Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 2

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1 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 2

2 O Modelo Estrutural Seja z t = (z 1t,...,z mt ) R m um vetor composto das variáveis de interesse. Considere o seguinte modelo estrutural : Bz t = A 0 +A 1 z t A p z t p +u t, Bz t = A 0 +A(L)z t +u t, onde: B (m m), A 0 (m 1), A 1 (m m),...,a p (m m) são parâmetros; u t = (u 1,t,...,u m,t ) é um vetor composto pelos choques (efeitos não-antecipados) estruturais e A(L) = A 1 L+A 2 L 2 + +A p L p ; L é o operador defasagem. Em geral, os elementos da diagonal principal de B são todos iguais a 1.

3 Operador Defasagem Seja {y t } um processo estocástico. Defina o operador defasagem L tal que: Ly t = y t 1 L j y t = y t j j N. Se α < 1, então: (1 αl) 1 = 1+αL+α 2 L

4 Operador Diferença Seja {y t } um processo estocástico. Defina o operador diferença tal que: y t = (1 L)y t = y t y t 1 j y t = (1 L) j y t j N + j y t = ( 1 L j) y t = y t y t j.

5 O Modelo Estrutural - Hipóteses Algumas hipóteses importantes: Seja F t 1 o conjunto de toda a informação disponível até o instante t 1. E[u t F t 1 ] = 0 u t é um processo diferença martingal. E[u t u t F t 1] = Σ u, onde Σ u é uma matriz de covariância diagonal Toda simultaneidade está modelada via B. Na verdade, os parâmetros B,A 0,A 1,...,A p são pseudo -estruturais, dado que eles são funções dos parâmetros primitivos (deep) da economia (ver o exemplo de otimização intertemporal da Aula 1). Atenção Note que, devido à presença de simultaneidade, E[u it z jt ] 0, i j e i = 1,...,m.

6 Processos Martingais Considere a seguinte sequência de σ-álgebras {F t,t =..., 2, 1,0,1,2,...} de forma a representar o conjunto de informação até o instante t. Suponha também a seguinte ordenação:...,f t 2 F t 1 F t F t+1 F t+2,... O conhecimento se acumula ao longo do tempo!

7 Processos Martingais Considere também a sequência aleatória (processo estocástico) {y t,t =..., 2, 1,0,1,2,...} tal que σ(y t,y t 1,...) F t. Neste caso, y t é F t -mensurável e a sequência {y t } é adaptada para {F t }. {y t,f t } é chamada de sequência adaptada. Mensurabilidade implica que a expectativa condicional existe (a condição E[ y t ] < é suficiente). Portanto, E[y t F t ] = y t, a.s.. No entanto, E[y t F t 1 ], quando existir, é uma variável aleatória!

8 Processos Martingais Martingal Uma sequência adaptada {y t,f t } é chamada de martingal se para todo instante t: E[ y t ] < e E[y t F t 1 ] = y t 1, a.s..

9 Processos Martingais Diferença Martingal Uma sequência adaptada {y t,f t } é chamada de diferença martingal se para todo instante t: E[ y t ] < e E[y t F t 1 ] = 0, a.s..

10 Processos Martingais Um Teorema Importante para Processos Martingais Seja {y t } uma sequência do tipo diferença martingal (DM) e g t 1 = g(y t 1,y t 2,...) uma função não-linear mensurável e integrável de valores defasados da sequência {y t }. Portanto, {y t g t 1 } também é uma sequência do tipo diferença martingal e y t e g t 1 são variáveis aleatórias não correlacionadas. Prova: {y tg t 1} será uma sequência DM dado que E(y tg t 1 F t 1) = E(y t F t 1)g t 1 = 0 a.s. Pela Lei das Expectativas Iteradas (LEI), E(y t) = E[E(y t F t 1)] = E(0) = 0 E(y tg t 1) = E[g t 1E(y t F t 1)] = E(g t 1 0) = 0. Portanto, C(g t 1,y t) = E(g t 1y t) E(y t)e(g t 1) = 0 0 = 0.

11 O Modelo Estrutural - Um Caso Particular Suponha que z t = (y t,x t ), onde y t R e x t R m 1. Logo, [ ][ ] [ ] 1 b yx yt a0,y a1,y a = +[ ][ ] 1,yx yt 1 + b xy B x x t a 0,x a 1,xy A 1,x x t 1 Neste caso, y t = a 0,y b yxx t + y t = α 0 + ap,y a +[ p,yx a p,xy A p,x ][ yt p x t p ] + p ( ai,y y t i +a ) i,yxx t i +uy,t i=1 p β ix t i + i=0 p α i y t i +u y,t i=1 [ uy,t u x,t Modelo Auto-regressivo com defasagens distribuídas. ].

