Gabarito 12 - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Pedro Bretan

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1 Gabarito 1 - Microeconomia Professora: Joisa Dutra Monitor: Pedro Bretan 1. (a) A utilidade de reserva é a utilidade espera que ele obtém caso não compre o seguro: U = pu(w ) + (1 p)u(w + L) (b) O contrato é um par {ρ, q}. (c) O problema da seguradora é: max ρ,q p(ρ q) + (1 p)(ρ) pu(w + q ρ) + (1 p)u(w + L ρ) U Como a restrição é válida com igualdade, resolva o lagrangeano para obter U (W + L ρ) = U (W + q ρ) Logo, W + L ρ = W + q ρ q = L O consumidor faz seguro completo. (d) Suponha que a função utilidade da seguradora seja um B( ). Seu problema agora é: max ρ,q pb(ρ q) + (1 p)b(ρ) pu(w + q ρ) + (1 p)u(w + L ρ) U Resolvendo o lagrangeano, obtém-se que B (ρ) B (ρ q) = U (W + L ρ) U (W + q ρ) Suponha que o indivíduo faça seguro completo, isto é, q = L. Então o lado direito da equação anterior é igual a 1, de modo que B (ρ) = B (ρ q). Como B ( ) é estritamente decrescente e q > 0, isto é impossível. Então q L. Supondo 0 < q < L, dado que a utilidade marginal do agente é decrescente, o lado direito da equação anterior é menor do que 1, de modo que B (ρ) < B (ρ q). Como B ( ) < 0, ρ > ρ q q > 0, solução ok!. Se supor q > L, veja que isso implica em q < 0, contradição. Logo, existe uma solução, com 0 < q < L. 1

2 Logo, o agente compra seguro, mas não é totalmente segurado. Qual o porquê deste resultado diferente? Como a seguradora não é mais neutra ao risco, ela não está mais disposta a ficar com todo o risco para si: agente e seguradora compartilham o risco, de modo que se ocorrer o estado ruim (incêndio de L) o agente agora sofre alguma perda devido à cobertura parcial. Não existe solução com q = 0 pois como dito o agente tenta sempre aproximar ao máximo as rendas no período ruim e no período bom, pois é avesso ao risco. O fato da seguradora ser avessa também faz com que o agente não consiga uma renda constante entre os dois perídos, mas ele ainda compra uma quantidade positiva de seguro para aproximar ao máximo sua renda entre os dois estados da natureza. Analiticamente, a solução para q = 0 é feita resolvendo-se a cpo para q com desigualdade (< 0) e a para ρ com igualdade. Obtém-se após manipulações que U (W + L ρ) > U (W ρ), impossível. Portanto este caso não vale.. Considere um caso em que um empresário contrata um gerente, cujo esforço ele não consegue determinar. Assuma que a incerteza seja representada por três estados da natureza. O agente pode escolher etre dois níveis de esforços. A tabela abaixo mostra os resultados. Receita em cada estado da natureza estado 1 estado estado esforço e= e= A probabilidade de cada estado é 1/, conhecida tanto pelo gerente quanto pelo empresário. As funções utilidade do empresário e do gerente são respectivamente: B(x, w) = x w U(w, e) = w e em que x é a receita obtida em cada estado da natureza e w(x) o salário pago ao agente em função da receita por ele gerada. Assuma que o agente somente aceita o contrato se tiver uma utilidade de 114. (a) O que podemos deduzir da forma funcional das funções objetivo? R.: O gerente é avesso ao risco e o empresário é neutro ao risco. (b) Qual seria o esforço e o salário no caso de informação completa? R.: Nesse caso, o principal fica com todo o risco para si e dá seguro completo ao gerente. Isso significa que ele dá uma salário constante, igual em todo estado da natureza, portanto eliminando completamente o risco para o funcionário. A restrição de participação do agente é válida com igualdade. Logo, como o salário é constante em todo estado da natureza:

3 se e = 6 UE(gerente) = ( w 6) = 114 w = 500. Se e = 4 UE(gerente) = ( w 16) = 114 w = Vejamos o lucro esperado do empresário em cada caso. Se e = 6, B E = 1 (150000) 500 = = 7500 em que o 500 vem do salário esperado a ser pago ao gerente calculado logo acima. Se e = 4, B E = 1 (10000) = = 100 Logo, o empresário tem maior lucro com e = 6, portanto o contrato com informação perfeita é e = 6 e w = 500. Se o empresário não fosse neutro os dois compartilhariam o risco. (c) O que ocorre se há informação assimétrica? Qual esquema de incentivo (w) implementaria e = 4? E e = 6? Qual dos dois o empresário prefere? R.: Se o empresário quiser implementar um esforço e = 4, o contrato ótimo é pagar w = 16900, o mesmo que na letra (b), uma vez que um salário constante sempre induz o gerente a escolher o menor nível de esforço. Para fazer o gerente trabalhar com esforço e = 6, o empresário não pode oferecer um salário constante; deve oferecer um salario contigente ao resultado. Assim, se a receita for 60000, ele paga um salário w(60); se for 0000, paga w(0). O problema do empresário portanto é: min w(60),w(0) ( ) w(60) + 1 ( ) w(0) ( ) w(60) + 1 ( ) w(0) 6 w(60) + 1 w(0) Rest. de Participação - RP ( ) w(60) 16 ( w(0) ) + 1 A primeira restrição é a de participação: o gerente deve ter utilidade esperado com o contrato oferecido maior do que a sua utilidade de reserva, que é 114. A segunda restrição é a de compatibilidade de incentivos: ela me diz que se esforçando e = 6 o gerente deve ficar com utilidade maior do que teria se escolhesse esforço e = 4. Portanto esta restrição assegura que o contrato que o empresário oferece ao gerente faz com que este escolha se esforçar. RCI Temos duas variáveis e duas equações nas restrições (que são sempre válidas com igualdade no problema com dois esforços), então basta resolver o sistema formado pela equação da RP e da RCI para encontrar w(60) e w(0. Obtém-se que w(60) = 8900 e w(0) = Agora precisamos calcular o lucro do empresário.

4 B E = ( ) + 1 ( ) = O lucro esperado com e = 4 foi calculado na letra (b) e é igual a 100. Portanto, o empresário obtém maior lucro com e = 6 e oferece este contrato ao gerente.. (a) O agente é neutro ao risco, logo o principal não precisa tomar o risco para si, deixa-o com o próprio agente. Com informação completa, o problema a ser resolvido é, para se implementar e = 0: min w H,,w L 0, 4w H + 0, 6w L 0, 4w H + 0, 6w L 0 10 Resultado: qualquer w H, w L tal que E(w) = 10 servem como resposta ao problema!. Como o agente é neutro, o principal não se importa com que ele receba salários variáveis, desde que em média ofereçam utilidade ao agente igual à utilidade de reserva mais o custo do esforço do agente. Para o caso e = obtém-se o mesmo resultado: qualquer w H, w L tal que E(w) = 1. Dado isso, o principal oferece o contrato com e = pois, como H > L + 10, 0, 4H + 0, 6L 10 < 0, 8H + 0, L 1 (b) Com informação assimétrica o problema agora torna-se em como fazer o agente se esforçar. Porém, como ele é neutro ao risco, o principal (dono do restaurante) pode transferir para ele todo o risco. Logo, para obter o mesmo resultado da letra (a), basta fazer com que o agente seja dono da firma, isto é, receba como salário a receita da firma (que é variável de acordo com o estado). Ao fazer isso, ele escolherá trabalhar, isto é, será possível implementar o resultado da letra (a). O principal recebe do agente um valor constante α, como pagamento. Formalmente, o principal oferece ao agente um salário w = R(e) α; este, caso se esforce e =, tem utilidade 0, 8H + 0, L α Se esforça-se e = 0, tem utilidade 0, 6H + 0, 4L 0 α Como H > L + 10, então ele escolhe e =!. E o valor de α, isto é, a remuneração do principal? Será o valor exato que deixará o agente com a utilidade de reserva: α = 0, 8H + 0, L (a) Se o produtor observa o tipo dos agentes, ele resolve um problema do tipo, para cada i = 1, : max q i, t i ti C(q i ) 4

5 θ i q i t i 0 A resolução me dá um valor q i = qi, em que C (qi ) = θ i e t i = θ iqi. Portanto, o monopolista extrai todo o excedente dos consumidores e temos um resultado eficiente. Como C é crescente, temos que q > q1, de modo que o consumidor sofisticado (tipo ) compra um vinho de qualidade melhor. (b) Se o consumidor tipo escolhe a cesta do consumidor tipo 1, ele obtém utilidade U (q1, t 1) = θ q1 t 1 = (θ θ 1 )q1 > 0 = θ q t. Logo, não haveria separação entre os tipos. Esse resultado foi mostrado também em uma das listas de monopólio. (c) O problema é max π[t 1 C(q 1 )] + (1 π)[t C(q )] q 1,t 1,q,t θ 1 q 1 t 1 0 RP 1 θ q t 0 RP θ 1 q 1 t 1 θ 1 q t RCI 1 θ q t θ q 1 t 1 RCI (d) Somando as restrições de compatibilidade de incentivo, obtemos: θ (q q 1 ) θ 1 (q q 1 ) Uma vez que θ 1 < θ, temos q 1 q. (e) Se ela é válida, então θ 1 q 1 t 1 0. Porém, temos que, utilizando RC : θ q t θ q 1 t 1 > θ 1 q 1 t 1 0 pois θ 1 < θ. Logo, se RP 1 for válida, a RP também será. (f) Utilizando o que foi mostrado no ítem anterior, temos que θ q t θ q 1 t 1 > θ 1 q 1 t 1 5

6 Ora, se RP 1 não for válida com igualdade, o monopolista poderia simplesmente aumentar infinitesimalmente t 1 e t, respeitando as restrições de CI e tendo um lucro maior. Portanto no equilíbrio a restrição do tipo 1 deve ser válida com igualdade!. (g) Novamente, pelo ítem anterior, se a RP 1 é ativa, temos que θ q t θ q 1 t 1 > θ 1 q 1 t 1 = 0 logo, a do tipo é inativa (com desigualdade). (h) Suponha que IC seja inativa, isto é, com desigualdade estrita. Logo, θ q t > θ q 1 t 1 Porém, neste caso o monopolista poderia aumentar t por um valor bem pequeno, satisfazendo todas as restrições ainda. Isso não pode ocorrer no ótimo portanto a restrição não pode ser inativa. Para provar que RCI 1 pode ser ignorada, veja que, utilizando a RCI e o que foi mostrado na letra (d): t 1 t = θ (q q 1 ) > θ 1 (q q 1 ). (i) Ignorando as restrições de CI de 1 e de participação de, o problema fica: max π[t 1 C(q 1 )] + (1 π)[t C(q )] q 1,t 1,q,t θ 1 q 1 t 1 = 0 RP 1 θ q t = θ q 1 t 1 RCI Substituindo os t i s presentes nas restrições na função objetivo, o problema fica somente em função ds qs : max π[θ 1 q 1 C(q 1 )] + (1 π)[θ q θ q 1 + θ 1 q 1 C(q )] q 1,q Da CPO obtenho que: θ = C (q ) C (q 1 ) = θ 1 1 π π (θ θ 1 ) < θ 1 = C (q 1) q 1 < q 1 pois C () > 0. 6

7 Assim, vemos que o consumidor compra a quantidade eficiente, isto é, a mesma do problema com informação perfeita. Já o consumidor 1 consome menos. A razão disso é que o monopolista quer fazer com que o pacote oferecido ao consumidor 1 não atraia o consumidor. Observe, utilizando as restrições, que t = θ q q 1 (θ θ 1 ) < t. Isto é, o consumidor consome a quantidade eficiente mas paga menos do que no caso com informação simétrica, por isso sua restrição de participação é inativa, ele fica com excedente positivo. 5. Supondo uma seguradora neutra ao risco, se ela soubesse os tipos de motoristas, ofereceria contratos com seguro completo para todos. Se ela não observa os tipos mas conhece o risco médio dos motoristas e oferecesse um único contrato com seguro completo, ele seria caro para os consumidores de baixo risco e atrairia somente os de alto risco. Neste caso ela teria prejuízo pois o cliente médio teria probabilidade de acidente maior do que a probabilidade média da população, na qual ela se baseou. Por isso ela oferece dois tipos de contratos, para separar os tipos. Quanto mais descuidado for o motorista, maior a probabilidade de que ele tenha um acidente. Sabendo disso, este motorista não procurará contratos de seguro com franquia. Logo, se um motorista procura um contrato com franquia é porque espera se acidentar pouco. Os descuidados comprarão seguro completo. Podemos compará-los ao tipo do exercício 4. Nos dois casos, são esses os consumidores mais valiosos para a empresa, que possuem maior utilidade marginal pelo bem contratado. Assim, vemos que o motorista arriscado consome o mesmo que no caso com informação perfeita, assim como o tipo no exercício anterior. Já o motorista cuidadoso consome seguro parcial, portanto menos do que no caso com informação perfeita; portanto, podemos fazer uma analogia dele com o tipo 1 do exercício 4. 7