Finance, Entrepreneurship and Growth

Transcrição

1 Finance, Entrepreneurship and Growth de R. King e R. Levine Por: Lucas de Lima 1 Finance, Entrepreneurship and Growth 1.1 Seleção de empreendedores O modelo consiste de um grande grupo de indivíduos que nascem com igual riqueza e N unidades horas de trabalho disponíveis. A hipótese crucial no modelo é considerar que cada potencial inovador pode ou não se capaz de levar a cabo seu projeto, e ninguém é capaz de descobrir suas habilidades a menos que pague um custo. A formalização dessa ideia se dá com cada potencial inovador tendo uma probabilidade α de ser capacitado e a verificação de sua habilidade gera um custo de f unidades de mão-de-obra para quem o avalia. Considerando que as agências avaliadoras estão em competição perfeita, e denotando por q o valor de mercado de um empreendedor de habilidade reconhecida e por w o salário temos que vale a relação αq = wf (1 Um empreendedor que tenha sido descoberto pode levar a cabo seu projeto, desde de que consiga um total de x unidades de trabalho. Nesse caso o projeto tem sucesso com probabilidade π e uma inovação é criada. Para garantir que em equilíbrio haja separação dos empreendedores verdadeiros em equilíbrio é preciso que x > αx + f Ou seja, que é mais caro investir sem avaliar do que o gasto esperado de se avaliar o empreendedor potencial e só investir nos que se mostrarem de fato capacitados. Consideramos que uma inovação bem sucedida no período t torna a firma dona do mercado no período t + t de forma que o valor de um empreendedor é dado por q = (1 τπρv wx (2 em que τ é a alíquota de imposto, ρ := ρ t+ t é o fator de desconto e v := v t+ t é o valor futuro da firma. Considerando ρ constante, podemos concluir que q, w e v tem de crescer a mesma taxa. 1

2 1.2 Equilíbrio na intermediação financeira Juntando (1 e (2 temos que Ou, rearrumando wf α = (1 τπρv wx ( f πρv α = + x w (3 1 τ }{{} a(τ Note que a(τ = a( 1 τ. 1.3 Avaliação do mercado financeiro O valor de uma firma hoje v é dado por v = (1 Πρv + (4 em que Π é a probabilidade da firma perder o mercado e é o valor dos dividendos pagos no tempo t. Por hipótese se existem e empreendedores tentando melhorar o produto de uma indústria, então Π = πe, ou seja suas probabilidades se somam, como se seus esforços fossem coordenados e não independentes. 1.4 Progresso técnico O progresso técnico segue um modelo Schumpeteriano de criação destrutiva baseado em Grossman e Helpman (1991, em que cada inovação em uma certa indústria a faz melhorar sua tecnologia em um nível. Mais formalmente, existem um contínuo de produtos indexados por ω [, 1] e a firma que domina o mercado depois de j inovações tem função de produção y(ω = Λ j n(ω em que n(ω é a quantidade de trabalho empregada pela firma que produz ω. 1.5 Bem final Os bens sujeitos a inovação tecnológica são bens intermediários para a produção de um bem final seguindo a função de produção ( 1 C = exp log(z(ω dω Em que z(ω é a demanda pelo bem ω. Normalizando o preço do bem final para 1 e denotando por p(ω o preço do bem intermediário ω temos que z(ω = C p(ω 2

3 1.6 Preço do bem intermediário Para avaliar o efeito de políticas sobre o mark-up da firma consideramos que o lucro das firmas intermediárias é dado por (ω = mwn(ω em que m é uma medida do mark-up Nesse caso o preço cobrado pelo bem seria dado por p(ωy(ω wn(ω = mwn(ω p(ω = (m + 1w Λ j(ω Alternativamente a firma poderia cobrar o custo marginal de sua rival que perdeu o posto de firma líder, ou seja, Λ vezes seu próprio custo marginal Nesse caso o lucro seria dado por p(ω = w Λ j 1 = ΛCost Marg(ω = p(ωy(ω wn(ω = Λwn(ω wn(ω = (Λ 1wn(ω De qualquer forma, se calcularmos a demanda por trabalho de uma firma ω em equilíbrio, dado uma produção C da indústria de bem final, chegamos a z(ω = y(ω C p(ω = Λj(ω n(ω Λj(ω C (m + 1w = C Λj(ω n(ω n(ω = (m + 1w Ou seja, a quantidade de trabalho demandada não depende de ω, em particular, não depende de quão avançada está a tecnologia do setor ω. 1.7 Agregando Definindo a produtividade da indústria ω no tempo t como A t (ω = Λ j(t,ω em que j(t, ω é o número de inovações que ocorreram na indústria ω até o tempo t e a produtividade agregada no tempo t como ( 1 A t = exp log(a t (ω dω que então, como todas as firmas usam a mesma quantidade de trabalho n t e que vale z t (ω = y t (ω = A t (ωn t temos ( 1 ( 1 C = exp log(a t (ωn t dω = exp log(a t (ω dω n t = A t n t Agora vamos considerar evolução da produtividade dos setores de forma contínua, para tal vamos avaliar o comportamento dessa evolução entre um período t e t + t e depois é só fazer t. 3

