Taxas: Proporcional e Equivalente

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1 Taxas: Proporcional e Equivalente

2 Taxa Proporcional Considere duas taxas de juros arbitrárias i 1 e i 2, relacionadas respectivamente aos períodos n 1 e n 2, referidos à unidade comum de tempo das taxas. Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja, se i 1 i 2 = n 1 n 2 Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos: i 1. n 2 = i 2. n 1

3 Exemplo: Verificar se as taxas de 5% a.t. e de 20% a.a. são proporcionais. Exemplo: Calcular a taxa de juros trimestral proporcional às seguintes taxas: a) 24% a.a. b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre Exemplo: Sendo dada a taxa de juros de 24% a.a., determinar a taxa proporcional mensal.

4 Taxa Equivalente Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro. Exemplo: Seja um capital de R$ ,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes

5 Períodos não-inteiros O juro e o principal se supõem devidos apenas no final do prazo de aplicação. Entretanto podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação (n) não é um número inteiros de períodos a que se refere a taxa dada, sendo necessário considerarem-se frações de períodos para que não se cometa erro no valor final Exemplo: Qual o juro e qual o montante de um capital de R$ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses?

6 Exemplo: Calcular o juro simples referente a um capital de R$ 1.000,00 aplicado conforme hipóteses a seguir: Taxa de juros Prazo 26,8% a.a. 30 meses 30,8% a.a. 5 anos e meio 38% a.a. 4 anos e 8 meses Respostas: a) R$ 670,00 b) R$ 1694,00 c) R$ 1773,33

7 Juro Exato e Juro Comercial Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressas em termos anuais, os prazos são fixados em dias. Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o de juros simples, torna-se necessário calcular a taxa proporcional referente a um dia. Dessa maneira, podemos ter dois enfoques, dependendo do número de dias adotado para o ano: i) Ano civil: 365 dias ii) Ano Comercial: 360 dias Exemplo: Dada a taxa de 36% ao ano, determine qual é a taxa proporcional referente a um dia civil e um dia comercial?

8 Juro Exato e Juro Comercial Juro Exato Juro Comercial é aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando é adotado o ano civil J e = C. i. n 365 ou ordinário é o juro que é calculado tomando como base o ano comercial J c = C. i. n 360

9 Exemplos: 1) Calcule o juro exato e o comercial de um capital de R$ 20000,00 aplicado por 30 dias a uma taxa de 26% a.a.? 2) A quantia de R$ 1500,00 foi aplicada à taxa de juros de 54% a.a. por uma prazo de 150 dias. Qual será o juro dessa aplicação se considerarmos; a) o juro exato? b) o juro comercial?

10 3) Um capital de R$ 5000,00 rendeu R$ 625,00. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 30% a.a. e que a aplicação foi feita dia 18 de março de 20X6. Qual foi a data de vencimento, se: a) considerou-se o juro comercial. b) considerou-se o juro exato. 4) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 20X5. Se o resgate for efetuado em 3 de maio de 20X5, qual será o juro comercial recebido pelo aplicador?

11 Valor nominal e valor atual Diagramas de capital no tempo Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entrada e saída) de dinheiro no tempo. Este fluxo é mais conhecido como fluxo de caixa. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA é o conjunto de entradas e saídas de caixa durante um período de tempo. Graficamente o Diagrama (DFC) é representado por um Eixo Horizontal (que representa o tempo, normalmente dividido em períodos).

12 Convenção: Seta para baixo: saída de dinheiro; depósito, pagamento a terceiro, aplicação, investimento. VALOR NEGATIVO = Seta para cima: entrada de dinheiro; saque, recebimento, resgate, retorno de investimento. VALOR POSITIVO =

13 FLUXO DE CAIXA , ,45 O fluxo de caixa acima poderia representar por exemplo um empréstimo de R$ ,00 pago em 10 prestações de R$ 1.872,45.

14 Exemplo de DFC Valor Presente Diagrama de Fluxo de Caixa Operação de Empréstimo Período de capitalização 0 n Valor Futuro Valor Presente + Juros

15 A representação gráfica seria: $ 115,00 Valor Futuro $ 15,00 Juros $ 100,00 Valor Presente $ 5,00 $ 5,00 $ 5,00 n $ 100,00 Valor Presente Incidência de Juros

16 Valor nominal É quanto vale o compromisso na data do seu vencimento Exemplo: Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai resgatá-la por R$ 25000,00 daqui a 12 meses , (meses) O valor nominal da aplicação é R$ 25000,00 no mês 12

17 Valor atual É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento Exemplo: Uma pessoa que aplicou hoje uma certa quantia e recebeu pela aplicação um título que irá valer R$ 35000,00 no mês 12. C 35000, (meses) 1) Supondo que o valor aplicado seja R$22.000,00. Calcule a taxa de juros simples utilizada na aplicação.

18 Exemplos 2) Admita agora que não sabemos o valor aplicado, mas que a taxa de aplicação seja conhecida, que é de 7% a.m. Calcule o valor atual (na data 0). 3) Supondo agora que a pessoa quer trocar o título 5 meses antes da data do vencimento e que a taxa de juros vigente na data (5 meses) seja de 6% a.m. Quanto a pessoa irá receber pelo título? 4) Qual é o valor nominal de uma Nota promissária de R$ 7.575,76, assinada hoje com vencimento daqui a 10 meses, se a taxa de aplicação for de 38,4% a.a?

19 5) O valor nominal de uma Nota promissária é de R$ 4.770,00. Qual o seu valor atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a? 6) Certa pessoa aplicou R$ ,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, esta pessoa precisou resgatá-lo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a. na ocasião do resgate. 7) Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada? 8) Quanto tempo deve permanecer aplicado em capital para que o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for de 25% a.a.?