Fundação Getúlio Vargas / EPGE Economia Monetária e Financeira Prof. Marcos Antonio Silveira

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1 Fundação Getúlio argas / EPGE Economia Monetária e Financeira Prof. Marcos Antonio Silveira Nota de Aula 0: Renda Fixa Bibliografia: FABOZZI, F. J. The handbook of fixed income securities. McGraw-Hill, 6 a ed., 2000 FABOZZI, F. J. Fixed income mathematics. McGraw-Hill, 3 a ed., 997 FABOZZI, F.J. e MODIGLIANI, F. Capital markets: institutions and instruments, Prentice-Hall, 2 a ed., 996 FERREIRA, L. F. R. Manual de gestão de renda fixa. Artmed Editora, 2004 MISHKIN, F. Moedas, Bancos e Mercados Financeiros, cap. 7, 5. edição traduzida HULL, J. Options, Futures and Other Derivatives, cap.5, 5. edição

2 Estrutura a Termo: Conceitos e Resultados Básicos Definição Títulos (instrumentos) de renda fixa são ativos financeiros cujo cálculo do fluxo de caixa é plenamente especificado no contrato do título Títulos de dívida: direitos sobre a riqueza do emissor do título Debêntures e commercial papers emitidos por uma empresa Títulos do Tesouro Nacional: LTN, NTN, LFT US Treasury Bills, Notes e Bonds emitidos pelo Tesouro norte-americano CDB emitido por um banco Empréstimos interfinanceiros de liquidez Empréstimos pessoais Renda fixa X Renda variável (ações) Renda variável: direito residual sobre os lucros de uma firma Títulos pré-fixados: fluxo de caixa prometido determinado na emissão (Exs.: LTN, US Treasuries) Títulos pós-fixados: fluxo de caixa flutuante e indexado a alguma taxa ou preço da economia (Exs.: LFT, NTN) Definição 2 Um título sem cupom (TSC) (zero coupon, discount bond) é um instrumento de renda fixa cujo fluxo de caixa consiste de apenas um pagamento (bullet) na data de seu vencimento Este pagamento é o valor de face to título (F) O período de tempo entre a data de vencimento e a data corrente é o prazo de vencimento ou a maturidade do título Exemplos de TSC: LTNdoTesouroNacional US Treasury Bills do Tesouro norte-americano 2

3 Definição 3 Seja P (t, s) o preço na data t de um título sem cupom (TSC) com valor de face igual a $ com maturidade s (data de vencimentoemt+s). Ataxainternaderetorno (TIR) [yield to maturity (YTM)] deste título, denotada por Y (t, s), é a taxa de desconto que iguala o valor presente do título ao seu preço, ou seja, Convenção : P (t, s) = Taxa ao ano (a.a): s= ano Taxa ao semestre (a.s): s= semestre Taxa ao mês (a.m): s= mês [ + Y (t, s)] s () Exemplo Qual a TIR (a.a) na data t de um TSC com F=$, vencimento em um mês e preço de mercado $0,98? taxa ao ano: mês s = 2 P (t, 2 ) = 0, 98 = [ + Y (t, 2 )] 2 = Y (t, )=0, 2743 (27,43 % a.a) 2 Exemplo 2 Qual a TIR (a.s) na data t de um TSC com F=$, vencimento em dois meses e preço de mercado $0,94? taxa ao semestre: 2 meses s = 3 P (t, 3 ) = 0.94 = [ + Y (t, 3 )] 3 = Y (t, )=0, 2040 (20,40 % a.s) 3 3

