Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV. Derivativos

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1 Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivativos Parte : Renda Fixa Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1

2 Estrutura a Termo das Taxas de Juros (curva de rendimento Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág.

3 Taxas yield e estrutura a termo com títulos de zero cupom 5 / du VF yield = 1 VM!"##"$$ "%&'$!$($!' #"&!**** Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 3

4 Estruturas a termo importantes Interna em reais: DI-Pré ou Swaps DI-Pré Interna em dólares: Cupom Cambial ou Swaps DIdólar Interna real : Cupom IGPM ou Swaps DI-IGPM Externa brasileira em dólares: Globals Externa brasileira em reais: Globals Externa livre de risco em dólares: Treasuries ou Libor dólar Externa livre de risco em euro: Libor Euro Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 4

5 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 5

6 ',-. /0 1 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 6

7 ETTJ (Yield Curve através de Zero Cupom Bonds!!!!! "# $ " %$ &!!!! " $# # #& %!!!! " " $%!!! "$ $ "!!!!!! "% % " "$ "!!! "%! & & %# #!!! "&# $# %!!! "&%$ #$ "!!! "&! & $ "!$!!! "!!! $ ""$!!! "" " &!" "$!!! " 9,50 Taxa (%aa 8,50 7,50 6,50 5,50 4,50 3,50,50 1, Derivativos Prazo - Alexandre (dias Lowenkron úteis Pág. 7

8 Formatos usuais da curva de juros: Positivamente inclinada (Contango*, Negativamente inclinada (Backwardation e Humped Shape Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 8

9 '(*,-./- 0 / 1/( %'./ /' PU t = (1 taxa ndu 5 AjusteDiario = Ajuste Diario = PU t PU (1 taxa t t (1 cdi t (1 taxa = t 1 (1 taxa t (1 cdi 45 5 (1 taxa t 1 t (1 taxa t (1 cdi t Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 9

10 69 /; < $=>'69 < ? // 4-6?@A#B CA#B9, 7- '.0 /344:- 3- '.0 344: ! /- Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 10

11 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 11 /D, 69 ndu1 /(ndu ndu 1 ndu1 /(ndu ndu 1, ndu 1 ndu ndu1 (ndu 1, 5 ndu1 / (ndu 1, 5 / ndu 1 5 / ndu tx (1 tx (1 fwd (1 tx (1 tx (1 fwd (1 fwd (1 tx (1 tx (1 = = = E/D/ F -G/H //- A/I-., /D69 5 1/ T 1 i i T/5 T fwd ( yield ( VP = = =

12 Duration, Convexidade e o Risco de um portfólio de renda fixa Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1

13 Duration Vamos começar definindo uma medida muito importante para renda fixa: a duração. Quando estamos lidando com zero coupon bonds, a maturação é igual a vida média (duração do título. E quando temos títulos com cupons? Precisamos de uma medida... C P = (1 y du1 5 C (1 y du 5 C (1 y du3 5 C... (1 y dun 5 M (1 y dun 5 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 13

14 Duration É a média do tempo para cada pagamento, ponderada pela proporção do valor presente no preço total. T t = 1 D = t w t onde w t = [C t / (1y t ] / P Duration é menor que a maturidade para todos os bonds com cupom e igual a maturidade para zero coupon bonds. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 14

15 Exemplo do calculo de uma Duration: y=10% 8% Bond Time years Payment PV of CF (10% Weight C1 X C Sum Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 15

16 Efeito no preço de choques nos juros: Duration Tirando a derivada do preço em relação a taxa yield, podemos calcular a variação do preço a um choque pequeno em y. (esta é a def. de derivada! Achamos que a mudança de preço é proporcional a duration: P/P = -D x y /(1y Ou, usando a medida de duration modificada, D m = D / (1y, P/P = - D m x y Portanto, uma vez que sabemos os valores de D e de y, podemos calcular P/P para uma dada mudança em y Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 16

17 De forma geral para taxas com capitalização de m períodos, B BD y = 1 y m Já com taxas contínuas não precisamos da duration modificada podemos usar a usual: B B = D y Derivação da fórmula da Duration... Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 17

18 Duration e Risco Títulos com durações mais longas são mais sensíveis às variações na taxas de juros. (Exemplo Excel A intuição é que a taxa vai afetar mais fluxos OU que a taxa vai afetar o fluxo representativo médio com mais potência, pois este tem que ser trazido a valor presente sendo dividindo pela taxa yield elevado a um número maior. Obs 1: Quanto maior a taxa yield, menos peso será dado a fluxos mais longos, logo menor a duration e menor a sensibilidade aos juros. Obs : Quanto maior forem os cupons em relação ao principal, menor a duration, logo menor a sensibilidade. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 18

19 Exercício Classifique as seguintes obrigações em ordem de risco crescente: Cupom Tempo p/ venc. Taxa Yield A 15% 0 anos 10% B 15% 15 anos 10% C 0% 0 anos 10% D 8% 0 anos 10% E 15% 15 anos 15% Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 19

