Monitor: Rodrigo Soares de Abreu. 4º Lista de Exercícios

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1 Professor: Tiago Berriel Macroeconomia II Monitor: Rodrigo Soares de Abreu EPGE/FGV 4º Lista de Exercícios Os exercícios marcados com * deverão ser entregues na aula de monitoria posterior à divulgação da lista Exercício *(aplicação Dynare). (a) Vide gabarito da lista 3, na página da wiki do curso. (b) Vide gabarito da lista 3, na página da wiki do curso. (c) As utilizando as condições de primeira ordem e as equações estruturais da economia, teremos o seguinte sistema de equações: Notação: As variáveis em letra maiúscula estão em nível As variáveis em letra minúscula estão em log. Ex: As variáveis com acento circunflexo estão em desvio logarítmico em relação a seus valores de steady-state. Ex: Observação importante:em geral, nesta lista, as log-linearizações seguiram a metodologia adotada pelo Gali. No entanto, para manter consistência com o que foi apresentado em aula, apresentarei também as equações em sua versão de desvio do steady-state. As equações em desvio foram obtidas com base no procedimento formal de log-linearização, no entanto, equações semelhantes poderiam ser obtidas por meio de expansão de Taylor de primeira ordem. Não sei dizer se os resultados serão sempre os mesmos, pois estamos fazendo aproximações por metodologias diferentes. No entanto, as discrepâncias de resultados devem ser pequenas, muitas vezes devido a alguma constante

2 Log-linearizando Para isso, basta tomarmos o log de, teremos: Note que a equação acima já está log-linearizada. Podemos mostrar isso adotando o procedimento padrão para a log-linearização que foi abordado em classe, isto é, poderíamos realizar a expansão de Taylor de primeira ordem em torno do s.s. da seguinte expressão: Essa é a expressão reescrita em termos de exponenciais e logaritmos. No s.s. deve valer que:.... Realizando a expansão de Taylor de primeira ordem de 9 em torno do s.s., derivando em relação ao log de cada variável, temos:

3 Pois no s.s. do log das variáveis, vale a seguinte relação:.. 0 Se nossa intenção fosse obter um equação linear em desvios logarítmicos em relação ao s.s., poderíamos adotar o seguinte procedimento: Fazendo a expansão de Taylor de º ordem em torno do steady-state acima, temos: Voltando à 9, temos:.. Também poderíamos realizar uma expansão de Taylor de primeira ordem dos dois lados de, em torno do s.s., rearranjar os termos e usar que, para obter uma equação linear em termos de desvio do s.s. Log-linearizando 2 Vamos reescrever 2 de maneira apropriada:. Seguindo a notação do Galí, defina: No steady state, vale que:. 2. Realizando a expansão de Taylor de primeira ordem de 2 em torno do s.s., obtemos: Usando o fato de que no s.s., vale:

4 0 Chegamos em: 4 Note que, por 3 a equação em desvio do s.s. seria dada por: 5 Log-linearizando No s.s, temos:... Fazendo a expansão de taylor de primeira ordem em torno do s.s., temos: Note que: Assim, obtemos: Poderíamos obter a equação linear em termos de desvios a partir de 6:.....

5 Reorganizando, Log-linearizando 4.. Como todos os termos são multiplicativos, podemos log-linearizar 4 facilmente, apenas aplicando o logaritmo à expressão original: Assim, teremos que:.. 9 Para obter a equação em desvio, basta dividir cada variável por seu respectivo valor de steady-state. Depois, é só tirar o log.... Tomando o log. da expressão acima, teremos: Log-linearizando No s.s. vale que:. Realizando a expansão de Taylor de primeira ordem de 2, obtemos: Assim, obtemos:

6 Por meio de 22 obtemos a seguinte equação em termos de desvios: Log-linearizando 6 25 No steady-state, vale que: Usando o resultado do s.s. e fazendo a expansão de Taylor de primeira ordem de 25 em torno do s.s., teremos: Usando 26, obtemos a seguinte equação linear em desvios:.. 28 Log-linearizando 8 29 No s.s. vale que: Realizando a expansão de Taylor de primeira ordem, obteremos:

7 .. 3 Por 30, a equação correspondente em desvios será dada por:. 32 Log-linearizando Para obter a equação em desvio logarítmico, basta fazer: Tomando log Dessa forma, teremos o seguinte sistema em desvios logarítimicos em relação ao steady state: (d) Vide gabarito da lista 3, na página da wiki do curso.

