Optimização Financeira (Estimação da Função de Densidade de Probabilidade de Risco Neutro para Preços de Opções)
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1 Optimização Financeira (Estimação da Função de Densidade de Probabilidade de Risco Neutro para Preços de Opções) Ana Margarida Monteiro (Univ. Coimbra) Reha H. Tütüncü (Carnegie Mellon Univ.) Luís Nunes Vicente (Univ. Coimbra) Estúdio de Optimização Março de 2006 Optimização Financeira (Estimação da Função de Densidade de Probabilidade de Risco Neutro para Preços de Opções) p.1
2 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Estúdio de Optimização, Março p.2
3 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Estúdio de Optimização, Março p.2
4 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Estúdio de Optimização, Março p.2
5 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Medida de probabilidade de risco neutro Estúdio de Optimização, Março p.2
6 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Medida de probabilidade de risco neutro Splines cúbicas Estúdio de Optimização, Março p.2
7 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Medida de probabilidade de risco neutro Splines cúbicas Formulação básica usando splines Estúdio de Optimização, Março p.2
8 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Medida de probabilidade de risco neutro Splines cúbicas Formulação básica usando splines Formulação QP Estúdio de Optimização, Março p.2
9 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Medida de probabilidade de risco neutro Splines cúbicas Formulação básica usando splines Formulação QP Formulação SDP Estúdio de Optimização, Março p.2
10 Tópicos Alguns conceitos sobre opções Considerações sobre o modelo de Black-Scholes Características do mercado no problema considerado Medida de probabilidade de risco neutro Splines cúbicas Formulação básica usando splines Formulação QP Formulação SDP Resultados numéricos Estúdio de Optimização, Março p.2
11 Opções Uma opção é um contrato que confere ao comprador, mediante o pagamento de um prémio, o direito, mas não a obrigação, de comprar (opção de compra ou call) ou vender (opção de venda ou put), um activo financeiro, por um preço pré-determinado (preço de exercício ou strike) Estúdio de Optimização, Março p.3
12 Opções Uma opção é um contrato que confere ao comprador, mediante o pagamento de um prémio, o direito, mas não a obrigação, de comprar (opção de compra ou call) ou vender (opção de venda ou put), um activo financeiro, por um preço pré-determinado (preço de exercício ou strike) Se a opção for exercida numa determinada data futura designa-se por opção europeia Estúdio de Optimização, Março p.3
13 Opções Uma opção é um contrato que confere ao comprador, mediante o pagamento de um prémio, o direito, mas não a obrigação, de comprar (opção de compra ou call) ou vender (opção de venda ou put), um activo financeiro, por um preço pré-determinado (preço de exercício ou strike) Se a opção for exercida numa determinada data futura designa-se por opção europeia Se a opção puder ser exercida ao longo de um período designa-se por opção americana Estúdio de Optimização, Março p.3
14 Opções Ganho de uma call com preço de exercício K (w K) K w ω Ω, Ω é o espaço dos estados para o preço do activo no final do contrato Estúdio de Optimização, Março p.4
15 Opções Ganho de uma put com preço de exercício K (K w) K w ω Ω, Ω é o espaço dos estados para o preço do activo no final do contrato Estúdio de Optimização, Março p.5
16 Opções Opção de compra (call) comprador: 1. paga o prémio 2. tem direito a receber a mercadoria ao preço de exercício Estúdio de Optimização, Março p.6
17 Opções Opção de compra (call) comprador: 1. paga o prémio 2. tem direito a receber a mercadoria ao preço de exercício vendedor: 1. recebe o prémio 2. tem que entregar a mercadoria ao preço de exercício Estúdio de Optimização, Março p.6
18 Opções Opção de compra (call) comprador: 1. paga o prémio 2. tem direito a receber a mercadoria ao preço de exercício vendedor: 1. recebe o prémio 2. tem que entregar a mercadoria ao preço de exercício Opção de venda (put) Estúdio de Optimização, Março p.6
19 Opções Para que servem as opções? Estúdio de Optimização, Março p.7
20 Opções Para que servem as opções? especulação redução do risco Estúdio de Optimização, Março p.7
21 Opções Para que servem as opções? especulação redução do risco Risco sistemático está associado a factores que afectam todo o mercado, por exemplo a possibilidade de variação da taxa de juro Estúdio de Optimização, Março p.7