12 A Forma Reduzida Modelo Estrutural e Forma Reduzida Considere agora a forma reduzida (supondo que B seja invertível): z t = B 1 A 0 +B 1 A 1 z t B 1 A p z t p +B 1 u t, z t = C 0 +C 1 z t C p z t p +v t, z t = C 0 +C(L)z t +v t, Modelo Auto-regressivo Vetorial de ordem p VAR(p) onde: C 0 (m 1), C 1 (m m),...,c p (m m) são novos parâmetros; v t é um vetor de erros (que são combinações lineares dos choques estruturais) e C(L) = C 1 L+C 2 L 2 + +C p L p.

13 Em geral, estamos interessados no efeito causal dinâmico z t+h u j,t, j = 1,...,m,h = 0,1,2,... Para isto precisamos conhecer B!

14 Considere p = 1 e escreva Portanto, z t = C 0 +C 1 z t 1 +v t VAR(1). z t = C 0 +C 1 z t 1 +v t z t+1 = C 0 (I+C 1 )+C 2 1 z t 1 +C 1 v t +v t+1 z t+2 = C 0 ( I+C1 +C 2 1) +C 3 1 z t 1 +C 2 1 v t +C 1 v t+1 +v t+2. z t+h = C 0 h i=0 C i 1 +Ch+1 1 z t 1 + h C i 1 v t+h i. i=0

15 Mas v t = B 1 u t. Logo, z t+h = C 0 h i=0 z t+h = C 0 h i=0 C i 1 +Ch+1 1 z t 1 + C i 1 +C h+1 1 z t 1 + h C i 1 B 1 u t+h i i=0 h Φ i u t+h i, i=0 onde φ 11,i φ 1m,i Φ i =.... φ m1,i φ mm,i

16 A quantidade de interesse é A sequência z j,t+h u k,t = φ jk,h Resposta impulsional! { zj,t+h u k,t } h=0 é chamada de (FRI).

17 Qual é o formato esperado da FRI? Vai depender da dinâmica do processo estocástico vetorial z t. Mais precisamente, o formato da FRI vai depender de uma propriedade chamada de estacionariedade. Mas o que é estacionariedade e quais são as condições para que z t seja um processo estacionário?

18 Estacionariedade Fraca Um processo estocástico {y t } é dito fracamente estacionário (ou estacionário de segunda ordem, ou ainda estacionário em covariância) se, e somente se, os dois primeiros momentos de {y t } existirem e forem constantes ao longo do tempo, ou seja: E[y t ] = µ, µ <, t T e E[(y t µ)(y t h µ)] = γ h, γ h <, t T eh = 0,±1,±2,... Estacionariedade implica que γ h = γ h.

19 Estacionariedade Forte Um processo estocástico {y t } é dito fortemente estacionário (ou estacionário no sentido estrito) se, e somente se, a distribuição conjunta de (y 1,y 2,...,y T ) for invariante com relação à translações temporais, ou seja, F(y 1,y 2,...,y T ) = F(y 1+τ,y 2+τ,...,y T+τ ), τ. Pontos importantes: distribuição conjunta é constante ao longo do tempo e estacionariedade forte implica que todos momentos existentes sejam constantes ao longo do tempo. No entanto, estacionariedade forte não implica em estacionaridade fraca! : variáveis Cauchy.

20 é uma propriedade referente à relação entre a média temporal de um processo estocástico calculada a partir de uma realização temporal (série temporal). Seja {y t (ω),ω Ω,t T} um processo estocástico fracamente estacionário, { tal que E[y t (ω)] = µ < e E [y t (ω) µ] 2} = γ 0 <, t T e y T = 1 T T t=1 y t (média amostral). Se o processo {y t } for ergódico para média, então y T p µ, T.

21 Blanchard e Perotti - QJE (2002) An Empirical Characterization Of The Dynamic Effects Of Changes In Government Spending And Taxes On Output. VAR com três variáveis timestrais - impostos (T t ), gastos do governo (G t ) e PIB (X t ): z t = C(L)z t 1 +v t, onde z t = (T t,g t,x t ) e v t = (t t,g t,x t ). Forma reduzida x forma estrutural: t t = a 1 x t +a 2 e g t +e t t, g t = b 1 x t +b 2 e t t +e g t, x t = c 1 t t +c 2 g t +e x t, onde e t t, e g t e e x t são choques estruturais.