Objectivo. Ephi-ciência Financeira Tópicos Avançados sobre Opções -III. Definição e Carcterização de Opções Tipos de Opções Princípios de Avaliação

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1 Tópicos Avançados sobre Opções -III Objectivo Definição e Carcterização de Opções Tipos de Opções Princípios de Avaliação João Cantiga Esteves Senior Partner 1

2 ACTIVOS FINANCEIROS DERIVADOS MODELO BLACK-SCHOLES Características da Evolução dos Preços Volatilidade - Importância do Conceito Pressupostos do Modelo Fórmulas de Black-Scholes Indicadores de Risco 2

3 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES FORMULÁRIO c = S N ( d1) Xe r ( T t ) N( d2) p = X e r ( T t ) N( d2) S N( d1) - σ: volatilidade (σ 2 : variância instantânea do preço do activo) -ln: logaritmo natural - N(x): função de distribuição de probabilidade cumulativa do preço da acção; probabilidade de uma variável normalmente distribuída com média zero e desvio padrão de 1 ser inferior a x 3

4 4 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES FORMULÁRIO ( ) t T t T r X S d + + = σ σ 2 ln 1 2 ( ) t T d t T t T r X S d = + = σ σ σ 1 2 ln 2 2

5 CONTRATO de OPÇÕES DETERMINANTES DO PRÉMIO VARIÁVEIS CALL PUT Preço Activo Subjacente Preço Exercício Prazo Volatilidade Taxa de Juro? 5

6 Efeito das Determinantes no Preço de uma Call S X σ t r C

7 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES FORMULÁRIO c = S N ( d1) Xe r ( T t ) N( d2) p = X e r ( T t ) N( d2) S N( d1) 7

8 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS c = S N ( ) ( ) d1 Xe r T t N ( d 2) Quando S aumenta muito, muito, é quase certo que a call é exercida d1 e d2 tendem a ter valores muito altos N(d1) e N(d2) tendem para 1 c = S - Xe -rt 8

9 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS p = X e r ( T t ) N( d2) S N( d1) Quando S aumenta muito, muito, é quase certo que o put não é exercido N(-d1) e N(-d2) tendem para 0 p = 0. 9

10 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS c = S N ( ) ( ) d1 Xe r T t N ( d 2) Quando S diminui muito, muito, d1 e d2 tendem a ter valores muito altos e negativos N(d1) e N(d2) tendem para 0 c = 0 10

11 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS p = X e r ( T t ) N( d2) S N( d1) Quando S diminui muito, muito, é quase certo que o put é exercido N(-d1) e N(-d2) tendem para 1 p = Xe -rt -S 11

12 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS c = S N ( ) ( ) d1 Xe r T t N ( d 2) O primeiro termo da fórmula, SN(d1), é o valor actual de receber a acção se e só se ST X O segundo termo da fórmula, Xe-r*(T-t)*N(d2), é o valor actual de pagar o preço de exercício se e só se ST X 12

13 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS c = S N ( ) ( ) d1 Xe r T t N ( d 2) Explicação dos termos N(d1) e N(d2) Se não existir volatilidade (σ2 = 0), as probabilidades serão iguais a um, resultando uma expressão igual ao limite inferior da call europeia: c = S-Xe-r*(T-t) Se existir algum grau de volatilidade (σ2 > 0), a equação aplica um peso de N(d1) a S e de N(d2) a Xe-r*(T-t). Para que o preço da call resulte em valores superiores ao limite inferior, N(d1) tem de ser superior a N(d2). 13

14 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS Uma opção pode ser replicada com uma carteira com acções e obtendo um empréstimo de montante B à taxa de juro sem risco; comparando a fórmula com o valor da carteira, termo a termo: c = S * N(d1) - Xe-r*(T-t) * N(d2) c = * S - B B = Xe-r*(T-t) * N(d2) O primeiro termo da fórmula é o montante investido na acção N(d1) é o número de acções do portfolio( ) equivalente à detenção de uma call O segundo termo da fórmula é o montante que foi pedido emprestado 14

15 CONTRATO de OPÇÕES AVALIAÇÃO DE OPÇÕES Fórmula Black-Scholes ajustada para dividendos c = Se -q*(t-t) * N(d 1 ) - Xe -r*(t-t) * N(d 2 ) -q: dividend yield -d 1 e d 2 são definidos como no modelo original excepto pelo facto de que o preço da acção é substituído por Se -q*(t-t) 15

16 O Modelo Black-Scholes p = c -S +Xe -r*(t-t) Opções put europeias O modelo original foi derivado para opção call europeia Recorrendo à paridade put-call Substituindo na equação Black-Scholes vem: p = Xe -r*(t-t) * N(-d 2 ) - S * N(-d 1 ) 16

17 Instrumentos de Gestão de Posições DELTA ( ) Variação esperada no preço da opção provocada por uma variação unitária no preço do activo subjacente Matematicamente, corresponde à primeira derivada do preço da opção em ordem ao preço do activo subjacente: = c/ S É normalmente designado de hedge ratio Na hipótese de se ter vendido uma call é necessário adquirir c/ S unidades de activo subjacente para que a posição fique imune a pequenas variações de preço. Se o preço aumentar em ds: Perde na opção: dc= ds * c/ S Ganha no activo subjacente: ds * c/ S Pode também ser utilizado para desenvolver estratégias de cobertura com opções 17

18 Instrumentos de Gestão de Posições DELTA ( ) Fórmula de cálculo para o modelo Black-Scholes Opções call: c = N(d 1 ) Opções put: p = N(d 1 ) - 1 Ajustamento para dividendos Opções call europeias: c = e -q*(t-t) N(d 1 ) Opções put europeias: p = e -q*(t-t) [N(d 1 ) 1] Delta de uma carteira É a soma ponderada dos deltas dos activos que compõem a carteira, sendo os ponderadores o número de unidades de cada activo V = W 1 * 1 + W 2 * 2 18

19 Instrumentos de Gestão de Posições GAMMA (Γ) O delta de uma opção não é constante, alterando-se com o preço do activo subjacente. A alteração do delta provocada por variações no preço do activo subjacente é designada por gamma Matematicamente, corresponde à segunda derivada do preço da opção em ordem ao preço do activo subjacente: Γ = / S = 2 c/ 2 S Quando se constitui uma carteira para cobrir o risco delta, o gamma dá indicação da frequência necessária para ajustar a posição no activo subjacente 19

20 Instrumentos de Gestão de Posições THETA (Θ) Mede a variação esperada no valor da opção à medida que se aproxima a data de expiração VEJA (ϑ) Variação esperada no preço da opção provocada por variações na volatilidade do preço do activo subjacente RHO (ρ) Variação esperada no preço da opção provocada por variações na taxa isenta de risco 20

21 Instrumentos de Gestão de Posições S = 30 X= 29 r= 0.05 σ=0.25 T=

22 Instrumentos de Gestão de Posições ln(30/29) + ( / 2) x d 1 = = x /2 d 2 = d x /2 =

23 Instrumentos de Gestão de Posições Preço da Call = 30 N(0.4225) 29 e-0.05 x N(0.2782) = 30 x e-0.05x0.333 x = 2.52 Preço do Put 29 e-0.05 x x x =

24 Instrumentos de Gestão de Posições Dividendo de 0.5 a pagar daqui a 2 meses O preço do activo passa a ser: e-0.125x0.05 = O resto é igual 24

25 Das Opções aos produtos Estruturados A evolução natural 25

26 INTERESSE EM PRODUTOS ESTRUTURADOS Bancos Satisfazer a procura Obter rendimentos: competitividade e dificuldade em decifrar produtos Limpeza do balanço Particulares Acesso a novas possibilidades de investimento Montantes pequenos Risco de crédito 26 Empresas e institucionais Simplicidade (apenas um produto) Sem problemas legais Auditoria Procedimentos Contabilidade

27 TIPOS DE PRODUTOS ESTRUTURADOS Produtos estruturados para aplicação de fundos (+ comum em Portugal) Ex. Obrigação que permite aplicar a 5 anos e cuja remuneração depende da valorização do PSI20 para financiamento Ex. Obrigação em que o emitente tem o direito de cancelar o empréstimo reembolsando o capital em falta (obrigação com put option) Produtos com remuneração depende da evolução: de taxas de juro de taxa de câmbio: Ex. Obrigação dependente intervalo, Ex. Trader bond de acções, ou índices, ou cabazes 27

28 EXEMPLOS DE PRODUTOS ESTRUTURADOS Obrigação step-up : Paga semestralmente juros à Euribor 6m + 20 p.b. durante 7 anos, mas com a Euribor 6m sujeita a limites mínimo e máximo conforme o quadro abaixo: Ano Taxa mínima Taxa máxima 1º 4,00% 5,50% 2º 4,00% 5,50% 3º 4,00% 6,00% 4º 4,00% 6,00% 5º 4,00% 6,00% 6º 4,00% 6,50% 7º 4,00% 6,50% 28

29 EXEMPLOS DE PRODUTOS ESTRUTURADOS Obrigação a 6 meses dependente da taxa de câmbio Paga: 6,30% de juros se a taxa de EUR/USD se situar no vencimento entre 0,95-1,05 ou 0,00% se a taxa de câmbio ficar fora deste intervalo. 29

30 Trader bond : EXEMPLOS DE PRODUTOS ESTRUTURADOS Aplica a 1 ano com capital garantido e não recebe nada de juros. Em contrapartida pode abrir e fechar uma posição cambial no USD/CHF por dia, durante 1 ano, com 80% do montante nominal da obrigação. Na maturidade recebe o valor nominal acrescido do valor positivo da soma dos ganhos/perdas das transacções assumidas. 30

31 EXEMPLOS DE PRODUTOS ESTRUTURADOS Obrigação cupão-zero sobre cabaz de índice de acções que paga o valor nominal (100) mais o valor positivo da valorização do seguinte cabaz de índices mundiais: 40% Nikkei % Standard & Poors % DAX 10% Financial Times 100 5% CAC-40 31

32 CONSTRUÇÃO DE PRODUTOS ESTRUTURADOS A maior parte dos produtos estruturados são: do tipo capital garantido ou risco limitado combinam depósitos com opções: uma ou várias opções simples uma ou várias opção exóticas: asiática A flexibilidade e a alavancagem das opções permitem construir produtos adaptados a quase todas as expectativas. 32

33 CONSTRUÇÃO DE PRODUTOS ESTRUTURADOS 1) aplicação Base Produto tipo Capital Garantido : para garantir o capital inicial (=100) aplica-se 100/(1+r) n em depósitos Ex.: 100/(1+0,045) 3 = 87,63 Ingredientes o valor restante (100-87,63 =12,37) é usado para comprar opções Se 12,37 não for suficiente para comprar uma opção vender outras opções reduzir a participação 33

34 1) Aplicação Quero aplicar EUR 100 a 5 anos, ter o capital garantido no fim do prazo e investir no PSI 20. Se a taxa de depósito a 5 anos for 5.5% => aplico o Valor Actual de EUR 100 = 100 ( ) 5 = Prazo Capital início período Juros do período Capital + Juros do período Ano 1 76,51 4,21 80,72 Ano 2 80,72 4,44 85,16 Ano 3 85,16 4,68 89,85 Ano 4 89,85 4,94 94,79 Ano 5 94,79 5,21 100,00 Os restantes EUR (= ) invisto em opções Call sobre PSI 20 para beneficiar da subida deste índice. Supondo que cada opção custa Eur 27.64, o que posso fazer? 34

35 1) Aplicação Como cada opção custa Eur 27.64, com Eur só consigo comprar opções sobre 85% do montante. No fim dos 5 anos, recebo: EUR 100 do depósito + 85% da variação POSITIVA do PSI 20 35

36 2) Aplicação Propõe-se a seguinte estrutura: Investir a 5 anos num cabaz constituído por 10 acções de grandes marcas mundiais em que recebe: 100% + 110% x (Valorização positiva do cabaz) - 30% Quanto recebe na maturidade se o Cabaz cair 50%? E se subir 50%? Que produtos compõem esta estrutura? 36

37 2) Aplicação - solução Se o Cabaz cair 50% recebe 100% + 0% -30% = 70% do montante inicialmente investido. Se subir 50% recebe 100% +110% x (50%) -30% = 125% do montante inicialmente investido. Esta estrutura é composta por: Uma opção call sobre 110% do montante investido (em que o cabaz é o activo subjacente eventual risco de correlação). Um depósito do valor actual de EUR 70, de tal modo a gerar EUR 70 no final do prazo (para uma taxa de depósito de 4%, seria 57,5 EUR). 37

38 3) Aplicação Propõe-se a seguinte estrutura: Investir a 3 anos no DAX, de tal modo a receber na maturidade: 100% + 70% x (Valorização positiva do DAX) + 2% Quanto recebe na maturidade se o DAX cair 50%? E se subir 50%? Que produtos compõem esta estrutura? 38

39 3) Aplicação - solução Se o DAX cair 50% recebe 100% +0 +2% = 102% do montante inicialmente investido Se subir 50% recebe 100% + (70%x50%) +2% = 137% do montante inicialmente investido Esta estrutura é composta por: Uma opção call sobre 70% do montante Um depósito do valor actual de 102%, de tal modo a gerar 102% no final do prazo (tem rendibilidade mínima) 39

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