22 Opções Para que servem as opções? especulação redução do risco Risco sistemático está associado a factores que afectam todo o mercado, por exemplo a possibilidade de variação da taxa de juro Risco específico é a componente do risco associada a determinado activo ou sector de mercado Estúdio de Optimização, Março p.7
23 Opções Para que servem as opções? especulação redução do risco Risco sistemático está associado a factores que afectam todo o mercado, por exemplo a possibilidade de variação da taxa de juro Risco específico é a componente do risco associada a determinado activo ou sector de mercado Eliminação do risco sistemático faz-se mantendo um portefólio com posições semelhantes em dois activos negativamente correlacionados, (hedging), por exemplo acções e opções Estúdio de Optimização, Março p.7
24 Opções Para que servem as opções? especulação redução do risco Risco sistemático está associado a factores que afectam todo o mercado, por exemplo a possibilidade de variação da taxa de juro Risco específico é a componente do risco associada a determinado activo ou sector de mercado Eliminação do risco sistemático faz-se mantendo um portefólio com posições semelhantes em dois activos negativamente correlacionados, (hedging), por exemplo acções e opções Eliminação do risco específico faz-se mantendo um portefólio com um número grande de activos de diferentes sectores Estúdio de Optimização, Março p.7
25 Arbitragem Assume-se que: Estúdio de Optimização, Março p.8
26 Arbitragem Assume-se que: Não há possibilidade de obter instantaneamente um lucro sem risco Estúdio de Optimização, Março p.8
27 Arbitragem Assume-se que: Não há possibilidade de obter instantaneamente um lucro sem risco A rentabilidade de um qualquer portefólio é igual à de um activo sem risco Estúdio de Optimização, Março p.8
28 Arbitragem Assume-se que: Não há possibilidade de obter instantaneamente um lucro sem risco A rentabilidade de um qualquer portefólio é igual à de um activo sem risco Para obter lucros superiores ao da taxa de juro isenta de risco é necessário correr riscos Estúdio de Optimização, Março p.8
29 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: Estúdio de Optimização, Março p.9
30 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: a taxa de juro isenta de risco r e a volatilidade σ do activo são conhecidas para o tempo de vida da opção Estúdio de Optimização, Março p.9
31 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: a taxa de juro isenta de risco r e a volatilidade σ do activo são conhecidas para o tempo de vida da opção não há custos de transacção Estúdio de Optimização, Março p.9
32 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: a taxa de juro isenta de risco r e a volatilidade σ do activo são conhecidas para o tempo de vida da opção não há custos de transacção não há oportunidades de arbitragem Estúdio de Optimização, Março p.9
33 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: a taxa de juro isenta de risco r e a volatilidade σ do activo são conhecidas para o tempo de vida da opção não há custos de transacção não há oportunidades de arbitragem o activo não paga dividendos durante a vida da opção Estúdio de Optimização, Março p.9
34 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: a taxa de juro isenta de risco r e a volatilidade σ do activo são conhecidas para o tempo de vida da opção não há custos de transacção não há oportunidades de arbitragem o activo não paga dividendos durante a vida da opção a transacção do activo pode ser feita continuamente Estúdio de Optimização, Março p.9
35 Modelo de Black-Scholes Black e Scholes deduziram uma fórmula para o preço de opções europeias (prémio) que se baseia nos seguintes pressupostos: a taxa de juro isenta de risco r e a volatilidade σ do activo são conhecidas para o tempo de vida da opção não há custos de transacção não há oportunidades de arbitragem o activo não paga dividendos durante a vida da opção a transacção do activo pode ser feita continuamente é permitido o short selling (venda de activos que não se possuem) e considera-se que os activos são divisíveis Estúdio de Optimização, Março p.9
36 Modelo de Black-Scholes Designamos por C(ω, t) o valor da call (prémio) Estúdio de Optimização, Março p.10
37 Modelo de Black-Scholes Designamos por C(ω, t) o valor da call (prémio) O valor da call depende, para além do activo e do tempo, de: σ volatilidade do activo K preço de exercício T prazo de vencimento r taxa de juro Estúdio de Optimização, Março p.10
38 Modelo de Black-Scholes Supondo que ω segue um modelo envolvendo um movimento Browniano Estúdio de Optimização, Março p.11
