Lista 2 - Derivativos (MFEE) Prof. Alexandre Lowenkron Monitor: Rafael Ferreira

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1 Lista - Derivativos (MFEE) Prof. Alexandre Lowenkron Monitor: Rafael Ferreira Questão 1 Um Banco possui a seguinte carteira de opções sobre o ativo X: Posição Delta Gama Vega Call , 5 3 1, 9 Put , 4 0, 7 Um outro derivativo exótico sobre o mesmo ativo X tem delta de 0, 4 e gama de 4. Como posso utilizar esta derivativo exótico e, caso seja necessário, o próprio ativo subjacente X para tornar a carteira deste Banco delta e gama neutros? Seja Π o valor do seu portfólio, e H = ax + bf a posição que você tem que adquirir em unidades do ativo X e do derivativo f para criar o hedge. Temos que: Π p = X X X H X = a X }{{} X =1 +b f X O delta de cada ativo é a derivada parcial de seu preço, em relação ao preço do ativo X. Para obter um portifólio delta neutro, temos que escolher a e b de modo que: 1000 p X X + a X X + b f X = 0 Para tornar o portfólio gamma neutro, temos que escolher b de modo a satisfazer a seguinte equação: 1000 c X p X + a X X }{{} =0 +b f X = 0 O gamma de cada ativo é a segunda derivada de seu preço, em relação ao preço do ativo X, o ativo-objeto. Substituindo pelos valores da questão, temos: , ( 0, 4) = a + 0, 4b a + 0, 5b = 1700 (1) = 4b b = 750 1

2 Substituindo na equação (1), chegamos a um valor de a = 000. Logo, para tornar o portfólio delta e gamma neutro, deve-se comprar 750 contratos do derivativo e vender 000 ações. Questão Uma ação custa hoje 50. Suponha que você, como investidor, acredite que não haverá um movimento significativo no preço da ação nos próximos 3 meses. Monte uma estratégia utilizando as opções de compra (calls) abaixo, com vencimento em 3 meses para fazer esta aposta: Strike Preço Mostre o gráfico de lucro da estratégia em função do preço da ação no vencimento (ignore os juros). Para realizar esse objetivo, podemos montar um butterfly spread, comprando uma call com strike 45 e uma call com strike 55, e vendendo duas com strike 50. Desconsiderando os juros, como custo teríamos = 1, e teríamos como lucro: Ação Call Strike 45 Call Strike 50 Call Strike 55 Lucro S T < < S T < 50 S T S T < S T < 55 S T 45 (S T 50) 0 S T + 54 S T > 55 S T 45 (S T 50) S T 55 1

3 Questão 3 Uma economia tem três possíveis estados da natureza (cenários econômicos) de se realizarem. Dois dos ativos desta economia tem seus preços e payoffs especificados abaixo. O primeiro deles é o ativo arriscado; o segundo, o ativo livre de risco. Com base nesta informação: a) Calcule o preço em t = 0 dos 3 ativos de Arrow-Debreu desta economia. Ordene os preços e explique o que pode estar fazendo com que eles sejam diferentes. b) Nesta economia, qual o preço de uma Call com barreira up-and-out (se bater na barreira, ela vira pó) com Strike 100 e barreira de 150? Seja o primeiro nó aquele em que a ação vale $100, o segundo nó aquele em que a ação vale $140, e o terceiro nó aquele em que a ação vale $90. Denotaremos por p i a probabilidade neutra ao risco para o nó i. Note que agora os valores dos parâmetros u e d serão diferentes para cada nó. Logo, temos: Logo, segue que: p 1 = R d 1 1, 1 90/ = = = 0, 40 u 1 d 1 140/100 90/ p = R d 1, / , = = = 0, 76 u d 168/ / p 3 = R d 3 1, 11 86/90 99, 9 86 = = = 0, 77 u 3 d 3 133/90 86/ p 1 = 0, 60 1 p = 0, 74 1 p 3 = 0, 73 3

