MODELOS NEOCLÁSSICOS DE CRESCIMENTO - SOLOW: O MODELO BÁSICO. Profa. Maria Isabel Busato

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1 MODELOS NEOCLÁSSICOS DE CRESCIMENTO - SOLOW: O MODELO BÁSICO Profa. Maria Isabel Busato

2 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO Hipóteses do Modelo Economia fechada e sem governo; Economia produz um único bem que pode ser investido ou consumido (PIB); Os fatores de produção são transformados através de uma função de produção que contém um conceito de máximo possível através da transformação dos Fatores de Produção; Mercados competitivos, estrutura de equilíbrio geral, com livre mobilidade de fatores; Preços flexíveis (todos os preços, incluindo juros, salários etc), reagindo à oferta e procura, logo determinados pela escassez relativa; Há certo estado das artes, por ora exógeno.

3 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO A primeira questão que queremos colocar para discussão é: Como podemos compreender o fato de que economias disfrutam de diferentes Níveis de renda e de renda per capta e de diferentes Taxas de crescimento da renda e da renda per capta? É possível que uma economia desfrute de taxas de crescimento positivas simplesmente economizando e investindo em seu estoque de capital? Qual é a resposta dada pelo Modelo Básico de Solow para tais questões?

4 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO A estrutura básica do Modelo de Solow: O modelo de Solow foca 4 variáveis: Produto (Y), Capital (K), Emprego (L) e Tecnologia (A), inicialmente daremos ênfase em um modelo sem progresso técnico. O modelo é construído em torno de duas equações centrais: 1) Uma função de produção que descreve como os insumos (K,L) são combinados para gerar produto (Y). 2) Uma equação de acumulação de capital.

5 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Função de Produção: Y t = F(K t, L t ) Onde: Y t é o fluxo de produto produzido no tempo t; K t representa o capital físico, tal com máquina, prédios, etc.; L t representa o número de trabalhadores e/ou as horas de trabalho; Assume-se um setor de produção no qual o produto é homogêneo e pode ser consumido (C) ou Investido (I). O investimento é usado para criar novas unidades de bens de capital ou para repor a depreciação.

6 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Propriedades da função de produção neoclássica: 1) RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA F(λK, λl) = λ F(K,L) para qualquer λ > 0 É importante notar que a definição de escala inclui somente os dois insumos rivais. 2) Rendimentos marginais positivos, mas decrescentes: F K > 0, F L > 0, 2 F K 2 < 0 2 L L < 0 O uso adicional do fator variável adiciona positivamente o produto, mas essas adições decrescem com o aumento do uso do fator variável

7 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Propriedades da função de produção neoclássica: 3) Condições Inada (Inada, 1963) F lim K 0 K = lim F L 0 L = F lim K K = lim F L L = 0 O produto marginal do capital (ou trabalho) se aproxima do infinito se o capital (ou trabalho) se aproxima a zero, e se aproxima a zero, se o capital (ou trabalho) tende para o infinito. 4) Essencialidade F 0, L = F K, 0 = 0 É Impossível produzir com zero de algum dos insumos.

8 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Uma forma funcional específica que atenda a tais propriedades para expressar a Primeira equação Fundamental do modelo, a Função Cobb-Douglas: Eq 1 Y = K α L 1 α α é constante com valor 0 < α < 1. O modelo de Solow quer então mostrar de que maneira o crescimento do estoque de capital e o crescimento populacional (sem considerar por ora os avanços técnicos) interagem para afetar a produção total de bens e serviços. a) discutiremos a oferta total a partir de uma função e produção do tipo Cobb-Douglas. b) apresentaremos a demanda através de sua forma intensiva (variáveis por trabalhador) e dividiremos a produção por trabalhador (y) em consumo por trabalhador (c) e investimento por trabalhador (i) Logo: y = c + i, as variáveis em caixa baixa (minúsculo) estão expressando a variável dividida por L, logo por trabalhador. A equação será retomada ao longo da exposição.

