Opções Reais. Modelagem do Ativo Básico. Processos Estocásticos. Modelando Incerteza. Processos Estocásticos. IAG PUC-Rio

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1 Opções Reais Modelagem do Ativo Básico Prof. Luiz Brandão IAG PUC-Rio Processos Estocásticos Modelando Incerteza Processos Estocásticos A incerteza em um projeto pode ter mais do que apenas dois estados. alor 105 alor 105 Na prática, o número de incertezas pode ser infinito Tempo 95 Tempo alor 150 Podemos obter um modelo mais detalhado da incerteza assumindo que uma variável segue um processo estocástico, ou aleatório Processo Estocástico: Uma variável que evolve no tempo de uma maneira que é pelo menos parcialmente aleatória. 50 Tempo

2 Processos Estocásticos Processos Estocásticos foram inicialmente utilizados na física para descrever o movimento de partículas. Podem ser classificados dentro das seguintes categorias: Processos de Tempo Contínuo: A variável pode mudar o seu valor em qualquer momento de tempo. Processos de Tempo Discreto: A variável somente pode alterar o seu valor a intervalos fixos de tempo. ariável Contínua: A variável pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo. ariável Discreta: A variável pode assumir apenas alguns valores discretos. Processos Estacionários: A média e variância são constantes no tempo. Processos não-estacionários: O valor esperado da variável aleatória pode crescer sem limite e sua variância aumenta com o tempo. Processos Estocásticos A maioria dos problemas reais são modelados utilizandose processos estocásticos de tempo contínuo com variável contínua. Por outro lado, processos de tempo contínuo exigem o uso de cálculo para a resolução das equações diferenciais estocásticas que modelam estes processos. Processos de tempo contínuo podem ser aproximados através de processos discretos, cuja modelagem é mais simples. Estudaremos a seguir os principais modelos de tempo contínuo, e posteriormente, a modelagem discreta correspondente. Processo de Markov O Processo de Markov é um processo estocástico onde somente o valor atual da variável é relevante para predizer a evolução futura do processo. Isso significa que valores históricos ou mesmo o caminho através do qual a variável atingiu o seu valor atual são irrelevantes para a determinação do seu valor futuro. Assume-se que preços de ativos em geral, como ações e comodities seguem um processo de Markov. Dentro dessa premissa, assumimos que o preço atual de uma ação reflete todas as informações históricas bem como as expectativas a respeito do preço futuro desta ação. Dentro desse modelo, seria impossível prever o valor futuro de uma ação baseado em informações históricas de preço. Random Walk Random Walk, ou Caminho Aleatório, é um dos processos estocásticos mais básicos. O nome deriva do caminho seguido por um marinheiro bêbado andando ao longo do cais. Os seus passos trôpegos variam aleatoriamente de direção enquanto que o seu destino final se torna mais incerto com tempo. Random Walk é um processo de Markov em tempo discreto que tem incrementos independentes na forma de: S t+1 = S t + ε t onde S t+1 é o valor da variável no tempo t+1 S t é o valor da variável no tempo t ε t é uma variável aleatória com probabilidade P(ε t =1 ) = P(ε t =-1) = 0.5

3 10 80 Random Walk Processo de Wiener Um processo de Wiener é um processo estocástico que tem uma media de zero e variância de um por ano. O processo de Wiener é um caso particular do processo de Markov, e também é conhecido como Movimento Browniano. Esse processo foi descrito pela primeira vez pelo botânico Robert Brown em 187, e é utilizado na física para descrever o movimento de pequenas partículas sujeitas a um grande numero de pequenos choques aleatórios. Este processo tem esse nome em homenagem ao matemático Norbert Wiener, que em 193 desenvolveu a teoria matemática do movimento Browniano. 9 Processo de Wiener Movimento Aritmético Browniano O processo de Wiener possui três características importantes: É um processo de Markov em temo contínuo Cada incremento do processo é independente dos incrementos anteriores Mudanças no processo são normalmente distribuídas com variância que aumenta linearmente com o tempo. Um processo de Wiener é uma versão em tempo contínuo do Random Walk na forma: S = t 1 S + t dz onde dz = + ε dt e ε N(0,1) [ ] 0 var[ ] E dz = dz = dt O processo de Wiener é um processo estacionário, sem termo de drift. Se adicionarmos um crescimento de longo prazo ao processo de Wiener obtemos um Movimento Aritmético (MAB) Browniano, que tem a seguinte representação matemática: S = t 1 S + t µ dt + + σ dz ds = µ dt + σ dz ds N( µ dt, σ dt) A evolução de um MAB é a combinação de duas parcelas: Um crescimento linear, com taxa µ Um crescimento aleatório com distribuição normal e com desvio padrão σ O foco do MAB é na mudança no valor da variável, ao invés do valor da variável em si. Por ser um Random Walk, o MAB também tem uma distribuição normal.

