Opções. Opção. Tipos de Opções. Uma opção de compra (call) é um contrato que te da o direito de comprar

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1 Opções Prf. José Fajardo EBAPE-FGV Opção É um contrato que da o direito, mais não a obrigação de comprar ou vender um determinado ativo subjacente a um determinado preço Tipos de Opções Uma opção de compra (call) é um contrato que te da o direito de comprar Uma opção de venda (put) é um contrato que te da o direito de vender 1

2 Tipos de Opções Se a opção só pode ser exercida na data de vencimento, esta será uma Opção Européia Se a opção pode ser exercida em qualquer instante até a data de vencimento, esta será uma Opção Americana Qualquer outra variação no contrato da lugar as Opções Exóticas Ativos Subjacentes nas Opções Ativos Moedas Indíces Futuros Especificações nas Opções Maturidade Preço de Exercício Européia ou Americana Call ou Put 2

3 Terminologia At-the-money In-the-money Out-of-the-Money Compra de Call da IBM Lucro pela compra de uma Call Européia da IBM: preço da Opção = R$5, preço de exercício = R$1, T = 2 mesês 3 Lucro (R$) Preço do ativo final, (R$) Venda de Call Curto em IBM 5-1 Lucro(R$) Preço do ativo final (R$)

4 Compra de Put da Exxon Lucro pela compra de uma Put Européia: preço da opção = R$7, preço de exercício = R$7, T = 3 m. 3 ($) 2 1 ($) Venda de Put da Exxon Lucro pela compra de uma Put Européia: preço da opção =R$7, preço de exercício = R$7, T= 3 mesês Lucro ($) Preço final do ativo ($) Retornos das Opções Qual é a posição da opção em cada caso? Retorno Retorno Retorno Retorno 4

5 Tipos de Traders Hedgers Especuladores Arbitradores Alguma das grandes perdidas nos negocios em derivativos ocurrem por que agentes que tem a ordem de hedgear riscos se tornam especuladores Estrátegias Envolvendo Opções Três Alternativas de Estrátegias Tomar uma posição na opção e no subjacente Tomar uma posição em 2 o mais opções do mesmo tipo (um spread) Combinação: Tome uma posição numa mixtura de calls e puts 5

6 Opção e Subjacente Lucro Lucro (a) Lucro (b) Lucro Exemplo Na quarta-feira 16/2/5, os papéis da Telemar valiam R$ 42,15 por ação. Na opção mais líquida, o preço do papel para março era R$ 44,, com um prêmio de R$,95. O investidor que comprasse a ação e vendesse a opção nesse dia teria um custo final de R$ 41,2, O seu lucro no fim do exercício, portanto, seria de 6,8% - que é a diferença entre os R$ 41,2 desembolsados no início e o preço final da ação, de R$ 44, - se o comprador da opção a exercesse. Caso o papel não atinja R$ 44,, o emissor ficaria com o prêmio e com o papel Bull Spread usando Calls Lucro 1 2 6

7 Bull Spread usando Puts Lucro 1 2 Bear Spread usando Calls Lucro 1 2 Bear Spread usando Puts Lucro 1 2 7

8 Butterfly Spread usando Calls Lucro Butterfly Spread Usando Puts Lucro Uma Combinação Straddle Lucro 8

9 Strip & Strap Lucro Lucro Strip Strap Uma Combinação Strangle Lucro 1 2 Propriedades Básicas das Opções de Ações 9

10 Notação c : Preço de uma Call Européia p : Preço de uma Put Européia S : Preço do Ativo hoje : Preço de Execício T : Maturidade σ: Volatilidade do Preço do Ativo C : Preço de uma Call Americana P : Preço de uma Put Americana :Preço do ativo no tempo T D : Valor presente dos dividendos durante o tempo de vida da opção r : Taxa livre de risco para a data T composta continuamnt. Efeitos das Variavéis no Apreçamento das Opções Variável S T σ r D c p C P ?? Opção Americana vs. Européia Uma Opção Americana vale pelo menos tanto quanto sua correspondente Opção Européia C c P p 1

