Exercício do livro Decision Analysis for the Professional (Peter McNamee e John Celona) Capítulo 05 Exercício função utilidade

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Marta Conceição Canela
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1 Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo Departamento de Administração EAD5853 Análise das Decisões na Incerteza Aplicada à Administração Exercício do livro Decision Analysis for the Professional (Peter McNamee e John Celona) Capítulo 05 Exercício função utilidade Maio 206 Gabriel Mormilho

3 Problema 5.7 Peter Portfolio faces a decision for a short-term investment based on the prospective movement of a stock. The possibilities are shown below. Peter has an exponential utility function with a risk tolerance of$5,000. a. What is Peter s decision? What is his certain equivalent for the venture? b. Peter is not sure if his risk tolerance is exactly $5,000. For what range of risk tolerance should he Buy? c. Sheba Sisters brokerage firm has investigated the stock and offers Peter perfect information on whether the stock price will go up or down. What is the maximum he should pay for the information? ( x a) A função de utilidade para Peter Portifolio será da forma u(x) = a be R ) O valor da tolerância ao risco já foi dado (R = $5.000). Para calcular os parâmetros, designa-se dois valores arbitrários, conforme mostrado nas equações abaixo: Assim, obtém-se que: b = u(x 0 = $.000) = a be ( x 0 R ) = 0 u(x = $2.000) = a be ( x R ) = a = exp ( x 0 x R ) = 2,22 $.000 $2.000 exp ( ) $5.000 exp ( x 0 R ) exp ( x R ) = exp ( $.000,8 ) exp ( $2.000 $5.000 $5.000 ) Ou seja, a função de utilidade para Peter Portifolio é u(x) = 2,22,8e x $ O gráfico para esta função é apresentado na Figura. Página de 7

4 ,4,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 $ $ $ ,2 $- $.000 $2.000 $3.000 $ ,4-0,6 R=$5.000 Figura Gráfico função utilidade Assim, a utilidade esperada da opção Buy é calculada utilizando as probabilidades dadas para essa opção, na árvore do enunciado: U Buy = u(x Buy ) = 50% u(x 0 ) + 50% u(x ) = 50% % = 0,50 Calcula-se a utilidade esperada da opção Stay out analogamente: U Stay_out = u(x Stay_out ) = 00% u($0) = 2,22,8e 0 $5.000 = 0,40 Como U Buy > U Stay_out, a escolha de Peter Portifolio deve ser de comprar as ações ( Buy ). Determina-se o equivalente de certeza dessa opção a partir de: u(x Buy ) = U Buy x Buy = R ln a U Buy b 2,22 0,50 = $5.000 ln $278,8 Ou seja, o equivalente de certeza é de $278. A Figura 2 apresenta a árvore de decisão do problema, com os valores das utilidades e equivalente de certeza calculados. Figura 2 Árvore de decisão Página 2 de 7

5 b) A escolha de Peter Portifolio será Buy enquanto U Buy > U Stay_out. Assim, a tolerância de risco pode variar até que U Buy = U Stay_out, ou seja: U Buy = U Stay_out ( 0 0,50 = U Stay_out = u($0) = a be R ) = a b 0,50 = exp ( x 0 x R ) exp ( x 0 R ) exp ( x R ) Esta equação não possui solução analítica. Utilizando métodos computacionais encontra-se R $ Ou seja, a escolha de Peter Portifolio será Buy enquanto a tolerância ao risco for maior do que $ Para ilustração confeccionou-se o gráfico da fig tal, que compara a curva da função de utilidade para diferentes valores de tolerância ao risco.,50,00 0,50 0,00 $ $-.500 $-500 $500 $.500 $2.500 $ ,50 -,00 -,50 R=$5.000 R=$2.500 R=$2.078 R=$.500 Figura 3 Gráfico função utilidade - tolerância ao risco Para melhor visualização faz-se uma aproximação da região de interesse (em torno de 0,50 = u($0)) na Figura 4. Página 3 de 7

6 0,60 0,56 0,55 0,50 0,50 0,47 0,45 0,40 0,40 0,35 $-20 $-5 $-0 $-5 $- $5 $0 $5 $20 R=$5.000 R=$2.500 R=$2.078 R=$.500 Figura 4 Gráfico função utilidade - tolerância ao risco detalhe c) Para obter o valor da informação perfeita adiciona-se uma nova alternativa à árvore apresentada na Figura 2, que é a alternativa com a informação perfeita. Esta nova alternativa percorrerá primeiro o evento de chance das ações ( Up ou Down ) para depois escolher entre Buy e Stay out. A nova árvore é apresentada na Figura 5. Figura 5 Árvore de decisão informação perfeita O valor da informação perfeita é a diferença entre o valor com informação e o valor sem informação. Assim, o valor da informação perfeita é de $622 ($90-$278). Página 4 de 7

7 Função utilidade Elabore a sua função utilidade Qual é o seu EC da W? /6 $5250 /6 $725 Alternativa W /6 $2500 /6 $3840 /6 $7020 /6 $550 Alternativa Y m Para cada uma das 6 alternativas de x, monta-se a arvore apresentada na Figura 6. Determinouse o valor de p, de cada alternativa, para o qual a escolha entre a loteria e o valor certo seria indiferente para mim. Figura 6 Árvore da loteria equivalente Para cada palor de p computa-se a utilidade da alternativa, através da equação: u(x) = p u($7020) + ( p) u($725) Adota-se que u($7020) = e u($725) = 0. Os valores de p estão apresentados na Tabela. Página 5 de 7

8 Tabela Pontos função utilidade x p u $725 0% 0,00 $ % 0,20 $ % 0,30 $ % 0,50 $ % 0,80 $ %,00 O gráfico para a função utilidade está mostrado na Figura 7.,20,00 0,80 0,80,00 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,20 0,00 0,00 $- $.000 $2.000 $3.000 $4.000 $5.000 $6.000 $7.000 $8.000 Figura 7 Gráfico função utilidade Para calcular o equivalente de certeza é necessário obter o valor esperado da arvore de decisão considerando as loterias equivalentes de cada alternativa, conforme apresentado na Figura 8. Página 6 de 7

9 Figura 8 Árvore de decisão completa com loterias equivalentes Assim, meu equivalente de certeza é de $ Página 7 de 7

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