Prova de Seleção ao Doutorado Macroeconomia

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1 Prova de Seleção ao Doutorado Macroeconomia Programa de Pós-Graduação em Economia, FEA/USP Área Teoria Econômica 1. (40 pontos) Considere o modelo de Ramsey-Cass-Koopmans em tempo contínuo, o qual inclui um bem público. Há um contínuo de agentes idênticos, distribuídos no intervalo [0,1]. Não há crescimento populacional. As preferências são dadas por: U = 0 [ c 1 γ e θt t 1 1 γ + g1 σ 1 σ t 1 ] dt, γ, σ > 0 Onde c é o consumo do bem privado e g é o consumo do bem público. A restrição de recursos desta economia é: k t = f(k t ) δk t c t g t Em que f(0) = 0, f (k) > 0, f (k) < 0, f (0) = e f ( ) = 0; k 0 > 0 é dado. (a) (10 pontos) Formule e resolva o problema do planejador central. (b) (7 pontos) Obtenha as equações que definem o estado estacionário (encontre 3 equações que permitam implicitamente calcular k, c e g ). (c) (7 pontos) Obtenha as equações que definem o sistema dinâmico em c e k. Desenhe o diagrama de fases no plano (c, k). (d) (10 pontos) Suponha k 0 < k. Mostre que, dependendo de γ e σ, o consumo do bem privado cresce mais rápido ou mais devagar que o consumo do bem público, à medida que a economia converge para o estado estacionário. Interprete intuitivamente. (e) (6 pontos) O que acontece quando σ = 0? Interprete intuitivamente. 2. (35 pontos) (Learning-by-doing) O tempo é discreto e indexado por t = 0, 1, 2,... Considere uma economia povoada por um grande número de agentes idênticos, distribuídos 1

2 uniformemente no intervalo [0, 1]. Em um dado instante t, cada agente escolhe consumo (c t ) e horas trabalhadas (n t ), de modo a maximizar a seguinte função utilidade: 1 u(c t, 1 n t ) = ln c t + φ ln(1 n t ), φ > 0 sujeito à restrição orçamentária: c t = w t n t sendo que w t é o salário horário. Uma firma competitiva gera o produto final y t utilizando unicamente trabalho, por meio da seguinte função de produção: y t = A t N t em que A t é um índice de produtividade. Assuma que o produto final seja o numerário desta economia (ou seja, seu preço é igual a 1). Em equilíbrio n t = N t e c t = y t. (a) (10 pontos) Resolva os problemas de otimização do agente e da firma representativa. Mostre que o número de horas trabalhadas de equilíbrio é n = 1/(1 + φ). Assuma que esta economia seja caracterizada por learning-by-doing, ou seja, a produção corrente contribui para aumentar o estoque de conhecimento (produtividade) A no período seguinte. Mais especificamente, acréscimo de conhecimento entre dois períodos t e t + 1 é dado por: A t+1 A t = γy t, γ > 0, A 0 = 1 (b) (10 pontos) Calcule a taxa de crescimento do produto de equilíbrio, como função dos parâmetros desta economia. Considere agora que os agentes desta economia vivem para sempre, e que possuem a seguinte utilidade ao longo da vida: U = t=0 ( ) t 1 [ln c t + φ ln(1 n t )], θ > θ 1 Na verdade, a utilidade depende do consumo e do número de horas de lazer (l t ). Entretanto, o agente possui apenas 1 unidade de tempo, alocada entre horas trabalhadas e de lazer, ou seja, n t + l t = 1. Por conta disso, a utilidade está em função de 1 n t. 2

3 (c) (8 pontos) Assuma n t = n, constante ao longo do tempo, de modo que c t = y t = A t n. Compute U como função de n e dos parâmetros desta economia. Mostre que o valor de n que maximiza U é maior que n = 1/(1 + φ). (d) (7 pontos) Explique a intuição por trás do resultado da parte (c). 3. (Ineficiência dinâmica) (25 pontos) (a) (15 pontos) Explique o que é o problema de ineficiência dinâmica em um modelo de gerações sobrepostas e explicite a "falha de mercado" subjacente. (b) (10 pontos) Como um planejador central pode resolvê-lo melhorando o bem-estar de todos na economia? Em que situação tal solução deixa de ser Pareto ótima? 3

4 Prova de Seleção ao Doutorado Macroeconomia Programa de Pós-Graduação em Economia, FEA/USP Área Teoria Econômica 1. (Taxação ótima) O tempo é discreto e indexado por t = 0, 1, 2,... Considere uma versão do modelo neoclássico de crescimento com governo, em que o agente representativo possui as seguintes preferências: U = β t u(c t, 1 n t ), 0 < β < 1 t=0 Em que c é consumo, n é o número de horas de trabalho, e a função u é crescente e côncava nos dois argumentos. A restrição de recursos da economia é dada por: c t + k t+1 (1 δ)k t + g t = F (k t, n t ) Em que k é capital e a função de produção F satisfaz retornos constantes de escala e as condições de Inada. Além disso, a sequência de gastos públicos {g t } é exogenamente dada, assim como o estoque inicial de capital k 0 > 0. (a) Escreva o problema do planejador central. Encontre as condições de primeira ordem e a condição de transversalidade, tomando como dada a sequência de gastos públicos. Considere agora o problema descentralizado, em que o governo financia a sequência de gastos por meio de impostos e dívida pública. A restrição orçamentária do agente representativo é portanto: (1 + τ ct )c t + k t+1 (1 δ)k t + Q t b t+1 + τ ht = (1 τ kt )r t k t + (1 τ nt )w t n t + b t Em que r e w são respectivamente o aluguel do capital e o salário (o produto final é o numerário). Além disso, b é um título público de um período, ou seja, para 1

5 cada título comprado em t pelo preço Q t, o governo paga 1 unidade de produto em t + 1; b 0 é dado. Finalmente, τ k, τ n e τ c são respectivamente alíquotas de impostos proporcionais sobre a renda do capital, renda do trabalho e consumo; τ h é um imposto lump-sum. O governo utiliza a receita de impostos e os títulos públicos para financiar a sequência de gastos, de modo que sua restrição orçamentária seja da seguinte forma: τ ct c t + τ nt w t n t + τ kt r t k t + τ ht + Q t b t+1 = g t + b t O consumidor representativo escolhe sequências de consumo, horas trabalhadas, estoque de capital e títulos públicos ao longo do tempo, de modo a maximizar U, sujeito a sua restrição orçamentária, tomando como dados os preços, impostos, k 0 e b 0. (b) Escreva o problema do consumidor representativo. primeira ordem e as condições de transversalidade. Encontre as condições de O produto desta economia é gerado por uma firma representativa, a qual opera a função de produção F. Esta firma maximiza lucro em cada ponto do tempo, tomando como dados r e w (o governo não cobra impostos diretamente da firma). (c) Escreva o problema da firma. Encontre as condições de primeira ordem. (d) Combine as condições de ótimo do consumidor e da firma, e compare com as equações encontradas para o planejador central. Mostre que, se o governo utilizar apenas impostos lump-sum para financiar seus gastos, é possível implementar a solução eficiente (ou seja, a solução do planejador central). (e) Discuta como o resultado da parte (d) se relaciona ao conceito de Equivalência Ricardiana. 2. (Mudança estrutural) O tempo é discreto e indexado por t = 0, 1, 2... Uma economia é composta por um contínuo de agentes idênticos, distribuídos uniformemente no intervalo [0, 1]. As preferências do agente representativo são dadas por: U = β t {ln(c 1t ) + φ ln(c 2t µ)} t=0 φ > 0, c 1t 0, c 2t µ 2

6 Em que 0 < β < 1 é o fator de desconto, c 1 é o consumo de um bem industrial e c 2 é o consumo de um bem agrícola. Além disso, há um nível de subsistência mínimo associado ao bem agrícola, que é dado por µ > 0. Uma tecnologia do tipo AK é utilizada para gerar os dois bens de consumo e o bem de investimento, de modo que a restrição de recursos seja: c 1t + c 2t + i t Ak t, A > 0 Em que k é capital e i é investimento. Assuma que a depreciação do capital é completa entre dois períodos, de modo que i t = k t+1. O estoque inicial de capital k 0 > 0 é dado. Suponha βa > 1. (a) Escreva o problema do planejador central na forma recursiva. Calcule as condições de primeira ordem. Use o teorema do envelope para obter a(s) equação(ões) de Euler. (b) Como evoluem a razão c 1 /c 2 e as taxas de crescimento de c 1 e c 2 ao longo do tempo? O que acontece quando t? (c) Explique intuitivamente o resultado da parte (b). Contraste com o caso em que µ = (Precificação de ativos) Considere uma economia formada por um contínuo de agentes idênticos, distribuídos uniformemente no intervalo [0, 1]. Há apenas dois períodos: t = 0 e t = 1. No primeiro período não há incerteza, e cada agente recebe uma dotação exógena y 0. Já no segundo período o produto é incerto. Em particular, há s = 1, 2,..., S estados da natureza possíveis. As preferências do agente representativo são dadas por: S U = u(c 0 ) + βe[u(c 1 )] = u(c 0 ) + β u(c 1 (s))f(s) Em que c 0 é o consumo no primeiro período, c 1 (s) é o consumo do segundo período, caso o estado s ocorrer, e f(s) é a probabilidade de ocorrência do estado s. Além disso, 0 < β < 1 é o fator de desconto, e u (.) > 0, u (.) < 0 e u (0) =. Em t = 0, o agente tem à sua disposição dois tipos de ativo: um ativo sem risco (b), o qual paga uma unidade de consumo em t = 1, independente de s; e um ativo 3 s=1