11 Calls: Uma Oportunidade de Arbitragem? Suponha que c = 3 S = 2 T = 1 r = 1% = 18 D = Existe oportunidade de arbitragem? Cota Inferior para o Preço de uma Call Européia: sem Dividendos c S -e -rt Puts: Uma Oportunidade de Arbitragem Suponha que p = 1 S = 37 T =.5 r =5% = 4 D = Existe Oportunidade de Arbitragem? 11

12 Cota Inferior para o Preço de uma Put Européia: sem Dividendos p e -rt - S A Paridade Put-Call; Sem Dividendos Considere as seguintes carteiras: Carteira A: Call Européia + VP do Preço de exercício em cash Carteira B: Put Européia + ativo Ambas atingirám MA(, ) na maturidade das opções Então, elas devem valer o mesmo hoje Isto é c + e -rt = p + S Oportunidades de Arbitragem Suponha que c = 3 S = 31 T =.25 r = 1% =3 D = Quais são as oportunidades de arbitragem quando p = 2,25 e p = 1? 12

13 O Impacto dos Dividendos nas Cotas Inferiores e na paridade c S D e rt p D + e rt S c + D + e -rt = p + S Opções Americanas Opções Americanas; D = S K C P S Ke rt Opções Americanas; D > S D K C P S Ke rt Exercício Antecipado Comunmente existe muita chance que uma opção americana seja exercida antes do vencimento Uma excepção é a call americana num ativo que nao paga dividendos. Esta nunca será exercida antes do vencimento. 13

14 Uma Situação extrema Temos uma call americana: S = 1; T =.25; K = 6; D = Vc deveria exercer imediatamente? Razões Para não exercer uma call antecipadamente (D=) Nehum recurso é sacrificado Evitamos o pago do preço de exercício Ficar com a call nos da um seguro contra uma queda do preço do ativo As Opções de Venda devem ser exercidas antecipadamente(d=)? Existem vantagens em exercer uma put americana quando: S = 6; T =.25; r=1% K = 1; D = 14

15 Modelo Binomial Um Modelo Binomial Simple O preço à vista do ativo é R$2 Em três meses este valerá R$22 ou R$18 Preço do Ativo = 2 Preço do ativo = 22 Preço do Ativo = 18 Uma Opçaõ de Compra Europeia Uma Call de 3 mesês tem preço de exercício 21. Preço do Ativo = 2 Preço da Call=? Preço do Ativo = 22 Call = 1 Preço do Ativo = 18 Call = $ 15

16 Carteira Neutra ao Risco Considere a Carteira: comprada unidades vendida 1 call A carteira não tem Risco quando: 22 1 = 18 =.25 Avaliando a Carteira ( A taxa Livre de Risco é 12% ) A carteira sem Risco é: comprada.25 unidades vendida 1 call O Valor da Carteira em 3 meses será = 4.5 O Valor da carteira hoje é 4.5e = Avaliando a Opção A carteira: comprada,25 unidades vendida 1 call vale 4,367 O valor hoje das unidades é 5. (=.25 2 ) Daqui o valor da Call é.633 ( = ) 16

17 Generalização Um derivativo depende de um ativo e tem maturidade T(d<1<u) S ƒ Su ƒ u Sd ƒ d Generalização (continuação) Considere a carteira que consiste em: uma posição comprada de unidades de ativo e uma vendida de 1 derivativo Su ƒ u Sd ƒ d A carteira não tem risco quando Su ƒ u = Sd ƒ d Logo ƒ = u f d S u S d Generalização (continuação) Valor da Carteira na data T será Su ƒ u Valor da Carteira hoje é (Su ƒ u )e rt Outra expressão para o valor da carteira hoje é S f Daqui ƒ = S (Su ƒ u )e rt 17