39 Modelo de Black-Scholes Supondo que ω segue um modelo envolvendo um movimento Browniano Sob as hipóteses anteriores Estúdio de Optimização, Março p.11
40 Modelo de Black-Scholes Supondo que ω segue um modelo envolvendo um movimento Browniano Sob as hipóteses anteriores Efectuando determinadas simplificações (eliminando a componente estocástica) Estúdio de Optimização, Março p.11
41 Modelo de Black-Scholes Supondo que ω segue um modelo envolvendo um movimento Browniano Sob as hipóteses anteriores Efectuando determinadas simplificações (eliminando a componente estocástica) Chega-se à equação com derivadas parciais de Black-Scholes: C t σ2 ω 2 2 C ω 2 + rω C ω rc = 0 equação linear de segunda ordem, parabólica (assumindo ω > 0), Estúdio de Optimização, Março p.11
42 Modelo de Black-Scholes Supondo que ω segue um modelo envolvendo um movimento Browniano Sob as hipóteses anteriores Efectuando determinadas simplificações (eliminando a componente estocástica) Chega-se à equação com derivadas parciais de Black-Scholes: C t σ2 ω 2 2 C ω 2 + rω C ω rc = 0 equação linear de segunda ordem, parabólica (assumindo ω > 0), Impomos uma condição final e condições de fronteira para que a solução seja única: t) C(ω, T) = max(ω K, 0), lim C(ω, t) = 0 e lim (ω C(ω, t)) = Ke r(t ω 0 + ω + Estúdio de Optimização, Março p.11
43 Modelo de Black-Scholes Mostra-se que, C(ω, t) = e r(t t) Ω p(ω)(ω K) + dω Estúdio de Optimização, Março p.12
44 Modelo de Black-Scholes Mostra-se que, em que C(ω, t) = e r(t t) Ω p(ω)(ω K) + dω p(ω) = [ln 1 ω (r ωσ ω σ2 )(T t)]2 t 2 2π(T t) e 2σ 2 (T t) é a função de densidade de probabilidade lognormal Estúdio de Optimização, Março p.12
45 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): Estúdio de Optimização, Março p.13
46 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): valor actual do activo é 50 Estúdio de Optimização, Março p.13
47 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): valor actual do activo é 50 taxa de juro isenta de risco é 0.1 Estúdio de Optimização, Março p.13
48 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): valor actual do activo é 50 taxa de juro isenta de risco é 0.1 prazo de vencimento das opções é 0.5 Estúdio de Optimização, Março p.13
49 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): valor actual do activo é 50 taxa de juro isenta de risco é 0.1 prazo de vencimento das opções é 0.5 volatilidade é 0.2 Estúdio de Optimização, Março p.13
50 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): valor actual do activo é 50 taxa de juro isenta de risco é 0.1 prazo de vencimento das opções é 0.5 volatilidade é 0.2 não se consideram dividendos Estúdio de Optimização, Março p.13
51 Modelo de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções de acordo com o modelo de Black-Scholes (usámos a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB): valor actual do activo é 50 taxa de juro isenta de risco é 0.1 prazo de vencimento das opções é 0.5 volatilidade é 0.2 não se consideram dividendos 20 calls Estúdio de Optimização, Março p.13
52 Modelo de Black-Scholes Vamos usar os preços das opções para estimar uma função de densidade para o activo 0.06 rn pdf estimated by QP rn pdf of the lognormal distribution with Hessian modification Estúdio de Optimização, Março p.14
53 Modelo de Black-Scholes Vamos usar os preços das opções para estimar uma função de densidade para o activo 0.06 rn pdf estimated by QP rn pdf of the lognormal distribution with Hessian modification obtivemos, como seria de esperar, uma função de densidade lognormal Estúdio de Optimização, Março p.14
54 Pressupostos n opções europeias relativas ao mesmo activo, com preços s i 0, i = 1,...,n no início de um determinado período Estúdio de Optimização, Março p.15
55 Pressupostos n opções europeias relativas ao mesmo activo, com preços s i 0, i = 1,...,n no início de um determinado período no fim do período a opção i terá um valor s i 1(ω) Estúdio de Optimização, Março p.15
56 Pressupostos n opções europeias relativas ao mesmo activo, com preços s i 0, i = 1,...,n no início de um determinado período no fim do período a opção i terá um valor s i 1(ω) s i 1(ω) = (ω K i ) + para calls e s i 1(ω) = (K i ω) + para puts Estúdio de Optimização, Março p.15
57 Pressupostos n opções europeias relativas ao mesmo activo, com preços s i 0, i = 1,...,n no início de um determinado período no fim do período a opção i terá um valor s i 1(ω) s i 1(ω) = (ω K i ) + para calls e s i 1(ω) = (K i ω) + para puts r é taxa de juro isenta de risco para o período Estúdio de Optimização, Março p.15