20 Erro de pricing & Convexidade Pela própria natureza da derivada, ela é uma boa medida para choques pequenos da taxa yield. Se os choques são maiores, há erro de pricing. O tamanho deste erro é proporcional à convexidade do título. Preço Erro de apreçamento devido a convexidade Duration Yield Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 0

21 Expansão de Taylor Seja Y = f (X Como Y muda com uma variação (qualquer em X? dy = f ( X X dx f ( X ( dx! X 3 f ( X ( dx 3 3! X 3 Para uma variação pequena de X (dx pequeno, é suficiente: dy f ( X X dx Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1

22 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. Expansão de Taylor (cont. Para uma fç que dependa de mais de uma variável: Como Y muda com uma variação (qualquer em X e Z? Para uma variação pequena de X e Z, é suficiente:, ( Z X f Y = = (!, ( (!, ( (!, (, (, ( dz Z X Z X f dz Z Z X f dx X Z X f dz Z Z X f dx X Z X f dy dz Z Y X f dx X Y X f dy, (, (

23 Correção para Convexidade Aproxime o preço do bond pela expansão de Taylor até a a ordem. A convexidade é o termo de a ordem. P P = D y 1 Convexity ( y Convexidade é calculada como: N 1 P (1 y t = 1 C (1 t y t ( t t Onde: C t is cupom ou o principal no instante de tempo t. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 3

24 Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 4 Convexidade para taxas de capitalização contínua: 1 ( 1 que tal 1 y C y D B B B e t c y B B C n i yt i i i = = = =

25 Modelos de Estrutura a Termo Modelos Estáticos Splines: Sem Erro: Linear Exponencial Splines Cúbicos (1ª e ª derivada Com Erro: Nelson-Siegel Outros Splines Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 5

26 Splines Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós. Definição formal de Splines polinomiais Uma função S é chamada de spline de grau k se: O domínio de S é um intervalo [a,b] Há nós (t i,y i tal que a = t 0 < t 1 <... < t n = b e tal que S é um polinómio de grau k em cada subintervalo [ti,ti 1]. No geral, a continuidade da função f em s pode ser definido pela condição: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 6

27 Splines aplicados à ETTJ Vamos usar a função desconto. No caso de um Zero Coupon Bond a função desconto pode ser diretamente associado à Taxa Spot (Yield do mesmo: P(t,T = 1/(1y T-t Usando a função desconto teremos uma forma funcional linear para os preços, o que facilitará a solução do sistema de equações resultantes. Com a curva dos preços em mãos é fácil calcular a curva zero para as taxas spot. Para qualquer bond (com ou sem coupon podemos escrever: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 7

28 Splines para ETTJ Se tivermos N títulos, teremos N/ polinômios (um para cada intervalo. Logo, uma exigência do modelo é que o n. de títulos seja par Com N/ polinômios, quantas variáveis precisaremos estimar? 4 para cada polinômio (a k, b k, c k, d k, logo teremos 4*(N/ = N variáveis. Portanto precisaremos do mesmo número de equações. Quantas temos? 1 com a condição inicial (a 1 =1 1 com a condição terminal (derivada 0 no último ramo N restrições para que cada preço seja o observado. (N/-1 para que as junções das curvas de desconto sejam iguais. (N/-1 para que as derivadas das junções das curvas de desconto sejam iguais. Suponha que temos 4 títulos. Quantos parâmetros teremos que estimar? 8 (4 por intervalo (a 1, b 1, c 1, d 1 & (a, b, c, d Quantas equções precisaremos? 8 Quantas temos? 8! Uma com a condição inicial (a 1 =1 Uma com a condição terminal (derivada 0 no último ramo Duas para forçar o preço dos bonds a ser aquele observado. Duas para que na junção as curvas sejam iguais. Duas para que na junção as derivadas das curvas sejam iguais. Portanto resolver um Spline Cúbico é simplesmente resolver este sistema de equações. Como fazer para que isso seja feito com rapidez? Álgebra matricial! Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 8

29 Splines para ETTJ A idéia do modelo é ter uma curva que precifique perfeitamente todos os bonds e que seja suave. A única forma de fazer isso é ter uma forma funcional (cúbica para cada intervalo. Com polinômios do 3ºgrau, se tivermos N títulos teremos M=N/ polinômios. Ou seja, teremos um polinômio para cada um dos M intervalos onde para cada intervalo: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 9

30 Splines para ETTJ Temos ainda que impor 4 restrições adicionais: Que os polinômios seja iguais nos pontos de junção. Que as suas derivadas sejam iguais nos pontos de junção (esta é uma condição adicional para que a curva seja suave. Restrição inicial que um real valha um real hoje. Restrição terminal que a derivada seja zero no último ponto: Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 30

31 Splines para ETTJ: Exemplo Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 31

32 Splines para ETTJ Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 3

33 Splines para ETTJ Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 33

34 Splines para ETTJ Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 34

35 Modelos das Estrutura a Termo com erro Os Splines são úteis mas tem muitos fatores. Será que não existem modelos mais parcimoniosos? Sim. Mas quantos fatores precisaríamos nestes modelos? Por COMPONENTES PRINCIPAIS é possível mostrar que não precisamos de mais do que 3 fatores para explicar os movimentos da estrutura a termo. Mas com 3 fatores o modelo é bom? Sim, em geral ele explica mais do que 99% dos movimentos da curva. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 35

36 Componentes Principais Análise de Componentes Principais é um método estatístico para reduzir o número de variáveis estudadas da forma mais eficiente possível. Exemplo: M ativos (títulos com maturidade diferentes se forem reduzidos a K fatores, quantos seriam? O que eles representariam? A metodologia é maximizar a variância total do sistema explicada por cada componente. 1 o PCA: só impõe que pesos somem 1 o PCA: (i impõe que pesos somem 1 e (ii que seja ortogonal ao PCA 1. 3 o PCA: (i impõe que pesos somem 1; (ii que seja ortogonal ao PCA 1; (iii que seja ortogonal ao PCA, Etc.. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 36

37 Geometric picture of principal components (PCs the 1 st PC is a minimum distance fit to a line in space the nd PC is a minimum distance fit to a line in the plane perpendicular to the 1 st PC PCs are a series of linear least squares fits to a sample, each orthogonal to all the previous. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 37

38 Litterman & Scheinkman (91: 3 fatores explicam mais de 99% dos movimentos nas ETTJs Resultados atualizados Período : 1st nd 3rd Sum Principal Components: Variance Explained by Factors & Factor Loadings Compo nent Compo nent Compo nent BRAZIL % KOREA % COLOMBI A % MEXIC O % USA % Factor Loadings Principal Components Korea st Component Component 3 Component Logo, a teoria dos mercados segmentados parece ser rejeitada pelos dados. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 38

39 Componentes Principais vs. Duration e Convexidade: Tanto a Duration quanto a Convexidade nos fornecem a variação % do preço do título como função de uma variação igual em todas as taxas usadas para descontar o título. Se a Estrutura a Termo mudar seu formato, a variação no preço do título será bem diferente. Série de Taylor com 3 variáveis explicativas Duration é a primeira derivada com relação ao primeiro fator (nível Convexidade é a segunda derivada com relação ao primeiro fator (nível. Efeito da inclinação seria dado pelas derivadas com relação ao segundo fator (inclinação -> sabemos que é menos comum que o primeiro. Efeito da curvatura seria dado pelas derivadas com relação ao terceiro fator (curvatura -> sabemos que é estatisticamente o menos importante. Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 39

40 Nelson e Siegel Como vimos então, na prática, 3 fatores parecem explicar muito bem a curva de juros. O modelo de Nelson & Siegel (1987 A Parsimonious Modeling of Yield Curves propõe uma forma funcional parcimoniosa e eficiente que tem sido largamente utilizada tanto na academia quanto no mercado financeiro. Objetivos do modelo: Modelar, estimar e monitorar uma curva de juros; Compressão de informação; Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 40

41 Nelson e Siegel (1987 Modelo Para modelar taxas spot basta integrar em m f = taxa de juros forward r = taxa de juros a vista Beta0 = nível Beta1 = inclinação Beta = curvatura m = prazo τ = taxa de decaimento τ fixo: MQO Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 41

42 Fator LL Fator Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 4

43 14.50% 14.00% 13.50% 13.00% 1.50% 1.00% 11.50% 11.00% 10.50% 10.00% Curva Verdadeira Interpolação Linear Interpolação Flat Forward Curva Spline Curva Nelson & Siegel Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág

44 Nelson & Siegel Uma interessante utilização do modelo é para acompanhar a dinâmica da curva. É muito mais fácil acompanhar o movimento de 3 fatores ao longo do tempo do que acompanhar o movimento de uma curva inteira (superfície. A seguir a dinâmica da curva de risco país feita por André Monteiro e Sylvio Heck Uma Estrutura a termo Alternativa para o Prêmio de Risco Brasil Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 44

45 5 Curvas Estimadas Evolução do nível, inclinação e curvatura da curva de cupom cambial Efeitos desestabilizadores da desvalorização do Real em 1999 Baixa maturidade maior variação dos coeficientes de inclinação e curvatura estimados jul-99 ago-99 set-99 out-99 nov-99 dez-99 jan-00 fev-00 mar-00 abr-00 mai-00 jun-00 jul-00 ago-00 set-00 out-00 nov-00 dez-00 jan-01 fev-01 mar-01 abr-01 mai-01 jun-01 jul-01 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-0 Nível Inclinação Curvatura Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 45

46 Evolução do nível, inclinação e curvatura da curva Treasuries Estabilidade da taxa de LP (/- 6% EM 000, possibilidade de recompra de títulos jogou taxas longas para baixo (grandes superávits fiscais e fim da curva de TYS Recentemente, forte recuo de Fed-Funds volta a jogar inclinação para cima jul-99 ago-99 set-99 out-99 nov-99 dez-99 jan-00 fev-00 mar-00 abr-00 mai-00 jun-00 jul-00 ago-00 set-00 out-00 nov-00 dez-00 jan-01 fev-01 mar-01 abr-01 mai-01 jun-01 jul-01 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-0 Nível Inclinação Curvatura Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 46