18 Generalização (continuação) Subtituindo por obtemos ƒ = [ p ƒ u + (1 p )ƒ d ]e rt Onde p = r T e d u d Avaliação Neutra ao Risco ƒ = [ p ƒ u + (1 p )ƒ d ]e -rt As variavéis p e (1 p ) podem ser interpretadas como probabilidades neutras ao risco de movimentos de súbida e decida. Para que seja um a probabilidade (estar entre e 1) devemos supor que nao existe arbitragem! O que garante que d< e rt <u. O valor de um derivativo é o valor esperado de seu payoff num mundo neutro ao risco descontado pela taxa livre de risco Su p S ƒ (1 p ) ƒ u Sd ƒ d No primeiro Exemplo S ƒ Su = 22 ƒ u = 1 Sd = 18 ƒ d = Já que p é a probabilidade neutra ao risco 2e = 22p + 18(1 p ); p =.6523 Alternativamente podemos usar a fórmula rt e d e p = = = u d p (1 p ) 18

19 Avaliando a Opção S ƒ Su = 22 ƒ u = 1 Sd = 18 ƒ d = O valor da Opção é = [ ] e =.633 Avaliando TNLPC28 S=27.9 (4/3/29), vence 16/3/29 (8 dias uteis T=8/252). Suponha que daqui a oito dias uteis o papel da Telemar TNLP4 pode ir a 35 ou pode cair a 22. E use a taxa SELIC 12,5%. Resultado R$3,21 Exemplo com 2 Períodos: T= Cada período é de 3 meses 19

20 Avaliando uma Call Européia A 22 B C F Valor no nó B. = e ( ) = Valor no nó A = e ( ) = D E Exemplo com Put: =52, r=5%, T= A 6 B C E D F Escolhiendo u e d Uma forma de introduzir a volatilidade é u = e d = e σ t σ t onde σ é a volatilidade e t é a longitude temporal dos períodos. Este approach é usado por Cox, Ross e Rubinstein. 2

21 Exêmplo S = 1 t =.25 r =.1 u e σ t/n = K = σ =.3 d 1/u = n = 5 r 1.1 t/n = p = ( r - d )/( u - d ) = Call Européia S = 1 t =.25 r =.1 u e σ t/n = K = 1 σ =.3 d 1/u = n = 5 r 1.1 t/n = p = ( r - d )/( u - d ) = ( ) ( ) Condição de fronteira: f n = max[, S n - K] regra recursiva: f i = [pf iu + (1-p)f id ]/r ( )... O Modelo de Black-Scholes-Merton 21

22 Premio Nobel de Economia 1997 Merton, R.C.: Theory of Rational Option Pricing, Bell Jounal of Economics and Management Science, 4(1973), Black, F., and M. Scholes,: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81(1973), Bachelier(19) S Samuelson(1964) Modelo para Preços t = S t t ( ) 1 S t = S Em ambos casos t é uma variável aleatória com distribuição Normal e t Retorno Normais Neste caso usando equação para a taxa de retorno obtemos: St R = log t S t 1 S e = log S t t 1 e = È dizer, a taxa de retorno também estará Normalmente distribuida t t 1 22

23 R A Suposição do Preço do Ativo t+ t St + t St S = = = µ t + σ ε, S S t O retorno é uma taxa deterministica mas um choque normal!. Quando t temos a seguinte Equação Diferencial Estocástica: ds = µ Sdt + σsdb, onde db é N(, dt ) t t Simulando a Equação do Preço Solução da EDE A Solução da EDE com condição inicial S ST = S e 2 σ ( µ ) T + σ B T 2 23

24 24 A Propriedade Lognormal Desta suposição segue: Como o logaritmo de é normal, esta distribuida de forma lognormal ln ln, ln ln, S T S T T T φ µ σ σ φ µ σ σ or As Formulas de Black-Scholes T d T T r S d T T r S d d N S d N e p d N e d N S c rt rt σ σ σ σ σ = + = + + = = = ) / 2 ( ) / ln( 2) / 2 ( ) / ln( onde ) ( ) ( ) ( ) ( Parâmetros Da Formula de Black e Scholes, todos os parâmetros necesários para calcular o preço são observados, excepto 1, a volatilidade. Podemos usar a volatilidade histórica. Ou a volatilidade Implícita