9 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Análise da forma intensiva Por trabalhador (aproximadamente: per capta) A função de Produção na forma intensiva (per capita) Y = Kα L 1 α L L = Eq (2) y = k α Onde: y = Y L e k = K L

10 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO Análise da forma intensiva Por trabalhador (aproximadamente: per capta) A função de Produção na forma intensiva (per capita) Eq (2) y = k α

11 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL A segunda equação fundamental: Acumulação de Capital Eq (3) Eq (3.1) K = sy dk reescrevendo K K = s Y K d ou K K = s v d K = K t K t 1 variação do estoque de capital por período [ K = dk ]. É estoque de capital anterior dt somado do Investimento líquido. s = Taxa de poupança => S/Y d = taxa de depreciação exógena e constante v = K Y

12 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL Escrevendo a equação de acumulação de capital em sua forma intensiva (em termos per capita) Sabe-se que k = K L encontrar taxas. ; Vamos aplicar log e derivar essa equação em relação ao tempo para Log k = log K log L => Derivando em relação ao tempo temos Eq (3.2) Eq (3.3) Eq (3.3) K k k = K K L L reescrevendo = k + L, Igualando 3.3 e 3.1 temos K k L k = s Y d n k K

13 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EQUAÇÃO DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (cont...)equação capital forma intensiva (em termos per capita) Eq (3.3) Eq (3.4) k k = s Y K d n, fazendo (Y L ) (K L ) temos k = sy d + n k No estado estacionário k=0 => sy = d + n k s v = d + n A equação 3.4 (de acumulação de capital per capita) permite afirmar que: A acumulação de capital per capita, k, tende a aumentar se aumenta s ; e tende a diminuir se a depreciação ou o crescimento populacional crescem. Reparem que a variável de ajuste se torna v (conforme demonstraremos em seguida).

14 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: AS DUAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS NA FORMA INTENSIVA As duas equações fundamentais escritas na forma intensiva podem agora ser reescritas: Eq (2) y = k α Função de produção Eq (3.4) k = sy d + n k em s.s sy = d + n k ou acumulação de capital s v = d + n Equação de Agora estamos aptos a analisar algumas mudanças em seus parâmetros.

15 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: O DIAGRAMA BÁSICO DE SOLOW As duas equações fundamentais escritas na forma intensiva podem agora ser reescritas: Eq (3.4) k = 0 => s.s sy = d + n k ou s v = d + n Lembrem-se que y = k α por isso a declividade da função sy abaixo. E ainda, n e d são determinadas exogenamente.

16 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA MOSTRAR ESTÁTICA COMPARATIVA Aumento taxa de poupança; Crescimento populacional; SIMULAÇÕES As simulações foram feitas considerando: i) uma economia inicialmente fora de s.s com sy > (n+d)k; ii) em seguida produziu-se uma simulação com a conomia inicialmente em s.s. Em seguida se produziu um aumento autônomo na taxa de poupança. Adotou-se as seguintes condições iniciais: sold:= 0,3 ; snew = 0,4; kinicial=9 ; d=0,1 À nova taxa de poupança o capital aumenta, mas não imediatamente para o novo nível de s.s (k*), de modo que ao nível de k inicial, o investimento supera o necessário para manter k constante. Mais recursos são usados para i e delta k é positivo, logo k começa a crescer. k cai gradativamente devido à hipótese de rendimentos decrescentes para o capital que está fazendo a renda crescer menos que o k. Logo, mudanças na taxa de poupança geram efeito-nível permanente nas variáveis per capta e efeito taxa apenas temporário.

17 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA s k 0,45 0, ,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0, , i c y 1,8 2,6 4,5 1,6 2,4 4 1,4 1,2 2,2 2 3,5 1 1,8 3 0,8 1,6 2,5 0,6 0,4 1,4 1,2 2 0, ,

18 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EFEITO MUDANÇA NA TAXA DE POUPANÇA ILUSTRANDO A RELAÇÃO s/v A economia encontra-se inicialmente no ponto A com estoque de capital igual a k, com: s = n + d. Imagine que haja v um aumento autônomo na taxa de poupança, aumentando para s. Ao nível inicial de estoque o montente de investimento por trabalhador será > que (n+d), logo k > 0. Lembre-se que a produtividade do marginal é decrescente. Portanto, a contribuição adicional ao produto decorrente do aumento de K cai progressivamente. A medida em que k aumenta, tornando-se relativamente mais abundante há mudanças técnicas usando mais intensivamente esse fator. Afetando o valor de v=k/y. v aumenta ao longo da trajetória, pois como α<1 o aumento em k aumenta y em y = k α o que implica que y aumenta menos. Por isso a relação k/y aumenta quando k aumenta e, portanto s/v cai ao longo da trajetória. k caminha em direção à k até que k = 0 e sy = d + n k ou s/v = d + n. A variação do estoque de capital por trabalhador é determinada por 3 termos: i) sy -> aumenta k por trabalhador; ii) dk -> reduz k por trabalhador; iii) nk -> reduz k por trabalhador