58 Tabela CBOE Mar :15 ET (Data 15 Minutes Delayed).SPX (CBOE) Calls Last Sale Net Bid Ask Vol Open Int. 06 Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Estúdio de Optimização, Março p.16
59 Medida de probabilidade de risco neutro Seja Ω o espaço dos estados e o espaço probabilizado (Ω, F, P) Caso discreto: uma medida de probabilidade de risco neutro no espaço dos estados Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m } é caracterizada pelo vector de números positivos p 1, p 2,...,p m tal que: Estúdio de Optimização, Março p.17
60 Medida de probabilidade de risco neutro Seja Ω o espaço dos estados e o espaço probabilizado (Ω, F, P) Caso discreto: uma medida de probabilidade de risco neutro no espaço dos estados Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m } é caracterizada pelo vector de números positivos p 1, p 2,...,p m tal que: 1. m j=1 p j = 1 Estúdio de Optimização, Março p.17
61 Medida de probabilidade de risco neutro Seja Ω o espaço dos estados e o espaço probabilizado (Ω, F, P) Caso discreto: uma medida de probabilidade de risco neutro no espaço dos estados Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m } é caracterizada pelo vector de números positivos p 1, p 2,...,p m tal que: 1. m j=1 p j = 1 2. s i 0 = e r(t t) m j=1 p js i 1(ω j ), i = 1,...,n Estúdio de Optimização, Março p.17
62 Medida de probabilidade de risco neutro Caso contínuo: uma medida de probabilidade de risco neutro no espaço dos estados Ω = [a, b] é caracterizada pela sua função de densidade de probabilidade p : IR IR + tal que: Estúdio de Optimização, Março p.18
63 Medida de probabilidade de risco neutro Caso contínuo: uma medida de probabilidade de risco neutro no espaço dos estados Ω = [a, b] é caracterizada pela sua função de densidade de probabilidade p : IR IR + tal que: 1. b a p(ω)dω = 1 Estúdio de Optimização, Março p.18
64 Medida de probabilidade de risco neutro Caso contínuo: uma medida de probabilidade de risco neutro no espaço dos estados Ω = [a, b] é caracterizada pela sua função de densidade de probabilidade p : IR IR + tal que: 1. b a p(ω)dω = 1 2. s i 0 = e r(t t) b a p(ω)si 1(ω)dω, i = 1,...,n Estúdio de Optimização, Março p.18
65 Métodos de obtenção das prob. de risco neutro Métodos paramétricos: escolhem uma família de distribuições e procuram identificar os parâmetros dessas distribuições de acordo com os preços observados. Por exemplo, misturando 2 funções de densidade de probabilidade lognormais e usando os preços observados para estimar os parâmetros Estúdio de Optimização, Março p.19
66 Métodos de obtenção das prob. de risco neutro Métodos paramétricos: escolhem uma família de distribuições e procuram identificar os parâmetros dessas distribuições de acordo com os preços observados. Por exemplo, misturando 2 funções de densidade de probabilidade lognormais e usando os preços observados para estimar os parâmetros Métodos não paramétricos: procuram obter as funções de densidade usando funções mais gerais como, por exemplo, a aproximação por funções spline Estúdio de Optimização, Março p.19
67 Teorema fundamental teoria de preços Teorema: Uma medida de probabilidade de risco neutro existe se e só se não existirem oportunidades de arbitragem Estúdio de Optimização, Março p.20
68 Objectivo Encontrar uma f.d.p. de risco neutro para o activo: Estúdio de Optimização, Março p.21
69 Objectivo Encontrar uma f.d.p. de risco neutro para o activo: definindo a função de densidade à custa das splines cúbicas Estúdio de Optimização, Março p.21
70 Objectivo Encontrar uma f.d.p. de risco neutro para o activo: definindo a função de densidade à custa das splines cúbicas resolvendo numericamente um problema convexo de programação quadrática um problema convexo de programação semidefinida Estúdio de Optimização, Março p.21
71 Splines Uma função S(x) definida em [a, b] diz-se função spline de grau k > 0, tendo como nós a sequência estritamente crescente a = t 1, t 2,...,t n+1 = b, se: em cada intervalo [t i 1, t i ] S(x) é um polinómio de grau menor ou igual a k S(x) e as suas k 1 derivadas são contínuas em [a, b] Estúdio de Optimização, Março p.22
72 Splines Uma função S(x) definida em [a, b] diz-se função spline de grau k > 0, tendo como nós a sequência estritamente crescente a = t 1, t 2,...,t n+1 = b, se: em cada intervalo [t i 1, t i ] S(x) é um polinómio de grau menor ou igual a k S(x) e as suas k 1 derivadas são contínuas em [a, b] Seja f uma função definida de [a, b] em IR, em relação à qual consideraremos um dado conjunto de nós a = x 1 < x 2 <... < x n < x n+1 = b Estúdio de Optimização, Março p.22
