Matemática Financeira Moderna FORMAS DE COTAR A TAXA DE JUROS

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1 Matemática Financeira Moderna FORMAS DE COTAR A TAXA DE JUROS

2 1. Embora o essencial em finanças seja a taxa efetiva, muitas vezes anunciamos conceitos como a taxa nominal 2. A presença de inflação pode redefinir o conceito de taxa de juros (nominal passa a ser um termo ambíguo) 3. Taxa overnight: usual no mercado de títulos públicos brasileiros

3 Convenções na Contagem de Dias Os meses podem ter todos 30 dias, ou o número efetivo de dias. O ano pode ser de 360 ou 365 dias. Juros por dias úteis: 21 dias por mês, 252 dias por ano.

4 Convenções na Contagem de Dias Contagem do N⁰ de Dias Taxa de Juros Aprox. Exata /360 E/ /365 E/365

5 Convenções na Contagem de Dias Suponha que se queira contar o número de dias existentes entre as seguintes datas: 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de Utilize o critério 30/360.

6 Convenções na Contagem de Dias Suponha que se queira contar o número de dias existentes entre as seguintes datas: 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de Utilize o critério 30/360. No prazo existem: 5 anos: 05/06/1997 a 05/06/ meses: de 05/06 a 05/09 13 dias: de 05/09 a 18/09 Logo: 5x360+3x30+13 = 1903

7 Convenções na Contagem de Dias Qual o número de dias entre 21/09/99 e 02/03/05, usando a convenção 30/365?

8 Convenções na Contagem de Dias Qual o número de dias entre 21/09/99 e 02/03/05, usando a convenção 30/365? Nesse período existem: 21/09/99 até 21/09/04 5 anos 21/09/04 até 21/02/05 5 meses 21/02/05 até 02/03/05 11 dias. 5x x = 1986 dias.

9 Utilização da HP 12C A HP 12C realiza a contagem do número de dias existentes entre duas datas, utilizando tanto o critério de dias com ano de 365 dias, quanto dias efetivos com anos de 360 dias. Comandos: gmdy: Define o formato da data no padrão mês-dia-ano; OU gdmy: Define o formato da data no dia-mês-ano; gδdys: Conta o número de dias com ano de 365 dias; X<>Y: conta o número de dias efetivos com ano de 360 dias.

10 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002

11 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002 Separa o dia por ponto.

12 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002 Digitar próxima data após o enter.

13 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002 Número de dias com ano de 365 dias

14 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002 Número de dias com ano de 365 dias

15 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002 Número de dias efetivos com ano de 360 dias

16 Utilização da HP 12C 05 de junho de 1997 e 18 de setembro de 2002 Número de dias efetivos com ano de 360 dias

17 Exemplos 7.8) Suponha uma aplicação financeira no valor de $ realizada em 6/3/2001. A data de resgate é 6/8/2001 e a taxa de juros anual é 19%, calcule o valor resgatado. Convenção E/360 Convenção 30/360

18 Exemplos 7.8) Suponha uma aplicação financeira no valor de $ realizada em 6/3/2001. A data de resgate é 6/8/2001 e a taxa de juros anual é 19%, calcule o valor resgatado. Convenção 30/360 FV = (1+0,19)^150/360 = $ ,59 Convenção E/360 FV = (1+0,19)^153/360 = $ ,58

19 Exemplos 7.9) Considere o mesmo exemplo anterior. Calcular a taxa de juros anula no critério E/360 equivalente à taxa de 19% no critério 30/360. I1= 19% ; n1= 150; n2= 153; i2=?

20 Exemplos 7.9) Considere o mesmo exemplo anterior. Calcular a taxa de juros anula no critério E/360 equivalente à taxa de 19% no critério 30/360. I1= 19% ; n1= 150; n2= 153; i2=? i2 = [(1 + 0,19) ^ 150/153] -1 = 18,59%

21 Exemplos 7.12) Suponha que a taxa de juros anual seja de 14% no critério 30/360. Qual a taxa de juros equivalente no critério 30/365?

22 Exemplos 7.12) Suponha que a taxa de juros anual seja de 14% no critério 30/360. Qual a taxa de juros equivalente no critério 30/365? I1 = [(1+ 0,14) ^ 365/360] - 1 => 14,2%

23 Taxa nominal e efetiva Quando uma taxa de juros é expressa em termos nominais, é apenas uma taxa de referência que se relaciona com a taxa no período de capitalização de forma proporcional, não de forma exponencial. Em geral, a menos que expresso o contrário, o período de capitalização é mensal.

24 Taxa nominal e efetiva Exemplo 1: Uma taxa nominal de 3,0% ao mês, capitalizada diariamente significa 0,1% ao dia. A taxa mensal efetiva é de 3,0439%, equivalente a 0,1% ao dia. Exemplo 2: A taxa nominal de 1% ao mês, capitalizado anualmente, significa 12% ao ano. A taxa mensal efetiva é de 0,948%, equivalente a 12% ao ano.

25 Taxa Nominal e Efetiva Qual a taxa de juros mensal, semestral e anual efetivas correspondentes a uma taxa de juros anual nominal de 18%, capitalizada mensalmente?

26 Taxa Nominal e Efetiva Qual a taxa de juros mensal, semestral e anual efetivas correspondentes a uma taxa de juros anual nominal de 18%, capitalizada mensalmente? 18% 12 Mensal = = 1,5% 6 1 Semestral = 1,015 = 9,34% 12 1 Anual = 1,015 = 19,56%

27 Taxa Nominal e Efetiva Qual a taxa efetiva correspondente à taxa de 10% ao ano, capitalizada semestralmente?

28 Taxa Nominal e Efetiva Qual a taxa efetiva correspondente à taxa de 10% ao ano, capitalizada semestralmente? Taxa efetiva semestral: 10% 2 5% Taxa equivalente anual: (1,05) 2 10,25%

29 Taxa de Juros Nominal e Real Enquanto a taxa de juros nominal indica a remuneração do dinheiro no tempo. Já a taxa de juros real indica a remuneração do dinheiro no tempo, descontando o efeito da inflação.

30 Equação de Fisher Para taxas discretas, a equação de Fisher relaciona taxa nominal e real de juros e a taxa de inflação. 1 r 1 1 i

31 Taxa de Juros Nominal e Real Rigorosamente, podemos escrever: r i i Porém, iπ é muito pequeno quando i e π são números pequenos, de forma que uma boa aproximação é: r i

32 Taxa de Juros Nominal e Real Uma aplicação financeira pelo prazo de um mês promete pagar uma taxa de juros efetiva de 18,0% ao ano. Qual é a taxa de juros real obtida sabendo-se que a taxa de inflação mensal é de 1,2%?

33 Taxa de Juros Nominal e Real Uma aplicação financeira pelo prazo de um mês promete pagar uma taxa de juros efetiva de 18,0% ao ano. Qual é a taxa de juros real obtida sabendo-se que a taxa de inflação mensal é de 1,2%? 1,18 1 r 1, ,012 r 2,26% a. a.

34 Taxa de Juros Nominal e Real Se a taxa de inflação variar entre os períodos, temos: Onde é a média geométrica das taxas de inflação. n n n n n i i r

35 Taxa de Juros Nominal e Real Suponha uma aplicação que pague 5% ao mês durante três meses. Durante esses meses a inflação é de 0,5%; 0,6% e 0,75%. Qual foi o rendimento real da aplicação?

36 Taxa de Juros Nominal e Real Suponha uma aplicação que pague 5% ao mês durante três meses. Durante esses meses a inflação é de 0,5%; 0,6% e 0,75%. Qual foi o rendimento real da aplicação? 1 3 1,0051,0061,0075 0,6166% 1 r 1,05 1, r 4,36% a. m.

37 Taxa Over Cotação por dia útil e não por dia corrido Considera o ano 252 dias úteis, ou seja, 12 meses de 21 dias úteis

38 Taxa Over Mercado de títulos públicos: Letras do Tesouro Nacional (LTN) Letras Financeiras do Tesouro (LFT) Notas do Tesouro Nacional (NTN) Mercado de títulos privados: Operações overnight entre instituições financeiras: Selic, ADM e DI

39 Mercado de títulos públicos- open market No mercado de títulos públicos são negociados títulos emitidos pelo tesouro Nacional, através de leilões formais, que busca financiar seu déficit orçamentário. Por sua vez, o Banco Central procura regular a taxa de juros, via leilões informais: ao vender títulos retira dinheiro e, ao recomprálos, injeta recursos.

40 Mercado de títulos públicos- open market Qual a taxa SELIC diária sabendo-se que a taxa anual é de 19%?

41 Mercado de títulos públicos- open market Qual a taxa SELIC diária sabendo-se que a taxa anual é de 19%? i ad ( 1 0,19) 1 0,069%

42 Mercado de títulos públicos- open market Uma instituição financeira tomou recursos emprestados por um dia útil no montante de R$ 1 milhão pagando uma taxa SELIC de 18,90% a.a. Quanto ela deverá receber no dia seguinte?

43 Mercado de títulos públicos- open market Uma instituição financeira tomou recursos emprestados por um dia útil no montante de R$ 1 milhão pagando uma taxa SELIC de 18,90% a.a. Quanto ela deverá receber no dia seguinte? S (1 0,189) ,19

44 Mercado de títulos públicos- open market Uma instituição financeira R$ 5 milhões por 10 dias a uma taxa SELIC média de 19,02% a.a. Quanto ela devolveu ao final do prazo?

45 Mercado de títulos públicos- open market Uma instituição financeira R$ 5 milhões por 10 dias a uma taxa SELIC média de 19,02% a.a. Quanto ela devolveu ao final do prazo? S (1 0,1902) ,52

46 LTN Letra do tesouro nacional (LTN) : É um título de curto prazo emitida pelo prazo mínimo de 28 dias. São títulos pré-fixados, resgatados no vencimento pelo valor de face igual a R$1.000,00 e negociados com desconto.

47 LTN A rentabilidade para o investidor é dada pela diferença entre o preço de aquisição e o valor de resgate: P(1 YTM n ) 252 YTM yield to maturity

48 LTN Uma LTN de 35 dias foi adquirida pelo preço de R$ 985,65. Sabendo-se que, neste período, existem 26 dias úteis, qual a rentabilidade anual obtida pelo investidor?

49 LTN Uma LTN de 35 dias foi adquirida pelo preço de R$ 985,65. Sabendo-se que, neste período, existem 26 dias úteis, qual a rentabilidade anual obtida pelo investidor? ,65(1 YTM ) YTM 15,04%

50 LTN 8.5) Uma LTN de 35 dias foi adquirida pelo preço de $ 990,65. Sabendo-se que, nesse período, existem 26 dias úteis, qual a rentabilidade anual obtida pelo investidor? FV = Valor de Face $ dias úteis -> n = 26/252 = 0, PV = $ 990,65

51 LTN 8.5) Uma LTN de 35 dias foi adquirida pelo preço de $ 990,65. Sabendo-se que, nesse período, existem 26 dias úteis, qual a rentabilidade anual obtida pelo investidor? FV = Valor de Face $ dias úteis -> n = 26/252 = 0, PV = $ 990,65 $ = 990,65 x (1 +YTM)^ 26/252

52 LTN 8.5) Na HP 12C Limpar registros de memória

53 LTN 8.5) Na HP 12C Limpar registros de memória

54 LTN 8.5) Na HP 12C Ativar função de juros compostos

55 LTN 8.5) Na HP 12C Verificar se função de juros compostos foi ativada

56 LTN 8.5) Na HP 12C

57 LTN 8.5) Na HP 12C

58 LTN 8.5) Na HP 12C

59 LTN 8.5) Na HP 12C

60 LTN 8.5) Na HP 12C

61 LTN 8.5) Na HP 12C

62 LTN 8.5) Na HP 12C

63 LTN 8.6) Uma LTN de 396 dias foi adquirida pelo preço de $ 905,50. Sabendo-se que, nesse período, existem 275 dias úteis, qual a rentabilidade anual obtida pelo investidor?

64 LTN 8.6) Uma LTN de 396 dias foi adquirida pelo preço de $ 905,50. Sabendo-se que, nesse período, existem 275 dias úteis, qual a rentabilidade anual obtida pelo investidor? $ = 905,50 x (1 +YTM)^ 275/252

65 LTN 8.6) Na HP 12C

66 LTN 8.6) Na HP 12C

67 LTN 8.6) Na HP 12C

68 LTN 8.6) Na HP 12C

69 LTN 8.6) Na HP 12C

70 LTN 8.6) Na HP 12C

71 LFT Letra Financeira do Tesouro: é um título de curto prazo emitida pelo prazo mínimo de 28 dias e máximo de 30 meses. São títulos do tipo floating rate, ou seja, pagam taxa de juros SELIC, acumulada entre as datas de emissão e de resgate, sobre o valor de face igual a $

72 LFT O título pode ser adquirido ao par, ou seja, pelo valor de face (par bond), com ágio (premium bond), ou com deságio (discount bond). A rentabilidade do investidor dada por, se adquirido pelo valor de face: n SELIC 252 P 1YTM 252 n

73 LFT A rentabilidade do investidor pode ser decomposta em taxa SELIC e taxa de ágio ou deságio d. Se o título é adquirido com ágio, então a rentabilidade é menor do que a taxa SELIC e, se for adquirido com deságio, então a rentabilidade é maior do que a taxa SELIC.

74 LFT Rentabilidade é dado por, se adquirido com ágio ou deságio: 1 YTM 1 d 1 i YTM 1 i 1 d 1 d>0: taxa de deságio ao ano; e d<0: taxa de ágio ao ano

75 LFT Uma LFT de 274 dias corridos e 189 dias úteis foi adquirir em leilão por R$ 990,00. Sabendo que ela foi resgatada por R$ 1.182,17, qual foi a taxa SELIC média do período? Qual a rentabilidade efetiva para o investidor? Qual a taxa de deságio obtida no leilão?

76 LFT Taxa SELIC: 1.182, (1 _ i) _ i 25,0% Rentabilidade efetiva: ,17 990(1 YTM ) YTM 26,69% Taxa de deságio: d (1 0,2669) (1 0,25) 1 1,35% a. a.