19 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: EXISTÊNCIA DA UNICIDADE A existência de v* (s.s.) e, portanto, da trajetória de crescimento equilibrado, é assegurada pelo bom comportamento da função de produção (em particular pelas condições de Inada;

20 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES DO S.S. Taxa de crescimento do produto agregado Y Sabe-se que y = Y L Log y = log Y log L (derivando em t) temos: d log y dt = d log Y dt - d log L dt => y y = Y Y L L Como em s.s. y y = 0, temos que Y Y = n Taxa de crescimento do estoque de capital agregado, K Sabe-se que k = K L log k = log K log L (derivando em t) temos: k k = K K n Como em s.s. k k = 0, temos que K K = n Logo a tx de crescimento do produto (Y) e do capital (K) em ss é n

21 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DO S.S. Em s.s sy = d + n k Os asteriscos indicam que as variáveis se encontram em s.s. Logo, k = sy n+d, mas y = k α Então k = sk α n+d produção y = k α Temos: y = Assim, em s.s s n+d => k 1 α = s n+d => k = s n+d 1 α 1 1 α Substituindo na função de Δs > 0 => Δy > 0 ou seja, maior taxa de poupança implica nível de produto per capta maior; Δn ou Δd > 0 => Δy < 0, maiores taxas de cresc. populacional ou de depreciação, implicam menor nível de produto per capta.

22 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: SÍNTESE DOS RESULTADOS Trajetória de Crescimento equilibrado Solow Básico sem progresso técnico Variável Taxa de crescimento Y* n K* n C* = (1-s) Y* n I* = sy* n 1 * Y * n W* = * * Y * n y* 0 k* 0 c*=(1-s) y* 0 i*=sy* 0 w*= 1 * y* 0

23 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO: CONCLUSÕES Conclusão: A experiência/os fatos estilizados mostram que crescimento e investimento possuem taxas positivamente relacionadas no LP; já o modelo básico de Solow conclui que o efeito de um aumento permanente da taxa de poupança (e no investimento) leva apenas a efeitos transitórios sobre as taxas de crescimento per capta no longo prazo, aumentando a renda e renda per capta de forma permanente em termos de níveis. Além disso, a experiência mostra que as variáveis per capta têm crescimento positivo no LP, o que essa versão do modelo também não é capaz de explicar. Logo, o modelo básico de Solow não dá uma resposta satisfatória para tais fatos. As extensões do modelo buscam dar respostas mais adequadas para aquelas duas questões.

24 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Análise da Distribuição no modelo neoclássico: Os fatores de produção são remunerados de acordo com suas produtividades marginais (isso pode ser derivado das condições de maximização de lucro. Partindo da função de produção que trabalhamos até agora e das condições de max lucro sabe-se: Y = K α L 1 α (1) PmgL = Y L = 1 α Kα L α PmgL = (1 α) K L PmgK = Y K = αkα 1 L 1 α PmgK = α L K 1 α De 2 e 3 pode-se notar que um aumento na quantidade de Trabalho (capital), faz cair (aumentar) a produtividade marginal do trabalho e aumentar (cair) a produtividade marginal do capital. α (2) (3)

25 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Reescrevendo os produtos marginais, para discutir distribuição: PmgL = 1 α Y L (4) (Para provar basta substituir a função de produção em Y) PmgK = α Y K (5) Podemos agora verificar que se os fatores são remunerados às suas respectivas produtividades marginais, o parâmetro α de fato informa quando da renda se destina à m.d.o e quanto se destina ao capital. F(K,L) = (PmgL x L) + (PmgK x K) ou, de modo equivalente: F(K,L) = wl + rk = Y O que significa que o pagamento aos fatores exaure o produto. Y = wl + rk e (...)

26 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Disso resulta que o montante total pago à mão de obra é simplesmente igual a (1- α ), vejamos: PmgL L = 1 α Y L L 1 α Y Logo (1-α)Y é a participação dos salários na produção. PmgK K = α Y K K αy Logo αy é a participação da remuneração do capital na produção. Esse resultado mostra que a Participação/distribuição da renda correspondente à m.d.o e ao capital são uma constante. Bem como, a proporção entre a renda do capital e do trabalho, também são uma constante (α/1- α). Distribuição exógena!!!

27 SOLOW SEM PROGRESSO TÉCNICO ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO Logo, graficamente podemos construir (equilíbrio mercado de trabalhos e de capital) (pegar gráficos nas planilhas de apoio)