73 Splines Uma função S(x) definida em [a, b] diz-se função spline de grau k > 0, tendo como nós a sequência estritamente crescente a = t 1, t 2,...,t n+1 = b, se: em cada intervalo [t i 1, t i ] S(x) é um polinómio de grau menor ou igual a k S(x) e as suas k 1 derivadas são contínuas em [a, b] Seja f uma função definida de [a, b] em IR, em relação à qual consideraremos um dado conjunto de nós a = x 1 < x 2 <... < x n < x n+1 = b Pretendemos aproximar a função f usando a função spline S(x). Para cada nó x j temos: S(x j ) = f(x j ), j = 1,...,n + 1 Estúdio de Optimização, Março p.22
74 Splines cúbicas A spline cúbica tem derivadas de segunda ordem em cada nó interior: f j 1 (x j ) = f j (x j ), f j 1 (x j) = f j (x j), f j 1 (x j) = f j (x j), j = 2,...,n j = 2,...,n j = 2,...,n Estúdio de Optimização, Março p.23
75 Splines cúbicas A spline cúbica tem derivadas de segunda ordem em cada nó interior: f j 1 (x j ) = f j (x j ), f j 1 (x j) = f j (x j), f j 1 (x j) = f j (x j), j = 2,...,n j = 2,...,n j = 2,...,n Se considerarmos splines naturais temos: f 1 (a) = 0 and f n(b) = 0 Estúdio de Optimização, Março p.23
76 Formulação básica usando splines Consideremos um conjunto C constituído por opções call: C K é o preço de mercado (prémio) (K C) Estúdio de Optimização, Março p.24
77 Formulação básica usando splines Consideremos um conjunto C constituído por opções call: C K é o preço de mercado (prémio) (K C) K é o preço de exercício, (K C) Estúdio de Optimização, Março p.24
78 Formulação básica usando splines Consideremos um conjunto C constituído por opções call: C K é o preço de mercado (prémio) (K C) K é o preço de exercício, (K C) Consideremos um conjunto P de opções put: P K é o preço de mercado (prémio) (K P) Estúdio de Optimização, Março p.24
79 Formulação básica usando splines Consideremos um conjunto C constituído por opções call: C K é o preço de mercado (prémio) (K C) K é o preço de exercício, (K C) Consideremos um conjunto P de opções put: P K é o preço de mercado (prémio) (K P) K é o preço de exercício, (K P) Estúdio de Optimização, Março p.24
80 Formulação básica usando splines Para estimar a f.d.p. de risco neutro precisamos de: definir um prazo de vencimento para as opções Estúdio de Optimização, Março p.25
81 Formulação básica usando splines Para estimar a f.d.p. de risco neutro precisamos de: definir um prazo de vencimento para as opções escolher um intervalo [a, b] para os valores possíveis do activo no fim do período Estúdio de Optimização, Março p.25
82 Formulação básica usando splines Para estimar a f.d.p. de risco neutro precisamos de: definir um prazo de vencimento para as opções escolher um intervalo [a, b] para os valores possíveis do activo no fim do período escolher uma taxa de juro Estúdio de Optimização, Março p.25
83 Formulação básica usando splines Para estimar a f.d.p. de risco neutro precisamos de: definir um prazo de vencimento para as opções escolher um intervalo [a, b] para os valores possíveis do activo no fim do período escolher uma taxa de juro escolher o número de nós (n + 1) Estúdio de Optimização, Março p.25
84 Formulação básica usando splines Para estimar a f.d.p. de risco neutro precisamos de: definir um prazo de vencimento para as opções escolher um intervalo [a, b] para os valores possíveis do activo no fim do período escolher uma taxa de juro escolher o número de nós (n + 1) escolher a localização dos nós Estúdio de Optimização, Março p.25
85 Formulação básica usando splines As variáveis do problema de estimação são os parâmetros dos polinómios: n + 1 nós n intervalos 4n variáveis Estúdio de Optimização, Março p.26
86 Formulação básica usando splines As variáveis do problema de estimação são os parâmetros dos polinómios: n + 1 nós n intervalos 4n variáveis y IR 4n representa as variáveis Estúdio de Optimização, Março p.26
87 Formulação básica usando splines As variáveis do problema de estimação são os parâmetros dos polinómios: n + 1 nós n intervalos 4n variáveis y IR 4n representa as variáveis p y designa a função spline cúbica que aproxima a f.d.p. de risco neutro em [a, b] Estúdio de Optimização, Março p.26
88 Formulação básica usando splines Precisamos de garantir que p y é uma função de densidade de probabilidade: Estúdio de Optimização, Março p.27
89 Formulação básica usando splines Precisamos de garantir que p y é uma função de densidade de probabilidade: b a p y(ω)dω = 1 n xj+1 j=1 x j f j (ω)dω = 1 Estúdio de Optimização, Março p.27
90 Formulação básica usando splines Precisamos de garantir que p y é uma função de densidade de probabilidade: b a p y(ω)dω = 1 n xj+1 j=1 x j f j (ω)dω = 1 p y (ω) 0, ω [a, b] ր ց Formulação QP (desigualdades lineares) Formulação SDP Estúdio de Optimização, Março p.27
