Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV. Derivativos. Parte 9: Gregas e Delta Hedging

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1 Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivativos Parte 9: Gregas e Delta Hedging Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Fórmula de Black-Scholes Fórmula de Black-Scholes da Call Européia (Plain Vanilla): c = S 0 N(d 1 ) Ke -rt N(d 2 ) Fórmula de Black-Scholes da Put Européia (Plain Vanilla): Onde, p = Ke -rt N(-d 2 ) S 0 N(d 1 ) d 1 = ln(s 0 /K) + ( r + σ 2 /2 )t e d2 = d1 - σ t σ t Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 2 1

2 Efeito das Variaveis no Preço das Opções Opção te dá o direito e não obrigação de comprar o ativo. Mais volatilidade aumenta a probabilidade de aumentar e de cair o preço do ativo. No caso da Call, não faz diferença se cair muito ou pouco pois vou perder só o premio. Já subir muito é melhor que subir pouco. Para a put vale o raciocínio oposto. Aumenta a taxa de cresc das ações, mas reduz o VP dos fluxos. Primeiro efeito tende a dominar o segundo. Além disso é ceteris paribus. Em geral qdo juros aumentam o S(0) cai, portanto o efeito total pode ser o oposto. Variável S 0 K T σ r D c p C P ?? Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 As Gregas As gregas nos dão exatamente o valor da variação da opção em função de um aumento infinitesimal em cada uma de suas variáveis determinantes. Delta: = f/ S - resposta a uma variação no preço do ativo objeto Gamma: Γ = 2 f/ S 2 = f/ - resposta a uma variação no delta Vega: resposta a uma variação na volatilidade Theta: resposta a passagem do tempo Rho: resposta a uma variação nos juros Psi : resposta a uma variação nos dividendos Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 4 2

3 Delta Delta ( ) é a taxa de variação no preço da ópção com relação a uma variação pequena do ativo subjacente. preço da opção B Inclinação = A Preço da ação Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Função Preço e o Delta Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 3

4 Gamma Gamma (Γ) é a taxa de variação do delta ( ) com respeito ao preço do ativo subjacente. Gamma é maior para opções próximas a estar no-dinheiro (atthe-money). Gamma é causado pela curvatura da função preço e leva a erros no Delta Hedging C'' C' Call price C S S' Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 Stock price Delta e Gamma Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 8 4

5 Theta Theta (Θ) de um derivativo (ou portfolio de derivativos) é a taxa de mudança do seu valor com o passar do tempo. O theta de uma call ou put é negative para as Plain Vanillas. Isso significa que, com o passar do tempo, se a volatilidade e o preço do ativo permanecerem os mesmos, o valor da opção declina. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 9 Fç Preço Theta Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 10 5

6 Podemos aproveitar a diferença nos thetas para implementar uma estratégia interessante: Calendar Spread Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 11 Vega Rho Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 12 6

7 Usando as gregas para hedge: Exemplo Uma determinada empresa pediu para um banco cotar para ele uma opção de compra (call) européia para 100,000 ações que não pagam dividendo com as seguintes características: S 0 = 49, K = 50, r = 5%, σ = 20%, T = 20 semanas, µ = 13% O banco a vendeu por $300,000. Usando os inputs acima, achamos que o preço desta opção dado pela fórmula de Black-Scholes é $240,000 Como o banco hedgearia o risco desta opção que ele vendeu para garantir o lucro de $60,000? Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 13 Naked & Covered Positions Naked position Não faz nada: se ativo for menor que K=50, por exemplo igual a $40, o banco lucra $300,000. Caso contrário tem prejuízo. Por exemplo se for a $60, perde $1,000,000 que é um valor consideravelmente maior que os $300,000 que ganharia Covered position Compra 100,000 ações hoje a $50. Se o preço do ativo for a $40 no vencimento, perderá $900,000 o que considerávelmente maior que o ganho de $300,000 Ambas estratégias deixam o banco exposto ao um risco considerável Mas se a fórmula de Black-Scholes está certa, podemos criar uma estratégia de hedge que custa exatamente $240,000! Como fazer? Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 14 7

8 Estratégia Stop-Loss Envolve: Comprar 100,000 ações assim que o preço do ativo alcançar $50 Vender as 100,000 shares assim que o preço do ativo cair abaixo de $50 Infelizmente tal estratégia não funciona tão bem: Com mercados eficientes, ao preço atingir K, não sei se ele irá subir ou cair Portanto, cada compra é feita a K+E e venda a K-E. Logo, cada trade involve um custo de 2*E que está sendo ignorado. Delta hedge leva isso em conta Variação na quantidade que tenho que comprar e vender é muito grande, não consigo comprar e vender tudo a este preço em dt. Valor temporal do dinheiro tem que ser considerado: comprar em t1 é diferente de t2, etc A mercado o portfólio não fica zerado Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 15 Delta Lembre que o delta ( ) é a taxa de variação no preço da ópção com relação a uma variação pequena do ativo subjacente. preço da opção B Inclinação = A Preço da ação Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 16 8

9 Delta Hedging Estratégia que faz o portfólio (opção vendida mais ativos comprados) delta neutros. Ou seja, montar um portfolio de forma que seu valor total não varia com variações no preço do ativo. O delta de uma opção de compra europeia (Call) de uma ação que paga dividendo é: N (d 1 )e qt O delta de uma Put européia é e qt [N (d 1 ) 1] A posição no ativo subjacente tem que ser frequentemente rebalanceada para o portfólio permanecer delta-neutro Note pelo gráfico anterior que na prática é uma trading rule tipo buy high, sell low Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 17 Delta Hedging A posição de hedge tem que ser frequentemente rebalanceada Note que na prática, o delta hedge quando vc vendeu uma opção de compra significa implementar uma trading rule buy high, sell low A taxa deste ajuste é dada pelo Gamma Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 18 9

10 Gamma é causado pela curvatura da função preço e leva a erros no Delta Hedging Call price C'' C' C S S' Stock price Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 19 Interpretando o Gamma Para um portfolio delta neutro, Π Θ t + ½Γ S 2 obs.: é o theta que faz com que dπ tenha zeros Para um instante de tempo pequeno dt, ela será tangente ao eixo X Π Π S S Positive Gamma Negative Gamma Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

11 Relação entre Delta, Gamma, e Theta Para um portfolio de derivativos qualquer sobre uma ação que paga dividendo contínuo, q Θ + ( r q) S + σ S Γ = rπ 2 Para um portfólio que esteja delta-neutro 1 Θ + σ 2 S 2 Γ = rπ 2 Como r >0, se theta é negativo temos que ter theta positivo e vice-versa. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 21 Hedging na Prática Traders geralmente garantem que seus portfolios estejam delta-neutros pelo menos 1 vez ao dia. Se houver uma oportunidade, proteja gamma e vega Na medida em que os portfólios vão se tornando maiores (comprado e vendido em muitas opções) o hedging se torna menos custoso pois o só é necessário proteger o delta do portfólio como todo. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

12 Exemplo Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 23 Portfólio Auto-Financiável Na derivação da fórmula de Black-Sholes, o portfólio que criávamos era auto-financiável e sem risco. Isso significa que só fazíamos aporte de capital uma vez e depois este portfólio rendia a taxa de juros livre de risco. Como vimos, na prática, uma vez que o delta hedge não é perfeito, pode haver necessidade de fazer aportes ou pode ser possível fazer retirada. Vejamos agora quando isso ocorre e por que? Em função do gamma... Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

13 Fluxos ao Longo do Delta-Hedge Um Banco vendeu 100 calls e fez delta hedge: S 0 = 40, K = 40, r=8%, sigma=30%, T=0,25 Invest líquido inicial: 58,24 * $40 278,04 = $2051 Dia 1, S= $40,50: Ganho com as 58,24 ações: 58,24 * 0,50 = $29,12 Ganho com a call vendida: 278,04 306,21 = - $28,17 Juros (emp ou custo de op) - e 0.08/265 *$2051,56 = - $0,45 Lucro overnight $0,50 Além disso o novo delta é 0,6142, logo tenho que comprar mais 3,18 ações o que requer $128,79 extras Dia 2, S=39,25: Ganho com as 61,42 ações: 61,42 * -1,25 = - $76,78 Ganho com a call vendida: 306,21 232,82 = $73,39 Juros (emp ou custo de op) - e 0.08/265 *$2181,30 = - $0,48 Lucro overnight - $3,87 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 25 Interpretando o cálculo do lucro Suponha que um emprestador esteja disposto a nos fornecer a todo instante um montante igual ao valor de mercado do portfólio. 3 fonte de cash flow no portfólio: Valor presente do portfólio -> Empréstimo colateralizado: em t 0 era $2051, passou a ser $2181. Aumento foi de $129,74. Compra/Venda de novas ações: Para manter o portfólio delta-neutro, compra 3,18 ações a $40,50 = $128,79 Juros: sobre o montante emprestado em t 0, devo $0,45 Portanto preciso de $128,79+$0,45 = $129,24 Mas o valor presente do meu portfólio aumenta e permite que eu tenha um financiamento de $129,74 Sobram $0,50. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

14 Quando o Portfólio é Auto-financiável? Quando o choque for exatamende de 1 desvio padrão (para o tempo determinado). Não importa qual o intervalo que vc estabeleceu para rebalancear o portfólio. Então qual a vantagem do delta-hedging contínuo? É difícil que o ativo se mova exatamente 1 desvio padrão. Se eu rebalancear o portfólio com mais frequência é mais provável que na média eu consiga ter 1 desvio padrão de choque. Algebricamente, seja h um intervalo pequeno de tempo: ε=s t+h -S t Γ(S t )= (S t+h ) - (S t )/ ε Ou seja, (S t+h ) = (S t ) + ε Γ(S t ) Se o preço da ação muda em ε, podemos dizer quanto o preço da opção vai mudar: vai depender do delta médio de S t+h a S t. C(S t+h )=C(S t ) + ε [( (S t ) + (S t+h ))/2] Substituindo (S t+h ) = (S t ) + ε Γ(S t ) C(S t+h )=C(S t ) + ε (S t ) + ε 2 Γ(S t+h )/2 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 27 Market Maker e o Risco Gamma: para movimentos muito grandes o marketmaker que vendeu a opção perde dinheiro, para movimentos pequenos ele ganha dinheiro. Formas de se hedgear: Gamma neutro Paridade put-call: hedge estático Compra Calls e Puts fora do dinheiro. Lança um novo produto financeiro: Swap de Variância! Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

15 Usando Futuros para Delta Hedging Muito popular na prática pois não preciso fazer tomar empréstimo/aplicação nenhuma. Entretanto tenho que ajustar a quantidade. Qual o delta de um futuro com relação ao spot? F=Se (r-q)t S F = e (r-q)t S Logo a posição comprada em futuros tem que ser e -(r-q)t vezes a posição requerida no spot. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 29 Gerenciando Delta, Gamma, & Vega pode ser alterado com posições no ativo subjacente No entanto o ativo subjacente tem Γ & ν iguais a zero, e dessa forma é impossível afetar o gamma e vega do portfólio só com o ativo subjacente. Para ajustar Γ & ν é necessário se posicionar em uma opção ou qualquer outro derivativo não-linear. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

16 Hedging vs Criação de uma Opção Sinteticamente Sabemos que com o ativo subjacente é possível replicar o payoff de qualquer derivativo. Na prática como fazer isso? Note que quando estávamos fazendo o delta-hedge nos posicionávamos para anular (e se possível também Γ, ν, etc) Para criar uma opção sinteticamentente, nos posicionamos no ativo subjacente de forma a fazer um match de, Γ, & ν, ou seja, é repetir o procedimento do deltahedge só que com o sinal oposto Tal procedimento era comum para comprar puts sinteticamente, numa estratégia chamada Portfolio Insurance. Lembre que o delta-hedge involve implementar uma estratégia do tipo buy high-sell low. Em outubro de 1987, numa segunda feira após o mercado ter caído relativamente bastante na sexta, muitos investidores estavam implementando tal estratégia. O delta de abertura na segunda era muito pequeno portanto os investidores sairam vendendo os ativos para igualar ao delta. 2 Consequencias: Exacerbou significativamente a queda do mercado, sendo um dos pricipais responsáveis pelo que ficou conhecido como Black-Monday. O hedge na prática não funcionou pois a velocidade de queda dos precço era muito grande e não se conseguia rebalancear o portfólio rápido o sufuciente. Só que comprou a put conseguiu se proteger. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág