CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA. O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston. Gabriel Mesquita

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE MATEMÁTICA APLICADA CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston por Gabriel Mesquita Rio de Janeiro 2016 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

2 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE MATEMÁTICA APLICADA CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston Declaro ser o único autor do presente projeto de monografia que refere-se ao plano de trabalho a ser executado para continuidade da monografia e ressalto que não recorri a qualquer forma de colaboração ou auxílio de terceiros para realizá-lo a não ser nos casos e para os fins autorizados pelo professor orientador Gabriel Mesquita Orientador: Yuri Saporito Rio de Janeiro 2015

3 Gabriel Mesquita O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston Monografia apresentada à Escola de Matemática Aplicada como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Matemática Aplicada Aprovado em de de. Grau atribuido ao Projeto de Monografia:. Professor Orientador: Yuri Saporito Escola de Matemática Aplicada Fundação Getulio Vargas

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5 Conteúdo 1 Introdução ao mercado de derivativos Call Put Forward Modelo Binomial de um período 4 3 Modelo de Black-Scholes Introdução EDP de Black-Scholes Equação do calor Solução da equação do calor Fórmula de Black-Scholes Volatilidade Implícita Paridade Put Call Vega da Call Existência e Unicidade da Volatilidade Implícita Volatility Smile Modelo de Heston Fórmula de Heston Calibragem do modelo de Heston Resultados

6 1 Introdução ao mercado de derivativos O mercado de derivativos é de extrema importancia, pois permite aos investidores se protegerem da variação de determinado ativo de forma a fixar o valor futuro da sua carteira ou remover parte de sua exposiçao ao tal ativo. 1.1 Call Call ou Opção de Compra é um contrato entre duas partes na qual quem compra tal contrato tem o direito mas não obrigação de comprar determinado ativo por um preço K (strike ou preço de exercício) em um tempo T (maturidade). O payoff da posição comprada de uma call na sua maturidade é max{s T K,0}, pois, quando S T < K a opção não será exercida porque é mais barato comprar o ativo no mercado, logo, o payoff será 0. Quando K < S T, a opção será exercida e o payoff será de S T K. 1.2 Put Put ou Opção de Venda é um contrato entre duas partes na qual quem compra tal contrato tem o direito mas não obrigação de vender determinado ativo por um preço K (strike ou preço de exercício) em um tempo T (maturidade). O payoff da posição comprada de uma put na sua maturidade é max{k S T,0}, pois, quando K < S T a opção não será exercida porque o ativo poderá ser vendido mais caro no mercado, logo, o payoff será 0. Quando S T < K, a opção será exercida e o payoff será de K S T. 3

7 1.3 Forward Forward ou contrato a termo é um contrato na qual quem compra tem a obrigação de comprar certo ativo a um preço pré-fixado K na maturidade T. O payoff da posição comprada do forward na maturidade é S T K, já que independentemente do preço do ativo o contrato será exercido. 2 Modelo Binomial de um período O modelo binomial assume que o preço do ativo subjacente com preço S 0 no próximo instante de tempo pode assumir duas possibilidades, Head(S 1 (H)) ou Tail(S 1 (T )), sendo eles S 0 u e S 0 d, respectivamente, com u > d. Assumimos também que a probabilidade de 4

