Derivativos - MFEE Monitoria do dia 30/11/2009 Monitor: Rafael Ferreira

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1 Derivativos - MFEE Monitoria do dia 30//009 Monitor: Rafael Ferreira Questão Suponha que a lei de movimento de uma ação siga o movimento geométrico browniano: ds t = µs t dt + σs t dw t Você irá apreçar um call europeia, que paga: { ST K, se S fs T, T = T > K 0, c.c. Para tanto, siga os seguintes passos: a Derive o processo estocástico para a função fs t, T. Você terá que usar o lema de Itô. b Construa um portfólio livre de risco você terá que eliminar a parte do movimento browniano. c Derive como esse portfólio irá evoluir ao longo do tempo. d Use um argumento de não-arbitragem para dizer o quanto esse portfólio deve render. e Construa a equação diferencial parcial do derivativo. f Na lei de movimento da ação, troque µ por r taxa livre de risco. Agora, você está no mundo neutro ao risco. Calcule S T, i.e., a solução da seguinte equação diferencial estocástica: ds t = rs t dt + σs t dw t g Seja fs T, T como explicitado acima. Calcule o preço da call, i.e., calcule e rt t E [fs T, T ], a esperança num mundo neutro ao risco. Dê a sua resposta em termos de uma normal padrão: Será útil usar: Φd = PrX d = d exp { π x d = ln S t ln K + r + σ /T t σ T t d = d σ T t

2 Seja S o preço da ação, que segue um movimento browniano geométrico ds = µsst + σsdw Resolvendo essa equação para S T, temos que: ln S T = ln S t + µ σ T t + σw T W t De onde segue que: S T = S t exp {µ σ T t + σw T W t 3 Esse resultado nos será útil mais a frente. Seja f o preço do derivativo. Pelo lema de Itô, segue que: df = µsdt + t + f S σ dt + Sσdw 4 Seja Π o valor do portfólio formado pela venda de uma unidade do derivativo, e pela compra de unidades da ação. Logo, segue que: Π = f + S dπ = df + ds 5 Substituindo as equações e 4 na equação 5, temos: dπ = µsdt + t + f S σ dt Sσdw + µsst + σsdw que resulta em: dπ = t dt + f S σ dt Esse portfólio é livre de risco, para um período infinitesimal de tempo. Logo, por não-arbitragem, deve render o mesmo que um título livre de risco, isto é: dπ = t dt f S σ dt = rπdt = rf + rs O que nos leva, então, à equação diferencial parcial de Black-Scholes-Merton: t dt + f S σ dt rf + rs = 0 6 É possível resolver essa equação recorrendo à fórmula de Feynman-Kac, usando a condição terminal, para t = T, fs T, T = max{s T K, 0. No entanto, podemos recorrer a um argumento mais simples. Note que nada na equação 6 depende de parâmetros ligados às preferências em relação ao risco. Logo, a

3 solução da equação também não dependerá, o que significa dizer que podemos resolvê-la como se estivéssemos em um mundo neutro ao risco, o que facilita o nosso trabalho. Portanto, se estamos em um mundo neutro ao risco, a equação 3 se torna: S T = S t exp {r σ T t + σwt Wt 7 Em que substituímos µ por r, já que num mundo neutro ao risco os agentes não exigem um retorno maior para tomarem mais risco; e W agora é expresso na medida neutra ao risco. Sabemos que num mundo neutro ao risco, o preço do nosso derivativo será o valor presente do valor esperado pela probabilidade neutra ao risco dos payoffs do ativo. Logo, se denotamos por fs t, t esse preço na data t e por E o valor esperado pela probabilidade neutra ao risco, em t = T temos: {, se ST > K fs T, T = max{s T K, 0 = S T K {ST >K = 0, c.c. em que {ST >K é a função indicadora, que assume o valor se S T > K, e o valor 0 caso contrário. Logo, temos: fs t, t = e rt t E [S T K {ST >K] = e rt t { E [S T {ST >K] E [K {ST >K] Recorrendo à equação 7, temos: = e rt t { Segue, pois, que: fs t, t = e rt t E {[S t e E [S t e r σ r σ ] T t+σw T W t K ] T t+σw T W t {ST >K {{ A {ST >K E [ K {ST >K {{ B ] fs t, t = e rt t [A B] 8 Dividimos o valor esperado em A e B para facilitar o cálculo. Para calcular esse valor esperado, note que: S T > K S t exp {r σ T t + σwt Wt > K W T W t > ln K ln S t r σ / T t T t σ = d T t Logo, se x N0,, temos W T W t = x T t N0, T t. Portanto, usando esse resultado vamos calcular os valores de A e de B, que nos permitirão 3

4 obter o valor esperado pela a probabilidade neutra ao risco do payoff da opção: A = d S t e r σ = S t e rt t d T t+xσ T t π e x dx π e [x xσ T t+σ T t] dx 9 Da expressão 9, note que x xσ T t+σ T t = x σ T t. Logo, temos que: A = S t e rt t d π e x σ T t dx Realizando uma mudança de variável, considere Y = X σ T t. Logo, o limite de integração inferior se torna d σ T t = d, e chegamos a: A = S t e rt t d π e y dx = St e rt t Φd 0 em que Φ corresponde à função de distribuição acumulada da normal-padrão. Vamos, agora, calcular o valor de B: B = KE [ ] {ST >K = K d e x dx = KΦd π Combinando os resultados 0 e à equação 8, temos o resultado desejado: fs t, t = S t Φd Ke rt t Φd Na monitoria, o erro que cometemos foi usar a simetria da variável normal-padrão antes de realizar a mudança de variável. Esta versão do exercício corrige esse erro. 4

5 Questão.8, Hull 5th ed. A stock price follows a geometric Brownian motion with an expected return of 6% and a volatility of 35%. The current price is $38. a What is the probability that a European call option on the stock with an exercise price of $40 and a maturity date in six months will be exercised? b What is the probability that a European put option on the stock with the same exercise price and maturity will be exercised? Se o preço da ação segue um movimento Browniano geométrico, temos: Da questão anterior, vimos que: ln S N ds = µsdt + σsdw µ σ T, σ T Queremos inicialmente encontrar a probabilidade de que a call europeia seja exercida. Ora, isso ocorrerá apenas se S T > K. Como ln é uma função estritamente crescente, temos: PrS T > K = Prln S T > ln K = Pr Z > ln K [ln S 0 + µ σ /T ] σ T em que Z N0,. Para K = 40, T = 0, 5, µ = 0, 6, S 0 = 38 e σ = 0, 35, temos: PrS T > K = Pr Z > ln 40 ln 38 [0, 6 + 0, 35 /] 0, 5 0, 35 0, 5 = PrZ > 0, 008 = Φ0, 008 = 0, 503 = 0, 4968 Logo, a probabilidade de que a call seja executada é de 49, 68%. A probabilidade de que a put europeia seja exercida é dada por: PrS T < K = PrS T > K = 0, 503 = 50, 3% 5

6 Questão 3., Hull 5th ed. Assume that a non-dividend-paying stock has an expected return of µ and a volatility of σ. An innovative financial institution has just announced that it will trade a security that pays off a dollar amount equal to ln S T at time T, where S T denotes the value of the stock price at time T. a Use risk-neutral valuation to calculate the price of the security at time t in terms of the stock price, S, at time t. b Confirm that your price satisfies the differential equation above: t + rs + σ S f = rf Como vimos na questão anterior, na data t o valor esperado de ln S T é dado por: E[ln S T ] = ln S + µ σ T t No mundo neutro ao risco, temos então: E[ln S T ] = ln S + r σ T t Usando o método de apreçamento neutro ao risco, o valor do ativo será dado por: ] f = e [ln rt t S + r σ T t Vamos, então, checar se esta fórmula satisfaz a equação de Black-Scholes. Note que: = e rt t S f e rt t = S r = t re rt [ ln S + r σ T t ] e r rt t σ Substituindo as equações acima nos termos correspondentes do lado esquerdo da equação, temos: ] e [r rt t ln S + r r σ T t r σ + r σ ] = r e [ln rt t S + r σ T t {{ f = rf Portanto, a equação de Black-Scholes é satisfeita. 6