91 Formulação básica usando splines Valor esperado, descontado à taxa de juro, usando p y como a f.d.p. de risco neutro: Estúdio de Optimização, Março p.28
92 Formulação básica usando splines Valor esperado, descontado à taxa de juro, usando p y como a f.d.p. de risco neutro: C K (y) = e r(t t) b a p y(ω)(ω K) + dω Estúdio de Optimização, Março p.28
93 Formulação básica usando splines Valor esperado, descontado à taxa de juro, usando p y como a f.d.p. de risco neutro: C K (y) = e r(t t) b a p y(ω)(ω K) + dω P K (y) = e r(t t) b a p y(ω)(k ω) + dω Estúdio de Optimização, Março p.28
94 Formulação básica usando splines Valor esperado, descontado à taxa de juro, usando p y como a f.d.p. de risco neutro: C K (y) = e r(t t) b a p y(ω)(ω K) + dω P K (y) = e r(t t) b a p y(ω)(k ω) + dω (C K C K (y)) 2 mede a diferença entre o valor observado e o valor aproximado Estúdio de Optimização, Março p.28
95 Formulação básica usando splines A estimação envolve a minimização da função de mínimos quadrados: E(y) = K C (C K C K (y)) 2 + K P (P K P K (y)) 2 Estúdio de Optimização, Março p.29
96 Formulação básica usando splines O problema de estimação é um problema convexo de programação quadrática : min E(y) = K C (C K C K (y)) 2 + K P(P K P K (y)) 2 tal que Estúdio de Optimização, Março p.30
97 Formulação básica usando splines O problema de estimação é um problema convexo de programação quadrática : min E(y) = K C (C K C K (y)) 2 + K P(P K P K (y)) 2 tal que f j 1 (x j ) = f j (x j ), f j 1 (x j) = f j (x j) f j 1 (x j) = f j (x j) j = 2,...,n j = 2,...,n, j = 2,...,n, f 1 (a) = 0, f n(b) = 0 Estúdio de Optimização, Março p.30
98 Formulação básica usando splines O problema de estimação é um problema convexo de programação quadrática : min E(y) = K C (C K C K (y)) 2 + K P(P K P K (y)) 2 tal que f j 1 (x j ) = f j (x j ), f j 1 (x j) = f j (x j) f j 1 (x j) = f j (x j) j = 2,...,n j = 2,...,n, j = 2,...,n, f 1 (a) = 0, f n(b) = 0 n j=1 xj+1 x j f j (ω)dω = 1 f j (x j ) 0, j = 1,...,n f n (x n+1 ) 0 Estúdio de Optimização, Março p.30
99 Formulação básica usando splines Consideremos uma opção call C K tal que x l K x l+1, 1 l n Estúdio de Optimização, Março p.31
100 Formulação básica usando splines Consideremos uma opção call C K tal que x l K x l+1, 1 l n e r(t t) C K (y) = b a p y(ω)(ω K) + dω = n xj+1 j=l x j p y (ω)(ω K) + dω = x l+1 K p y (ω)(ω K)dω + n xj+1 j=l+1 x j p y (ω)(ω K)dω = x l+1 K (α lω 3 + β l ω 2 + γ l ω + δ l )(ω K)dω+ n xj+1 j=l+1 x j (α j ω 3 + β j ω 2 + γ j ω + δ j )(ω K)dω Estúdio de Optimização, Março p.31
101 Formulação básica usando splines A expressão C K (y) é linear relativamente às componentes (α j, β j, γ j, δ j ) (C K C K (y)) 2 é quadrática Estúdio de Optimização, Março p.32
102 Formulação básica usando splines A expressão C K (y) é linear relativamente às componentes (α j, β j, γ j, δ j ) (C K C K (y)) 2 é quadrática De modo semelhante se deduz uma fórmula para P K (y) Estúdio de Optimização, Março p.32
103 Formulação básica usando splines A expressão C K (y) é linear relativamente às componentes (α j, β j, γ j, δ j ) (C K C K (y)) 2 é quadrática De modo semelhante se deduz uma fórmula para P K (y) Sendo assim, a função objectivo E(y) é convexa e quadrática Estúdio de Optimização, Março p.32
104 Formulação básica usando splines A expressão C K (y) é linear relativamente às componentes (α j, β j, γ j, δ j ) (C K C K (y)) 2 é quadrática De modo semelhante se deduz uma fórmula para P K (y) Sendo assim, a função objectivo E(y) é convexa e quadrática Todas as restrições são lineares Estúdio de Optimização, Março p.32
105 Formulação QP p y (ω) 0, ω [a, b] f j (x j ) 0, j = 1, 2,...,n, f n (x n+1 ) 0 Estúdio de Optimização, Março p.33
106 Formulação QP p y (ω) 0, ω [a, b] f j (x j ) 0, j = 1, 2,...,n, f n (x n+1 ) 0 Ao juntarmos estas restrições à formulação QP básica mantemos a estrutura do problema (QP convexo) Estúdio de Optimização, Março p.33
107 Formulação QP p y (ω) 0, ω [a, b] f j (x j ) 0, j = 1, 2,...,n, f n (x n+1 ) 0 Ao juntarmos estas restrições à formulação QP básica mantemos a estrutura do problema (QP convexo) A desvantagem é a falta de garantia de não negatividade entre os nós Estúdio de Optimização, Março p.33
108 Formulação SDP Precisamos garantir que p y (ω) 0, ω [a, b] Estúdio de Optimização, Março p.34
