As Letras Gregas. Exemplo. Posição Coberta e Descoberta. Prf. José Fajardo FGV-EBAPE

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Moisés Mota Chagas
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1 As Prf. José Fajardo FGV-EBAPE Exemplo Um Banco há vendido por $300,000 uma Call Européia em unidades de um ativo que não paga dividendos S 0 = 49, X = 50, r = 5%, σ = 20%, T = 20 semanas, µ = 13% O valor da Opção via Black-Scholes é $ Como o Banco se protege contra o Risco? Posição Coberta e Descoberta Posição Descoberta Fazer Nada Posição Coberta Comprar ações hoje Ambas estratégias deixam o banco exposto a um risco significante.

valor da Opção via Black-Scholes é $240.000 Como o Banco se protege contra o Risco?

2 Hedgear com Teto Isto envolve: Comprar ações tão pronto quanto o preço atinge $50 Esta estratégia não funciona bem Delta Delta ( ) é a taxa de variação do preço da opção com relação ao subjacente Preço da Opção B Inclinação =δc/δs A Preço Ativo M. Binomial: Delta Hedging Considere a carteira que consiste em: uma posição comprada de unidades de ativo e uma vendida de 1 derivativo Su ƒ u S -f Sd ƒ d A carteira não tem risco quando Su ƒ u = Sd ƒ d Logo ƒ = u f d S u S d

preço da opção com relação ao subjacente Preço da Opção B Inclinação =δc/δs A Preço Ativo M.

3 u=1.1;d= Call (X=21) Delta no nó 1 período 2, = = 0, A Delta no 2 período 22 B C D E F , = = 0, , 2 1 9, = = 0 1 9, 8 1 6, 2 Hedging com Delta Isto requer manter o Delta da Carteira Neutro S ƒ: Delta unidades de ativo e posição vendida de derivativo. Possue delta zero. ƒ-s : Também! Hedging com Delta Numa posição vendida Se o derivativo tem delta positivo, compro ativo. Se o derivativo tem delta negativo vendo ativo. Numa posição comprada de derivativo. Se o delta do derivativo é positivo, neutralizamos o delta da carteira, vendendo ativo. Se o Delta é negativo, compramos ativo.

vendida de derivativo. Possue delta zero. ƒ-s : Também! Hedging com Delta Numa posição vendida Se o derivativo tem delta positivo, compro ativo.

4 Teta Teta (Θ) de um derivativo (ou carteira de derivativos) é a taxa de variação do valor do papel em relação ao tempo θ C = τ Gama Gama (Γ) é a taxa de variação do delta ( ) em relação ao preço do ativo subjacente Γ = S Gama mede o Erro do Delta Hedging Causado pela Curvatura Preço do Call C C C S S Preço do ativo

de variação do delta ( ) em relação ao preço do ativo subjacente Γ = S Gama

5 Vega Vega (ν) é a taxa de variação do valor de uma carteira de derivativos em relação da volatilidade C ν = σ Administrando Delta, Gama, & Vega pode ser mudado tomando uma posição no subjacente Para ajustar Γ & ν é necessario tomar uma posição numa opção ou outro derivativo. Rô Rô é a taxa de variação do valor do derivativo em relação a taxa de juros Para opções de moedas existem 2 rôs. C ρ = r

subjacente Para ajustar Γ & ν é necessario tomar uma posição numa opção ou outro derivativo.

6 Hedging na Prática Traders usualmente se aseguram que suas carteiras tenham delta neutro pelo menos uma vez ao día Quando a oportunidade aparece eles melhoram o gama e o vega Enquanto as carteiras são mais diversificadas o hedging é menos caro. Gerência de Risco de uma Carteira de Derivativos O Risco de uma carteira de derivativos, vem: Diretamente: dos ativos que a compõem; Indiretamente: dos ativos subjacentes a esses derivativos, tais como volatilidade da Ação e das Taxas de juros Gerência de Risco de uma Carteira de Derivativos Instrumentos úteis à avaliação de risco de uma carteira de opções: ; Preço da Opção; Elaboração de uma carteira delta-gama neutra.

Gerência de Risco de uma Carteira de Derivativos O Risco de uma carteira de derivativos, vem: Diretamente: dos ativos que a compõem; Indiretamente: dos ativos

7 Gerência de Risco de uma Carteira de Derivativos Para o cálculo das derivadas foi utilizada a Fórmula de Black & Scholes que foi desenvolvida para avaliar o preço de opções Européias, esta fórmula é composta pelas seguintes variáveis: S - Preço a Vista k - Preço de Exercício σ - volatilidade r - Taxa de Juros n - Prazo até o vencimento Gerência de Risco de uma Carteira de Derivativos A Fórmula de Black & Scholes: C(S, n, k, r, σ) = S.N(d 1 ) - k / (1+ r ) n. N(d 2 ) d 1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + σ 2 /2. n/252] /[ σ. (n/252) 1/2 ] d 2 = d 1 -σ. (n / 252) 1/2 Preço de Uma Opção de Compra Dados: Preço Exercício (k) = 56,00 Preço da Ação (S) = 54,90 Taxa de juros ( r ) = 0,11 % ad ou 0,0011 Volatilidade ( σ ) = 40,00 % ou 0,4000 Prazo maturidade (n) = 44 dias Pede-se: Calcule o preço da Opção utilizando-se a Fórmula de Black & Scholes Depois fazer o Delta-Hedging de uma posição comprada nesta call.

de Black & Scholes: C(S, n, k, r, σ) = S.N(d 1 ) - k / (1+ r ) n. N(d 2 ) d 1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + σ 2 /2. n/252] /[ σ. (n/252) 1/2 ] d 2 = d 1 -σ.

8 Calculando o Preço de Uma Opção de Compra C(S, n, k, r, σ) = S.N(d 1 ) - k / (1+ r ) n. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d 1 ) - 56/ (1+ 0,0011) 44. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d 1 ) - 53,35. N(d 2 ) d 1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + σ 2 /2. n/252] /[ σ. (n/252) 1/2 ] d 1 =[Log(54,90/(56/(1+0,0011) 44 )+(0,4) 2 /2.44/252]/[0,4.(44/252) 1/2 ] d 1 = 0,2542 d 2 = 0,2542-0,4. (44 / 252) 1/2 d 2 = 0,08715 Calculando o Preço de Uma Opção de Compra C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d 1 ) - 53,35. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N( 0,2542 ) - 53,35. N( 0,08715 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,90. 0, ,35. 0,5347 C(S, n, k, r, σ) = 4,43 Delta=N(d1)=0,6004 Para criar um hedge sem risco deve-se ter em carteira uma posição vendida inicialmente de 0,6004 ações=r$32,96 Delta ( ) É definido como sendo a taxa de variação do preço da opção em relação ao preço da ação. O Hedge de Delta é utilizado para proteger a carteira de pequenas mudanças no preço do ativo. Sendo: C(S, n, k, r, σ) = S. N (d 1 ) - k / (1+ r ) n. N (d 2 ) = C / S = N (d 1 )

(44 / 252) 1/2 d 2 = 0,08715 Calculando o Preço de Uma Opção de Compra C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N(d 1 ) - 53,35. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,90.N( 0,2542 ) - 53,35.

9 P opção Delta ( ) Inclinação= P ação O Delta é a inclinação da curva que relaciona o preço do derivativo ao preço do ativo objeto. Delta ( ) = C / S = N (d 1 ) Uma carteira é dita delta neutra quando a soma do delta das opções mais a quantidade do ativo é Zero. Isto indica que a carteira é insensível a pequenas variações do preço do ativo. Calculando o Valor do Delta Supondo uma operação financeira conhecida como Spread de alta, em que se compra a opção de compra com menor preço de exercício e se vende a de maior preço de exercício temos: P exerc Op. Compra 1 = 56,00 P exerc Op. Compra 2 = 52,00 Preço da Ação - (S) = 54,90 Taxa de Juros ( r ) = 0,0011 Volatilidade ( σ ) = 0,40

Isto indica que a carteira é insensível a pequenas variações do preço do ativo.

10 Calculando o Valor do Delta = C / S = N (d 1 ) d 1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + σ 2 /2. n/252] /[ σ. (n/252) 1/2 ] d 1opç2 =[Log(54,90/(52/(1+0,0011) 44 )+(0,4) 2 /2.44/252]/[0,4.(44/252) 1/2 ] d 1opç2 = 0,6978 d 1opç1 =[Log(54,90/(56/(1+0,0011) 44 )+(0,4) 2 /2.44/252]/[0,4.(44/252) 1/2 ] d 1opç1 = 0,2538 Calculando o Valor do Delta = C / S = N (d 1 ) opç2 = N ( 0,6978 ) = 0,7573 opç1 = N ( 0,2538 ) = 0,6004 carteira = opç2 - opç1 carteira = 0,7573-0,6004 carteira = 0,1569 Concluindo sobre o Valor do Delta carteira = 0,1569 Para criar um hedge sem risco deve-se ter em carteira uma posição vendida inicialmente de 0,1569 ações A carteira equivale a uma posição vendida em Ações num montante de: 0,1569 * 54,90 = R$ 8,61

(44/252) 1/2 ] d 1opç1 = 0,2538 Calculando o Valor do Delta = C / S = N (d 1 ) opç2 = N ( 0,6978 ) = 0,7573 opç1 = N ( 0,2538 ) = 0,6004 carteira = opç2 - opç1 carteira =

11 Gama (Γ) O delta apenas aproxima a variação do preço da opção, pois não considera a curvatura do preço da opção em relação ao preço do ativo objeto. O Gama corresponde à taxa de ajuste deste Delta com relação ao preço do ativo, sinalizando o momento de se efetuar os ajustes em delta para manter a carteira hedgeada. Gama (Γ) Sendo: C(S, n, k, r, σ) = S. N (d 1 ) - k / (1+ r ) n. N (d 2 ) Γ = 2 C / S 2 = N`( d 1 ) / S. σ. (n/252) 1/2 Onde: N` (x) = (e - (x^2/2) ) / (2π) 1/2 Gama (Γ) Para verificarmos o efeito de uma variação no preço do ativo objeto sobre o preço da opção devemos considerar a seguinte equação: C = ( C/ S)* S + (1/2)*( 2 C/ S 2 )*( S) 2

hedgeada. Gama (Γ) Sendo: C(S, n, k, r, σ)

12 Calculando o Valor de Gama Dados: Preço Exercício (k) = 56,00 Preço da Ação (S) = 54,90 Taxa de juros ( r ) = 0,11 % ad ou 0,0011 Volatilidade ( σ ) = 40,00 % ou 0,4000 Prazo maturidade (n) = 44 dias Calculando o Valor de Gama Γ = 2 C / S 2 = N`( d 1 ) / S. σ. (n/252) 1/2 d 1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + σ 2 /2. n/252] /[ σ. (n/252) 1/2 ] d 1 =[Log(54,90/(56/(1+0,0011) 44 )+(0,4) 2 /2.44/252]/[0,4.(44/252) 1/2 ] d 1 = 0,2542 Γ = N`( 0,2542 ) / 54,90. 0,4. (44/252) 1/2 Γopç1 = 0,0421 Calculando o Impacto sobre o preço da Opção Supondo um aumento de R$ 2,00 no preço da ação, o preço da opção 1 deverá aumentar em: Copç1= ( C/ S)* S + (1/2)*( 2 C/ S 2 )*( S) 2 Copç1 = 0,6004*2 + (1/2)*(0,0421)*(2) 2 Copç1 = 1,2849

(n/252) 1/2 ] d 1 =[Log(54,90/(56/(1+0,0011) 44 )+(0,4) 2 /2.44/252]/[0,4.(44/252) 1/2 ] d 1 = 0,2542 Γ = N`( 0,2542 ) / 54,90. 0,4.

13 Teta (θ) C(S, n, k, r, σ) = S. N (d 1 ) - k / (1+ r ) n. N (d 2 ) θ = C/ n θ = [(S.N(d1).σ)/(2.((n/252)1/2) + (252.k.ln(1+r))/(1+r)n)).N(d2)] / 1/252 θ Opç1 = 0,0716 Rô (ρ) C(S, n, k, r, σ) = S. N (d 1 ) - k / (1+ r ) n. N (d 2 ) ρ = C/ r ρ = n.k.n(d2) / (1+r) n+1 ρ opç1 = (44.56.N ( 0,0872)/(1+0,0011) ρ opç1 = 1.253,98 ρ opç1 = 1.253,98 Rô (ρ) Se a taxa de juros diária variar de 0,11% ad para 0,15% ad, o valor da opção deverá aumentar em: ρ opç1. i = 1.253,98 * (0,15% - 0,11%) ρ opç1. i = 0,5016

56.N ( 0,0872)/(1+0,0011) 44 + 1 ρ opç1 = 1.253,98 ρ opç1 = 1.

14 Vega (ν) C(S, n, k, r, σ) = S. N (d 1 ) - k / (1+ r ) n. N (d 2 ) ν = C/ σ ν = S. (n / 252) 1/2. N (d1) Supondo uma elevação da volatilidade de 40% para 60%, ν opç1=54,90.(44/252) 1/2.N (0,2543) ν opç1= 13,7726 o preço da opção aumentará em: (13,7726).(60%-40%)=2,7545 Conclusão As derivadas parciais mostram que o preço da opção é: a)tanto Maior quanto maior for:. A Volatilidade, O prazo, O preço do Ativo e a Taxa de juros b) Tanto Menor quanto maior for o preço do exercício Explicação de Lucros e Perdas Data 18/09/ /09/ /09/ /09/ /09/ /09/2006 Total Dias Úteis Ação - PN 54,90 55,50 56,20 56,00 55,60 54,25 Opção1 4,43 4,72 5,1 4,89 4,56 3,69 Variação 0,29 0,38-0,21-0,33-0,87-0,74 Explicação Delta 0,36 0,44-0,14-0,26-0,83-0,43 Gama 0,01 0,01 0,00 0,00 0,04 0,06

A Volatilidade, O prazo, O preço do Ativo e a Taxa de juros b) Tanto Menor quanto maior for o preço do exercício Explicação de Lucros e Perdas Data 18/09/2006 19/09/2006 20/09/2006 21/09/2006

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