25 Volatilidade Implícita A Volatilidade Implicita de uma Opção é a volatilidade para a qual o preço de Black- Scholes é egual ao preço de mercado Existe uma correspondencia 1 a 1 entre preços e volatilidades implicitas Traders e brokers usualmente cotam volatilidade implícita mas que preços. Causas de Volatilidade Volatilidade é usualmente maior quando o mercado esta aberto (i.e. o ativo é negociado) que quando esta fechado Por esta razão o tempo é medido em trading days e não días do calendario quando uma opção é avaliada Calculando o Preço de Uma Opção de Compra Dados: Preço Exercício (k) = 56, Preço da Ação (S) = 54,9 Taxa de juros ( r ) =,11 % ad ou,11 Volatilidade ( σ ) = 4, % ou,4 Prazo maturidade (n) = 44 dias Pede-se: Calcule o preço da Opção utilizando-se a Fórmula de Black & Scholes 25

26 Exemplo Faça r=252*ln(1+i) Então r=252*ln(1,11)=,277 Logo d1=(ln(54,9/56)+(,277+.4^2/2)*44/252)./(.4*(44/252)^1/2) = d2=d1-.4*(44/252)^1/2= N(d1)=,6 N(d2)=,5347 C=54,9*N(d1)-56*e^(-.277*44/252)*N(d2)=4,4295 Calculando o Preço de Uma Opção de Compra(Mercado) C(S, n, k, r, σ) = S.N(d 1 ) - k / (1+ r ) n. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,9.N(d 1 ) - 56/ (1+,11) 44. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,9.N(d 1 ) - 53,35. N(d 2 ) d 1 = [Log (S/ (k / ( 1 + r) n ) + σ 2 /2. n/252] /[ σ. (n/252) 1/2 ] d 1 =[Log(54,9/53,35)+(,4) 2 /2.44/252]/[,4.(44/252) 1/2 ] d 1 =,2542 d 2 =,2542 -,4. (44 / 252) 1/2 d 2 =,8715 Calculando o Preço de Uma Opção de Compra C(S, n, k, r, σ) = 54,9.N(d 1 ) - 53,35. N(d 2 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,9.N(,2542 ) - 53,35. N(,8715 ) C(S, n, k, r, σ) = 54,9.,64-53,35.,5347 C(S, n, k, r, σ) = 4,43 26

27 Limitações do Modelo B&S A Log-Normalidade Evidência Empírica: Os preços dos ativos apresentam muitos outliers para poder ser consistente com a variância constante da distribuição log-normal. Os retornos são leptokurticos (Mandelbrot [1963]). A volatilidade não é constante no tempo. Problemas com B&S Vale Empiric Normal Hyperbolic NIG GH 3 25 Density Log Returns Problemas com B&S Vale 5 Empiric Normal Hyperbolic NIG GH 1 2 Log Density Log Returns 27

28 Limitações do Modelo B&S A Taxa de Juros Constante Na prática a menos que a opção esteja longe do seu vencimento, incerteza na taxa de juros não têm muito impacto no preço da opção. Limitações do Modelo B&S Não Existem Dividendos O pago de dividendos causa queda no preço do ativo. No caso de dividendos contínuos, a taxaδ, o preço crecerá a uma taxa menor. Por tanto podemos usar a fórmula de Black e Scholes, colocando Se -δt no lugar de S. E no caso discreto usamos S-D, no lugar de S, onde D é o valor presente dos dividendos pagos até T Limitações do Modelo B&S Mercados sem Frições Custos de transação Taxas de juros para empréstimos diferentes Asimétria de Informação Restrições ao crédito Líquidez 28

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