β t u (c t ) + β t+1 u (c t+1 )((1 τ k )R t+1 + (1 δ)) = 0 lim T β T u (c T )((1 τ k )R T + (1 δ))k T = 0 Euler Equation Firmas β u (c t+1 ) u (c t ) ((1 τ k)r t + (1 δ)) = 1 (7) Π t = F (K t, L t ) w t L t R t K t Ou, equivalentemente (devido à homogeneidade de grau 1 da função de produção): Π t = L t [F (k t, 1) w t R t k t ] Note que o problema da firma é estático, ou seja, a firma maximiza lucro a cada t, respondendo de forma ótima aos preços R t e w t. 2

3 [K t ] f (k t ) R t = 0; [L t ] f(k t ) w t R t k t = 0, em que f(k t ) = F Governo Receitas: τ k R t K t Despesas (Transferências): κ t L t ( ) Kt, 1 L t Equilíbrio Geral Substituindo as condições de primeira ordem na equação de movimento do capital: Chega-se a: k t+1 = (1 τ k )f (k t )k t + [f(k t ) f (k t )k t ] c t + (1 δ)k t + τ k R t K t Euler Equation k t+1 = f(k t ) c t + (1 δ)k t β u (c t+1 ) u (c t ) ((1 τ k)f (k t ) + (1 δ)) = 1 (8) Em estado estacionário, c t+1 = c t. Logo, da equação de Euler, fazendo β = (1 + ρ) 1, obtém-se a regra de ouro modificada: (1 τ k )f (k ) = ρ + δ (9) No curto prazo, a oferta de capital está limitada pelas condições iniciais do problema (k 0 é dado) e pela lei de movimento do capital. No longo prazo, no entanto, a oferta de capital é perfeitamente elástica. A economia acumula capital até que o seu produto marginal (f (k)) se iguale a (ρ + δ)/(1 τ k ). Com isso, o preço do aluguel do capital, (1 τ k )f (k), é sempre igual a ρ + δ. Se o governo diminui a alíquota sobre a renda do capital, a economia acumula mais capital, até que (1 τ k )f (k) = ρ + δ. De forma análoga, um aumento do imposto é seguido por um processo de desacumulação. A variação no imposto é sempre compensada por uma variação no estoque de capital, de modo a tornar o preço de aluguel do capital igual à taxa de desconto intertemporal mais a taxa de depreciação física do capital. Exercício 3. Dado o enunciado anterior, comente a afirmação: no modelo de Ramsey a incidência econômica do imposto sobre o capital no curto prazo é sobre a oferta e no longo prazo é sobre a demanda. 3

4 Como foi visto, no curto prazo, a oferta de capital é perfeitamente inelástica, sendo dada pelas condições iniciais do problema (k 0 ) e pela lei de movimento do capital. Logo, a incidência econômica do imposto sobre a renda do capital recai sobre as famílias (ofertantes de capital), que são totalmente inelásticas no curto prazo. A lógica é a seguinte: as firmas demandam capital até que f (k t ) seja igual a R t. Como k t está fixo (oferta inelástica), R t deve se ajustar. Independentemente da incidência legal, as famílias pagam o imposto no curto prazo. O seguinte argumento esclarece a afirmação. Suponha uma economia tal que τ k > 0 a partir de algum t. Se a incidência legal do imposto recai sobre as famílias (supply side), temos que f (k t ) = Rt S, o governo recebe τk SRS t k t = τk Sf (k t )k t e as famílias, (1 τk S)RS t. Se a incidência legal é sobre a firma (demand side), seu problema se torna: Π t = F (K t, L t ) w t L t (1 + τ D k )RD t K t Ou, equivalentemente (devido à homogeneidade de grau 1 da função de produção): [K t ] f (k t ) (1 + τ D k )RD t = 0; Π t = L t [F (k t, 1) w t (1 + τ D k )RD t k t ] [L t ] f(k t ) w t (1 + τ D k )RD t k t = 0, em que f(k t ) = F ( ) Kt, 1 L t Neste caso, as firmas pagam τ D k RD t k t ao governo e R D t k t às famílias. Como a oferta de capital é a mesma no curto prazo (inelástica), independentemente da incidência legal do imposto, deve valer: R S t = f (k t ) = (1 + τ D k )RD t. Com relação ao longo prazo, foi demonstrado na questão 2 que deve valer a regra de ouro modificada, ou seja: (1 τ k )f (k ) = ρ + δ (10) Isso significa que a oferta de capital é perfeitamente elástica e é tal que iguala o produto marginal do capital (f (k t )) a (ρ δ)/(1 τ k ), de modo que o preço de aluguel do capital, independentemente do valor do imposto, é: (1 τ k )f (k t ) = (1 τ k ) ρ + δ 1 τ k = ρ + δ Conseqüentemente, a incidência econômica do imposto recai sobre a firma (a demanda é totalmente inelástica, enquanto a oferta é perfeitamente elástica), independente da incidência legal. O estoque de capital é ajustado pelas famílias até que valha (16). Assim, se o imposto incide sobre a oferta, deve-se ter: 4

