Crité rios para construça o da Supérfí cié dé Volatilidadé Implí cita

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1 Crité rios para construça o da Supérfí cié dé Volatilidadé Implí cita 1 Introdução Algumas superfícies de volatilidade implícita de referência publicadas pela BM&FBovespa são construídas a partir da coleta de superfícies de volatilidades encaminhadas pelas corretoras que fazem parte dos pools de informantes 1 das mercadorias (Dólar, Ibovespa, IDI e DIT1 a DIT4). Em decorrência dessa dependência, a qualidade de cada superfície de referência publicada pela BM&FBovespa está diretamente relacionada, dentre outras, à qualidade das informações utilizadas na sua construção. De forma a garantir a qualidade das informações utilizadas na construção da superfície de volatilidade, o processo de geração da mesma considera os critérios abaixo como filtro para utilização dos dados encaminhados pelos informantes: 1. Critérios de não arbitragem: visam assegurar que os dados utilizados são livres de arbitragem, ou seja, as informações que não atendem ao presente critério não são consideradas na construção da superfície de referência. Esse critério é também utilizado na validação final da superfície de volatilidade de referência publicada pela BM&FBovespa; 2. Critérios estatísticos: considerando que o conjunto de informantes representa a atividade de negociação e que as informações enviadas representam os dados Mid (sem spreads de compra e venda), esse critério visa excluir da amostra aquelas informações atípicas, para um dado nível de significância. Uma vez que os dados dos informantes são avaliados e filtrados, é aplicado um fit a cada smile, segundo uma parametrização que atenda aos critérios de não arbitragem mencionados acima. A qualidade deste fit também avaliada, como descrito a diante. Vale observar que o padrão de superfície encaminhada pelos informantes, em função dos vencimentos e do delta, é exemplificado na tabela a seguir: 1 O pool de informantes é constituído pelas corretoras com maior atuação no mercado em avaliação, de forma a assegurar que os dados utilizados pela BM&FBovespa correspondam às cotações praticadas no mercado, sendo seus membros revisados periodicamente. Critérios 1

2 Tabela 1: exemplo de superfície de volatilidade implícita para opções sobre taxas de câmbio. VENCIMENTOS EM ABERTO DELTA CALL 2-mai-13 3-jun-13 1-jul-13 1-ago-13 2-set-13 1-out-13 1-nov-13 2-jan-14 5-mar-14 1-abr-14 2-jan-15 2-mar-15 2-jan-18 5% 11,27% 12,70% 13,42% 14,24% 14,85% 15,36% 16,27% 17,49% 17,99% 18,39% 19,50% 19,80% 20,41% 10% 10,65% 11,91% 12,49% 13,17% 13,68% 14,13% 14,92% 16,00% 16,49% 16,88% 17,97% 18,27% 18,78% 25% 9,40% 10,10% 10,40% 10,75% 11,05% 11,35% 11,85% 12,65% 13,10% 13,45% 14,50% 14,80% 15,10% 35% 8,87% 9,29% 9,48% 9,70% 9,86% 10,14% 10,50% 11,19% 11,54% 11,94% 12,97% 13,27% 13,51% 50% 8,40% 8,50% 8,60% 8,70% 8,80% 9,00% 9,20% 9,80% 10,20% 10,50% 11,50% 11,80% 12,00% 65% 8,21% 8,02% 8,11% 8,16% 8,15% 8,38% 8,46% 9,04% 9,34% 9,69% 10,66% 10,96% 11,20% 75% 8,20% 7,79% 7,90% 7,95% 7,95% 8,15% 8,15% 8,75% 9,10% 9,35% 10,30% 10,60% 10,90% 90% 8,55% 7,87% 8,12% 8,27% 8,26% 8,53% 8,44% 9,18% 9,49% 9,70% 10,62% 10,92% 11,43% 95% 8,81% 7,97% 8,29% 8,50% 8,49% 8,80% 8,69% 9,49% 9,79% 9,99% 10,89% 11,19% 11,80% 2 Descrição Nas seções a seguir são descritos em detalhes os critérios utilizados para a construção das superfícies de volatilidade implícita de referência publicadas pela BM&FBovespa. 2.1 Critérios de Não arbitragem para superfície de Volatilidade Implícita Os principais critérios de não arbitragem [1] avaliados para os dados de volatilidade implícita são os seguintes, para uma opção de compra: I) O preço de uma opção de compra para um determinado preço de exercício deve ser menor do que o de uma opção idêntica com um preço de exercício maior: (1) II) Uma opção de compra com prazo de vencimento maior do que outra idêntica, porém de prazo menor, dever custar mais caro: (2) III) A convexidade do prêmio de opções de compra em função do preço de exercício deve ser positiva, o que impede a compra de butter-flies a custo zero ou até mesmo com fluxo de caixa positivo: (3) IV) Por fim, em caso de necessidade de extrapolação, temos as seguintes condições para e, onde é valor do ativo subjacente à opção em : (4) (5) Critérios 2

3 Para aplicar os critérios de I a III, são determinados os preços de exercício [2] relativos a cada vértice da superfície de cada informante. No caso I, são determinados os prêmios das opções de compra relativas a cada vértice de cada superfície informada. Em seguida são calculadas as diferenças entre prêmios subsequentes, dois a dois, para um mesmo vencimento, em função de : ( ) ( ) (6) com ( ) ( ). É esperado que esta diferença seja sempre menor do que zero (ver Tabela 2). Tabela 2: diferença entre prêmios de opções de compra em função do preço de exercício (K). DELTA CALL 5% 02-mai jun jul ago set out nov jan mar abr-14 Diferenças dos prêmios em função do Strike (dc/dk) 10% -0,0512-0,0411-0,0378-0,0375-0,0348-0,0337-0,0329-0,0317-0,0315-0, % -0,1175-0,1000-0,0934-0,0949-0,0851-0,0819 0,0800-0,0781 0,0790-0, % -0,2347-0,2102-0,1976-0,1976-0,1782-0,1713-0,1689-0,1598-0,1588-0, % -0,3619-0,3337-0,3073-0,3055-0,2938-0,2798-0,2697-0,2686-0,2499-0, % -0,5539-0,4925-0,4641-0,4678-0,4381-0,4411-0,4280-0,4227-0,4166-0, % -0,6911-0,6679-0,6405-0,6285-0,6253-0,6232-0,6156-0,5932-0,5725-0, % -0,8307-0,8164-0,7992-0,7858-0,8010-0,7926-0,7847-0,7773-0,7484-0, % -0,9277-0,9162-0,9106-0,9010-0,9020-0,8905-0,8799-0,8682-0,8570-0,8629 Para o critério II, é utilizada uma abordagem semelhante ao I: para cada valor de da superfície, para o qual temos um valor de volatilidade ( ), é calculado um valor de ( ), por meio de uma interpolação spline cúbica. Espera-se que a diferença entre os prêmios das opções para estes dois valores de seja sempre positiva [3]: ( ( )) ( ( )) (7) Tabela 3: diferença entre prêmios fixando-se os valores de K relativos ao vencimento imediatamente anterior. 02-mai jun jul ago set out nov jan mar abr jan mar jan-18 DELTA CALL Diferenças entre prêmios em função do tempo (dc/dt > 0) 5% 0,283 0,181 0,162 0,138 0,125 0,144 0,138 0,103 0,107 0,110 0,078 0,081 10% 0,367 0,248 0,222 0,198 0,181 0,203 0,192 0,155 0,165 0,151 0,122 0,110 25% 0,515 0,378 0,336 0,299 0,290 0,305 0,300 0,249 0,281 0,258 0,219 0,196 35% 0,576 0,447 0,400 0,362 0,366 0,359 0,369 0,322 0,379 0,329 0,286 0,245 50% 0,626 0,526 0,480 0,447 0,454 0,432 0,466 0,422 0,461 0,411 0,389 0,297 65% 0,626 0,567 0,526 0,491 0,525 0,470 0,524 0,478 0,547 0,458 0,455 0,323 75% 0,602 0,574 0,540 0,517 0,538 0,483 0,544 0,510 0,530 0,477 0,480 0,327 90% 0,531 0,539 0,522 0,505 0,520 0,475 0,518 0,484 0,487 0,458 0,450 0,300 95% 0,493 0,508 0,498 0,484 0,493 0,457 0,488 0,456 0,451 0,433 0,411 0,273 Para o critério III, partimos da seguinte relação entre o preço de uma opção de compra ( ) e a função densidade de probabilidade neutra ao risco ( ): ( ) ( ) ( )( ) (8) onde ( ) é o fator de desconto, dado: ( ) ( ( ) ) (9) Critérios 3