109 Formulação SDP Precisamos garantir que p y (ω) 0, ω [a, b] O polinómio f s (x) = α s x 3 + β s x 2 + γ s x + δ s verifica f s (x) 0, x [x s, x s+1 ] se e só se existe uma matriz 4x4 X s = [x s ij ] i,j=0,...,3 tal que x s ij = 0, se i + j = 1 ou 5 x s 03 + x s 12 + x s 21 + x s 30 = 0 x s 00 = α s x 3 s + β s x 2 s + γ s x s + δ s x s 02 + x s 11 + x s 20 = 3α s x 2 s + x s+1 + β s (2x s x s+1 + x 2 s) +γ s (x s+1 + 2x s ) + 3δ s x s 13 + x s 22 + x s 31 = 3α s x s x 2 s+1 + β s (2x s x s+1 + x 2 s+1)+ +γ s (x s + 2x s+1 ) + 3δ s x s 33 = α s x 3 s+1 + β s x 2 s+1 + γ s x s+1 + δ s X s 0 Bertsimas e Popescu (2002) Estúdio de Optimização, Março p.34
110 Formulação SDP Todas as restrições são lineares relativamente às variáveis de optimização (α j, β j, γ j, δ j ) excepto as restrições semidefinidas positivas Estúdio de Optimização, Março p.35
111 Formulação SDP Todas as restrições são lineares relativamente às variáveis de optimização (α j, β j, γ j, δ j ) excepto as restrições semidefinidas positivas O problema resultante é um problema convexo de programação semidefinida, com uma função objectivo quadrática Estúdio de Optimização, Março p.35
112 Formulação SDP Todas as restrições são lineares relativamente às variáveis de optimização (α j, β j, γ j, δ j ) excepto as restrições semidefinidas positivas O problema resultante é um problema convexo de programação semidefinida, com uma função objectivo quadrática Passamos a ter o seguinte problema min c T y yt Qy y, X 1,...,X ns s.a fi Ty = b i, i = 1,...,3n s, Hk s Xs = 0, k = 1, 2, s = 1,...,n s, (gk s)t y + Hk s Xs, k = 3, 4, 5, 6, s = 1,...,n s X s 0, s = 1,...,n s Estúdio de Optimização, Março p.35
113 Formulação SDP Software para optimização semidefinida resolve apenas problemas com funções objectivo lineares Estúdio de Optimização, Março p.36
114 Formulação SDP Software para optimização semidefinida resolve apenas problemas com funções objectivo lineares Reformulámos o problema SDP: min t z = L T y + L 1 c, (t, z) SOC restrições anteriores introduzindo restrições cónicas de segunda ordem Estúdio de Optimização, Março p.36
115 Detalhes numéricos Escalonámos ambos os problemas, QP e SDP, substituindo x s por x s = x s /x avg, em que x avg é o valor médio das componentes do vector dos nós Estúdio de Optimização, Março p.37
116 Detalhes numéricos Escalonámos ambos os problemas, QP e SDP, substituindo x s por x s = x s /x avg, em que x avg é o valor médio das componentes do vector dos nós Usámos o MATLAB para resolver o problema QP convexo e SDPT3, escrito em MATLAB, para resolver o problema SDP Estúdio de Optimização, Março p.37
117 Detalhes numéricos Escalonámos ambos os problemas, QP e SDP, substituindo x s por x s = x s /x avg, em que x avg é o valor médio das componentes do vector dos nós Usámos o MATLAB para resolver o problema QP convexo e SDPT3, escrito em MATLAB, para resolver o problema SDP Considerámos dois conjuntos de dados: Estúdio de Optimização, Março p.37
118 Detalhes numéricos Escalonámos ambos os problemas, QP e SDP, substituindo x s por x s = x s /x avg, em que x avg é o valor médio das componentes do vector dos nós Usámos o MATLAB para resolver o problema QP convexo e SDPT3, escrito em MATLAB, para resolver o problema SDP Considerámos dois conjuntos de dados: um gerado a partir do modelo de Black-Scholes Estúdio de Optimização, Março p.37
119 Detalhes numéricos Escalonámos ambos os problemas, QP e SDP, substituindo x s por x s = x s /x avg, em que x avg é o valor médio das componentes do vector dos nós Usámos o MATLAB para resolver o problema QP convexo e SDPT3, escrito em MATLAB, para resolver o problema SDP Considerámos dois conjuntos de dados: um gerado a partir do modelo de Black-Scholes o outro extraído a partir do índice S&P 500 Estúdio de Optimização, Março p.37
120 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Estúdio de Optimização, Março p.38
121 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Valor actual do activo é 50 Estúdio de Optimização, Março p.38
122 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Valor actual do activo é 50 Taxa de juro isenta de risco é 0.1 Estúdio de Optimização, Março p.38
123 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Valor actual do activo é 50 Taxa de juro isenta de risco é 0.1 Prazo de vencimento das opções é 0.5 Estúdio de Optimização, Março p.38
124 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Valor actual do activo é 50 Taxa de juro isenta de risco é 0.1 Prazo de vencimento das opções é 0.5 Volatilidade 0.2 Estúdio de Optimização, Março p.38
125 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Valor actual do activo é 50 Taxa de juro isenta de risco é 0.1 Prazo de vencimento das opções é 0.5 Volatilidade 0.2 Não se consideram dividendos Estúdio de Optimização, Março p.38