4 0 Movimento Aritmético Browniano (com e sem drift) MAB 15 MAB - Movimento Aritmético Browniano (10) Limitações do Modelo MAB Movimento Geométrico Browniano O MAB também é conhecido como o modelo aditivo porque a variável cresce de um valor constante em cada período de tempo. No entanto, para a modelagem de ativos o MAB apresenta alguns problemas: Como o termo aleatório é uma variável normalmente distribuída, o valor da variável pode eventualmente se tornar negativo, o que não pode acontecer com preços de ativos. Para uma ação que não paga dividendos, no MAB a taxa de retorno desta ação se reduz como tempo à medida que o valor da ação aumenta. Sabemos, no entanto, que os investidores exigem uma taxa de retorno constante, independente do preço da ação. No MAB o desvio padrão é constante ao longo do tempo, enquanto que para melhor modelar ativos o desvio padrão deveria ser proporcional ao valor do ativo. Esses motivos fazem com que o MAB não seja o processo mais indicado para modelar preços de ações ou ativos em geral. 15 Um processo mais apropriado para modelar ativos é um processo onde o retorno e a volatilidade proporcionais do processo são constantes. Este modelo é conhecido como o Movimento Geométrico Browniano, ou MGB, ou modelo Multiplicativo. A evolução de um MGB é a combinação de duas parcelas: Um crescimento proporcional, com taxa µ Um crescimento aleatório proporcional, com distribuição normal e com desvio padrão σ A sua forma em tempo contínuo é: onde µ = Taxa de retorno esperada σ = olatilidade do valor do ativo d d = µ dt + σ dz or = µ dt + σdz

5 Realizações de um MGB Processo de Reversão à Média MGB - Movimento Geométrico Browniano Como vimos anteriormente, no MGB a variável tende a alcançar valores bastante diferentes do seu valor inicial. Embora isso possa ser realista para modelar o valor da maioria dos ativos, existe um grupo de ativos que não se comporta desta maneira. Acredita se que muitos ativos como petróleo, cobre, produtos agrícolas e outros comodities tem o seu preço correlacionado com o seu custo marginal de produção, embora possam sofrer variações aleatórias no curto prazo. A medida que o preço varia, os produtores irão aumentar a produção para se beneficiar dos preços altos e reduzi-lo para evitar perdas quando os preços forem baixos. Isso irá forçar os preços a reverter ao seu valor de equilíbrio de longo prazo Processo de Reversão à Média Realizações de um Processo de Reversão à Média Existem diversos modelos de reversão à média. Um dos mais simples é o modelo de Ornstein-Uhlenbeck, que tem a seguinte expressão matemática: d = η( ) dt + σ dz η onde = velocidade da reversão = a média de longo prazo para a qual tende a reverter. A velocidade da reversão indica quão rapidamente a variável reverte para o seu valor de equilíbrio de longo prazo Processo de Reversão à Média

6 Modelando o Ativo Básico Simulação MGB Se o ativo básico segue uma MGB, temos d = µ dt + σdz Para simular o caminho seguido por usamos um modelo discreto: t 1 = t µ t t + + σtε t ε N(0,1) Isso pode ser modelado em Excel como: = t 1 + t µ t t + + σt NORMSIN( RAND()) t ε a representação é: t = t + µ t t+ σt RiskNormal(0,1) t ε Modelando o Ativo Básico Modelando o Ativo Básico Podemos também simular Ln () ao invés de diretamente, uma vez que: σ d ln = µ dt + σdz σ lnt+ 1 lnt = µ t+ σε t Para simular o caminho temos: = t+ 1 e t σ r t + σε t Isso pode ser modelado em Excel como: σ = µ t σ NORMSIN ( RAND()) t + t+ 1 t e a representação é:, 1 e RiskNormal σ = µ t σ t t+ t 3 4

7 Avaliando Opções com Simulação Exemplo: Call Européia Opções também podem ser avaliadas utilizando Simulação de Monte Carlo. Isso é feito analisando cada realização do caminho do ativo básico e determinando o valor da opção no seu vencimento. O valor da opção é o valor presente esperado do valor da opção em cada realização. O ativo básico e o valor presente do valor da opção no vencimento são modelados utilizando-se avaliação neutra a risco Ativo básico: Ação que não paga dividendos Ação segue uma MGB S 0 = $ olatilidade σ =0% Tempo para expiração T = 1 ano Preço de Exercício X = $ Taxa livre de risco é r = 7% µ = 11% A solução de Monte Carlo com 10,000 iterações é A solução exata (Black and Scholes) é $ Note que a taxa de retorno (risco) µ do ativo básico não é utilizada para a valoração da opção File: Opção Call MC.xls 5 6 Opções Reais Prof. Luiz Brandão brandao@iag.puc-rio.br IAG PUC-Rio