4 Intuição econômica Taxa Y (t, s) informa o custo em t dos empréstimos em dinheiro com prazo s: P (t, s) = [ + Y (t, s)] s = P (t, s)[ + Y (t, s)]s = Logo, taxa Y (t, s) também conhecida como taxa de juros à vista (spot rate) em t com prazo s Exemplo 3 Qual a taxa de juros à vista (a.a.) oferecida por um TSC com F=$, vencimentoemummêsepreço$0.98? 0.98[ + Y (t, 2 )] 2 == Y (t, )=0, 2743 (27,43 % a.a) 2 Resultados básicos :. Fixado um prazo de vencimento s, taxa Y (t, s) pode variar no tempo calendário t 2. Fixado uma data t, taxa Y (t, s) pode variar com o prazo de vencimento s: taxas de juros com prazos distintos podem diferir numa data t (estrutura a termo da taxa de juros) 3. Taxa Y (t, s) varia inversamente com o preço do papel 4. Por eliminação de oportunidades de arbitragem: P (t, 0) = 5. Por eliminação de oportunidades de arbitragem: s>0= Y (t, s) > 0= P (t, s) = [ + Y (t, s)] s < 6. Também por eliminação de oportunidades de arbitragem, o preço de um TSC com valor de face F e prazo s é dado por F P (t, s) onde P (t, s) é o preço do TSC com valor de face $ e prazo s Definição 4 A estrutura a termo da taxa de juros numa data t qualquer especifica a TIR dos títulos sem cupom em função de sua maturidade s Exemplo 4 Estruturaatermoemt(taxaanualizada(%a.a.)) Y (t, )=2, 5% Y (t, )=5, 0% Y (t, )=5, 5% Y (t, )=6, 0% Y (t, 3 )=7, 0% Y (t, ) = 7, 5% 2 4 Y (t, 3 )=8, 0% Y (t, 2) = 0% Y (t, 3) = 2% 2 4

5 Gráfico desta função é conhecido como curva de juros à vista (yield curve ou spot curve ou zero curve) Estrutura a termo informa o custo do dinheiro para diferentes prazos Estrutura a termo informa a diferença de custo (taxa de juros) entre empréstimos que diferem apenas com relação ao prazo de vencimento (mesmo risco de crédito, liquidez, impostos,...) Toda a estrutura a termo pode mudar à medida que o tempo t passa Estrutura a termo pode apresentar qualquer um dos formatos abaixo: crescente, decrescente, hump-shaped, formato de U No exemplo 4 acima, estrutura a termo é positivamente inclinada Na Teoria de Finanças, muitas vezes é mais conveniente trabalhar com a taxa interna de retorno com frequência de capitalização contínua, dada por: y(t, s) =ln[+y (t, s)] = exp [y(t, s)] = + Y (t, s) (2) Quando Y (t, s) é suficientemente pequeno: Juntando eqs.() e (2): y(t, s) = ln[ + Y (t, s)] = Y (t, s) P (t, s) = = [ + Y (t, s)] = s exp [y(t, s)] s (3) =exp[ y(t, s)s] exp[y(t, s)s] Observe que o capital investido capitaliza continuamente a taxa y(t, s), ou seja, P (t, s)exp[y(t, s)s] = 5

6 Definição 5 Considere um título de renda fixa que paga o fluxo de caixa C,C 2,C 3,..., C n nos prazos s,s 2,s 3,..., s n respectivamente. Seja opreçodestetítulonadatat. Ataxa interna de retorno TIR [yield to maturity (TIR)] deste título, denotada por Y t,éataxa de desconto que iguala o valor presente do fluxo de caixa do título ao seu preço, ou seja, = = [ + Y t ] s i C [ + Y t ] s + C 2 [ + Y t ] s C n [ + Y t ] s n + C n [ + Y t ] s n + (4) O preço do título varia inversamente com sua TIR Y t Exemplo 5 Seja um título com pagamento semestral de cupom a uma taxa de 5% sobre um valor de face igual a $000, emitido com prazo de vencimento igual a dois anos. O preço de mercado deste título na data da emissão (//90) é $ 900 (90% do valor de face). Qual a TIR (% a.a) na data da emissão? Fluxo de caixa do título data (fluxo) dias após emissão s i (prazo) //90 C 0 = s 0 =0 2/7/90 C =50 82 s = 82 =0, //9 C 2 = s 2 = 365 = 365 2/7/9 C 3 = s 3 = 547 =, //92 C 4 = s 4 = 730 Substituindo os valores da tabela acima na eq.(4): 365 =2 = C [ + Y t ] s + C 2 [ + Y t ] s + C 3 2 [ + Y t ] s + C 4 3 [ + Y t ] s 4 = = ( + Y ) ,5 ( + Y ) ( + Y ),5 ( + Y ) 2 = Y t =0, 67 (6,7% a.a) Alternativamente, em termos de frequência de capitalização contínua, define-se a taxa y t =ln[+y t ], de forma que = exp [y t s i ] 6

7 Apreçamento e Avaliação de Títulos : Considere um título de renda fixa que paga o fluxo de caixa C,C 2,C 3,..., C n nos prazos s,s 2,s 3,..., s n respectivamente. O fluxo de caixa deste título com cupom é exatamente igual ao fluxo de caixa de uma carteira com n TSCs, tal que o TS (,2,...,n) tem valor de face e prazo s i Logo, por eliminação de oportunidade de arbitragem, o valor presente deste título com cupom deve ser igual ao valor da carteira formada por estes n TSC, ou seja, = P (t, s i ) = C P (t, s )+C 2 P (t, s 2 ) C n P (t, s n )+C n P (t, s n ) onde P (t, s i ), como definido acima, é o preço em t de um TSC que com valor de face $ e prazo s i Além disso, sabemos que: P (t, s i )= [ + Y (t, s i )] s i ondey (t, s i ) é a TIR em t do TSC com valor de face $ e prazo s i Isto implica que, se a estrutura a termo (observada ou teórica) da taxa de juros é conhecida, podemos calcular o valor presente do título através da expressão: = [ + Y (t, s i )] s i Por eliminação de oportunidades de arbitragem: = = [ + Y (t, s i )] s i (5) Se o título é novo e não tem ainda seu preço cotado no mercado, a fórmula acima serve para seu apreçamento Seotítulojáécotadonomercadoaopreço, ele está sobrevalorizado (subvalorizado) quando > ( < ) Exemplo 6 Seja um título com pagamento semestral de cupom a uma taxa de 5% sobre um valor de face igual a $000, emitido com prazo de vencimento igual a dois anos. A estruturaatermo(taxaanualizada(%a.a.))nadatadaemissãoté Y (t, )=2, 5% Y (t, )=5, 0% Y (t, )=5, 5% Y (t, )=6, 0% Y (t, 3 )=7, 0% Y (t, ) = 7, 5% 2 4 Y (t, 3 )=8, 0% Y (t, 2) = 0% Y (t, 3) = 2% 2 7

8 Qualpreçodemercadodestetítulonadatadaemissãot? Fluxo de caixa do título data (fluxo) s i (prazo) taxa de desconto //90 C 0 = 900 s 0 =0 2/7/90 C =50 s = 82 = Y (t, )=6, 0% //9 C 2 =50 s 2 = 365 = Y (t, ) = 7, 5% 365 2/7/9 C 3 =50 s 3 = 547 = 3 Y (t, 3 )=8, 0% //92 C 4 =05 s 4 = 730 =2 Y (t, 2) = 0, 0% 365 Substituindo os valores da tabela acima na equação abaixo: P = P = C ( + Y (t, s )) s + C 2 ( + Y (t, s 2 )) s 2 + C 3 ( + Y (t, s 3 )) s 3 + C 4 ( + Y (t, s 4 )) s 4 $48,56 z } { 50 ( + 0, 060) + 0,5 P = $007, 40 $46,5 z } { 50 ( + 0, 075) + $44,55 z } { 50 ( + 0, 080),5 + $867,77 z } { 050 ( + 0, 0) 2 8

9 Retorno total X YTM : A taxa de retorno total do título é a taxa obtida quando se carrega o título até sua completa amortização, levando-se em conta inclusive o reinvestimento de todos os fluxos de caixa Em geral, a TIR não é igual a taxa de retorno total do título Isto somente acontece se todos os fluxos de caixa futuros do papel forem reinvestidos a uma taxa igual a TIR corrente do papel Exemplo 7 Seja um título com pagamento semestral de cupom a uma taxa de 5% sobre um valor de face igual a $000, emitido com prazo de vencimento igual a dois anos. O preço de mercado deste título é $ 900 (90% do valor de face). Qual a taxa de retorno total (RT) deste título se todos os cupons forem reinvestidos a uma taxa igual a TIR do título no momento do investimento no título? 900 = 50 ( + Y ) ,5 ( + Y ) ( + Y ),5 ( + Y ) 2 Y = 0, 67 = 900( + Y ) 2 =50(+Y ),5 + 50( + Y )+50(+Y) 0, = RT = Y =0, 67 (6, 7% a.a) 9

10 U.S. Treasury Notes and Bonds : Amortização de todo principal (valor de face) na data de vencimento Pagamento periódico de um mesmo cupom C de valor proporcional ao principal Cupom=Taxa de cupom*principal Quando taxa de cupom = TIR do título = preço=principal (título cotado ao par) Quando taxa de cupom > (<) TIR, então preço > (<) principal Brazilian Globals, Treasuries seguem esta estrututa Exemplo 8 Seja um título com pagamento semestral de cupom a uma taxa de 5% sobre um valor de face igual a $000, emitido com prazo de vencimento igual a dois anos. Qual atiry t deste título quando seu preço é? = 50 ( + Y t ) ,5 ( + Y t ) ( + Y t ) 0,5 ( + Y t ) 2 = 900 = Y t =0, 67 (6,7% a.a) = 000 (cotado ao par) = Y t =0.0 (0% a.a) = 00 = Y t =0, 048 (4,8% a.a) 0

11 Estimação da Estrutura a Termo : Em geral, não existe mercado secundário de TSC para todos os prazos. Neste caso, a estrutura a termo não é inteiramente observada. Logo, ela deve ser estimada a partir dos preços de títulos (sem e com cupom) negociados no mercado através de inúmeros procedimentos, tal como bootstraping Exemplo 9 Bootstrapping Suponha dois títulos: TSC com valor de face $00 e vencimento em mês: preço =$99 título com cupom que paga $50 em mês e $00 em 2 meses: preço =$47 Derivaçãodataxadejurosàvista(a.a.)paraummês: 99 = 00 +Y t, 2 2 = Y µ t, 2 =0, 282 (2, 82%) Como obter a taxa à vista para dois meses se não existe TSC com este prazo negociadonomercado? Derivação da taxa à vista (a.a.) para dois meses: 47 = = 50 +Y t, [ ] 2 µ = Y t, Y t, Y t, =0, 640 (6, 40%) A estrutura a termo estimada é conhecida como estrutura a termo teórica ou implícita E a taxa à vista para prazos entre e dois meses? Interpolação linear, splines,.etc A estimação da estrutura a termo enfrenta o trade-off entre acuracidade no apreçamento dos títulos e suavidade da curva: por um lado, é desejável que a curva não apresente rupturas ou descontinuidades sem razão econômica. por outro lado, é desejável que a estrutura seja capaz de apreçar com realismo os títulos efetivamente negociados no mercado. em geral, estes dois objetivos são conflitantes devidos a uma série de imperfeições de mercado, tais como impostos, iliquidez,...

12 com o objetivo de melhor resolver este trade-off, inúmeros métodos de ajustamento de estrutura a termo aos dados foram desenvolvidos, tais como exponential spline, smoothing spline, etc TIR X Estrutura a termo : Juntando as eqs.(4) e (5): = [ + Y t ] s i = [ + Y (t, s i )] s i Apreçamento de títulos: Estrutura a termo = Preço Derivação da estrutura a termo: Preço = Estrutura a termo 2

13 2 Duração Como medir a sensibilidade da taxa de retorno de um título em relação a uma mudança da taxa de juros? Definição 6 Considere um título de renda fixa que paga o fluxo de caixa C,C 2,C 3,..., C n nos prazos s,s 2,s 3,...,s n respectivamente. Seja e Y t opreçoeatirdestetítulorespectivamente. A duração de Macaulay deste título, denotada por D t, é dada pela expressão D t w i z } { [ + Y t ] s s i i (6) Primeiramente, observe que: w i z } { [ + Y t ] s i = [ + Y t ] s = = i Por definição, a duração de um título é a média ponderada das maturidades s,s 2,s 3,..., s n dos seus fluxos de caixa O peso de ponderação w i de cada maturidade s i édadopelofluxo de caixa pago nesta maturidade como proporção do preço do título, ou seja, w i = [ + Y t ] s i = [+Y t ] s i = [+Y t ] s i np [+Y t] s i Em outras palavras, a duração é o prazo "médio" de recebimento dos cupons A duração de um TSC é igual ao seu prazo Determinantes da Duração :. Quanto maior o prazo dos fluxos de caixa, maior a duração 2. A duração diminui com aumento da taxa de cupom, uma vez que maior peso é dado aos prazos mais curtos 3. A duração diminui com a TIR Y, uma vez que maior peso é dado aos prazos mais curtos 3

14 Exemplo 0 Seja um título com pagamento semestral de cupom a uma taxa de 5% sobre um valor de face igual a $000, emitido com prazo de vencimento igual a dois anos. O preço de mercado deste título na data da emissão (/990) é $ 900 (90% do valor de face). Qual a duração deste título? = + ( + Y t ) 0,5 ( + Y t ) ( + Y t ),5 ( + Y t ) 2 = Y t =0, 67 C D t = ( + Y t ) s C 2 s + ( + Y t ) s C 3 s ( + Y t ) s C 4 s ( + Y t ) s s D t = 900 ( + 0, 67) 0, ,5 ( + 0, 67) + 50 ( + 0, 67), ( + 0, 67) 2 2 D t =, 853 (676 dias após a emissão) A proposição abaixo é extremamente importante, pois mostra que a resposta da taxa de retorno de um título a uma mudança na sua TIR aumenta com a duração Proposição Seja P e Y a variação do preço e da TIR do título no intervalo de tempo t entre t e t + t, ouseja, de forma que P = + t Y = Y t+ t Y t P = + t é a taxa de retorno efetiva do título entre entre t e t + t. Pode-se provar que, para uma mudança suficientemente pequena da TIR Y t, segue que: P D t +Y t Y (7) Na prática, é mais comum usar o conceito de duração modificada, denotada por D e definida como de forma que D t D t = +Y t P D t Y t 4

15 Prova. A equação (4) mostra que o preço do título podeserexpressocomofunçãoda sua TIR Y t,ouseja, = [ + Y t ] s i (8) Fazendo a expansão de Taylor de primeira ordem desta função, segue que: P = Dividindo ambos os lados da expressão (9) por P, segue que: P P P (Y ) Y (9) Y P (Y ) Y Usando a eq.(8) para calcular a derivada na expressão (0) acima: P (Y ) Y = = s i [ + Y ] (si ) [ + Y ] 2s i s i [ + Y ] s i [ + Y ][+Y ] 2s i Y (0) P = +Y Dividindo ambos os lados da expressão acima por P, segue que: P (Y ) Y P = +Y s i [ + Y ] s i P Substituindo a definição de duração em (6) na equação acima: P (Y ) Y Substituindo o resultado acima na eq.(0): P = D +Y P P D +Y Y s i [ + Y ] s i Exemplo Seja um título com pagamento semestral de cupom a uma taxa de 5% sobre um valor de face igual a $000, emitido com prazo de vencimento igual a dois anos. O preço de mercado deste título na data da emissão (t=//990) é $ 900 (90% do valor de face). Qual a taxa de retorno diária do título se a TIR (a.a) varia de 00 bp (%)? D t =, 853; Y t =0, 67; Y =%=0, 0 P D t, 853 Y = 0, 0 +Y t +0, 67 = (, 588) 0, 0 = 0, 0588 (,588 %) 5

16 A duração D t mudacomotempoeàmedidaqueotítuloseaproximadovencimento. Logo, a aproximação (7) é tanto mais "robusta" quanto menor o horizonte de investimento t Estrutura a Termo e Duração : Primeiramente, vamos associar uma mudança na taxa de juros da economia a um deslocamento paralelo de toda a estrutura a termo, ou seja, uma mudança do nível da estrutura a termo Neste caso, uma variação suficientemente pequena na taxa de juros da economia acarreta uma variação de mesmo tamanho da TIR de todos os títulos Logo, resultados (7) e (??) fornecem uma boa aproximação para a variação proporcional dos preços do títulos quando a estrutura a termo sofre um deslocamento paralelo e suficientemente pequeno, ou seja, para mudanças suficientemente pequenas da taxa de juros da economia Neste caso, quanto maior a duração do título, maior o impacto de uma mudança na taxa de juros da economia sobre os preços do títulos Isto implica que, quanto maior a duração do papel, maior a sua volatilidade, ou seja, µ P AR D t 2 AR( Y ) Títulos longos têm um risco de mercado (risco de flutuação de taxa de juros) superior aos títulos curtos 6

17 Duração de uma carteira de renda fixa : Seja uma carteira formada por N A unidades do título A e N B unidades do título B Segue da definição de duração que: P A P A D A Y () P B P B D B Y (2) onde D A e D B são as durações modificadas dos títulos A e B respectivamente Denotando por o valor da carteira, segue que: = N A P A + N B P B = = N A P A + N B P B = = N A P A + N B P B = N AP A P A P A + N BP B = N A P A + N B P B P B (3) P B onde N A P A e N B P B são os valores das posições financeiras dos títulos A e B respectivamente Substituindo eqs.() e (2) em (3): N AP A D A Y + N BP B D B Y duração mod ificada da carteira z } { NA P A = D A + N BP B D B Y (4) Logo, a duração modificada da carteira, dada pela expressão N A P A D A + N BP B é uma média ponderada das durações modificadas dos ativos que formam a carteira, sendo o fator de ponderação de cada título dado pela participação proporcional do valor de sua posição financeira no valor total da carteira D B 7

18 Imumização de uma Carteira de Renda Fixa : O conceito de duração é bastante útil para a imunização de uma carteira de renda fixa contra movimentos paralelos e pequenos na estrutura a termo Seja uma carteira de valor W com duração D W. Como imunizar esta carteira usando um título com preço P q e duração modificada D q? Suponha que N unidades do título são adicionadas à carteira. Logo, o valor da nova carteira é dada por: = W + NP q Além disso, usando o resultado (4), podemos afirmar que a taxa de retorno da nova carteira, num horizonte de tempo pequeno, é aproximada por: W D W + W + NP D NP q q Y q W + NP q Para imunizar a carteira contra movimentos em Y, N precisar ser tal que Logo, N é dado por 0= W D W + W + NP D NP q q Y q W + NP q W NP q D W + D q W + NP q W + NP q = 0 = D W W + D q NP q = 0 = N = D W W D q P q Para imunizar a carteira com o título. é preciso ficar vendido em D W W D q P q deste título unidades Quando os movimentos na estrutura a termo são pequenos, mas não paralelos, tal como uma mudança na inclinação ou na curvatura da curva, podemos imunizar uma carteira de renda fixa com base num conceito alternativo conhecido como duração parcial, o qual mede a sensibilidade do preço do papel em relação ao deslocamento de apenas um setor da curva de juros E quando os movimentos na estrutura a termos são paralelos, porém grandes? Neste caso, usamos o conceito de convexidade, que estudaremos na próxima nota de aula... 8