4 Para que essa interpretação faça sentido temos que tomar algum cuidado, uma questão relevante é como a probabilidade de haver uma inovação entre t e t + t varia com t. Vamos adotar a hipótese de que essa probabilidade é dada por Π t, note que agora Π não é mais uma probabilidade, podendo inclusive ser maior do que 1. 1 forma Então, pelas hipóteses feitas temos que a produtividade de um setor ω entre o tempo t e t + t evolui da seguinte ΛA t (ω A t+ t (ω = A t (ω com probabilidade Π t com probabilidade 1 Π t Definindo a t = log(a t temos que isso implica pela lei dos grandes números que a t+ t = log(a t+ t = = (1 Π t 1 1 log(a t+ t (ω dω = log(a t (ω dω + Π t 1 log(λa t (ω dω = = a t Π ta t + Π ta t + Π t log(λ = a t + Π t }{{} Ou seja, passando a t para o outro lado, dividindo por t e fazendo t temos que 1 da t = d log(a t = da t A t dt dt dt = lim a t+ t a t = Π t t 1.8 Equilíbrio Geral A seção anterior nos deu um resultado para o caso em que o tempo é contínuo. A versão contínua das equações (3 e (4 é dada por 2 πv t = a(τw t (5 e dv t dt = Πv t t + r t v t (6 em que r t é a taxa de juros instantânea do período t. Mercado de Trabalho Para que o mercado de trabalho se equilibre é necessário que a quantidade total de trabalho disponível N seja gasta em trabalho no setor intermediário (n, no desenvolvimento de projetos (x e na avaliação dos empreendedores (f, segue que ( f N = n + e α + x = n + ea( 1 Mais a frente há uma justificativa heurística para essa escolha. 2 Uma derivação heurística dessas fórmulas está no final deste arquivo. 4

5 Mercado de Ações e Crescimento Seja γ a taxa de crescimento de equilíbrio de longo-prazo. Em equilíbrio temos que a taxa de juros é constante, segue que v vai crescer a mesma taxa que a taxa de crescimento dos dividendos que é igual a γ, ou seja, Segue disso e de (6 que no longo-prazo temos dv t dt = γv t γv = Πv + rv v = r γ + Π (7 Equilíbrio na produção De (5 temos que a(τ = π w v Usando (7 temos a(τ = π w r γ + Π = π w ( r γ 1 Π γ Mas como a taxa de crescimento é determinada pela taxa de crescimento da produtividade A temos que γ = Π, ou seja, Π γ = 1, substituindo temos a(τ = π w r γ ( 1 1 Por fim, como = mnw, temos que essa equação se reduz a mn a(τ = π r γ ( mn 1 1 = π r γ ( 1 Da equação anterior e usando que γ = πe chegamos a a(τ = πmn r ( 1πe isolando r temos que r = πmn a(τ + ( 1πe Agora usamos que a(τ = a( 1 τ e que n = N a(e para chegar em r = πmn(1 τ a( mπe(1 τ + ( 1πe Agora, definindo γ = Nπ a( temos que r = m (1 τ γ mπe(1 τ + ( 1πe 5

6 Mas como γ = πe podemos reescrever a equação como r = m (1 τ γ mγ (1 τ + ( 1γ Ou, botando termos em evidência r = { m } (1 τ γ + {1 1 m } (1 τ γ (8 Essa é exatamente a equação (8 do artigo. Lado das preferências A hipótese aqui é de um consumidor representativo com vida infinita que maximize U = u(c t e νt dt em que u(c = c1 σ 1 1 σ Nada de muito novo, seguindo os passos tradicionais chegamos que no equilíbrio de longo-prazo vale γ = 1 c dc dt = 1 (r ν (9 σ Taxa de crescimento de equilíbrio Agora usando as equações (8 e (9 temos que σγ = { m } (1 τ γ + {1 1 m } (1 τ γ ν Reorganizando temos que {σ m } { m } (1 τ γ = (1 τ γ ν Ou γ = { m (1 τ} γ ν σ m (1 τ 6

7 2 Relações heurísticas entre as fórmulas contínuas e discretas Uma representação típica para o processo de inovações é supor que seguem uma Poisson. Sendo esse o caso, o tempo até a inovação seguinte segue um processo exponencial e então a probabilidade de haver uma inovação entre o tempo t e t + t é dada por 1 exp( Constante t Escolhemos Π para ser o nome dessa constante, mas o relevante é que apareça o termo exponencial de t. Agora, para t pequeno podemos aproximar bem o valor dessa probabilidade usando uma expansão de primeira ordem, o que nos dá 1 (1 Π t = Π t Além disso, essa aproximação também justifica o uso de Π = πe, já que a probabilidade de um inovador específico não ter sucesso entre o tempo t e t + t é dada por exp( π t Então, supondo independência, a probabilidade de pelo menos um dos e inovadores ter sucesso entre t e t + t é dada por 1 (exp( π t e = 1 exp( πe t = 1 exp(π t Agora com relação as equações (5, basta considerar a versão discreta dela com o cuidado de que a probabilidade π tem que ser trocada pela Probabilidade π t e que o quanto é gasto também tem que ser multiplicado por t, dessa forma temos de (3 (π t exp( r t tv t+ t = a(τw t Agora usando aproximações de primeira ordem chegamos a ( (π t(1 r t t v t + dv t dt t = a(τw t Segue daí, já cancelando termos que aparecem multiplicando ( t 2 e ( t 3, já que para t pequeno eles são irrelevante, temos πv t t = a(τw t πv t = a(τw Agora para a equação (6 o procedimento é o mesmo, podemos reescrever (4, já fazendo aproximações de primeira ordem, como ( v t = (1 Π t(1 r t t v t + dv t dt t + t t Fazendo as multiplicações e excluindo termos com ordens maiores ou igual a 2 de t temos que v t = v t v t Π t r t v t t + dv t dt t + t t Segue daí que dv t dt = Πv t + r t v t t Que era exatamente onde queríamos chegar. 7