5 A arrecadação do governo é então: (1 τ S k )R t = ρ + δ; f (k t ) = R t = ρ + δ 1 τ S k Quando o imposto recai sobre as firmas, τ S k R tk t = τ S k ρ + δ 1 τ S k K t f (k t ) = (1 + τ D k )R t; R t = (ρ + δ) f (k t ) = (1 + τ D k )(ρ + δ) A arrecadação do governo é dada por: τ D k R tk t = τ D k (ρ + δ)k t Para que a receita seja a mesma, em steady-state, nos dois possíveis casos de incidência legal do imposto, a seguinte relação deve valer: τ D k = τ S k 1 τ S k Exercício 4. Como que esta afirmação poderia mudar se o modelo fosse de gerações sobrepostas sem altruísmo? Primeiramente, cabe ressaltar que a análise contempla apenas choques permanentes e nãoantencipados sobre a taxa de retorno do capital, via incidência de imposto. Em segundo lugar, o modelo pressupõe oferta inelástica de trabalho no primeiro período de vida dos agentes. Em linhas gerais, temos que o problema do agente é dado por: Indivíduo: s.t. max u(c 1t ) + (1 + θ) 1 u(c 2t+1 ) First Order Condition c 1t + s t = w t c 2t+1 = (1 + r t+1 )s t u (c 1t ) (1 + θ) 1 (1 + r t+1 )u (c 2t+1 ) = 0 5

6 Da expressão acima, deriva-se a função poupança: s t = s(w t, r t+1 ), 0 < s w < 1, s r 0 Tem-se então que a a poupança é uma função crescente do salário (wage-income). No entanto, como será discutido mais adiante, o efeito de uma mudança na taxa de juros é ambíguo. Firmas [K t ] f (k t ) r t = 0; [L t ] f(k t ) w t r t k t = 0 Equilíbrio no Mercado de Bens Da igualdade entre oferta e demanda de bens, ou, equivalentemente, entre poupança e investimento: O que implica: K t+1 K t = N t s(w t, r t+1 ) K t (1 + n)k t+1 = s(w t, r t+1 ) Como supomos que não há crescimento populacional, k t+1 = s(w t, r t+1 ) No curto prazo, a incidência de um imposto sobre o capital recai sobre a oferta, assim como no modelo de Ramsey. Isso se dá porque a quantidade de capital está fixa. De fato, se, em um período t, o governo decide introduzir um imposto sobre o capital, a geração mais velha em t (e, portanto, a detentora do capital, já que os mais novos não recebem herança e não possuem qualquer riqueza) é afetada. Os mais velhos estão em seu período final de vida e, como os agentes nessa economia não são altruístas, não deixam qualquer herança para seus filhos, de modo que consomem toda a sua riqueza em t. Para isso, ofertam todo o capital de que dispõem em troca de bens de consumo (ou consomem todo o seu capital, já que supomos que só há um tipo de bem nessa economia, que pode ser consumido ou usado como insumo na produção). Sendo assim, em t, a taxa de retorno do capital cai de r t para (1 τ k )r t, onde r t = f (k t ). Supõe-se ainda que o governo devolve a arrecadação de imposto via transferências do tipo lumpsum para todos os agentes da economia, de maneira que as restrições dos indivíduos passam a 6

7 ser: c 1t + s t = w t + κ t c 2t+1 = (1 + (1 τ k )r t+1 )s t + κ t+1 Visto que somente a geração mais velha possui capital, a política de taxação do capital redistribui renda da geração mais velha para a mais nova, ao menos no período inicial da taxação. O aumento da renda no primeiro período de vida induz os jovens a poupar mais. Não obstante, o efeito total sobre a poupança depende também do impacto da variação na taxa de juros sobre a decisão de poupar. Como foi dito, o sinal de s r é ambíguo, o que decorre do fato de uma variação na taxa de juros implicar dois efeitos, a saber, o efeito-substituição e o efeito-renda. Um aumento na taxa de retorno do capital reduz ceteris-paribus o preço do consumo no segundo período vis-à-vis o primeiro período, levando os agentes a trocar consumo no primeiro por consumo no segundo período. Esse é o efeito-susbstituição. Uma elevação na taxa de retorno do capital aumenta também o conjunto de cestas de consumo viáveis (feasible consumption set), tornando possível o aumento do consumo nos dois períodos, o chamado efeito-renda. Quando a taxa de juros cai, pelo efeito-substituição, os agentes tendem a aumentar o consumo no primeiro período de vida, reduzindo a poupança. Por outro lado, pelo efeito-renda, o conjunto de cestas de consumo viáveis é menor, de modo que os agentes tendem a poupar mais para garantir um nível de consumo satisfatório no segundo período. O efeito total sobre a poupança é a soma desses dois efeitos mais o efeito provocado pelo aumento da riqueza via transferências lump-sum. Dependendo da magnitude dos efeitos substituição e renda, a introdução de um imposto sobre o capital pode tanto reduzir a poupança, desestimulando a acumulação de capital e, por fim, aumentando a sua taxa de retorno, como também pode produzir o efeito contrário, ao promover o aumento da poupança (pelo efeito-renda) e, conseqüentemente, uma redução ainda maior da taxa de retorno do capital. Sendo assim, a incidência econômica do imposto, no longo prazo, difere daquela encontrada no modelo de Ramsey, em que o preço de aluguel do capital é sempre θ no longo prazo. Neste modelo de overlapping generations, a incidência no longo prazo vai depender da sensibilidade da poupança à variação na taxa de retorno do capital. Cabe ressaltar que as diferenças devem-se ao fato de que, neste framework, os agentes têm vida finita e não recebem qualquer renda do trabalho na velhice, de modo que são obrigados a poupar para poder consumir na fase final de suas vidas. Dessa forma, a oferta de capital é, a princípio, mais inelástica no longo prazo do que no modelo de Ramsey, e a incidência do imposto no longo prazo não recai totalmente sobre a demanda. 7