8 (e) O arquivo.mod referente ao programa se encontra no arquivo anexada à pagina da wiki do curso. Exercício 2*. Nesse exercício, o governo emite moeda escolhendo. O agente representativo é também dono da firma, e resolve:.. á,,,.. exp., 0, 0... Ao longo desta resolução, usaremos:,,, 0, ã ; ;, i.e, variáveis em letra minúscula estão em termos reais. a Um equilíbrio competitivo é uma alocação,,,, um sistema de preços,, transferências e um conjunto de estados iniciais, tal que: i ii Dados preços e transferências, a alocação,,, resolve P.C. Ocorre market clearing: Titulos: Moeda: : Bens: O Lagrangeano associado ao problema do consumidor será:,....

9 As condições de primeira ordem são: :.. 0 : :... 0 : De e 3 obtemos a seguinte equação de Euller para o consumo:.. 5 Note que é a taxa real de juros bruta do capital. Em equilíbrio não pode ocorrer arbitragem, logo essa taxa deve ser igual a taxa real bruta para pelos títulos emitidos pelo governo. Pela equação de Fischer, temos: Logo, obtemos:.. 5 De em 2: Logo, De e 4:

10 b Vamos supor:. Pelas equações 6 e 7:..... Avaliando 5 no s.s.: Essa equação define implicitamente o. Avaliando a equação 7 no s.s.:. Temos também, Pela equação anterior chegamos em:. 9 Utilizando a forma funcional apresentada no enunciado: Usando as expressões acima em 9, obtemos:... 0 Analisando a equação que define a política monetária:

11 . Substituindo recursivamente, a solução, em termos reais da equação em diferenças acima será dada por:. Note que em um steady state desse modelo a moeda cresce em ritmo constante, i.e.,, 0. Logo, pela equação anterior, para que isso seja possível, é preciso que. Isso quer dizer que a oferta monetária cresce no mesmo ritmo que o índice de preços, de forma que os encaixes monetários reais permanecem constantes. Assim, teremos que: Substituindo em 0 teremos uma solução para c:... 2 A equação 2 pode gerar alguma confusão em termos de interpretação. Isso acontece, pois faltou informar no enunciado que o governo escolhe a oferta de moeda, e não a inflação. Assim, a inflação deve ser pensada como um fenômeno exógeno. Dessa forma, a política monetária dessa questão pode afetar o estoque real de moeda, mas não afeta o P diretamente. Usando a taxa nominal de steadystate, podemos reescrever 2 como:... 2 c Com base no que foi desenvolvido no item anterior, podemos ver, no s.s., o governo usando uma regra de juros implícita, na qual vale: Como, isto é, o governo escolhe uma taxa de crescimento da moeda para seguir a inflação, vemos que o crescimento da moeda afeta apenas variáveis nominais, como a oferta nominal de moeda. Assim, nesse modelo, em equilíbrio, a moeda é tanto neutra como superneutra, visto que pelas equações 5 e 2 o capital e o consumo de steady-state não são afetados pelo estoque ou pelo crescimento da moeda. d Note que o governo pode afetar o s.s. dessa economia por meio da equação:

12 Basta que ele escolha um nível de moeda inicial de forma a implementar um que maximiza a utilidade do agente representativo. Esse é tal que 0. Assim, pela equação anterior, teremos: 0 0 Substituindo na regra de juros implícita da autoridade monetária, apresentada no item anterior, teremos que: 0 Isso é exatamente o que diz a Friedman Rule. Friedman Rule foi uma regra de política monetária proposta por Friedman, segundo a qual a taxa nominal de juros ótima da economia é zero. O argumento por trás dessa regra é que o custo de oportunidade de carregar moeda enfrentado pelos agentes deve ser igual ao custo social de criar moeda. Assumindo que o custo marginal de criar moeda é quase zero, teremos que a taxa nominal de juros deve ser zero também. Exercício 3*. O problema do agente será: Sujeito à: á.,, 0,.,, 0 ã 0 A restrição do governo é dada por:

13 a O lagrangeano associado será:.,.. As condições de primeira ordem são: :.. 0 : : A equação é padrão em nossos problemas, e no diz que o multiplicador de lagrange é a utilidade marginal do consumo em termos de bens. A equação 2 pode ser reescrita como... Ela nos diz que o custo marginal de abrir mão de uma unidade de consumo, deve ser igual ao igual ao beneficio marginal de consumir moeda no presente, somado ao valor presente esperado dp beneficio marginal do consumo no próximo período, descontado para t. A equação 3 nos diz que o valor do custo marginal de adquirir títulos no presente. deve ser igual ao benefício marginal esperado do consumo no próximo período. b Pelas equações e 2:. 4 Por e 3: Pelo enunciado,.. 5. Em 5, teremos:. 6

14 Supondo independência entre e. Pela equação de Fischer, temos: Assim, por 6 obtemos:. 7 De fato, podemos reescrever 6 como: Substituindo 6 em 4: c Vamos assumir agora: 8 Em equilíbrio, vale que:. Por 6 :,... 6 Como o processo possui trajetória exógena com taxa de crescimento constante, vale que: Logo, pela equação 6 devemos ter:.. 9 Onde, e representam taxas brutas. Assim, a partir de 9 temos:

15 .. 9 A regra de juros seguida pela autoridade monetária é:. 0 Substituindo 9 em 0:... Em um steady-state determinístico vale:..... Vamos reescrever em termos de desvios do um steady-state determinístico Denote: e. Aqui estamos realizando um pequeno abuso de notação, uma vez que as variáveis marcadas com ^ podem representar apenas o desvio simples em relação ao steady-state não estocástico. Por fim, chegamos em:.. 2 Vamos resolver a equação em diferenças 2 para frente: Tomando o limite de 2, com e impondo a restrição 0 nos leva à seguinte solução única para a equação acima: Logo, a restrição de único equilíbrio é : 0. d Vamos supor adicionalmente que ~..., 0, 0.

16 Então, por 3:. 4 Assim, Reescrevendo a regra de juros 0 em termos de desvio do s.s. não estocástico, teremos:. 5 Substituindo 4 em 5, implica que 0. Seja a equação para a evolução da oferta nominal de moeda dada por: Assim, No s.s. vale que:. Linearizando a equação acima em torno do s.s., obtemos: Como 7 e Logo, em equilíbrio, os choques positivos em estão associados à redução no ritmo de crescimento da moeda. O contrário pode ser concluído do forma análoga. Parte A oferta de moeda evolui de forma estocástica seguindo: Com.

17 .., 0 Pela equação 6, e considerando que estamos em equilíbrio, i.e., que, temos que:..,.. Por 8, considerando que estamos em equilíbrio e usando:. e.. Em um s.s. não estocástico;,, e. Assim,.... Pela equação de Euller, no s.s., obtemos:. 8 Essa é a taxa real de juros de steadystate. Além disso, temos:. 9 Como.. 20 Note que nesse modelo a política monetária é capaz de afetar a taxa nominal de juros, mas não afeta a taxa real, e, portanto, não pode mudar o consumo. Reorganizando a equação de demanda por moeda no s.s.:

18 Note que a demanda por moeda precisa ser positiva. Isso só ocorre se 0. Assim, podemos concluir que nem todas as políticas monetárias contracionistas são compatíveis com s.s.. Isso ocorre pois se for muito negativo, a condição acima não será atendida. O preço de equilíbrio estacionário do ativo será: 22 Além disso, pela restrição orçamentária do agente, podemos ver que, em equilíbrio de s.s. vale 23. A oferta nominal de moeda evoluirá de acordo com:. 24 Assim, as equações caracterizam o S.S. dessa economia. Parte 2 As equações do modelo são:.... Vamos linearizar as equações acima utilizando aproximação de Taylor de primeira ordem, em termos de desvios percentuais do s.s.. Utilizaremos e a No s.s., vale que:. Realizando a expansão de Taylor de primeira ordem em torno do s.s. teremos:..... Fazendo agora, encontramos a seguinte expressão: b No s.s. de b vale que: 25

19 Fazendo a expansão de Taylor de primeira ordem em torno do s.s., teremos:. Reorganizando os termos, chegamos a:. 26, onde. c No s.s. de c vale que:. Realizando a expansão de Taylor de primeira ordem em torno do s.s., temos que: Reorganizando, temos: Assim, o sistema linearizado em termos de desvio é dado por: Em equilíbrio,, e como... Assim,. Dessa forma, o sistema linearizado pode ser reescrito como. Reescreva 27 como: Tomando a esperança condicional de * dos dois lados:

20 Usando o fato de que:... Assim,.. Substituindo em ** Em 25,.. Usando 27. Simplificando, Onde,.... Chegamos assim em uma equação em diferenças estocástica em, ó. Podemos resolver para frente, impondo uma condição de transversalidade do tipo: lim 0 Dessa forma, chegamos em: Lembrando que:. e. Usando isso em 28,

21 Podemos desenvolver a expressão acima para obter: Usando resultado da convergência de séries geométricas: Note que: Vamos usar 29 para resolver o sistema para as outras variáveis endógenas. Por * temos: Isso implica que: A equação 3 nos diz que, em equilíbrio, a inflação esperada para o próximo período é a combinação linear do produto esperado para o

22 próximo período e o crescimento nominal da oferta de moeda ajustado pelo fator.. Por 26 : Assim, a taxa nominal de juros depende da taxa de crescimento da moeda por meio da inflação esperada. Parte 3 Ao resolver o sistema, vimos que: Temos neutralidade: Nenhuma variável real depende do nível da oferta de moeda. Temos superneutralidade: Apenas variáveis nominais dependem da taxa de crescimento da moeda. Exercício 4*. a O planejador central resolve: Sujeito à á.., 0, 0, O lagrangeano associado é dado por:

23 As cpo s associadas são: :... 0 : : Da equação 2 e, temos: 4 Note que:, por Usando 2 e em 3:.. 5 b A condição de equilíbrio no mercado de bens é:, 6 A condição de equilíbrio no mercado monetário é: 7 Em equilíbrio orçamentário, temos: Em termos reais :, Em equilíbrio: No equilíbrio, a restrição de cash-in-advance requer que: Logo, 8

24 Em equilíbrio, o agente consome o estoque real de moeda. c Vamos usar 6 e 8 para obter uma nova expressão para 6 9 Usando 6 novamente e 9 em 5, Fica então claro que a moeda não é neutra nesse modelo, pois:.... Usando a forma funcional do problema,. Assim, por 0, teremos:..... Fica claro que a moeda não é superneutra. (d) Quando 0, então, vale que.. será dado por: Assim, passa a ser um passeio aleatório. Como ~0,,.., então, Assim realizações de não afetam o crescimento esperado do estoque de moeda. Dessa forma, choques futuros em não afetam o emprego de equilíbrio nem tampouco a produção. Quando temos um choque em que muda o nível nominal de moeda, o nível de preços também muda para manter a relação. Assim, se çã í.

25 e Quando 0, um choque de política monetária tende a ser persistente, pois... Assim, quando temos um choque positivo de no presente, este tende a afetar a formação de expectativas dos agentes nos próximo períodos. Assim temos e pela equação ocorre crescimento do emprego e do produto. Da mesma forma que no item anterior, çã í.