Teoria Macroeconómica - Aula 7

Transcrição

1 Teoria Macroeconómica - Aula 7 1 Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans 11 Problema do Consumidor (Fundamentos Microeconómicos da Macroeconomia) Tipicamente: contexto estático - 1 período apenas Contexto mais geral: contexto dinâmico - vários períodos Para um consumidor que viva mais do que um período os seus problemas de consumo estão ligados intertemporalmente, pois o que consome hoje determina o que poupa hoje e por conseguinte as suas possibilidades de consumo amanhã Problema típico, num contexto determinístico / sem incerteza, em tempo discreto: X 1 max U 0 = ( {c t } t=0 1+ρ )t u(c t )= t=0 = u(c 0 )+ 1 1+ρ u(c 1 1)+( 1+ρ )2 u(c 2 )+ sujeito a : a t+1 = (1+r)(a t + w t c t ) em que: U 0 utilidade ao longo da vida ρ taxa de preferência temporal c consumo do período (fluxo e control variable ) u(c) utilidade do período dado o consumo c a riqueza (stock ou state variable ) r taxa de juro w rendimento do período 1

2 No óptimo prevalece a impossibilidade de arbitragem / ganho imediato Assim, as condições de primeira ordem (condições necessárias para o óptimo) satisfazem a seguinte sequência de Equações de Euler (que podem ser derivadas de forma heurística e não formal pelo método da perturbação): u 0 (c t ) {z } Cmg = 1+r 1+ρ u0 (c t+1 ) {z } Bmg No equilíbrio não se deseja alterar a decisão Assim, no equilíbrio temos: Custo Marginal = Benefício Marginal caso contrário há que alterar a decisão, pelo que não é equilíbrio A variável a decidir é o consumo, período após período Se consumir menos uma unidade hoje a função objectivo diminui pela utilidade marginal do consumo (recorda-se que a utilidade marginal é a variação na utilidade total quando se varia o consumo em uma unidade) Assim, o Cmg de consumir menos uma unidade hoje é u 0 (c t ) em termos de utilidade (ou utils) Quando consumo menos uma unidade hoje, passo a poupar mais uma unidade hoje, o que me rende (1 + r) unidades de consumo amanhã, pois posso obter juros sobre a minha poupança Por conseguinte, o benefício de consumir menos uma unidade hoje é consumir mais (1 + r) unidades de consumo amanhã, o que vale (1 + r)u 0 (c t+1 ) em termos de utilidade (ou utils) No entanto, este benefíco só ocorre amanhã enquanto o custo ocorre hoje, pelo que para poder comparar o benefício com o custo tenho que descontar o benefício uma vez Propriedades da função utilidade: u 0 > 0 u 00 < 0 (1) Exemplo: CRRA: u(c) = c1 θ 1 1 θ (2) 2

3 em que θ éocoeficiente de aversão ao risco relativo: 1,2 θ = u00 c u 0 Utilizando a forma funcional assumida para a função consumo, podemos concretizar a Equação de Euler (usando (2) em (1)temos que): 3 c θ t = 1+r 1+ρ c θ t+1 ( c t+1 ) θ = 1+r c t 1+ρ θ ln(1 + g c ) = ln( 1+r 1+ρ ) θ ln(1 + g c ) = ln(1+r) ln(1 + ρ) mas como ln(1 + x) x para x pequeno, temos: θg c = r ρ o que nos dá a seguinte expressão para a taxa de crescimento do consumo per capita: g c = 1 (r ρ) (3) θ 1 Note que: u 0 = c θ u 00 = θc θ 1 2 Pela regra de L Hôpital podemos demonstrar que: c 1 θ 1 lim =lnc θ 1 1 θ 3 A taxa de crescimento do consumo está relacionada com c t+1 c t da seguinte forma: g c = c t+1 c t c t g c = c t+1 c t 1 c t+1 c t = 1+g c Note que em equilíbrio a taxa de crescimento do consumo será constante 3

4 Assim, temos que o sinal (positivo, negativo ou zero) da evolução do consumo dependerá da comparação entre r (o modo/taxa como o mercado premeia a poupança) e ρ (omodo/taxacomooconsumidor penaliza o adiar o consumo / o aumentar a poupança): r > ρ = g c > 0 c t+1 >c t r = ρ = g c =0 c t+1 = c t r < ρ = g c < 0 c t+1 <c t Note que para uma dada diferença entre r e ρ, g c será tanto maior em (valor absoluto) quanto menor for θ (o coeficiente de aversão ao risco relativo) Intuitivamente, quanto maior for a aversão ao risco, menos se aprecia fluctuações no consumo / mais se aprecia a estabilidade No limite, a aversão ao risco será infinita θ,eoconsumidor, neste caso, terá g c =0, ou estabilidade máxima, independentemente do valor de (r ρ) ResoluçãoFormaldoProblemadoConsumidor(incompleto): Z max U 0 = e ρt u()dt {} 0 0 sujeito a : da dt = ra +(w c) Para resolvermos este problema de optimização é conveniente trabalharmos a partir da função auxiliar Hamiltoneano: J = e ρt u() {z } função objectivo instântena + {z} λ [ ra +(w c) ] (4) {z } mulitplicador restrição orçamental O multiplicador / shadow value dá-nos o impacto na nossa função objectivo de se aliviar a restrição marginalmente / de se ter mais uma unidade de riqueza É o preço da state variable As condições de primeira ordem são as seguintes: dj dc =0 e ρt u 0 (c) λ =0 e ρt u 0 (c) =λ (5) dλ dt = dj da λ = rλ 4 λ = r (6) λ

5 Podemos aplicar os logaritmos e derivar em ordem ao tempo (5): e ρt u 0 (c) = λ ln e ρt +lnu 0 (c) =lnλ λ ρ + u00 ċ = u 0 λ ρ + u00 ċ = r u 0 ρ + u00 c c u 0 c = λ λ ρ + u00 c g u 0 c = r 1 g c =( )(r ρ) u 00 c u 0 Otermo( u00 c) dependerá da forma funcional assumida para a função u 0 instântena de utilidade No caso de CRRA temos que u00 c = θ com θ u 0 como o parâmetro/constante de aversão relativa ao risco No caso do modelo de Ramsey-Cass-Koopman (ver hipóteses no Cap 2 do Romer), temos crescimento da população e um n o constante de famílias, que enfretam o seguinte problema: Z max U = {} 0 t=0 e ρt u(c(t)) L(t) Z dt max U = H {} 0 t=0 e ρ z } 0 { (ρ n)t u(c(t))dt C(t) é o consumo por membro da família H n o de famílias u(c(t)) = C(t)1 θ 1,θ >0,ρ n (1 θ)g >0 1 θ Condição de transversalidade: K(s) lim e R(s) s H s 0,R(s) =e 0 r(t)dt o que elimina a possibilidade de Ponzi-schemes (esquemas em pirâmide) De notar que esta equação acima está relacionada com a imposição que ovaloractualdosrendimentosaolongodavidamaisariquezainicial não é inferior ao valor actual dos consumos ao longo da vida 5

6 No óptimo, temos: C(t) C(t) = r(t) ρ θ (7) O consumo por unidade efectiva de trabalho é dado por: = C(t)/A(t) = C(t) = C(t) A(t) A(t) = r(t) ρ θ g r(t) ρ θg = θ (8) Assumimos mercados perfeitos e depreciação nula: f 0 (k(t)) = r(t) (9) Assim, podemos escrever a equação que governa o crescimento do consumo por unidade efectiva de trabalho da seguinte forma (substituir (9) em (8)): = f 0 (k(t)) ρ θg θ Note que: f 0 (k(t)) = ρ + θg =0 f 0 (k(t)) > ρ+ θg > 0 f 0 (k(t)) < ρ+ θg < 0 Podemos definir k como o k quesatisfazaseguintecondição: f 0 (k )=ρ + θg 6

7 Por construção, temos que g c =0quando k = k Comof 00 < 0 temos que: k = k = g c =0 k > k = g c < 0 k < k = g c > 0 A Figure 21 do Romer é o diagrama de fase, que sintetiza a dinâmica de c: 7

8 8

9 A dinâmica do k(t) é dada pela seguinte expressão: k(t) =f(k(t)) (n + d + g)k(t) (10) {z } i(t)=s(t) Podemos resolver (10) de modo a quantificar o que para um dado k(t) mantém k(t) constante ( k(t) =0= =f(k(t)) (n + d + g)k(t)) O resultado está na Figure 22 (phase diagram de k(t)) A seguinte figura sumaria a informação das duas figuras anteriores num só diagrama de fase A evolução das variáveis de interessse - e k(t) -éilustradana seguinte figura Há que ter em atenção que num dado momento k é pre-determinado (state variable) mas c não é, pelo que se ajusta de modo a que a economia siga o caminho óptimo 9

10 Note que no equilíbrio o consumo não é máximo: Equilíbrio = f 0 (k(t)) ρ θg θ = 0 f 0 (k Eq )=ρ + θg Golden Rule (c máximo) f 0 (k GR ) = n + g Como temos: ρ n (1 θ)g >0 ρ + θg > n + g = k E <k GR Intuitivamente, atingir o k GR implica um sacrífico que não é compensado, pois os consumidores descontam o futuro 10

11 A solução descentraliza do modelo de Ramsey-Cass-Koopmans é firstbest, no sentido do primeiro teorema de bem-estar: não é possível, a partir do equilíbrio descentralizado, o social-planner promover uma alteração Pareto-eficiente Intuitivamente, não existem falhas de mercado Podemos utilizar este tipo de figuras para analisar o impacto de alterações em parâmetros que descrevem a economia A seguinte figura descreve o impacto de, subitamente e para o todo o sempre, os consumidores descontarem menos lentamente os períodos futuros (mais pacientes): Podemos introduzir o estado na economia da seguinte forma O estado arrecada receitas para fazer despesas que nem contribuem para a utilidade nem para a produção Assumimos que todos os períodos o estadomantémosaldoorçamentalequilibrado,peloqueapoupança por unidade efectiva de trabalho será agora f c G, oqueinfluencia, por sua vez, a acumulação de capital (10): k(t) = [f(k(t)) G(t)] (n + d + g)k(t) {z } rendimento disponível (G=T ) 11

12 De seguida ilustramos o impacto duma subida permanente, não antecipada do nível dos gastos De notar que como os agentes são racionais e forward-looking, há que distinguir entre alterações antecipadas e alterações não antecipadas Por definição de alteração não antecipada, os agentes só reagem quando a alteração efectivamente acontece No entanto, se a alteração for antecipada os agentes podem reagir à mesma quando souberem que ela ocorrerá, mesmo antes da data em que ocorra a alteração efectiva Há que destinguir, ainda, entre alterações transitórias e permamentes Caso o aumento dos gastos seja transitório, temos o seguinte efeito em c e k: 12

13 13