Modelos de Estrutura a Termo

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1 Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivativos Parte 12: Modelos para a Estrutura a Termo das Taxas de Juros Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Modelos de Estrutura a Termo Modelos Estáticos: Sem Erro: Linear Exponencial Splines Cúbicos (1ª e 2ª derivada) Com Erro: Nelson-Siegel Outros Splines Modelos Dinâmicos: Sem imposição de Ausência de Arbitragem PCA: Litterman & Scheinkman Diebold & Li Com imposição de Ausência de arbitragem Com erro Visicek, Cox-Ingerssol-Ross, Modelos Afim (Duffie-Kahn) Sem Erro Ho-Lee, Hull-White, Black-Derman-Toy e HJM Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 2 1

2 Splines Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós. Definição formal de Splines polinomiais Uma função S é chamada de spline de grau k se: O domínio de S é um intervalo [a,b] Há nós (t i,y i ) tal que a = t 0 < t 1 <... < t n = b e tal que S é um polinómio de grau k em cada subintervalo [ti,ti + 1]. No geral, a continuidade da função f em s pode ser definido pela condição: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 Splines aplicados à ETTJ Vamos usar a função desconto. No caso de um Zero Coupon Bond a função desconto pode ser diretamente associado à Taxa Spot (Yield) do mesmo: P(t,T) = 1/(1+y) T-t Usando a função desconto teremos uma forma funcional linear para os preços, o que facilitará a solução do sistema de equações resultantes. Com a curva dos preços em mãos é fácil calcular a curva zero para as taxas spot. Para qualquer bond (com ou sem coupon) podemos escrever: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 4 2

3 Splines para ETTJ Se tivermos N títulos, teremos N/2 polinômios (um para cada intervalo ). Logo, uma exigência do modelo é que o n. de títulos seja par Com N/2 polinômios, quantas variáveis precisaremos estimar? 4 para cada polinômio (a k, b k, c k, d k ), logo teremos 4*(N/2) = 2N variáveis. Portanto precisaremos do mesmo número de equações. Quantas temos? 1 com a condição inicial (a 1 =1) 1 com a condição terminal (derivada 0 no último ramo) N restrições para que cada preço seja o observado. (N/2-1) para que as junções das curvas de desconto sejam iguais. (N/2-1) para que as derivadas das junções das curvas de desconto sejam iguais. Suponha que temos 4 títulos. Quantos parâmetros teremos que estimar? 8 (4 por intervalo) (a 1, b 1, c 1, d 1 ) & (a 2, b 2, c 2, d 2 ) Quantas equções precisaremos? 8 Quantas temos? 8! Uma com a condição inicial (a 1 =1) Uma com a condição terminal (derivada 0 no último ramo) Duas para forçar o preço dos bonds a ser aquele observado. Duas para que na junção as curvas sejam iguais. Duas para que na junção as derivadas das curvas sejam iguais. Portanto resolver um Spline Cúbico é simplesmente resolver este sistema de equações. Como fazer para que isso seja feito com rapidez? Álgebra matricial! Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Splines para ETTJ A idéia do modelo é ter uma curva que precifique perfeitamente todos os bonds e que seja suave. A única forma de fazer isso é ter uma forma funcional (cúbica) para cada intervalo. Com polinômios do 3º grau, se tivermos N títulos teremos M=N/2 polinômios. Ou seja, teremos um polinômio para cada um dos M intervalos onde para cada intervalo: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 3

4 Splines para ETTJ Temos ainda que impor 4 restrições adicionais: Que os polinômios seja iguais nos pontos de junção. Que as suas derivadas sejam iguais nos pontos de junção (esta é uma condição adicional para que a curva seja suave). Restrição inicial que um real valha um real hoje. Restrição terminal que a derivada seja zero no último ponto: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 Splines para ETTJ: Exemplo Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 8 4

5 Splines para ETTJ Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 9 Splines para ETTJ Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 10 5

6 Splines para ETTJ Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 11 Modelos das Estrutura a Termo com erro Os Splines são úteis mas tem muitos fatores. Será que não existem modelos mais parcimoniosos? Sim. Mas quantos fatores precisaríamos nestes modelos? Por COMPONENTES PRINCIPAIS é possível mostrar que não precisamos de mais do que 3 fatores para explicar os movimentos da estrutura a termo. Mas com 3 fatores o modelo é bom? Sim, em geral ele explica mais do que 99% dos movimentos da curva. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 12 6

7 Componentes Principais Análise de Componentes Principais é um método estatístico para reduzir o número de variáveis estudadas da forma mais eficiente possível. Exemplo: M ativos (títulos com maturidade diferentes) se forem reduzidos a K fatores, quantos seriam? O que eles representariam? A metodologia é maximizar a variância total do sistema explicada por cada componente. 1 o PCA: só impõe que pesos somem 1 2 o PCA: (i) impõe que pesos somem 1 e (ii) que seja ortogonal ao PCA 1. 3 o PCA: (i) impõe que pesos somem 1; (ii) que seja ortogonal ao PCA 1; (iii) que seja ortogonal ao PCA 2, Etc.. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 13 Geometric picture of principal components (PCs) the 1 st PC is a minimum distance fit to a line in space the 2 nd PC is a minimum distance fit to a line in the plane perpendicular to the 1 st PC PCs are a series of linear least squares fits to a sample, each orthogonal to all the previous. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 14 7

8 Litterman & Scheinkman (91): 3 fatores explicam mais de 99% dos movimentos nas ETTJs Resultados atualizados Período : 1st 2nd 3rd Principal Components: Variance Explained by Factors & Factor Loadings BRAZIL % KOREA % COLOMBI A % MEXIC O % USA % Compo nent Compo nent Compo nent Sum Factor Loadings Principal Components Korea st Component 2 Component 3 Component Logo, a teoria dos mercados segmentados parece ser rejeitada pelos dados. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 15 Nelson e Siegel Como vimos então, na prática, 3 fatores parecem explicar muito bem a curva de juros. O modelo de Nelson & Siegel (1987) A Parsimonious Modeling of Yield Curves propõe uma forma funcional parcimoniosa e eficiente que tem sido largamente utilizada tanto na academia quanto no mercado financeiro. Objetivos do modelo: Modelar, estimar e monitorar uma curva de juros; Compressão de informação; Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 16 8

9 Nelson e Siegel (1987) Modelo Para modelar taxas spot basta integrar em m f = taxa de juros forward r = taxa de juros a vista Beta0 = nível Beta1 = inclinação Beta2 = curvatura m = prazo τ = taxa de decaimento τ fixo: MQO Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág Fator 2 LL Fator Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 18 9

10 14.50% 14.00% 13.50% 13.00% 12.50% 12.00% 11.50% 11.00% 10.50% Curva Verdadeira Interpolação Linear Interpolação Flat Forward Curva Spline Curva Nelson & Siegel 10.00% Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 19 Nelson & Siegel Uma interessante utilização do modelo é para acompanhar a dinâmica da curva. É muito mais fácil acompanhar o movimento de 3 fatores ao longo do tempo do que acompanhar o movimento de uma curva inteira (superfície). A seguir a dinâmica da curva de risco país feita por André Monteiro e Sylvio Heck Uma Estrutura a termo Alternativa para o Prêmio de Risco Brasil Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

11 5 Curvas Estimadas Evolução do nível, inclinação e curvatura da curva de cupom cambial Efeitos desestabilizadores da desvalorização do Real em 1999 Baixa maturidade maior variação dos coeficientes de inclinação e curvatura estimados jul-99 ago-99 set-99 out-99 nov-99 dez-99 jan-00 fev-00 mar-00 abr-00 mai-00 jun-00 jul-00 ago-00 set-00 out-00 nov-00 dez-00 jan-01 fev-01 mar-01 abr-01 mai-01 jun-01 jul-01 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 Nível Inclinação Curvatura Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 21 Evolução do nível, inclinação e curvatura da curva Treasuries Estabilidade da taxa de LP (+/- 6%) EM 2000, possibilidade de recompra de títulos jogou taxas longas para baixo (grandes superávits fiscais e fim da curva de TYS ) Recentemente, forte recuo de Fed-Funds volta a jogar inclinação para cima jul-99 ago-99 set-99 out-99 nov-99 dez-99 jan-00 fev-00 mar-00 abr-00 mai-00 jun-00 jul-00 ago-00 set-00 out-00 nov-00 dez-00 jan-01 fev-01 mar-01 abr-01 mai-01 jun-01 jul-01 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 Nível Inclinação Curvatura Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág