Ricardo Figueiroa Cattaruzzi ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS DO SKEW E DA SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE DE DÓLAR/REAIS

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1 FACULDADE IBMEC SÃO PAULO Programa de Mestrado Profissional em Economia Ricardo Figueiroa Cattaruzzi ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS DO SKEW E DA SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE DE DÓLAR/REAIS São Paulo 29

2 Ricardo Figueiroa Cattaruzzi Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas Orientador: Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente Ibmec São Paulo São Paulo 29

3 Cattaruzzi, Ricardo Figueiroa Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais / Ricardo Figueiroa Cattaruzzi; orientador Antonio Zoratto Sanvicente São Paulo: Ibmec São Paulo, f. Dissertação (Mestrado Programa de Mestrado Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas) Faculdade Ibmec São Paulo. 1. Volatilidade 2. Superfície de Volatilidade 3. Análise de Componentes Principais (PCA)

4 FOLHA DE APROVAÇÃO Ricardo Figueiroa Cattaruzzi Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São Paulo, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas Aprovado em: 24/6/29 Banca examinadora Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente Instituição: Ibmec São Paulo Assinatura: Prof. Dr. Marco Tulio Lyrio Instituição: Ibmec São Paulo Assinatura: Prof. Dr. Diógenes Leiva Martin Instituição: Universidade Mackenzie Assinatura:

5 RESUMO CATTARUZZI, Ricardo Figueiroa. Análise de Componentes Principais do Skew e da Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais. São Paulo, f. Dissertação (Mestrado) Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 29. Este estudo tem como objetivo a aplicação da Análise de Componentes Principais (PCA) ao Skew e à Superfície de Volatilidade de Dólar/Reais. A primeira abordagem é a aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade implícita entre determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro em cada prazo, com base na proposta de Alexander (2). A segunda abordagem é a aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função de delta em cada prazo, enquanto que a terceira abordagem é a aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade (volatilidade em função de delta e prazo de vencimento), baseada em Kamal e Derman (1997). Em todas as abordagens é verificada a relação entre o coeficiente de variação diária de cada componente e a variação diária do preço do ativo-objeto através de uma regressão linear. Nas duas primeiras análises, os componentes encontrados são responsáveis por nível, inclinação e convexidade, enquanto que na última aplicação os componentes correspondem a nível, estrutura de volatilidade no tempo e estrutura de volatilidade no delta. Em todos os casos, o coeficiente diário do primeiro componente apresenta forte relação com a variação diária do preço do ativo-objeto, enquanto os outros componentes não apresentam relação clara. Palavras-Chave: Análise de Componentes Principais (PCA); Volatilidade; Superfície de Volatilidade; Skew.

6 ABSTRACT CATTARUZZI, Ricardo Figueiroa. Principal Component Analysis of Volatility Skew and Volatility Surface of USD/BRL. São Paulo, f. Dissertation (Masters) Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 29. This study is concerned with the application of Principal Components Analysis (PCA) to the Skew and Surface Volatility of the USD/BRL rate. The first approach is the application of PCA to the daily variation of the differential between the implied volatility given the exercise price and the volatility at the money in each period, based on Alexander (2). The second approach is the application of PCA to the daily variation in volatility as a function of delta in each period, while the third approach is the application of PCA to the daily variation of the volatility surface (volatility as a function of both delta and time to maturity), based on Kamal and Derman (1997). In all these approaches, the relationship between the coefficient of daily variation of each component and the asset s daily variation is verified with the aid of a linear regression model. In the first two analyses, the components correspond to level, slope and convexity, while in the last application the components are responsible for the level, time structure of volatility and delta structure of volatility. In all cases, the daily coefficient for the first component exhibits a strong relationship with the daily variation in the underlying asset price, whereas for the other components there is no clear relationship. Keywords: Principal Component Analysis (PCA); Volatility; Volatility Surface; Skew.

7 SUMÁRIO 1. Introdução e Objetivo Revisão da Literatura Apreçamento de opções Smile de Volatilidade Estratégias com opções Análise de Componentes Principais (PCA) Aplicação da PCA a finanças Metodologia Tratamento dos dados Obtenção da volatilidade para determinados preços de exercício Aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) Aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo Aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade Análise da relação do coeficiente diário de cada componente em relação à variação do ativo objeto Dados Resultados Resultados da aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) Resultados da aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo Resultados da aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade Comparação entre as diferentes aplicações da PCA Conclusões Bibliografia... 6

8 LISTA DE FIGURAS Figura 1. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativoobjeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-strike... 8 Figura 2. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativoobjeto e de preço de exercício supondo o modelo sticky-delta... 9 Figura 3. Exemplo de cálculo da volatilidade local... 1 Figura 4. Superfície de volatilidade Figura 5. Volatilidade delta 5 interpolada para 21 dias úteis x nível do ativoobjeto Figura 6. Volatilidade implícita 21 dias úteis x volatilidade histórica Figura 7. Volatilidades de 21 e 63 dias úteis delta Figura 8. Volatilidades de 21 e 126 dias úteis delta Figura 9. Skew de volatilidade Figura 1. Risk reversal 21 dias x nível do ativo-objeto... 3 Figura 11. Risk reversal - 21 dias x 126 dias... 3 Figura 12. Superfície de volatilidade Figura 13. Volatilidade no dinheiro e de diferentes preços de exercício para o prazo de 63 dias Figura 14. Diferencial da volatilidade no dinheiro e a volatilidade de diferentes preços de exercício para o prazo de 63 dias Figura 15. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para o prazo de 21 dias Figura 16. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para o prazo de 42 dias Figura 17. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para o prazo de 63 dias Figura 18. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para o prazo de 126 dias Figura 19. Carga de cada componente ao longo dos preços de exercício para o prazo de 189 dias Figura 2. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 21 dias da PCA por preços de exercício... 4

9 Figura 21. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 42 dias da PCA por preços de exercício... 4 Figura 22. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 63 dias da PCA por preços de exercício Figura 23. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 126 dias da PCA por preços de exercício Figura 24. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 189 dias da PCA por preços de exercício Figura 25. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 21 dias Figura 26. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 42 dias Figura 27. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 63 dias Figura 28. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 126 dias Figura 29. Carga de cada componente ao longo do delta para o prazo de 189 dias Figura 3. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 21 dias da PCA por delta Figura 31. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 42 dias da PCA por delta Figura 32. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 63 dias da PCA por delta Figura 33. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 126 dias da PCA por delta... 5 Figura 34. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para o prazo de 189 dias da PCA por delta... 5 Figura 35. Carga do primeiro componente da superfície de volatilidade Figura 36. Carga do segundo componente da superfície de volatilidade Figura 37. Carga do terceiro componente da superfície de volatilidade Figura 38. Carga do quarto componente da superfície de volatilidade Figura 39. Carga do quinto componente da superfície de volatilidade... 55

10 Figura 4. Estimativa do parâmetro gamma de cada componente para a PCA para superfície de volatilidade... 56

11 1 1. INTRODUÇÃO E OBJETIVO No mercado de opções de câmbio, a abordagem largamente utilizada pelos participantes do mercado para fins de apreçamento é a partir da fórmula Black- Scholes e de uma superfície de volatilidade (volatilidade em função de delta e prazo de vencimento). O objetivo deste trabalho é identificar o comportamento das variações da superfície de volatilidade para opções de câmbio (US$/R$), assim como analisar a relação das variações da volatilidade com a variação do preço do ativo-objeto. Há diferentes formas de variação da superfície de volatilidade. O nível da volatilidade é a principal fonte de variação. No entanto, algumas estratégias formadas através de opções compradas e/ou vendidas com diferentes preços de exercício se tornaram padrão de negociação no mercado de opções de câmbio. Desta maneira, além do nível da volatilidade, também está sendo negociado o diferencial da volatilidade de determinado preço de exercício em relação a outro preço de exercício, ou seja, o diferencial de volatilidade entre diferentes pontos da superfície de volatilidade. Este conhecimento pode ser aplicado em simulações de portfólios de opções com o intuito de identificar os riscos existentes e/ou com o intuito de otimização, dado que as movimentações relativas entre pontos da superfície de volatilidade podem gerar oscilações de resultados em portfólios vega-neutros. Para o caso de produtos exóticos, simulações numéricas são essenciais para mapear os riscos, devido à maior complexidade destes produtos. Além disso, este modelo pode auxiliar na atualização de superfícies de volatilidade durante o pregão (intraday) de acordo com oscilações de mercado. Para este objetivo, a técnica utilizada é a Análise de Componentes Principais (PCA). A PCA é um método estatístico utilizado para analisar dados multivariados. A partir dos dados originais, que são correlacionados, tentamos obter um novo conjunto de variáveis não correlacionadas. Este novo conjunto de variáveis é formado pelos componentes principais, e o intuito é verificar se há um pequeno número de componentes principais que sejam capazes de explicar uma proporção elevada da variação do conjunto original de dados.

12 2 Verificar a sensibilidade de um portfólio de opções a cada um dos componentes permite obter informações sobre a exposição a diferentes formas de variação da superfície de volatilidade. O componente referente à estrutura temporal de volatilidade, por exemplo, permite identificar o nível de exposição de um portfólio a variações de diferentes magnitudes nas volatilidades de curto e longo prazo.

13 3 2. REVISÃO DA LITERATURA 2.1. Apreçamento de opções A fórmula de apreçamento de opções desenvolvida por Black e Scholes (1973) é utilizada no cálculo do valor de opções européias de compra ou de venda de ações que não pagam dividendos e é conhecida no mercado financeiro como fórmula Black-Scholes. A fórmula supõe que o preço do ativo em questão segue um movimento browniano geométrico com volatilidade constante. (1) (2) 2 (3) (4) Onde: c: valor da opção européia de compra; p: valor da opção européia de venda; S: preço do ativo-objeto; K: preço de exercício; r: taxa de juros livre de risco (com capitalização contínua); t: tempo em anos até o vencimento da opção; σ: volatilidade do ativo-objeto; N(d j ): probabilidade acumulada de d j com distribuição normal padronizada. Merton (1973) generalizou a fórmula de apreçamento acima para permitir a precificação de opções européias de ações ou índices de ações que pagam uma taxa de dividendo conhecida. No entanto, uma limitação desta fórmula é supor que

14 4 os dividendos são pagos continuamente. Para índices de ações, esta é uma aproximação razoável. No entanto, para ações que pagam dividendos cerca de duas vezes ao ano esta limitação se torna mais problemática. Além disso, outra simplificação é supor que os dividendos são previamente conhecidos. O modelo proposto por Merton é: (5) (6) 2 (7) (8) Onde: q: dividendos (taxa em formato contínuo composto). Garman e Kohlhagen (1983) adaptaram a fórmula desenvolvida por Merton (1973) para apreçar opções européias de taxas de câmbio utilizando o termo q como taxa livre de risco da moeda estrangeira. Esta fórmula se tornou o padrão de mercado para a conversão de volatilidades negociadas em preços no mercado de balcão de opções de moedas. O delta de uma opção é a taxa de variação do preço da opção em relação ao preço do ativo-objeto; ou seja, é a inclinação da curva que relaciona o preço da opção ao preço do ativo-objeto. Portanto: (9) Onde: : delta da opção.

15 5 No caso de Garman (1983), o delta de uma opção européia de compra é: (1) E no caso de uma opção européia de venda: 1 (11) (12) O delta apresentado acima para o caso de opções européias de taxa de câmbio representa a sensibilidade do preço da opção a variações do valor do spot, ou seja, da taxa de câmbio no mercado à vista. No entanto, o objeto cotado nestas opções é o valor do forward. Portanto, também é importante o conceito da sensibilidade do preço da opção a variações do valor do forward, o qual é dado por: (13) Onde: F: valor do forward (contrato a termo); r f : taxa de juros livre de risco em moeda estrangeira (capitalizada continuamente). As expressões a seguir indicam os valores de delta forward, delta forward de uma opção de compra, delta forward de uma opção de venda e delta forward de uma opção de venda expressa em função do delta forward de uma opção de compra, respectivamente: (14) (15) 1 (16)

16 6 1 (17) Onde: F : delta forward. A partir deste ponto, nos referimos ao delta de uma opção em relação ao spot como delta spot e ao delta de uma opção em relação ao forward como delta forward Smile de Volatilidade Derman (1994) afirmou que os preços observados no mercado não são coerentes com a suposição da teoria de Black e Scholes de que o preço do ativoobjeto evolui com volatilidade constante e independente do prazo de vencimento ou do nível do valor do ativo-objeto. No entanto, o mercado em geral trabalha com a fórmula Black-Scholes utilizando um valor de volatilidade que, aplicado à fórmula Black-Scholes, resulta em um valor que reflita os preços observados no mercado. Esta volatilidade é conhecida por volatilidade implícita. A assimetria de volatilidade entre diferentes preços de exercício é conhecida por skew de volatilidade. Por sua vez, a variação da volatilidade de acordo com o prazo de vencimento da opção é conhecida como estrutura de volatilidade no tempo. O conjunto do skew de volatilidade e da estrutura de volatilidade no tempo é denominado smile de volatilidade. Derman (1994) propôs a construção de uma árvore implícita a partir dos preços observados no mercado. Esta árvore precifica corretamente as opções que têm preços observados no mercado, assim como permite precificar outros derivativos complexos. Outros autores também publicaram trabalhos com o intuito de utilizar o smile de volatilidade observado no mercado para fazer o apreçamento de outros derivativos. Dupire (1994) determinou um processo de difusão compatível com o efeito do smile de volatilidade para permitir o apreçamento de opções americanas e derivativos dependentes da trajetória do preço do ativo-objeto. Derman (1999) realizou estudo sobre o comportamento do skew da volatilidade do índice S&P 5 isolando distintos períodos nos quais um padrão de

17 7 comportamento da superfície de volatilidade parecia ser mantido. Os dados utilizados apóiam a suposição de que o skew varia de maneira aproximadamente linear. Em conseqüência, elaborou uma parametrização linear do skew através da seguinte fórmula empírica:, =, - (18) Onde: σ K,t : volatilidade implícita da opção com preço de exercício K e prazo de vencimento t quando o preço do ativo-objeto é ; σ ATM,t : volatilidade implícita no dinheiro para o prazo de vencimento t; S : preço do ativo-objeto; b t : parâmetro da inclinação do skew em pontos percentuais de volatilidade por ponto de preço de exercício. Três modelos são abordados. Cada um dos três modelos parte de uma premissa na qual a volatilidade se mantém constante: 1 Sticky-strike: a volatilidade implícita para cada preço de exercício não se altera com uma variação do preço do ativo-objeto, ou seja:,, =, - (19) Equivale a supor que a equação (18) se aplica a qualquer nível de preço do ativo-objeto. O valor S está presente na fórmula apenas como nível de referência para a volatilidade no dinheiro. Na Figura 1, é possível observar o comportamento da árvore de Black e Scholes para cada nível de preço de exercício em um caso em que o skew é negativo (quanto menor o preço de exercício, maior a volatilidade). Cada linha representa um determinado preço de exercício e cada coluna um determinado preço do ativo-objeto. A árvore é a mesma em cada linha, apenas seu início é deslocado de acordo com o preço corrente do ativo-objeto.

18 8 Preço do Ativo Objeto Preço de Exercício Figura 1. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativo-objeto e de preço de exercício supondo o modelo stickystrike Fonte: Elaboração do autor 2 Sticky-delta: a volatilidade implícita permanece constante em relação ao delta da opção, ou seja, de acordo com a relação entre K (preço de exercício) e S (preço do ativo-objeto). A formulação inicial deste caso parte de uma regra de stickymoneyness, onde moneyness é a relação (K/S - 1), ou seja, a relação entre preço de exercício e preço do ativo-objeto:,, =, - 1 (2) Para preços do ativo-objeto S e preços de exercício K próximos de S, podemos reescrever a equação acima e obter a regra de sticky-delta:,, =, - (21) Na Figura 2, podemos observar o comportamento da árvore de Black e Scholes para o caso sticky-delta. A árvore de volatilidade se mantém constante de acordo com o moneyness. Por exemplo, para os casos em que o preço de exercício é igual ao preço do ativo-objeto o valor do moneyness é o mesmo e temos, portanto, a mesma árvore de volatilidade. Desta maneira, o comportamento da árvore de

19 9 volatilidade é constante na diagonal do quadro, conforme indicado na direção das setas. Preço do Ativo Objeto Preço de Exercício Figura 2. Árvore de Black e Scholes para diferentes níveis de preço do ativo-objeto e de preço de exercício supondo o modelo stickydelta Fonte: Elaboração do autor 3 Sticky-implied-tree: é possível obter a volatilidade local para cada preço de exercício supondo que a volatilidade utilizada no apreçamento corresponde à volatilidade média para a região compreendida entre o preço atual do ativo-objeto e o preço de exercício. A Figura 3 apresenta um exemplo do cálculo da volatilidade local. Quando o ativo-objeto vale 1, a volatilidade implícita para o preço de exercício de mesmo valor é 2% e, como esta é a volatilidade no dinheiro, a volatilidade local para este preço de exercício também é 2%. Para este mesmo preço de ativo-objeto, a volatilidade implícita para o preço de exercício 99 é 21%. Desta forma, a volatilidade local para o preço de exercício 99 é 22%, pois a média das volatilidades locais dos preços de exercício no dinheiro e 99 resultam na volatilidade implícita do preço de exercício 99.

20 1 Ativo Objeto = 1 Ativo Objeto = 99 Preço de Exercício Volatilidade Implícita Ativo Objeto Volatilidade Local Preço de Exercício Volatilidade Implícita 1 2% 1 2% 99 22% 99 21% 99 22% 98 23% 98 22% 98 24% 97 24% 97 23% 97 26% 21% = (2% + 22%) *,5 Figura 3. Exemplo de cálculo da volatilidade local Fonte: Elaboração do autor De acordo com estes cálculos, a velocidade de aumento da volatilidade local com variações de preço do ativo-objeto é duas vezes maior do que a de aumento da volatilidade implícita com variações de nível do preço de exercício. A relação na qual a volatilidade local se mantém constante é descrita na equação (22). Neste caso, a volatilidade implícita para determinado preço de exercício decresce quando o preço do ativo-objeto ou o preço de exercício se elevam.,, =, - (22) A conclusão de Derman (1999) é a de que cada um dos modelos é mais adequado a um determinado comportamento de mercado. O modelo sticky-strike é adequado em mercados onde a oscilação de preço do ativo-objeto ocorre em determinado intervalo, sem variação significativa na volatilidade realizada. Neste caso é razoável manter a volatilidade implícita de cada opção. O modelo sticky-delta é adequado em mercados com uma tendência definida para a variação do preço do ativo-objeto, porém sem variação significativa na volatilidade realizada. A volatilidade implícita da opção no dinheiro é mantida constante. O modelo sticky-implied-tree é adequado em mercados onde há descontinuidades no preço do ativo-objeto e grandes variações na volatilidade realizada.

21 Estratégias com opções Algumas estratégias com opções são formadas através de posições compradas e/ou vendidas com diferentes preços de exercício. No mercado de opções de câmbio, algumas dessas estratégias se tornaram padrão de mercado. De acordo com CME (29), comprar um Risk Reversal consiste em comprar uma opção de compra e vender uma opção de venda para o mesmo prazo de vencimento e para o mesmo ativo-objeto. Um Butterfly Spread pode ser composto de opções de compra ou opções de venda. Quando composto de opções de compra, comprar um Butterfly Spread consiste em comprar uma opção de compra com um determinado preço de exercício, vender duas opções de compra com um preço de exercício superior ao primeiro e comprar uma opção de compra com um preço exercício superior ao segundo preço de exercício. É padrão no mercado de balcão de opções de cambio offshore a negociação de risk reversal em que a opção de compra e a opção de venda possuem o mesmo delta. Outro padrão encontrado é a negociação de butterfly spreads em que os preços de exercício são definidos utilizando-se o preço de exercício intermediário correspondente ao de uma opção no dinheiro, enquanto o preço de exercício superior corresponde ao de uma opção de compra fora do dinheiro com determinado delta e o preço de exercício inferior corresponde ao de uma opção de venda fora do dinheiro com o mesmo delta. Desta maneira, utilizaremos neste texto a expressão risk reversal para expressar o diferencial de volatilidade implícita entre opções de compra e opções de venda com o mesmo delta, enquanto o termo butterfly expressará o diferencial entre a média das volatilidades das opções de compra e de venda com o mesmo delta e a volatilidade no dinheiro Análise de Componentes Principais (PCA) De acordo com Jollife (22), o objetivo da Análise de Componentes Principais (PCA) é reduzir a dimensionalidade de um conjunto de dados formado por um grande número de variáveis inter-relacionadas, mantendo a maior quantidade

22 12 possível de informação do conjunto de dados original. Para atingir este objetivo é feita a transformação dos dados originais em um novo conjunto de variáveis, chamadas de componentes principais. Estas variáveis são não correlacionadas e ordenadas de maneira que os primeiros componentes reflitam a maior parte da variação presente nos dados originais. O passo inicial para determinar os componentes principais de um vetor X, composto de p variáveis é buscar uma função linear de elementos de X com máxima variância, onde é um vetor de p constantes,,, e o símbolo, significa transposto, de maneira que:, (23) O passo seguinte é buscar uma função linear, que seja não, correlacionada com e possua máxima variância, e assim por diante, de maneira, que no passo k seja encontrada uma função linear que tenha máxima,,, variância, porém seja não correlacionada com,,,. Até p componentes principais podem ser encontrados, mas espera-se que a maior parte da variância possa ser explicada com um número de componentes inferior a p. Dada uma matriz de covariância Σ do vetor X, encontrar o vetor que,, maximiza requer impor a restrição, 1 (soma dos quadrados dos elementos de é igual a 1), caso contrário o máximo não será atingido com um valor finito de., Para maximizar Σ sujeito a, 1 é utilizada a técnica dos multiplicadores de Lagrange:, Σ, 1 (24) Onde: : multiplicador de Lagrange. Derivando em relação a :

23 13 Σ (25) Ou ainda: (26) Onde: : matriz identidade com dimensões p x p. Portanto, é um autovalor de Σ e é seu autovetor correspondente. Como a quantidade a ser maximizada é dada pela equação (27), é o autovetor correspondente ao maior autovalor de Σ e assim por diante., Σ,, (27) Desta maneira, a aplicação da PCA consiste em encontrar os autovalores e os autovetores da matriz de covariância. Os autovetores representam os componentes principais, enquanto seus autovalores correspondentes são a informação da parcela da variância explicada Aplicação da PCA a finanças A primeira aplicação da PCA a finanças foi feita por Litterman e Scheinkman (1991), em que a técnica foi aplicada à estrutura temporal da taxa de juros dos títulos norte-americanos. Os três primeiros componentes explicaram 96% da variância: o primeiro componente representa o nível da taxa de juros, o segundo componente representa a inclinação da curva de taxas de juros e o terceiro componente a curvatura da estrutura de taxas de juros. Alexander (2) aplicou a análise de componentes principais ao estudo do skew de volatilidade. A aplicação foi feita à variação diária do diferencial entre a volatilidade implícita de determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATM), ao invés da aplicação da PCA diretamente à variação da

24 14 volatilidade implícita para cada preço de exercício. Esta formulação é coerente com os modelos propostos por Derman (1999) (sticky-strike, sticky-delta e sticky-impliedtree) e a autora alega que os dados são menos ruidosos. Os resultados obtidos por Alexander para a análise de componentes principais mostram que componentes de segunda e terceira ordem também são significativos; portanto, quando há alterações no preço do ativo-objeto é coerente supor que ocorrem movimentos não paralelos no skew, diferentemente da premissa feita por Derman (1999), que considerava apenas movimentos paralelos ao supor a parametrização linear. Os movimentos não-paralelos são mais significativos para os prazos mais curtos e seu comportamento se altera de acordo com a situação do mercado. A PCA da variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro para um determinado prazo é baseada no modelo abaixo:,,, (28) Onde: : volatilidade implícita do preço de exercício K; : volatilidade implícita no dinheiro;, : carga fatorial do componente principal x para o preço de exercício K; : coeficiente diário referente ao componente principal x. A aplicação da PCA conforme o modelo acima permite obter a carga de cada componente e o coeficiente diário referente a cada um dos componentes. A carga do componente i é um vetor em que cada valor do vetor está associado à variação da volatilidade de um preço de exercício:,,,,,, (29) Onde: n: número de preços de exercício incluídos na análise;

25 15 Os componentes são ordenados de acordo com a parcela da variância que explicam, desta maneira o primeiro componente é o componente que corresponde à maior parcela de variação. Para compreender a que tipo de movimento cada componente está associado é necessário observar o formato do vetor. Nos resultados obtidos por Alexander, a carga do primeiro componente apresentou valores similares associados a cada preço de exercício; portanto, este componente está associado a movimentos paralelos na variação diária do diferencial de volatilidade. O coeficiente diário está associado a cada componente i. A variação diária da volatilidade para um determinado dia pode ser calculada através da soma do efeito de cada um dos componentes. Para um determinado preço de exercício K 1, o cálculo é:,,, (3) O objetivo da PCA é reduzir a dimensionalidade; portanto, espera-se que com apenas alguns componentes seja possível obter uma parcela significativa da variação, ou seja, podemos reduzir o número de componentes incluídos no cálculo da variação de volatilidade do preço de exercício K 1 :,,, (31) Supondo uma relação linear entre o coeficiente diário de cada um dos componentes e a variação diária do ativo-objeto, o modelo linear abaixo é definido:,,, (32) Onde:, : coeficiente diário referente ao componente principal i no dia t;, : parâmetro referente ao componente principal i no dia t; : variação percentual diária do preço do ativo-objeto no dia t;, : processo independente identicamente distribuído.

26 16 O parâmetro, mostra a relação entre o coeficiente diário obtido na equação (28) e a variação diária do ativo-objeto para o dia t. O primeiro componente obtido está associado a movimentos paralelos da variação diária do diferencial de volatilidade. O parâmetro associado a este componente apresentou valores positivos durante todo o período, o que significa que o diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro se eleva conforme o ativo-objeto apresenta variações diárias positivas. O resultado é coerente, pois o ativo-objeto analisado por Alexander apresenta volatilidades implícitas decrescentes em relação ao preço de exercício. Uma elevação no valor do ativo-objeto reduzirá a volatilidade no dinheiro, aumentando o diferencial de volatilidade entre determinado preço de exercício e a volatilidade no dinheiro. Para capturar a dependência das variações da volatilidade no dinheiro em relação às condições do mercado, é estimada a seguinte regressão:, (33) Onde:, : variação diária da volatilidade no dinheiro; : parâmetro referente à variação do ativo-objeto; : processo independente identicamente distribuído. Finalmente, é possível estimar a volatilidade para cada preço de exercício a partir dos componentes principais e da variação de preço do ativo-objeto:,, (34) Onde:, : parâmetro que relaciona a variação da volatilidade implícita do preço de exercício K à variação diária do preço do ativo-objeto no dia t, conforme a equação (35).

27 17,,, (35) Portanto, o procedimento consiste em estimar e utilizando a equação (28), estimar utilizando a equação (32) e estimar utilizando a equação (33). Em seguida, estes resultados são utilizados na equação (35) para o cálculo de,. O resultado obtido é utilizado no cálculo da equação (34). Le Roux (27) também criou um modelo para a superfície de volatilidade do índice S&P 5 utilizando a PCA; contudo, este modelo procura descrever o comportamento da superfície simultaneamente em função de prazo de vencimento e de preço de exercício. O autor cria um modelo para o índice VIX para determinar o nível da volatilidade implícita e utiliza um modelo paramétrico para obter o formato da superfície de volatilidade, o que elimina a poluição dos dados e permite a aplicação da PCA aos parâmetros que descrevem a superfície ao invés de todos os pontos originais. O resultado obtido mostra que 75,2% da variação são explicados pelo primeiro componente (redução da curvatura do smile para o curto prazo e aumento da inclinação da estrutura de volatilidade no tempo), enquanto que 15,6% são explicados pelo segundo componente (redução da inclinação da estrutura de volatilidade no tempo para os preços de exercício fora do dinheiro e aumento da inclinação da estrutura de volatilidade no tempo para os preços de exercício dentro do dinheiro). Outro trabalho que utiliza a PCA para estudar o comportamento da superfície de volatilidade é o de Kamal e Derman (1997). Utilizando dados semanais de volatilidade em função de delta e prazo de vencimento para o índice S&P 5 e dados diários para o índice Nikkei 225, são encontrados três componentes que, juntos, respondem por 9,7% e 95,9% das variações da volatilidade, respectivamente. O primeiro componente corresponde a um padrão de mudança de nível de volatilidade para toda a superfície, porém com efeito mais acentuado nos prazos mais curtos. O segundo componente corresponde a um movimento das volatilidades de prazos curtos em direção oposta à dos prazos mais longos. Apenas o terceiro componente apresenta dependência em relação a delta: a volatilidade das opções de compra fora do dinheiro se movimenta em direção oposta à volatilidade das opções de venda fora do dinheiro. A variação incremental explicada pelos componentes de maior ordem é reduzida e não corresponde a nenhum tipo de

28 18 movimento intuitivo para a superfície de volatilidade; portanto, estes componentes foram desconsiderados. Neste mesmo trabalho, o primeiro componente possui boa correlação com o retorno do índice: -,61 para o índice S&P 5 e -,67 para o índice Nikkei 225. Os outros componentes, no entanto, têm correlação baixa com o índice. Cont e Fonseca (22) aplicaram a análise de componentes principais à superfície de volatilidade em função de prazo e moneyness para os índices S&P 5 e FTSE 1. A superfície de volatilidade para estes índices é construída a partir de preços das opções no mercado e é submetida a um processo de suavização antes da análise de componentes principais. O primeiro componente, interpretado como o nível de volatilidade, explicou 94% da variação da superfície de volatilidade do índice S&P 5 e 96% da variação da superfície de volatilidade do índice FTSE 1, e apresentou forte correlação com a variação do ativo-objeto (66% e 7%, respectivamente). O segundo componente reflete a variação da diferença de volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora do dinheiro, enquanto o terceiro componente reflete a variação da convexidade da superfície. Oya (26) aplicou a análise de componentes principais para estudar o cálculo do Valor em Risco (VaR) de uma carteira de opções de câmbio no Brasil. A PCA foi aplicada a cada prazo com base na metodologia proposta por Alexander (no entanto, aplicou-a ao diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e volatilidade no dinheiro, enquanto que Alexander aplicou-a à variação diária deste dado) e obteve um poder explicativo acima de 9% para os três primeiros componentes principais. Kapotas (25) aplicou a análise de componentes principais à superfície de volatilidade de opções cambiais com o intuito de criar uma estratégia de hedge baseada nos componentes principais de variação da superfície. Foram utilizadas as volatilidades de 3,4 e 6 meses do período de maio de 2 a outubro de 21 e foram obtidos 98% de explicação da variação utilizando os 4 primeiros componentes. O primeiro componente encontrado corresponde ao nível da volatilidade e é responsável por 91,8% da variância da volatilidade. O segundo componente está associado ao diferencial de volatilidade entre as opções de compra fora do dinheiro e as opções de venda fora do dinheiro e representa 2,97% da variância da volatilidade. O terceiro componente corresponde à estrutura a termo da volatilidade

29 19 enquanto o quarto componente está associado à curvatura da volatilidade em relação ao moneyness.

30 2 3. METODOLOGIA 3.1. Tratamento dos dados A superfície de volatilidade utilizada neste trabalho é representada por valores de volatilidade em função de delta de cada opção e de prazo de vencimento expresso em número de dias úteis. O delta da opção é a sensibilidade do preço da opção em relação ao preço do seu ativo-objeto conforme descrito na seção anterior. Os dados utilizados estão em função do delta spot de opções européias de compra de dólar/venda de reais: deltas 1, 25, 37, 5, 63, 75 e 9. Portanto, uma volatilidade referente a delta 25 é a volatilidade de uma opção de compra de dólar com 25% de delta spot, ou seja, é uma opção de compra fora do dinheiro. A volatilidade referente a delta 75 é a volatilidade de uma opção de compra de dólar com 75% de delta spot, ou seja, uma opção de compra dentro do dinheiro. A relação entre o delta equivalente da opção de venda fora do dinheiro e a opção de compra dentro do dinheiro é descrita nas equações (12) e (17) para os casos de delta spot e delta forward, respectivamente. Neste trabalho, nos referimos às volatilidades referentes aos deltas inferiores a 5 como volatilidades de opções de compra fora do dinheiro, enquanto as volatilidades referentes a deltas superiores a 5 são referidas como volatilidades de opções de venda fora do dinheiro. Como as opções negociadas no mercado local (Bolsa de Mercadoria e Futuros, BMF) correspondem a datas de final de mês, é necessário interpolar as volatilidades no tempo para obter os dados para os prazos fixos utilizados neste trabalho: 1 mês = 21 dias, 2 meses = 42 dias, 3 meses = 63 dias, 6 meses = 126 dias e 9 meses = 189 dias. A interpolação utilizada é linear e aplicada delta a delta conforme a equação (36):,,,, (36) Onde: t: tempo em dias úteis a ser interpolado;

31 21 : tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido, porém inferior; : tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido, porém superior;, : volatilidade referente ao delta para o prazo t. Para obter as volatilidades referentes a cada preço de exercício é necessário obter o valor do forward de dólar/reais para cada prazo fixo utilizado neste trabalho. Assim como no caso das volatilidades, os contratos de DI e DDI/FRA são negociados no mercado local (Bolsa de Mercadoria e Futuros, BMF) em datas de final de mês. Os fatores de capitalização (inverso do fator de desconto) para os prazos fixos foram obtidos a partir da interpolação exponencial das taxas: (37) Onde: fct: fator de capitalização; t: tempo em dias úteis a ser interpolado; : tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido, porém inferior; : tempo em dias úteis do dado disponível com prazo mais próximo do requerido, porém superior; : taxa em formato exponencial 252 para o prazo t. A partir dos fatores de capitalização dos juros referentes ao real (pré) e ao dólar (cupom cambial) podemos calcular o valor do forward: é,, (38) Onde: : valor do forward para o prazo t;

32 22 S: taxa de câmbio no mercado à vista; é, : fator de capitalização da curva pré para o prazo t;, : fator de capitalização da curva de cupom cambial para o prazo t Obtenção da volatilidade para determinados preços de exercício Obter a volatilidade para determinado preço de exercício em um determinado prazo de vencimento a partir de volatilidades em função de delta requer alguns dados de mercado referentes ao prazo em questão e uma metodologia de interpolação da volatilidade em função de delta. A volatilidade em função de delta foi interpolada utilizando um spline cúbico entre os deltas 1 e 9 e extrapolada linearmente para deltas inferiores a 1 e deltas superiores a 9. O conjunto de informações necessárias para cada prazo em questão é: preço do forward, volatilidades em função de delta e prazo em dias úteis até o vencimento. Como as volatilidades estão expressas em função do delta spot, também é necessário conhecer o fator de capitalização da curva de cupom cambial para o prazo, já que este fator é utilizado na conversão do delta forward para o delta spot. A equação (7) pode ser reescrita para permitir o cálculo de d 1 em função do preço do forward, conforme a equação abaixo: 2 (39) O cálculo da volatilidade é feito utilizando um processo iterativo. O processo se inicia com a volatilidade do delta 5 como valor inicial. Calcula-se um novo delta utilizando-se esta volatilidade nas equações (39) e (1) e o novo valor do delta é utilizado para obter um novo valor de volatilidade através da interpolação da volatilidade em função de delta. Este processo se repete até que o delta calculado em cada passo apresente um valor incremental, em módulo, inferior ao valor de referência de erro (o valor utilizado foi 1 ).

33 23 Neste trabalho também é necessária a obtenção das volatilidades implícitas no dinheiro para cada prazo (ATMF at the money forward), ou seja, a volatilidade implícita para a opção com preço de exercício igual ao preço do forward. Esta volatilidade também pode ser obtida através do método descrito acima Aplicação da PCA à variação diária do diferencial de volatilidade entre determinados preços de exercício e a volatilidade no dinheiro (ATMF) A primeira abordagem de aplicação da PCA às volatilidades segue a proposta de Alexander (2). De posse das volatilidades referentes a cada preço de exercício, a PCA é aplicada à variação diária do diferencial entre a volatilidade de cada preço de exercício e a volatilidade no dinheiro. O histórico utilizado nesta análise foi restringido ao período de julho de 25 até janeiro de 28 com o intuito de evitar a necessidade de um número excessivo de preços de exercício que cobrissem a oscilação da taxa de dólar/reais no período. O período escolhido totaliza 625 observações e a taxa de câmbio oscilou de 175 a 245 no período. Os preços de exercício utilizados estão no intervalo de 19 até 23, subdividido em 25 pontos, totalizando 17 preços de exercício. A taxa de câmbio permaneceu neste intervalo durante cerca de 8% do período analisado. A análise foi feita para diferentes prazos de vencimento (21, 42, 63, 126 e 189 dias úteis) Aplicação da PCA à variação diária da volatilidade em função do delta para determinado prazo Nesta segunda abordagem, a análise utiliza a volatilidade em função de delta e não a volatilidade em função de preço de exercício como na abordagem anterior. Em cada um dos prazos analisados (21, 42, 63, 126 e 189 dias úteis) há um conjunto de volatilidades referentes a cada delta (1, 25, 37, 5, 63, 75 e 9 delta spot de opções européias de compra). Este conjunto de dados para cada prazo é conhecido como skew de volatilidade.

34 24 A PCA é aplicada à variação diária deste conjunto de dados. O objetivo é identificar os componentes principais de variação deste skew e o percentual da variância correspondente a cada componente. Embora a aplicação da PCA seja independente para cada prazo, também é útil comparar o comportamento entre os prazos para auxiliar na compreensão do próximo item Aplicação da PCA à variação diária da superfície de volatilidade Na terceira e última abordagem o alvo da análise é a superfície de volatilidade, ou seja, volatilidade em função de delta e de prazo de vencimento. Os prazos utilizados são os mesmos dos itens anteriores (21, 42, 63, 126 e 189 dias úteis); no entanto, os dados dos diferentes prazos são analisados simultaneamente nesta etapa. A volatilidade é expressa em função do delta (1, 25, 37, 5, 63, 75 e 9 delta spot de opções européias de compra), formando uma superfície de volatilidade com 5 prazos e 7 deltas totalizando 35 valores de volatilidade em cada superfície diária, conforme a Figura 4. DELTA PRAZO ,,,,,,,,, 189,, Figura 4. Superfície de volatilidade Para proceder à aplicação da PCA à superfície de volatilidade é formado um vetor de dados a partir da superfície de volatilidade:

35 25,,,, (4) Depois de aplicada a PCA a este vetor, os resultados são convertidos novamente no formato da superfície de volatilidade para se observar o formato das cargas fatoriais Análise da relação do coeficiente diário de cada componente em relação à variação do ativo-objeto Para cada uma das diferentes abordagens de aplicação da PCA à variação da volatilidade é analisado o comportamento do coeficiente diário de cada componente principal em relação à variação percentual diária do preço do ativoobjeto. A estimação do parâmetro é feita através do modelo linear proposto por Alexander na equação (32), reapresentada abaixo:,,, (32) Onde:, : coeficiente diário referente ao componente principal i no dia t;, : parâmetro referente ao componente principal i no dia t; : variação percentual diária do preço do ativo-objeto no dia t;, : processo independente identicamente distribuído. O cálculo e a análise são independentes para cada componente i. O procedimento é repetido para cada dia t do período analisado, utilizando-se uma janela móvel de 1 dias de dados. Portanto, a estimação do parâmetro, referente ao dia t do componente i utiliza dados de t-1 até t. O intuito desta análise é observar a estabilidade da relação entre cada componente e a variação de preço do ativo-objeto ao longo de cada dia do período.

36 26 4. DADOS Este trabalho utiliza dados diários desde o início do mês de julho de 24 até o término do mês de julho de 28, totalizando 124 observações 1. O histórico de superfície de volatilidade utilizado neste trabalho recorre aos dados publicados diariamente pela Reuters. Dispõe-se de uma superfície de volatilidade em função de delta para cada data de final de mês, correspondente às datas das opções listadas e negociadas na BMF. Os principais participantes do mercado enviam diariamente estes dados à Reuters, que publica a superfície baseada neste pool. Também é utilizado o preço de fechamento diário do ativo-objeto no mercado à vista, assim como o valor dos contratos de DI e DDI/FRA para permitir o cálculo de preços de contratos futuros. Vemos na Figura 5 o gráfico da volatilidade implícita (delta 5) interpolada para o prazo de 21 dias (eixo da esquerda), assim como o nível do câmbio no eixo da direita. A unidade de cotação dos valores do câmbio utilizados neste trabalho está em reais por 1 dólares, ou seja, o valor de câmbio 25 significa que são necessários 25 reais para adquirir 1 dólares. Durante quase todo o período a volatilidade está dentro do intervalo de 1% a 2% ao ano, rompendo o patamar inferior por somente alguns meses. A ocorrência de excesso da parte superior do intervalo ocorreu em períodos de desvalorização repentina do real, como pode ser observado no mês de maio de 26 e no mês de agosto de 27. Na Figura 6, podemos observar que existe uma correlação forte entre a volatilidade implícita (delta 5) de 21 dias úteis e a volatilidade histórica calculada utilizando uma janela de 21 dias. Outro comportamento observado é a correlação forte entre a volatilidade implícita de cada um dos prazos analisados, embora as variações da volatilidade sejam atenuadas conforme o prazo se alonga, como pode ser observado na Figura 7 (21 dias x 63 dias) e na Figura 8 (21 dias x 126 dias). 1 As diferentes abordagens de aplicação da PCA à volatilidade utilizam partes diferentes do histórico de dados diários.

37 27 4% Volatilidade 21 dias - Delta 5 e Nivel do ativo-objeto Volatilidade BRL/DOL 35 3% 3 Volatilidade 2% 25 BRL/DOL 1% 2 % Jan4 Jan5 Jan6 Jan7 Jan8 Jan9 15 Data Figura 5. Volatilidade delta 5 interpolada para 21 dias úteis x nível do ativo-objeto 4% 35% Volatilidade Implícita x Volatilidade Histórica Implícita Histórica 3% 25% Volatilidade 2% 15% 1% 5% % Jan4 Jan5 Jan6 Jan7 Jan8 Jan9 Data Figura 6. Volatilidade implícita 21 dias úteis x volatilidade histórica

38 28 35% 3% Volatilidade 21 dias x Volatilidade 63 dias 21 dias 63 dias 25% Volatilidade 2% 15% 1% 5% Jan4 Jan5 Jan6 Jan7 Jan8 Jan9 Data Figura 7. Volatilidades de 21 e 63 dias úteis delta 5 35% 3% Volatilidade 21 dias x Volatilidade 126 dias 21 dias 126 dias 25% Volatilidade 2% 15% 1% 5% Jan4 Jan5 Jan6 Jan7 Jan8 Jan9 Data Figura 8. Volatilidades de 21 e 126 dias úteis delta 5

39 29 Em cada um dos prazos temos um conjunto de volatilidades em função do delta, chamado skew de volatilidade. Através deste conjunto de informações é possível encontrar uma volatilidade implícita para cada preço de exercício em determinado prazo. Na Figura 9, é possível ver um exemplo do skew de 126 dias de 27 de junho de 27: a volatilidade é mostrada no gráfico em função do delta spot das opções de compra; portanto, o apreçamento de uma opção de compra com 25% de delta utiliza uma volatilidade implícita de 12,9%. 16% Skew de Volatilidade 15% 14% Volatilidade 13% 12% 11% 1% Delta Figura 9. Skew de volatilidade A diferença de volatilidade entre opções de compra fora do dinheiro e opções de venda fora do dinheiro é denominada Risk Reversal e é uma das estratégias existentes no mercado para operações realizadas através de opções, conforme descrito na revisão da literatura. Na Figura 1, é possível observar o comportamento deste diferencial de volatilidade para o prazo de 21 dias úteis no eixo esquerdo e o preço do ativo-objeto no eixo direito. O diferencial esteve dentro do intervalo de 2% a 3% durante a maior parte do período (a volatilidade das opções de compra de dólar fora do dinheiro esteve acima da volatilidade das opções de venda de dólar fora do dinheiro durante todo o período), mas apresentou grande elevação durante os períodos de desvalorização repentina do real. O comportamento do Risk Reversal entre prazos pode ser observado na Figura 11: a variação em prazos mais curtos é mais acentuada do que em prazos mais longos, um comportamento análogo ao da volatilidade implícita.