7 arriscado (d), que paga d(s) caso o estado s ocorrer em t = 1. Suponha que E(d) = d(s)f(s) = 1. A restrição orçamentária do período t = 0 é: s c 0 + p b B + p d D = y 0 Já para cada estado da natureza s em t = 1, a restrição orçamentária é: c 1 (s) = y 1 (s) + B + d(s).d Em que B e D são respectivamente as quantidades dos ativos sem risco e arriscado seguradas pelo agente; e p b e p d são os preços desses ativos em t = 0. Já y 1 (s) é a dotação (exógena) do segundo período, caso o estado s ocorra. Em t = 0, o agente representativo decide c 0, {c 1 (s)} S s=1, além das quantidades de ativos B e D. Ele toma como dados os preços dos ativos, além de y 0 e {y 1 (s)} S s=1. (a) Formule o problema do agente representativo. Encontre as condições de primeira ordem. (b) Em equilíbrio, c 0 = y 0, e c 1 (s) = y 1 (s), para todo s = 1, 2,..., S. Explique por que estas condições devem valer nesse problema. (c) Mostre que: ( ) βu p d = p b (c 1 ) + cov u (c 0 ), d (d) Explique intuitivamente o resultado da parte (c). 4

8 Prova de Seleção ao Doutorado Macroeconomia Programa de Pós-Graduação em Economia, FEA/USP Área Teoria Econômica 1. (Programação dinâmica) Considere a seguinte versão do modelo neoclássico de crescimento. O tempo é discreto e indexado por t = 0, 1, 2,... Há um contínuo de agentes idênticos, distribuídos uniformemente no intervalo [0, 1]. As preferências do agente representativo são descritas por: U = β t u(c t ) t=0 Em que c t é o consumo no período t, e 0 < β < 1 é o fator de desconto subjetivo. Além disso, u ( ) > 0, u ( ) < 0 e u (0) =. A restrição de recursos dessa economia no período t é dada por: c t + k t+1 (1 δ)k t = f(k t ) Em que k t é o estoque de capital em t, e 0 < δ < 1 é a taxa de depreciação. Além disso, f(0) = 0, f ( ) > 0, f ( ) < 0, f (0) = e f ( ) = 0. O planejador central escolhe sequências de consumo e capital, {c t, k t+1 } t=0, de modo a maximizar U, respeitando as restrições de recursos em cada t 0, e tomando como dado o estoque inicial de capital k 0 > 0. (a) Escreva o problema do planejador central na forma recursiva (ou seja, escreva a equação de Bellman). (b) Encontre a(s) condição(ões) de primeira ordem. Utilize o teorema do envelope para encontrar a(s) equação(ões) de Euler. (c) Explique o procedimento iterativo para resolução da equação de Bellman, a partir de um chute inicial para a função valor (não é necessário provar resultados; apenas 1