126 Dados de Black-Scholes Gerámos dados relativos a preços de opções segundo o modelo de Black-Scholes usando a função BLSPRICE pertencente à Financial Toolbox do MATLAB: Valor actual do activo é 50 Taxa de juro isenta de risco é 0.1 Prazo de vencimento das opções é 0.5 Volatilidade 0.2 Não se consideram dividendos 20 calls Estúdio de Optimização, Março p.38
127 f.d.p. estimada - dados de Black-Scholes - QP 0.06 rn pdf estimated by QP rn pdf of the lognormal distribution 25 recovered QP call prices Black Scholes call prices with Hessian modification QP: Objective value= Função de densidade de probabilidade estimada a partir de dados de Black-Scholes, usando QP Ajuste dos preços estimados Estúdio de Optimização, Março p.39
128 f.d.p. estimada - dados de Black-Scholes - SDP 0.06 rn pdf estimated by SDP rn pdf of the lognormal distribution 25 recovered SDP call prices Black Scholes call prices with Hessian modification SDP: Objective value= Função de densidade de probabilidade estimada a partir de dados de Black-Scholes, usando SDP Ajuste dos preços estimados Estúdio de Optimização, Março p.40
129 Dados S&P 500 Opções call e put (europeias) transaccionadas no Chicago Board of Options Exchange (CBOE), em 29 de Abril de 2003 com prazo de vencimento em 17 de Maio Estúdio de Optimização, Março p.41
130 Dados S&P 500 Opções call e put (europeias) transaccionadas no Chicago Board of Options Exchange (CBOE), em 29 de Abril de 2003 com prazo de vencimento em 17 de Maio Taxa de juro obtida a partir de Federal Reserve Bank of New York Considerámos Treasury Bill com um prazo de vencimento o mais próximo possível do prazo de vencimento das opções Estúdio de Optimização, Março p.41
131 Arbitragem- dados S&P 500 Eliminámos oportunidades de arbitragem: Estúdio de Optimização, Março p.42
132 Arbitragem- dados S&P 500 Eliminámos oportunidades de arbitragem: retirámos opções cujo preço de mercado se situava fora do intervalo bid-ask Estúdio de Optimização, Março p.42
133 Arbitragem- dados S&P 500 Eliminámos oportunidades de arbitragem: retirámos opções cujo preço de mercado se situava fora do intervalo bid-ask transformámos puts em calls usando a paridade put-call Estúdio de Optimização, Março p.42
134 Arbitragem- dados S&P 500 Eliminámos oportunidades de arbitragem: retirámos opções cujo preço de mercado se situava fora do intervalo bid-ask transformámos puts em calls usando a paridade put-call eliminámos um dos preços (baseado no volume de transacções) no caso de existir uma call com o mesmo preço de exercício Estúdio de Optimização, Março p.42
135 Arbitragem- dados S&P 500 Eliminámos oportunidades de arbitragem: retirámos opções cujo preço de mercado se situava fora do intervalo bid-ask transformámos puts em calls usando a paridade put-call eliminámos um dos preços (baseado no volume de transacções) no caso de existir uma call com o mesmo preço de exercício verificámos a monotonicidade e a convexidade Estúdio de Optimização, Março p.42
136 Pesos - dados S&P 500 Redefinimos a função objectivo de forma ponderada: E(y) = K C θ K (C K C K (y)) 2 + K P µ K (P K P K (y)) 2 Estúdio de Optimização, Março p.43
137 Pesos - dados S&P 500 Redefinimos a função objectivo de forma ponderada: E(y) = K C θ K (C K C K (y)) 2 + K P µ K (P K P K (y)) 2 sendo θ K = volume de transacção de C K volume de transacções para todas as opções de compra µ K = volume de transacção de P K volume de transacções para todas as opções de venda Estúdio de Optimização, Março p.43
138 f.d.p. estimada-dados S&P 500-QP 12 x 10 3 rn pdf estimated by QP 300 recovered QP call prices S&P 500 call prices with Hessian modification QP: Objective value= Função de densidade de probabilidade estimada a partir de dados do índice S&P 500, usando QP Ajuste dos preços estimados Estúdio de Optimização, Março p.44
139 f.d.p. estimada dados S&P 500 data-sdp rn pdf estimated by SDP 300 recovered SDP call prices S&P 500 call prices with Hessian modification SDP: Objective value= Função de densidade de probabilidade estimada a partir de dados do índice S&P 500, usando SDP Ajuste dos preços estimados Estúdio de Optimização, Março p.45
140 f.d.p. estimada, dados B-S -3 maturidades rn pdf estimated by SDP pdf t S Evolução temporal para a função de densidade de probabilidade Estúdio de Optimização, Março p.46
141 Investigação em curso e futura Completar o trabalho considerando preços de opções com diferentes prazos de vencimento e preços de exercício, com vista à obtenção de f.d.p. s com evolução temporal Fazer a estimação numérica da volatilidade Estúdio de Optimização, Março p.47
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