Módulo 11 - Extensões ao Modelo de Black-Scholes

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Isaac de Sá Carlos
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1 Módulo 11 - Extensões ao Modelo de Black-Scholes ISEG Universidade Técnica de Lisboa 20 de Maio de 2005

2 Extensões ao Modelo de Black-Scholes Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos Dividendos Conhecidos Dividend Yield Conhecido Opções Europeias sobre Índices de Acções Opções Europeias sobre Divisas e Futuros Divisas - modelo de Garman-Kohlhagen (1983) Futuros - modelo de Black (1976) Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho

Opções Europeias sobre Divisas e Futuros Divisas - modelo de Garman-Kohlhagen (1983)

3 Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos Parte I Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos

4 Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos Dividendos Conhecidos Dividend Yield Conhecido Dividendos Conhecidos Dois componentes do preço da acção S 0 : Componente determinístico igual a D, o valor actualizado à taxa de juro sem risco dos dividendos a pagar pela empresa durante a vida da opção S 0 D Podemos utilizar a fórmula de Black-Scholes, desde que ao valor da acção S 0 seja retirado o valor actualizado dos dividendos D ln d 1 c 0 = (S 0 D)N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (1) p 0 = Ke rt N( d 2 ) (S 0 D)N( d 1 ) (2) ) + (r σ2 )T ( S0 D K σ T, d 2 d 1 σ T (3)

durante a vida da opção S 0 D Podemos utilizar a fórmula de Black-Scholes, desde que ao valor da acção S 0 seja retirado o valor actualizado

5 Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos Dividendos Conhecidos Dividend Yield Conhecido Exemplo (Hull, 5ªed. pag. 253) Considerar uma opção europeia de compra sobre uma acção que paga dividendos daqui a dois e cinco meses. Espera-se que o dividendo a pagar em cada data seja de e0.50. O preço actual da acção é de e40, o preço de exercício de e40, a volatilidade estimada igual a 30% por ano, a taxa de juro sem risco é 9% por ano e a data de vencimento da opção é verifica-se daqui a seis meses. D 2/12, D 5/12 = 0.50, S 0 = 40, K = 40, ˆσ = 0.30, r = 0.09, T = 0.5 Qual o preço da opção?

Espera-se que o dividendo a pagar em cada data seja de e0.50.

6 Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos Dividendos Conhecidos Dividend Yield Conhecido Resolução O valor actualizado dos dividendos é D = 0.5e 2/ e 5/ = e portanto S 0 D = d 1 = ln( /40) + ( (0.3)2 ) = d 2 = ln( /40) + ( (0.3)2 ) = c 0 = N( ) 40e N( ) = 3.67

9741 e portanto S 0 D = 39.0259. d 1 = ln(39.0259/40) + (0.09 + 1 2 (0.3)2 )0.5 0.3 0.5 = 0.

7 Opções Europeias sobre Acções que Pagam Dividendos Dividendos Conhecidos Dividend Yield Conhecido Dividend Yield Conhecido (Merton 1973) Consideremos um caso geral em que a acção paga um dividend yield à taxa q. O preço de opções europeias de compra c 0 e venda p 0 será dado por: onde c 0 = S 0 e qt N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (4) p 0 = Ke rt N( d 2 ) S 0 e qt N( d 1 ) (5) d 1 ln(s 0/K) + (r q σ2 )T σ T d 2 ln(s 0/K) + (r q 1 2 σ2 )T σ T = d 1 σ T (6)

O preço de opções europeias de compra c 0 e venda p 0 será dado por: onde c 0 = S 0 e qt N(d 1 ) Ke rt N(d 2 )

8 Opções Europeias sobre Índices de Acções Parte II Opções Europeias sobre Índices de Acções

9 Opções Europeias sobre Índices de Acções Opções sobre Índices de Acções Para valorizar opções sobre índices de acções iremos fazer a hipótese de o índice pode ser tratado como uma acção que paga um dividend yield conhecido q. Podem-se portanto utilizar as equações anteriores (4), (5) e (6) para calcular o preço de opções europeias sobre índices de acções: c 0 = S 0 e qt N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) p 0 = Ke rt N( d 2 ) S 0 e qt N( d 1 ) S 0 é agora o valor do índice. O valor correcto de q, irá naturalmente depender da intensidade de pagamento de dividendos por parte das acções que constituem o índice durante a vida da opção.

Podem-se portanto utilizar as equações anteriores (4), (5) e (6) para calcular o preço de opções europeias sobre índices de acções: c 0 = S 0 e qt N(d 1 )

10 Opções Europeias sobre Índices de Acções Exemplo (Hull, 5ªed. pag. 275) Considerar uma opção europeia de compra sobre o índice S&P 500 cuja data de vencimento é de 2 meses. O valor actual do índice é de 930, e o valor de exercício de 930, a taxa de juro sem risco igual a 8% por ano e a volatilidade do índice é de 20% por ano. Espera-se dividend yields de 0.2% e 0.3% no primeiro e segundo meses, respectivamente. S 0 = 930, K = 900, ˆσ = 0.20, r = 0.08, T = 2/12 Qual o preço da opção?

O valor actual do índice é de 930, e o valor de exercício de 930, a taxa de juro sem risco igual a 8% por ano e a

11 Opções Europeias sobre Índices de Acções Resolução O valor total do dividend yield durante a vida da opção é de = Em termos anuais corresponde a 2/12 0.5% = 3.0%. Logo q = 0.03 e d 1 = , d 2 = , N(d 1 ) = , N(d 2 ) = c 0 = 930 e / e /12 = (Sendo o contrato escrito sobre 100 índice, a opção de compra custaria $5183).

03 e d 1 = 0.5444, d 2 = 0.4628, N(d 1 ) = 0.7069, N(d 2 ) = 0.6782 c 0 = 930 e 0.03 2/12 0.

12 Opções Europeias sobre Divisas e Futuros Parte III Opções Europeias sobre Divisas e Futuros

13 Opções Europeias sobre Divisas e Futuros Divisas - modelo de Garman-Kohlhagen (1983) Futuros - modelo de Black (1976) Divisas Assumindo-se que a taxa de câmbio S t segue um movimento Browniano geométrico, a valorização de opções sobre divisas, estabelece-se partindo-se da analogia 1 entre uma divisa estrangeira e uma acção que providencia um dividend yield conhecido. Neste caso, q = r f onde r f é a taxa de juro sem risco da divisa estrangeira. Futuros Similarmente a análise de opções sobre futuros é idêntica à análise de opções sobre acções que pagam um dividend yield conhecido, sendo neste caso q = r onde r é a taxa de juro sem risco. 1 Tal como referido aquando da discussão dos modelos binomiais.

dividend yield conhecido. Neste caso, q = r f onde r f é a taxa de juro sem risco da divisa estrangeira.

14 Opções Europeias sobre Divisas e Futuros Divisas - modelo de Garman-Kohlhagen (1983) Futuros - modelo de Black (1976) Opções Europeias sobre Divisas - Modelo de Garman-Kohlhagen (1983) O preço de opções europeias de compra c 0 e venda p 0, sobre divisas, será dado por: onde c 0 = S 0 e r f T N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (7) p 0 = Ke rt N( d 2 ) S 0 e r f T N( d 1 ) (8) d 1 ln(s 0/K) + (r r f σ2 )T σ T d 2 ln(s 0/K) + (r r f 1 2 σ2 )T σ = d 1 σ (9) T T S 0 é definido como sendo a taxa de câmbio spot (o valor de uma unidade da divisa estrangeira medida em relação à divisa doméstica)

r f T N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (7) p 0 = Ke rt N( d 2 ) S 0 e r f T N( d 1 ) (8) d 1 ln(s 0/K) + (r r f + 1 2 σ2 )T σ T d 2 ln(s 0/K) + (r r f 1 2 σ2

15 Opções Europeias sobre Divisas e Futuros Divisas - modelo de Garman-Kohlhagen (1983) Futuros - modelo de Black (1976) Opções Europeias sobre Futuros - Modelo de Black (1976) O preço de opções europeias de compra c 0 e venda p 0, sobre futuros, será dado por: onde c 0 = F 0 e rt N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (10) p 0 = Ke rt N( d 2 ) F 0 e rt N( d 1 ) (11) d 1 ln(f 0/K) σ2 T σ T d 2 ln(f 0/K) 1 2 σ2 T σ T = d 1 σ T (12) e F 0 é o preço a futuro, do activo subjacente ao contrato de futuro.

futuros, será dado por: onde c 0 = F 0 e rt N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) (10) p 0 = Ke rt N( d 2 ) F 0 e rt N( d 1 ) (11) d 1

16 Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Parte IV Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas

17 Delta Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho O DELTA de uma opção é definido como sendo a taxa de variação do preço de uma opção relativamente ao preço do activo subjacente Para uma opção de compra Para uma opção de venda Delta = c S Delta = p S

variação do preço de uma opção relativamente ao preço do activo

18 Delta Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho Pode-se calcular analiticamente o DELTA para opções estilo europeu sobre activos que pagam um determinado yield de q (dividend yield para indices de acções, taxa de juro sem risco estrangeira para divisas, e taxa de juro sem risco para futuros) Para uma opção de compra Para uma opção de venda Delta = e qt N(d 1 ) Delta = e qt (N(d 1 ) 1) onde, como foi definido no Módulo 9, d 1 ln(s 0/K) + (r q σ2 )T σ T

de juro sem risco estrangeira para divisas, e taxa de juro sem risco para futuros) Para uma opção de compra Para uma opção

19 Gamma Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho O GAMMA de uma opção é definido como sendo a taxa de variação do DELTA da opção relativamente ao preço do activo subjacente. Gamma = Delta ou Gamma = 2 c S S 2, Gamma = 2 p S 2 Pode-se calcular analiticamente o GAMMA para opções estilo europeu sobre activos que pagam um determinado yield de q onde Gamma = N (d 1 )e qt S 0 σ T N (x) = 1 2π e x2 /2 O Gamma é idêntico para opções de compra ou de venda.

Gamma = Delta ou Gamma = 2 c S S 2, Gamma = 2 p S 2 Pode-se calcular analiticamente o GAMMA para opções estilo europeu

20 Theta Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho O THETA de uma carteira de opções é a taxa de variação do valor da carteira com a passagem do tempo, assumindo que tudo o demais permanece idêntico. O theta para opções estilo europeu sobre activos que pagam um determinado yield de q é dado por: Para opções de compra Theta = S 0N (d 1 )σe qt 2 T Para opções de venda + qs 0 N(d 1 )e qt rke rt N(d 2 ) Theta = S 0N (d 1 )σe qt 2 qs 0 N( d 1 )e qt +rke rt N( d 2 ) T

O theta para opções estilo europeu sobre activos que pagam um determinado yield de q é dado por: Para opções de compra

21 Vega Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho O VEGA de uma carteira de opções é a taxa de variação do valor da carteira relativamente à volatilidade do activo subjacente. O vega para opções estilo europeu sobre activos que pagam um determinado yield de q é dado por: Vega = S 0 T N (d 1 )e qt O Vega é idêntico para opções de compra ou de venda.

22 Rho Análise de Sensibilidade - As Letras Gregas Delta e Gamma Theta Vega Rho O RHO de uma carteira de opções é a taxa de variação do valor da carteira relativamente à taxa de juro. O rho para opções estilo europeu sobre activos que pagam um determinado yield de q é dado por: Para opções de compra: Rho = K T e rt N(d 2 ) Para opções de venda: Rho = K T e rt N( d 2 ) No caso de opções sobre divisas existem dois Rho, correspondentes às duas taxa de juro. Para o rho correspondente à taxa de juro estrangeira, r f, tem-se: Para opções de compra: Rho = T e r f T S 0 N(d 1 ) Para opções de venda: Rho = T e r f T S 0 N( d 1 )

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