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1 Opções: cálculo a partir da flutuação empírica da volatilidade Josué Xavier de Carvalho Rosane Riera Freire Luca Moriconi Pontifícia Universidade Católica - Rio Universidade Federal do Rio de Janeiro 2010 de Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

2 Sumário 1 Introdução Precificação de opções Derivação da equação de BS Críticas ao BS 2 Apreçamento do prêmio a partir da flutuação empírica da volatilidade Teoria 3 Resultados para IBOVESPA Evolução do índice BOVESPA Retornos Volatilidade diária 4 Resultados 5 Pespectivas futuras e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

3 Introdução Definição Contrato que dá o direito (mas não o dever), mediante o pagamento de um prêmio, de comprar ou vender um ativo a determinado preço até/em uma data futura. Se caracteriza por V - prêmio (ou valor da opção). E - preço de exercício ou Strike. T - tempo de maturação (data limite para exercício do direito). Problema Como determinar o valor do prêmio de uma opção? e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

4 Modelo de Black-Scholes (BS) Modelo pioneiro para precificaç ao de opções Black, F. & Scholes, M. (1973), Journal of Political Economy, 81, Hipóteses Taxa livre de juros r é constante. Volatilidade σ é constante. Preço S do ativo segue Movimento Browniano geomético ds S = µdt + σdz (1) O ativo não paga dividendos ou outros benefícios (ausência de saltos nos preços). A opção é do tipo européia (Exercício na data de vencimento). Não há custo de transação (Número ilimitado de transações). É possível negociar quantidade fracionária do ativo. e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

5 Derivação da equação de Bs Proteção contra o risco Monta-se carteira Ausência de risco: = V S. Π = V + S Se a carteira evolui livre de risco, então Usando o Lemma de Itô ( dπ = V t 1 ) 2 σ2 S 2 2 V S 2 dπ = rπdt = r dπ = rπdt (2) ( V + V S (3) ) dt (4) e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

6 A equação de Black & Scholes A equação de Black & Scholes Críticas r V S S + V t σ2 S 2 2 V rv = 0 (5) S 2 A volatilidade varia ao longo do tempo. A distribuição dos preços não segue uma distribuição log-normal. e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

7 Críticas ao BS Volatilidade varia ao longo do tempo Figure: Cada ponto corresponde a volatilidade anualizada calculada no período de um dia. de Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

8 Densidade de retornos A distribuição de retornos não segue uma gaussiana. Figure: Ajuste: P(x) h 1 (1 q) ` x B 2i 1/(1 q), com q = 1.56 e B = de Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

9 Cálculo a partir da flutuação empírica da volatilidade Proposta Retorno logarítmico modelado por ln S t S 0 = µt + x t, (6) sendo constituído de uma parte determinística (tendência µ, constante) mais uma parte estocástica x t governada por dx dt = f (x, t)η(t) Langevin (7) sendo η(t) é um ruído branco e x ρ(x, t) e x(t = 0) = 0. ρ t = 1 2 (f 2 ρ) 2 x 2 Fokker-Planck (8) e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

10 Cálculo a partir da flutuação empírica da volatilidade Equação Black-Schole generalizada Usando o mesma esquema aplicado para o BS tradicional obtemos Cuja solução é r V S S + V t f 2 S 2 2 V rv = 0 (9) S 2 V = exp[ r(t t)] Θ(S exp(ζ) E)(S exp(ζ) E), (10) onde ζ = t t dt (ẋ + r 12 ) f 2 (11) ζ = x(t ) x(t) + r(t t) 1 2 t t dt f 2 (12) e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

11 Falta estimar f (x, t) 2 dx dt = f (x, t)η(t) (13) Usando o lemma de Itô em e x e multiplicando por e x obtemos Discretizando a derivada ( t = 1min.) 1 2 t Como = 1min, N = T. Logo, δx i x i+1 x i = ln(s i+1 /S i ) µ t e x d dt ex = ẋ f 2. (14) [ ] N 1 dtf 2 (x N x 0 ) N exp(δx i ). (15) T 1 ζ = 2(x T x 0 ) + rt + T exp(δx i ). (16) i=0 i=0 e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

12 Como extrair δx i da série de preços? A partir da série de preços é gerada a série de retornos δz i = ln S i /S i 1 = µ + δx i. A série de retornos é dividida em sub-séries de tamanho T (tempo de maturação). Para cada sub-série determina-se a tendência: µ = δz m = 1 T T δz i (17) i Dentro de cada sub-série: δx i = δz i δz m e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

13 Resultados para BOVESPA Utilizamos a série de preço do índice BOVESPA entre julho de 2006 a julho de 2008 catalogados minuto a minuto (total de dados). Prêmios são estimados a partir de V = exp[ r(t t)] Θ(S exp(ζ) E)(S exp(ζ) E), (18) T 1 ζ = 2(x T x 0 ) + rt + T exp(δx i ) (19) Médias: consideramos 3000 trajetórias sucessivamente deslocadas uma da outra de uma hora. Detalhes extras Taxa livre de risco usada Taxa DI Desvio padrão considerando toda série δx i de retornos sem tendência σ 0 = Dados para os quais δx i > 10σ 0 foram descartados (um total de 78 dados). i=0 e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

14 Evolução do índice BOVESPA de Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

15 Retornos de Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

16 Volatilidade diária de Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

17 nome E MKT EP EP BS BOVAG BOVAG BOVAG BOVAG Opções lançadas em 01 de julho de 2009 com vencimento em 20 de julho de 2009 (T = 13 dias), r = 8.87% a.a, S = Volatilidade da série histórica = 19.73% Volatilidade da série entrei Janeiro 2009 a Maio 2009 = 19.05% Vol. atual g = 1.04 (20) Vol. histórica Resultados para EP : δx i gδx i. e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

18 nome E MKT EP EP BS BOVAH BOVAH BOVAH BOVAH Opções lançadas em 22 de junho de 2009 com vencimento em 17 de agosto de 2009 (T = 39 dias), r = 8.89% a.a, S = e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

19 NOME E MKT EP EP BS BOVAD BOVAD BOVAD BOVAD BOVAD Opções lançadas em 25 de marco de 2009 com vencimento em 20 de abril de 2009 (T = 17 dias), r = 10.78% a.a, S = e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

20 Futuramente Pretendemos obter f (x, t) a partir dos coeficientes de Kramers-Moyal. e Carvalho ( Pontifícia Universidade Católica - Rio Opções: Universidade cálculo Federal a partir doda Rioflutuação de Janeiro) empírica da volatilidade / 20

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