OPÇÕES FINANCEIRAS - Exame (resolução)

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Sebastiana Duarte Alcaide
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2 1. (a) Aplicando o lema de Itô ao processo obtém-se: y (t) :=exp( bt) X (t), (1) dy (t) = be bt X (t) dt + e bt {[a + bx (t)] dt + W (t) dw (t)} = ae bt dt + e bt W (t) dw (t). () Integrando ambos os membros da SDE () entre e t ( ), y (t) = y ( )+a Z t e bs ds + Z t e bs W (s) dw (s) Combinando as equações (1) e (3), t e bs Z t = y ( )+a + e bs W (s) dw (s) b = y ( ) a e bt e Z t b + e bs W (s) dw (s). (3) b e bt X (t) =e b X ( ) a e bt e Z t b + e bs W (s) dw (s), b i.e. X (t) =e b(t t0) X ( ) a Z t 1 e b(t ) + e bs W (s) dw (s). () b Aplicando valores esperados a ambos os membros, E [X (t) F t0 ]=e b(t t0) X ( ) a 1 e b(t ), b visto que R t e bs W (s) dw (s) é um integral de Itô. Consequentemente, " Z t # Var[X (t) F t0 ]=E e bs W (s) dw (s) F. Aplicando a Itô isometry, Var[X (t) F t0 ] = = Z t e bs E W (s) F t0 ds Z t e bs (s ) ds. (b) Aplicando a representação de Feynman-Kac: V (x, t) =e 0(T t) E x [X T X t = x], 1

e Z t b + e bs W (s) dw (s). (3) b e bt X (t) =e b X ( ) a e bt e Z t b + e bs W (s) dw (s), b i.e. X (t) =e b(t t0) X ( ) a Z t 1 e b(t ) + e bs W (s) dw (s).

3 e dx s =(r q) X s ds + X s dz s onde Z representa um standard Brownian motion e X t = x. AplicandoolemadeItôaln (X s ), X T = X t exp Consequentemente, V (x, t) = E x ½X t exp r q = x exp r q (T t) Visto que R T t dz s N 1 (0,T t), V (x, t) = x exp r q = x exp [(r q)(t t)]. Z T r q (T t)+ dz s. t Z T (T t)+ ½ E x exp t Z T (T t) exp ¾ dz s X t = x t dz s F t ¾. (T t) V (x, t) pode ser interpretado como sendo o preço forward do activo X t para a data T. (c) A solução da SDE é dada por: Z T S T = S t exp r q (T t)+ d s W. t Dado tratar-se de uma opção de estilo europeu, a mesma é um martingale na medida Q eportanto: V (S, t) = e r(t t) E Q (ST X) I {ST >K} F t ³ Z ½ ¾ exp = e rτ S t exp r q (T t)+w X I {w>w } πτ w τ dw, onde w := ln ³ K S t r q 1 τ. (5)

Z T r q (T t)+ dz s. t Z T (T t)+ ½ E x exp t Z T (T t) exp ¾ dz s X t = x t dz s F t ¾. (T t) V (x, t) pode ser interpretado como sendo o preço forward do activo X t para a data T.

4 Deste modo, V (S, t) ³ Z exp 1 = S t e qτ τ + w w τ dw e rτ X w πτ w ³ Z exp 1 w τw+ τ = S t e qτ τ dw e rτ X 1 w πτ h i Z w exp 1 (w τ) = S t e qτ 1 τ πτ dw e rτ X w = S t e 1 qτ τ Φ e rτ XΦ τ Combinando as equações (5) e (6), V (S, t) = S t e qτ Φ (a) S, =? u = = Portanto, P,0 =? e rτ XΦ Z ³ exp w τ dw πτ ³ exp w τ dw πτ Z w w 0 1 Φ τ w. (6) τ " ln St K + r q + 1 τ τ " ln St K # + r q 1 τ τ S, = = EUR18.0. P,0 = ( ) + = P 0,0 =max ; exp r 1 [q.91 + (1 q) 13.90] ª. Convertendo a taxa de actualização para capitalização continua, r = ln( %) = 3%. Uma vez que não existem dividendos, q = exp 3 1 (1.1331) (1.1331) 1 = #. 3

e rτ XΦ Z ³ exp w τ dw πτ ³ exp w τ dw πτ Z w w 0 1 Φ τ w. (6) τ " ln St K + r q + 1 τ τ " ln St K # + r q 1 τ τ S, =113.31 1.1331 = EUR18.0. P,0 = (100 60.65) + = 39.35.

5 Em suma, P 0,0 = max = max(0;8.35) = EUR8.35. ½ 0; exp 3% 1 ¾ [ ( ) 13.90] (b) Utilizando a equação (5) dos handouts, i. (0, 0) N o de acções a comprar/vender: φ = = É então necessário vender = 38. acções. Efectuar uma aplicação financeira no valor de Bψ =1, 000 EUR EUR100 = EUR5, ii. (1, 0) Posição a assumir sobre as acções subjacentes: φ = = É então necessário vender ( ) = 97.3 acções. Passamos assim a deter uma posição curta sobre um total de = acções. Reforçar a aplicação financeira até ao valor de 3% Bψ = EUR5, exp EUR88.5 = EUR78, iii. (, 1) Posição a assumir sobre as acções subjacentes: φ = = É então necessário comprar ( ) = acções. Passamos assim a deter uma posição curta sobre um total de = 68.8 acções. Reduzir a aplicação financeira até ao valor de 3% Bψ = EUR78, exp EUR100 = EUR5, 7.0.

(1, 0) Posição a assumir sobre as acções subjacentes: φ = = 5.8.1 100 77.88 0.7358. É então necessário vender (0.7358 0.38) 10 100 = 97.3 acções.

6 iv. (3, 1) Posição a assumir sobre as acções subjacentes: φ = = 1. É então necessário vender ( ) = acções. Passamos assim a deter uma posição curta sobre um total de = 1, 000 acções. Reforçar a aplicação financeira até ao valor de 3% Bψ = EUR5, 7.0 exp EUR88.5 = EUR100, 000. Caso a opção seja (racionalmente) exercida antecipadamente, estamos em condições de pagar o strike. Caso contrário: v. (, 1) Uma vez que a put termina ITM (S,1 =77.88 <K), é necessário assumir umaposiçãocurtasobre1, 000 acções, a qual já existe. Tal posição curta é anulada via recebimento das 1, 000 acções entregues pelo comprador da put. O valor terminal da aplicação financeira é igual a 3% Bψ = EUR100, 000 exp = EUR100, Tal valor é mais do que suficiente para pagar ao vendedor da put 1, 000 EUR100 = EUR100, 000. (a) Modelo de Merton: c t (S, K, T )=S t e qτ Φ (d + ) e rτ KΦ (d ). Taxa de juro sem risco em regime de capitalização contínua: r = 18 ln % 18 =.7%. i. Volatilidade (anualizada) da acção ACN: Portanto, c 0 =10 exp.7% 18 = 5.77% 1 = 0%. Φ (d + ) 9.75 exp 5.7% 18 Φ (d ),

Caso a opção seja (racionalmente) exercida antecipadamente, estamos em condições de pagar o strike. Caso contrário: v. (, 1) Uma vez que a put termina ITM (S,1 =77.

7 sendo: d + = = ln S t K ln = ³r q + τ τ + ³.7%.7% q e d = d + τ = = Utilizando uma tabela da normal reduzida, e Em suma, c 0 = 10 exp.7% 18 = e (b) O objectivo é calcular o valor de : = 10 exp.7% exp.7% 18 Φ (d + ) Φ (0.5) = Φ (d ) Φ (0.11) = r exp Φ ln Φ q.7% 18 + ³.7%.7% , q i.e. Ã Φ r! Ã 18 Φ r! 18 = exp.7% 18. 6

(b) O objectivo é calcular o valor de : 0.615 = 10 exp.7% 18 +10 exp.7% 18 Φ (d + ) Φ (0.5) = 0.

8 Xp p (ask) Xp-p NA NA Figura 1: Xp Xc p (ask) c (bid) -p+c Xp-p+c Figura : Visto a distribuição normal ser simétrica, Ã r! Φ 1= 10 exp,.7% 18 i.e. Ã Φ r! 18 = Utilizando a tabela da normal reduzida, r =.5%. (c) Para pré-fixar um preço de venda mínimo, a estratégia natural (mais simples) consiste em comprar 100 (10,000/100) puts sobre acções ACN e com vencimento a18dias. Desprezando desfazamentos temporais, o exercício das puts permite fixar um preço de venda (minimo) igual a (X p p) por acção, com um custo de cobertura igual a p por acção: O strike de permite fixar um preço de venda minimo por acção superior a Todavia, o custo de cobertura por acção é superior a 0.70 ( 7,000/10,000). Para reduzir o custo da cobertura, é necessário vender 100 calls com strike superior ao preço de exercicio das puts. Ou seja, é necessário construir um long range forward: Portanto, a compra de 100 puts com strike 10.50eavendade100callscom strike permite fixar um preço de venda minimo igual a 9.87 (> 9.60) comumcustodecobertura deapenas (< 0.70) por acção. (d) Via paridade put-call, c t (S, K, T ) p t (S, K, T )=S t e qτ e rτ K, 7

(c) Para pré-fixar um preço de venda mínimo, a estratégia natural (mais simples) consiste em comprar 100 (10,000/100) puts sobre acções ACN e com vencimento a18dias.

9 0 18 dias S T > 11 S T < 11 Long put S T Short call S T 0 Long spot S T S T Financiamento total Cash flows por acção Figura 3: Xp Xc p (ask) c (ask) -p-c Figura : i.e. p t (S, K, T )=c t (S, K, T ) S t e qτ + e rτ K, tentemos identificar uma oportunidade de arbitragem. Visto o Banco MPN estar a cotar um preço ask (ao qual o Banco está disposto a vender a put), a oportunidade de arbitragem, a existir, só poderá ser aproveitada via compra da put (à cotação ask). Para construir sinteticamente uma posição short put será necessário: i. vender a call (ao preço bid); ii. comprar 100 e qτ acções subjacentes (ao preço ask) e reinvestir os dividendos a receber na própria acção; e iii. contrair um financiamentonovalorde100 e rτ K. O valor de equilibrio da put em análise é igual a: p 0 = e0. e10 exp.7% 18 +exp.7% 18 e11, i.e. p 0 = e1.06. Uma vez que a put está barata em mercado (e1.06 >e1.106), dever-se-à comprar a put e criar uma posição artificial short put (ou seja, short call + long spot + financiamento). Para um contract size igual a 100 acções, tal estratégia deverá produzir um ganho de arbitragem igual a 10 = 100 x ( ), i.e.: (e) A estratégia long strangle consiste na assumpção das seguintes posições: long Xp putelongxccall, comxp<xc. Consequentemente, as alternativas disponiveis limitam-se a: 8

p t (S, K, T )=c t (S, K, T ) S t e qτ + e rτ K, tentemos identificar uma oportunidade de arbitragem.

10 A estratégia a escolher consiste em seleccionar Xp= 9.50 e Xc= 11.00, pois a mesma possui um custo de implementação (por acção) igual a 0.55 (< 0.60). Os pontos de breakeven são dados por: i. Xp-p-c = = 8.95; e ii. Xc+p+c = =

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