4 Se denotarmos por p uu a probabilidade neutra ao risco de que o preço do ativo suba duas vezes consecutivas; por p ud a probabilidade neutra ao risco de que o preço do ativo suba uma vez e caia outra vez; e por p dd a probabilidade neutra ao risco de que o preço do ativo caia duas vezes, teremos: p uu = p 1 p = 0, 40 0, 76 = 0, 904 p ud = p 1 (1 p ) + (1 p 1 )p 3 = 0, 40 0, , 77 0, 6 = 0, 758 p dd = (1 p 1 )(1 p 3 ) = 0, 73 0, 6 = 0, 4338 Sejam f uu, f ud e f dd os respectivos preços de Arrow-Debreu. Temos: f uu = p uu 1 R = f ud = p ud 1 R = f dd = p dd 1 R = 0, 904 = 0, 4 (1, 1) 0, 758 = 0, 8 (1, 1) 0, 4338 = 0, 359 (1, 1) Note que f dd > f uu > f ud. Como os três estados da natureza são equiprováveis, a diferença entre os preços dos ativos de Arrow-Debreu pode vir de diferentes utilidades marginais do consumo em cada estado da natureza, de modo que estados com utilidade marginal do consumo maior têm ativos de Arrow-Debreu com preço maior. Note que o ativo da letra (B) paga 33 unidades monetárias apenas se o preço do ativo-objeto é 133. Em todos os demais casos, seu payoff é nulo. Logo, seu preço, pela probabilidade neutra ao risco, é dado por: f = 33 p ud 0, R = (1, 1) = 7, 5 Questão 4 Assuma que o processo estocástico da taxa de câmbio é um Browniano Geométrico: ds t = S t dt + S t db t Um novo derivativo sobre o câmbio que está sendo proposto pela área comercial do Banco no qual vc trabalha tem seu payoff determinado pela cotação do câmbio. Ou seja, ele pode ser descrito como: f t = f(s t ) a) Derive a equação diferencial parcial (EDP) que tem que ser satisfeita por este derivativo por imposição de ausência de arbitragem. (Lembre que o dólar pode ser investido num título livre de risco que rende a taxa de juros instantânea ydt). 4

5 b) Suponha que um cliente do Banco no qual você trabalha quisesse realmente comprar este derivativo de você. Uma forma de você cotá-lo para o cliente seria resolvendo a equação diferencial que você derivou no item (a) acima. Mas suponha que não exista fórmula fechada para este problema. Explique detalhadamente como você pode usar os resultados dos teoremas de finanças aliado à técnica de simulação para dar a cotação deste derivativo. Explique também como calcular a razão de hedge necessária para zerar o risco ao qual seu Banco estará exposto quando ele vender este derivativo. Note que temos um movimento browniano geométrico, com σ = µ = 1. ds = Sdt + SdB Aplicando o lema de Itô sobre f(s): ( f df = S S + f t + 1 f Se montamos o portfólio: S S ) dt + f S SdB Π = f + f f S dπ = df + S S ds dπ = f f Sdt S t dt 1 f S S dt f f f SdB + Sdt + S S S SdB Como agora temos que considerar o rendimento adicional para quem detém dólares, nossa condição de não-arbitragem resulta em: dπ = f t dt 1 f S S dt = rfdt + r f f Sdt y S S dt f t + 1 f S S + r f S S y f S S = rf Para a letra (B), podemos fazer um número grande de simulações, substituindo µ = 1 pela taxa livre de risco, r. Obteremos uma distribuição para os valores do câmbio ao fim do período, e é possível obter o valor do derivativo, já que conhecemos f. Temos então uma distribuição (frequentista) para os valores de S, e podemos tomar a média de f(s). Como estamos considerando µ = r, estamos no mundo neutro ao risco. Trazemos então essa média a valor presente, e temos um preço, usando o método de apreçamento neutro ao risco, e uma a frequencia relativa dos valores de S para simular a probabilidade neutra ao risco. 5

6 Questão 5 Calcule o delta de uma posição vendida em 1000 calls sobre contratos futuros de prata. As opções vencem em oito meses, e o contrato futuro subjacente vence em nove meses. O preço atual do contrato futuro para nove meses é de $8 por onça, o preço de exercício é de $8, a taxa livre de risco é de 1% por ano, e a volatilidade da prata é de 18% ao ano. Além disso, qual a posição inicial em contratos futuros para nove meses é necessária para fazer o delta hedge? Se usarmos a prata, qual deve ser a posição inicial? E se usarmos contratos futuros de um ano, qual deve ser a posição inicial? Suponha não haver custos de estocagem. A fórmula para o delta de uma opção europeia sobre futuros é usualmente definida como a taxa de variação do preço da opção em relação ao preço do futuro, e não sobre o preço spot do ativo-objeto do futuro, no caso, a prata. Na questão 6, vimos que a fórmula para essa taxa é: F = e rt N(d 1 ) Substituindo os valores do enunciado na fórmula acima, temos: d 1 = ln 8 ln 8 + [(0, 18) /] 0, , 18 0, 6667 Como N(0, 0735) = 0, 593, temos: e 0,1 0,6667 0, 593 = 0, 4886 = 0, 0735 O delta da posição vendida em 1000 calls é, portanto, 488, 6. Para continuar a resolver a questão, temos que diferenciar entre a taxa de variação do preço da opção em relação ao preço futuro, que chamaremos de delta-futuro, e a taxa de variação do preço da opção em relação ao preço spot, que chamaremos de delta-spot. O delta-futuro de um contrato futuro de nove meses é, obviamente, igual a 1: F F = 1 Logo, se quisermos fazer o delta hedge, precisamos comprar 488, 6 onças de prata no mercado futuro. O delta-spot de um contrato futuro de nove meses é: F S = S SerT = e rt = e 0,1 0,75 = 1, 094 Logo, o spot-delta da carteira de opções é dada por 1, 094 ( 488, 6) = 534, 6. Se usarmos a prata para fazer o hedge, precisaremos comprar 534, 6 onças no mercado spot. Se quisermos usar um contrato futuro de um ano para fazer o hedge, precisaremos comprar a onças de prata no mercado futuro, em que a é dado pela 6

7 equação: Logo, precisamos ter: 1000 }{{} S +a F 1 S = 0 delta spot 534, 6 + ae 0,1 1 = 0 a = 534, 6 e 0,1 = 474, 1 É necessário, portanto, entrar comprado em 474, 1 onças, em contratos futuros para entrega em um ano. Questão 6 A fórmula para o preço de uma call europeia sobre futuros, em função do preço do contrato futuro, F 0, é: onde: c = e rt [F 0 N(d 1 ) KN(d )] d 1 = ln(f 0/K) + σ T/ σ T e d = d 1 σ T e K, r, T e σ são, respectivamente, o preço de strike, a taxa de juros, o tempo até o vencimento e a volatilidade. a) Mostre que F 0 N (d 1 ) = KN (d ). b) Mostre que o delta do preço da call em relação ao preço do contrato futuro é e rt N(d 1 ). c) Mostre que o vega da call é F 0 T N (d 1 )e rt. Note que, recorrendo à função de densidade da distribuição normal, temos: KN (d ) = K { } exp d π { = K exp (d 1 σ } T ) π { = K exp (d 1 d 1 σ } T + σ T ) () π Decorre diretamente da definição de d 1 que: d 1 σ T = ln(f 0 /K) + σ T/ 7

8 Substituindo na equação (), temos: KN (d ) = K { exp (d 1 (ln(f 0 /K) + σ T/) + σ } T ) π = K { } exp d 1 π + ln(f 0/K) + σ T σ T = K { } exp d 1 F 0 π K = F 0N (d 1 ) Este é o resultado que o item a pedia para mostrar. Quanto ao item b, o delta do preço da call é a derivada do preço em relação ao preço do ativo-objeto, nesse caso o contrato futuro. Logo, temos: =e rt [ N(d 1 ) + F 0 N (d 1 ) d 1 KN (d ) d ] Recorrendo ao resultado que encontramos na letra A, temos: [ =e rt N(d 1 ) + F 0 N (d 1 ) d 1 F 0 N (d 1 ) d =e rt [N(d 1 ) + F 0 N (d 1 ) ( d1 d )] ] (3) Mas como d = d 1 σ T, segue que: d 1 = d Segue, pois, que e rt N(d 1 ), como queríamos mostrar. Por fim, para a letra c, precisamos tomar a derivada parcial do preço da call em relação à volatilidade: σ =e rt [ F 0 N (d 1 ) d 1 σ KN (d ) d σ σ F 0N (d 1 ) d ] σ ( =e [F rt 0 N d1 (d 1 ) σ d )] σ ( =e [F rt 0 N d1 (d 1 ) σ d 1 σ + )] T =e rt [ F 0 N (d 1 ) d 1 =e rt F 0 N (d 1 ) T ] 8

9 Questão 7 Dê duas possíveis interpretações para o Smirk abaixo observado no mercado de opões de Bolsa. Segue trecho do Hull, 5th ed., páginas 335 e 336: One possible explanation for the smile in equity options concerns leverage. As a company s equity declines in valuye, the company s leverage increases. As a result, the volatility of its equity increases, making even lower stock prices more likely. As a company s equity increases in value, leverage decreases. As a result the volatility of its equity declines, making higher stock prices less likely. This argument shows that we can expect the volatility of equity to be a decreasing function of price and is consistent (...) [with the figure above]. It is an interesting observation that the pattern [in the above figure] for equities has existed only since the stock market crash of October Prior to October 1987 implied volatility were much less dependent on strike price. This has led Mark Rubinstein to suggest that one reason for the pattern [in the above figure] may be crashophobia. Traders are concerned about the possibility of another crash similar to October 1987, and they price options accordingly. There is some empirical support for crashophobia. Whenever the market declines (increases), there is a tendency for the skew (...) [in the above figure] to be more (less) pronounced. 9