8 subida no preço é p e a de descida é 1 p. p S 0 u S 0 1 p S 0 d Introduzimos agora a taxa livre de risco r, que é a mesma taxa para pegar dinheiro e para emprestar dinheiro em um banco. O conceito essencial para a precificação de derivativos é a arbitragem, que é uma estratégia que começa sem dinheiro, tem probabilidade 0 de perder dinheiro e tem uma probabilidade positiva de ganhar dinheiro. Para precificar derivativos, temos que supor a ausência de arbitragem no mercado. No modelo binomial, assumimos que: 0 < d < 1 + r < u. A desigualdade 0 < d < u é a definição do movimento do preço do ativo, já a desigualdade d < 1 + r < u vem do princípio da não arbitragem. Supondo que 1 + r < d < u, alguém pode começar no tempo 0 sem dinheiro, pegar uma quantia emprestada do mercado a taxa de juros r, e com esse dinheiro comprar o ativo. Nesse caso em qualquer situação, o valor do ativo no tempo 1 vai ser suficiente para pagar pelo empréstimo e ainda sobra dinheiro, ou seja, essa estratégia é uma arbitragem. Agora no caso em que d < u < 1 + r, a estratégia é o contrário da anterior, no tempo 0 vende-se o ativo, e com o dinheiro empresta-se ao mercado a taxa de juros r, no tempo 1, pega o dinheiro no mercado e recompra o ativo e em qualquer possibilidade ainda sobra dinheiro, ou seja, outra arbitragem. Logo, vemos que para o modelo não permitir arbitragem é preciso que 0 < d < 1 + r < u. Nesse mercado, definimos um derivativo como um contrato de custo V 0 no tempo 0 e no tempo 1 paga V 1 (H) ou V 1 (T ), que são funções do preço do ativo subjacente. A técnica usada para precificar derivativos é a sua replicação usando o ativo base e o ativo livre de risco. Vamos montar um portfólio X que começa com X 0 de dinheiro, e assume uma posição de S 0, sobrando X 0 S 0 para investir no ativo livre de risco. No tempo 1 o valor desse portfólio é X 1 = S 1 +(1+r)(X 0 S 0 ), então escolhemos X 0 e de forma que X 1 = V 1, logo, temos: = V 1(H) V 1 (T ) S 1 (H) S 1 (T ). X 0 = qv 1(H) + (1 q)v 1 (T ). 1 + r 5

9 Com, q = 1+r d u d, que é a probabilidade livre de risco. Podemos notar que o preço do ( ativo é um ) martingal na probabilidade livre de risco quando trazido a valor presente S 0 = E q[s 1 ] 1+r. Como o payoff do portfolio X e do derivativo V são iguais no tempo 1, o preço do derivativo tem que ser X 0, caso contrário teremos uma arbitragem. Nota-se que o preço do derivativo não depende da probabilidade p do ativo subjacente e sim da probabilidade livre de risco. 3 Modelo de Black-Scholes 3.1 Introdução O modelo Binomial de precificação de derivativos converge para o modelo de Black- Scoles com o número de períodos tendendo ao infinito e o tamanho dos peíodos tendendo a 0. O modelo de Black-Sholes assume que: O preço do ativo segue um movimento Browniano geométrico com arrasto e volatilidade constante. A taxa de empéstimo e investimento são iguais e não há limite para ambos Não há restrições para venda a descoberto Não há limite para venda e compra do ativo, podendo ser fracionário. O mercado não tem arbitragem. Não há custo de transação. 3.2 EDP de Black-Scholes Seja X t um processo de Itô, definido por: dx t = a(x,t)dt + b(x,t)dw t. O lema afirma que uma função G de x e t satisfaz: ( G dg(x t,t) = x a + G t ) G 2 x 2 b2 dt + G x bdw t. No modelo de Black-Scholes, o preço do ativo é um processo lognormal na medida livre de risco: ds t = rs t dt + σs t dw t. Seja V (t,s) o preço do derivativo, aplicando o lema de Itô obtemos: ( V dv = S rs t + V t ) V 2 St 2 σ 2 S 2 dt + V σsdw t. S t 6

10 Dado que V é o preço de um derivativo qualquer com payoff V (T,S T ) sendo T a maturidade do derivativo, temos que fixar o drift sendo igual a rv (t,s t ) pois caso contrário teremos um mercado com arbitragem. Sendo assim, chegamos na EDP de Black-Scholes: 3.3 Equação do calor V S rs t + V t V 2 S 2 σ2 St 2 = rv. V t + rs V S σ2 S 2 2 V rv = 0. S2 Para chegarmos a solução dessa EDP, faremos algumas tranformações de variáveis de forma a simplificar o modelo, chegando até a equanção do calor. Primeiro definimos u(τ,y) = e rτ V (T τ,e y ) e vamos provar que u τ 1 2 σ2 2 u y 2 (r 1 2 σ2 ) u y = 0. Essa tranformação troca o tempo pelo tempo para a maturidade (Time to Maturity) e o preço pelo log(s). u ( τ = erτ rv V ). t u y = erτ e y V S. 2 U y 2 = erτ ( (e y ) 2 2 V V + ey S2 S ). Substituindo as derivadas de u na EDP: u τ 1 2 σ2 2 u y 2 (r 1 2 σ2 ) u y = e rτ (rv V t 1 2 σ2 (e y )2 2 V S σ2 e y V V rey S S σ2 e y V S ) = e rτ (rv V t 1 2 σ2 (e y )2 2 V V rey S2 S ) = 0, pois é a EDP de Black-Scoles no ponto (T τ,e y ). Agora definimos v(τ,x) = u(τ,x (r 2 1σ2 )τ) e vamos provar que v satisfaz a equação do calor v τ = 1 2 σ2 2 u y 2. Primeiro calculamos as derivadas de v: v τ = u τ (r 1 2 σ2 ) u y. 7

11 v y = u y. 2 v y 2 = 2 u y 2. Substituindo as derivadas na equação do calor chegamos a : u τ (r 1 2 σ2 ) u y = 1 2 σ2 2 u y 2. que é a equação da primeira tranformação, assim provamos que v satisfaz a equação do calor. 3.4 Solução da equação do calor A solução da equação do calor é dada pela convolução: v(τ,x) = φ(τ,x z)v(0,z)dz, onde φ(τ,x z) é dado por: R φ(τ,x z) = 1 e 1 2 σ2 τξ 2 +iξ(x z) dξ. 2π R O próximo passo é calcular φ. Para isso vamos completar quadrados no expoente ficando com: 1 2 σ2 τξ 2 + iξ(x z) = Substituindo na equação, ( σ 2 τ φ(τ,x z) = e (x z)2 2σ 2 2π 2 R ) 2 i(x z) (x z)2 ξ 2σ 2 τ 2σ 2 τ. i(x z) (ξ e 2σ 2 τ )2 2 σ 2 τ Tomando conhecimento da função de densidade de probabilidade da normal, notamos uma semelhança com e equação que obtivemos e iremos usar desse resultado para resolvermos nossa integral: dξ. Portanto, R i(x z) (ξ e 2σ 2 τ )2 2 σ 2 τ dξ = 2π σ 2 τ. φ(τ,x z) = e (x z)2 2σ 2 τ 2π 2π σ 2 τ = e (x z) 2 2σ 2 τ 2πσ 2 τ. Podemos notar que φ(τ,x z) é a função densidade da normal com média z e Variância σ τ no ponto x. 8

12 3.5 Fórmula de Black-Scholes K) +. Agora vamos calcular o preço da Call, que tem payoff transformado v(0,z) = (e z Então ficamos com: v(τ,x) = Primeiro vamos calcular logk logk logk logk R φ(τ,x z)(e z K) + dz = φ(τ,x z)(e z K)dz = φ(τ,x z)e z dz φ(τ,x z)kdz. logk φ(τ,x z)kdz: φ(τ,x z)kdz = logk e (x z)2 2σ 2 τ 2πσ 2 τ Kdz. Seja u = x z, então du = dz, substituindo na integral: Agora seja v = Agora vamos calcular K σ τ x logk u σ du,então dv = τ σ τ x logk σ τ e v2 2 K dv = KN 2π logk logk φ(τ,x z)e z dz φ(τ,x z)e z dz = e (u)2 2σ 2 τ 2π du. ( x logk logk σ τ Completando quadrados no expoente, ficamos com: ). e (x z)2 2σ 2 +z τ 2πσ 2 τ dz. (x z) 2 2σ 2 + z = 2στz (x2 2xz + z 2 ) τ 2σ 2 = τ = ((z (x + σ2 τ)) 2 2xσ 2 τ (σ 2 τ) 2 ) 2σ 2 τ (x 2 2(x + σ 2 τ)z + z 2 ) 2σ 2 τ Então nossa equação fica: = (z (x + σ2 τ)) 2 2σ 2 τ e (x+ σ2 τ 2 ) σ τ logk e (z (x+σ2 τ)) 2 2σ 2 τ 2π Seja u = z (x + σ 2 τ) e du = dz, temos : + (x + σ2 τ 2 ). dz. 9

13 e (x+ σ2 τ 2 ) σ τ Agora seja v = u σ du e dv = τ σ τ : x+σ 2 τ logk e u2 2σ 2 τ 2π du. x+σ2 τ logk e (x+ σ2 τ 2 ) σ τ e v2 ( 2 dv = e (x+ σ2 τ x + σ 2 ) 2 ) τ logk N 2π σ. τ Com esses resultados, substituimos na equação e calculamos a fórmula fechada para o preço da Call: ( C(t,S) = e r(t t) v T t,logs + (r 1 ) 2 σ2 )(T t) = ( ) ( )) log( = e (Se r(t t) r(t t) S N K ) + (r σ2 )(T t) log( S σ KN K ) + (r 2 1σ2 )(T t) (T t) σ. (T t) Que podemos escrever, 4 Volatilidade Implícita C(t,S) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ). d 1 = log( K S ) + (r σ2 )(T t) σ. (T t) d 2 = log( K S ) + (r 1 2 σ2 )(T t) σ. (T t) Volatilidade implícita é a volatilidade que, pelo modelo de Black-Scholes, gera o preço de mercado. Se o modelo de Black-Scholes fosse verdadeiro, a volatilidade implícita de uma call com mesma maturidade e Strikes diferentes deveriam ser iguais. Seja C t (T,K) o preço de mercado no tempo t de uma call com maturidade T e strike K e ˆσ t (T,K) a volatilidade implícita. Então temos que: 4.1 Paridade Put Call C t (T,K) = C BS (S t,τ,k,r, ˆσ t (T,K)). Seja C t e P t o preço de uma Call e de uma Put com mesmo Strike e Maturidade. Por não arbitragem, temos que a seguinte relação é válida: C t P t = S t Ke rτ. Como o modelo de Black-Scholes assume a não-arbitragem, essa relação também deve ser satisfeita: C BS (t,σ) P BS (t,σ) = S t Ke rτ. C BS (t,σ) P BS (t,σ) = C t P t. Logo é equivalente definir a volatilidade implícita a partir da Call e da Put. 10

14 4.2 Vega da Call Não é trivial que a volatilidade ( implícita ) sempre exista e que é única, para provar CBS isso vamos analisar o Vega da Call σ C BS σ = SN (d 1 ) d 1 σ Ke rτ N (d 2 ) d 2 σ = τ τ SN (d 1 ) 2 + Ke rτ N (d 2 ) 2. Como Ke rτ N (d 2 ) = SN (d 1 ): C BS σ = SN (d 1 ) τ. Como S, N (d 1 ) e τ são não negativos, o C BS é crescente em relação a σ. Alem disso podemos ver que o lim t T C BS σ = Existência e Unicidade da Volatilidade Implícita Pode-se provar que, lim σ 0 +C BS = (S Ke r(t t) ) +. lim C BS = S. σ + Como, (S t Ke r(t t) ) + C t (T,K) S t e C BS σ 0, concluimos que dado um preço de mercado, a volatilidade implícita existe e é única. 11

15 Figura 1: Volatilidade X Preço da Call no modelo de Black-Scholes 4.4 Volatility Smile Analisando os dados de derivativos no mercado, observamos que para o mesmo ativo base, derivativos com strike ou maturidades diferentes tem volatilidade implícita diferentes, onde a curva do strike pela volatilidade implícita normalmente tem formato de parábola e por isso é chamado de Volatility Smile. 12

16 Figura 2: Volatilidade Implícita das opções de S&P do dia 15/08/2016 com 0.2 de maturidade. Figura 3: Superfície de Volatilidade Implícita das opções de S&P do dia 15/08/