9 explique o procedimento). 2. (Gerações sobrepostas) O tempo é discreto e indexado por t = 0, 1, 2,... Considere a seguinte versão do modelo de gerações sobrepostas, em que cada indivíduo vive exatamente dois períodos: juventude e velhice. Quando jovem, recebe uma dotação exógena A, a qual é dividida entre poupança (s t ) e consumo (c 1t ). Cada unidade poupada em t propicia z unidades de consumo em t+1. Esses recursos serão utilizados para consumo durante a velhice (c 2t+1 ). As restrições orçamentárias de um indivíduo nascido em t são portanto: c 1t + s t = A c 2t+1 = zs t As preferências deste indivíduo são dadas por: u(c 1t, c 2t+1 ) = ln c 1t + ln c 2t+1 Em cada período t, há N t jovens e N t 1 velhos. A taxa de crescimento populacional é constante e igual a n > 0, isto é, N t = (1 + n)n t 1. (a) Formule e resolva o problema de um indivíduo nascido em t. Calcule c 1t, c 2t+1 e s t como funções dos parâmetros desta economia. (b) Suponha agora que o montante poupado seja constante e igual a f (diferente do nível que você achou em (a)). Calcule o consumo per capita em t (ou seja, o consumo agregado de jovens e velhos em t, dividido pela população) como função de f e dos demais parâmetros. Supondo z < 1 + n, qual é o valor de f que maximiza o consumo per capita? (chamaremos este nível de poupança de "regra de ouro"). (c) Mostre que, se z < 1 + n, a alocação de equilíbrio encontrada em (a) é ineficiente (no sentido de Pareto). Explique como um esquema de transferências intergeracionais poderia ampliar o bem estar de todas as gerações futuras. Suponha agora que exista outro ativo nesta economia chamado "moeda". Os velhos em dado momento do tempo t utilizam moeda para comprar consumo dos jovens. Quando estes últimos se tornarem velhos em t + 1, repassarão este ativo 2

10 para a geração nascida naquela data em troca de bens de consumo. Este esquema se mantém para sempre. Cada unidade de moeda pode comprar P t unidades de bens em t. Ou seja, uma pessoa nascida em t recebe P t por unidade de consumo vendida quando jovem, mas pagará P t+1 por unidade quando velho. O estoque de moeda é controlado pelo governo, o qual determina a taxa de inflação π = (P t+1 /P t ) 1 (constante ao longo do tempo). (d) Dada a existência de moeda, reescreva as restrições orçamentárias de uma pessoa nascida em t. Explique por que a poupança é nula caso z < 1/(1 + π). (e) Resolva o problema do indivíduo nascido em t, supondo z < 1/(1 + π). Mostre que, na presença de moeda, é possível implementar a regra de ouro. Nesse caso, qual deve ser a taxa de inflação? 3. (Precificação de ativos) Considere uma economia formada por um contínuo de agentes idênticos, distribuídos uniformemente no intervalo [0, 1]. t = 0 e t = 1. Há apenas dois períodos: No primeiro período não há incerteza, e cada agente recebe uma dotação exógena y 0. Já no segundo período o produto é incerto. Em particular, há s = 1, 2,..., S estados da natureza possíveis. As preferências do agente representativo são dadas por: U = u(c 0 ) + βe[u(c 1 )] = u(c 0 ) + β S u(c 1 (s))f(s) Em que c 0 é o consumo no primeiro período, c 1 (s) é o consumo do segundo período caso o estado s ocorra, f(s) é a probabilidade de ocorrência do estado s, e E[ ] é o operador esperança. Além disso, 0 < β < 1 é o fator de desconto, e u ( ) > 0, u ( ) < 0 e u (0) =. Em t = 0, o agente tem à sua disposição dois tipos de ativo: um ativo sem risco (b), o qual paga uma unidade de consumo em t = 1, independente de s; e um ativo arriscado (d), que paga d(s) se o estado s ocorrer em t = 1. Suponha E[d] = d(s)f(s) = 1. s A restrição orçamentária do período t = 0 é: s=1 c 0 + p b B + p d D = y 0 3

11 Já para cada estado da natureza s em t = 1, a restrição orçamentária é: c 1 (s) = y 1 (s) + B + d(s).d Em que B e D são respectivamente as quantidades dos ativos sem risco e arriscado seguradas pelo agente; e p b e p d são os preços desses ativos em t = 0. Já y 1 (s) é a dotação (exógena) do segundo período, caso o estado s ocorra. Em t = 0, o agente representativo decide c 0, {c 1 (s)} S s=1, além das quantidades de ativos B e D. Ele toma como dados os preços dos ativos, além de y 0 e {y 1 (s)} S s=1. (a) Formule o problema do agente representativo. Encontre as condições de primeira ordem. (b) Em equilíbrio, c 0 = y 0, e c 1 (s) = y 1 (s), para todo s = 1, 2,..., S. Explique por que estas condições devem valer nesse problema. (c) Mostre que: Em que cov representa covariância. ( ) βu p d = p b (c 1 ) + cov u (c 0 ), d (d) Explique intuitivamente o resultado da parte (c). 4

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