4 ( ) refere-se à probabilidade de o ativo atingir o valor em dado que ele parte de em. É possível derivar (8) duplamente em relação a, chegando-se à seguinte relação: ( ) ( ) ( ) (10) Assim, conclui-se que, pois ( ) e ( ). A partir da expressão (10) verifica-se que a avaliação do terceiro critério pode ser feita tanto a partir da estimação da função de densidade de probabilidade ( ) quanto da avaliação da relação entre os prêmios observados e seus respectivos preços de exercícios. A execução do critério a partir da estimação da função de densidade de probabilidade ( ) exige que sejam feitas hipóteses quanto à distribuição implícita nos prêmios observados. De forma a prescindir de tais hipóteses, o critério III será avaliado a partir da convexidade do prêmio das opções, calculado a partir das superfícies de volatilidade informada. De forma prática, o critério III é aplicado nos prêmios relativos a cada vértice da superfície de volatilidade, utilizando-se uma função interpolada (spline cúbica) em função de K para cada maturidade, sem pressupor critérios de não arbitragem para sua construção, como é realizado em [4], pois o objetivo é avaliar os dados informados. A partir desta função são determinados os valores de Um exemplo é apresentado na tabela 4. em cada vértice da superfície e verificado se eles são positivos. Tabela 4: valores das derivadas segundas dos prêmios (Calls) em relação ao strike (K). 02-mai jun jul ago set out nov jan mar abr jan mar jan-18 DELTA CALL Derivada segunda do prêmio em relação ao strike (d2c/dk2) 5% 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , % 0, , , , , , , , , , , , , Critérios estatísticos relativos aos dados de informantes Em cada dia de negociação é realizado um levantamento de dados de superfície de volatilidade implícita, fornecidos por diferentes informantes. Dado que estas informações são relativas ao prêmio de opções negociadas em um mesmo mercado, espera-se que não haja grande dispersão entre eles. Desta forma, avaliamos a inserção de cada dado informado ( ) em relação a um intervalo de confiança ( ) determinado pela média aritmética ( ) obtida:, (8) onde é o desvio-padrão da amostra de informantes e determina o fator multiplicativo levando em conta o tamanho da amostra por meio da distribuição t-student. Na Tabela 5 são apresentados os resultados para uma maturidade com um conjunto de 6 informantes. Neste Critérios 4

5 exemplo é possível notar que alguns dados do informante 5 não se adequam a este critério. Também é possível visualizar este efeito no gráfico da Figura 2. Tabela 5: exemplo de determinação de intervalo de confiança. 02-mai-13 I.C. 99,0% Delta% Inf.1 Inf.2 Inf.3 Inf.4 Inf.5 Inf.6 Média s Min. Máx. 1 11,69% 11,77% 12,06% 11,87% 11,47% 12,42% 11,88% 0,33% 11,34% 12,42% 10 10,75% 10,65% 10,75% 10,51% 10,33% 10,88% 10,64% 0,20% 10,32% 10,97% 25 9,38% 9,40% 9,37% 9,27% 9,12% 9,38% 9,32% 0,11% 9,14% 9,50% 37 8,72% 8,79% 8,78% 8,68% 8,59% 8,70% 8,71% 0,07% 8,59% 8,83% 50 8,35% 8,40% 8,40% 8,34% 8,23% 8,30% 8,34% 0,07% 8,23% 8,45% 63 8,18% 8,23% 8,17% 8,21% 8,14% 8,22% 8,19% 0,04% 8,13% 8,25% 75 8,23% 8,20% 8,12% 8,23% 8,14% 8,32% 8,20% 0,07% 8,08% 8,33% 90 8,74% 8,55% 8,50% 8,69% 8,28% 8,78% 8,59% 0,19% 8,28% 8,90% 99 9,32% 9,02% 9,08% 9,35% 8,59% 9,18% 9,09% 0,28% 8,63% 9,55% Figura 2: exemplo de gráfico da volatilidade em função do Delta para cada informante. 2.3 Critérios estatísticos relativos à parametrização adotada À amostra final de dados dos informantes, ou seja, aqueles que passaram pelos critérios de não arbitragem detalhados na seção 2.1 e pelos critérios estatísticos apresentados na seção 2.2, é aplicado um fit por meio de uma parametrização que atenda, por construção, aos critérios de não arbitragem. No caso das mercadorias IDI e DIT1 a DIT4 é adotada a parametrização SABR [5] e no caso de Dólar e Ibovespa, a parametrização SVI [6]. Como critério final, os smiles resultantes destas parametrizações devem estar contidos no intervalo de confiança determinado pela própria amostra utilizada no fit. Ou seja, cada ponto do smile resultante deve estar contido no intervalo de confiança a seguir:, (9) Critérios 5

6 Desta forma, se os dados da amostra final apresentarem um comportamento tal que as parametrizações não sejam capazes de descrever, mas que fique evidente que se trata de um comportamento geral dos participantes, a BM&FBovespa poderá, a seu critério, não adotar estas parametrizações para os smiles da superfície a ser publicada, podendo adotar a média interpolada ou outro critério que se adeque ao comportamento do mercado. 3 Referências [1] R. Rebonato, Volatility and Correlation The perfect Hedger and the Fox, 2nd Ed., John Wiley & Sons (2004); [2] D. Reiswich, U. Wystup, CPQF Working Papers Series, Frankfurt School of Finance & Management, No. 20 (2010); [3] P. Carr, D. B. Madan, Finance Research Letters, 2, (2005); [4] M. R. Fengler, Arbitrage-free smoothing of the implied volatility surface. Humboldt University, Berlin SFB 649, Discussion Paper (2005); [5] P.S.Hagan, D.Kumar, A.S.Lesniewski, Managing Smile Risk, Wilmott Magazine (2002); [6] J. Gatheral, A parsimonious arbitrage-free implied volatility parameterization with application to the valuation of volatility derivatives, Global Derivatives and Risk (2004). Critérios 6