17 5 Modelo de Heston O modelo de Heston é uma generalização de Black-Scholes que adimite uma volatilidade estocástica dada pela fómula: ds t = µs t dt + S t Vt dw 1. dv t = κ(θ V t )dt + η V t dw 2. Onde κ, θ, η são constantes e W 1 e W 2 são dois movimentos Brownnianos com correlação ρ. S t é um processo lognormal agora com variância estocástica e V t é um processo de Cox-Ingersoll-Ross (CIR Process). Podemos ver que θ representa a média a longo prazo da variância, κ é a taxa de reversão a média, e η é a volatilidade da volatilidade. Usando cácululo de Itô, podemos chegar na EDP do preço de um derivativo que paga V (T,S T ) na maturidade T no modelo de Heston: V t + rs V S vs2 2 V rv + κ(θ v) V S2 v η2 v 2 V v 2 + ρηvs 2 V v S = 0. Podemos encontrar a solução dessa EDP para o preço da Call, ou seja, V (T,S T ) = (S T K) Fórmula de Heston onde Pode-se mostrar que o preço da call no modelo de Heston é: P = SP 1 Ke rτ P 2, Porém a a forma numericamente mais eficiente de calcular esse preço é a seguinte: P(t,S,v) = e rτ π x(t,s) = rτ + logs, h(z) = Kiz+1 iz z 2, G(τ,z,v) = e C(τ,z)+vD(τ,z), C(τ,z) = κθ ξ 2 D(τ,z) = d(z) = g(z) = + 0 Re(e izx G(τ,z,v)h(z))dz r, (1) ( ( )) e d(z)τ /g(z) 1 (κ + iρξz d(z))τ 2log, 1/g(z) 1 ( ) κ + iρξz + d(z) 1 e d(z)τ ξ 2 1 g(z)e d(z)τ, ξ 2 (z 2 iz) + (κ + iρξz) 2, κ + iρξz + d(z) κ + iρξz d(z). Desta forma o podemos calibrar o modelo de forma a melhor explicar os preços do mercado. 14

18 5.2 Calibragem do modelo de Heston Para calibrar o modelo, vamos escolher os parâmetros de forma a minimizar o erro quadrático dos preços. Seja T e K os vetores de maturidades e Strikes, com tamanhos M e N, onde C M é o preço do mercado e C H é o preço do modelo de Heston: ( Vˆ 0, ˆθ, ˆκ, ˆη, ˆρ) = arg min 1 MN M i=1 N j=1 (C M T i,k j C H T i,k j ) 2. 1 d e f c a l i b r a ( df, i n i t i a l = ( , 1, , 2, 0.5) ) : 2 d e f aux ( t ) : 3 v, kappa, t h e t a, e t a, rho = t 4 r e t u r n np. mean ( np. power ( h e s t o n ( 0, df [ F u t u r e P r i c e ]. a s m a t r i x ( ), df [ S t r i k e ]. a s m a t r i x ( ), v, 5 df [ I n t e r e s t Rate ]. a s m a t r i x ( ), 0, 2, df [ Time t o M a t u r i t y ]. a s m a t r i x ( ), 6 kappa, t h e t a, e t a, rho, df [ Type ]. a s m a t r i x ( ) ) df [ P r i c e Mid ]. a s m a t r i x ( ), 2) ) 7 bound = ( ( , 1), ( , 100), ( , 1), ( , 10), ( 1, 1) ) 8 r e t u r n minimize ( aux, i n i t i a l, method = SLSQP, bounds = bound ) 15

19 5.3 Resultados Depois de calibrado o modelo para os dados de opções do S&P, notamos que o ele se ajustou muito bem aos preços de mercado, ficando com diferenças relevantes apenas para maturidades muito pequenas. Com esse resultado, podemos calcular o preço de opções com strikes e maturidades diferentes e o preço de opções exóticas, que tem pouca liquidez no mercado, para o mesmo ativo base. Figura 4: Volatilidade Implícita do mercado contra a Volatilidade Implícita do modelo para 0.3 de maturidade. Figura 5: Superfície de Volatilidade Implícita do mercado contra o modelo de Heston calibrado. 16

20 Referências [1] John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall, [2] Steven L. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, The Review of Financial Studies 6 (1993), [3] Jim Gatheral, The Volatility Surface - A Practitioner s Guide, Wiley, [4] Fischer Black, Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81 (1973),